Определение параметров неоднородного покрытия упругого цилиндра с полостью для обеспечения заданных звукоотражающих свойств Текст научной статьи по специальности «Физика»

Kornyushina Mariya Vladimirovna, postgraduate, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА С ПОЛОСТЬЮ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАННЫХ ЗВУКООТРАЖАЮЩИХ СВОЙСТВ

С.А. Скобельцын

Решена задача определения законов изменения плотности и модулей упругости покрытия упругого некругового цилиндра с полостью для обеспечения заданных отражающих свойств при рассеянии звука. Предполагается, что материальные параметры внутренней части цилиндра и диапазон изменения параметров покрытия известны. Конкретные значения материальных параметров покрытия предлагается искать путем анализа функции формы амплитуды рассеянного акустического поля в дальней зоне для заданного диапазона углов.

Ключевые слова: дифракция звука, гармоническая плоская волна, упругий некруговой цилиндр с полостью, упругое покрытие, обратная задача

Характеристики отражения звука упругим объектом могут быть изменены за счет использования относительно тонкого покрытия из другого материала. В ряде случаев параметры отражения могут быть скорректированы путем использования неоднородного покрытия.

Влияние упругих свойств материала упругого цилиндра на рассеяние звука в жидкости изучалось во многих работах. Основные элементы модели рассеяния звуковых волн упругим цилиндром рассмотрены в [1 - 4]. В работах [5 - 13] исследуются особенности влияния неоднородности материала цилиндра на рассеяние звука. Причем в статьях [8 - 13] рассматривается неоднородность цилиндра, связанная с наличием покрытия. В ряде работ дополнительным элементом неоднородности цилиндра полагалось наличие полости. В статье [13] представлено решение задачи о выборе характеристик неоднородного покрытия цилиндра, обеспечивающего заданные звукоотражающие свойства упругого объекта. В большей части работ изучался случай кругового цилиндра. Если допускалось наличие полости, то ось полость полагалась совпадающей с осью цилиндра.

163

В данной работе рассматривается случай рассеяния звука некруговым упругим бесконечным цилиндром с неоднородным покрытием и полостью. Внутренняя часть цилиндра представляет собой изотропный упругий материал. Считается, что упругое тело окружено идеальной жидкостью. Требуется выбрать материальные параметры и вид неоднородности покрытия такими, чтобы обеспечить требуемые характеристики рассеяния звуковых волн. Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1.

На рисунке образующая и внешние границы двух нормальных сечений цилиндра обозначены сплошной линией. Пунктирной линией показаны образующие и сечения внутренней поверхности покрытия и полости.

Рис. 1. Геометрия задачи

Содержащая акустическая среда Оо характерезуется плотностью Ро и скоростью звука со. Падающая на цилиндр звуковая волна является плоской и распространяется по нормали к поверхности цилиндра. На рисунке ^о - потенциал скоростей в падающей волне, стрелки показывают направление ее распространения.

Внутренняя - однородная - часть цилиндра О1 представляет собой однородную упругую среду с плотностью Р1 и модулями упругости Ламе - Л-1, |1Ь Покрытие цилиндра - неоднородный упругий слой О, имеющий толщину И , плотность р(х,у) и модули упругости Ламе - 1(х,у), х,у), которые в общем случае зависят от координат х и у, изменяющихся в плоскости нормального сечения цилиндра. Область полости обозначена на рисунке О2.

Предполагается, что падающая звуковая волна имеет фиксированную частоту ю. Введем декартову систему координат х, у, 7 так, чтобы

ось 7 была направлена по образующей цилиндра, а начало координат О находилось в геометрическом центре некоторого нормального сечения цилиндра. Направление оси Ох выбрано в направлении распространения падающей волны. Таким образом, потенциал скоростей движения частиц жидкости в падающей волне может быть записан в виде

= ехр[/(к0х - )], (1)

где к0 = ю/ со - волновое число падающей волны; £ - время; модуль Чр

без ограничения общности полагается равным 1.

Так введенная система координат и предположения о направлении распространения падающей волны и характере неоднородности покрытия цилиндра делают задачу двумерной, поскольку, очевидно, что никакие параметры движения не зависят от координаты 7. Геометрия двумерной постановки задачи представлена на рис. 2.

Рис. 2. Двумерная постановка задачи

Здесь представлено сечение 7 = 0 и введены обозначения границ областей: Г - внешняя поверхность цилиндра (покрытия Н), Г - внутренняя поверхность покрытия (внешняя поверхность однородной части цилиндра Н1), Г2 - поверхность полости Н 2. Здесь сечение полости представлено в

виде окружности, однако используемая далее процедура решения мало зависит от формы сечения полости.

В результате дифракции звука порождаются: отраженная акустическая волна в области Но и упругие колебания в шаре. Выбирая параметры зависимостей р(х,у), 1(х,у), т(х,у) для неоднородного

покрытия (с учетом ограничений на эти значения, связанные с возможностями их реализации на практике) требуется обеспечить необходимые характеристики отраженной волны Ч5 вдали от препятствия.

Неизвестные зависимости р, 1, т будем определять на основе постановки и решения прямой задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим цилиндром в рамках линейных моделей движения идеальной жидкости и неоднородной упругой среды [14, 15].

В результате наложения падающего и отраженного акустических полей скорость движения частиц жидкости в ^о будут определяться выражением [14]

Уо = ^о, (2)

где ^о = Чр + Ч.

При этом потенциал Ч5 должен удовлетворять волновому уравнению

1 Э 2Ч

Д^ =

с2 э г2

и условиям излучения на бесконечности [16]

(3)

Г

О

1

ЭЧ

Эг

= О

Г

(4)

^ г у

2 2

где г = д/ х + у - расстояние от начала координат в плоскости хОу.

В однородной части цилиндра ^ можно ввести потенциалы продольных 4*1 и поперечных Ф1 волн так, что вектор смещения и1 здесь будет представляться выражением [15]

и1 = + Ух Ф1. (5)

С учетом двумерности задачи потенциал поперечных волн Ф о может быть записан в виде Ф1 = Ф^ 2, где Ф1 - скалярная функция координат х и у, а е2 - орт координаты 2.

При этом потенциалы Ч и Ф1 должны удовлетворять волновым уравнениям

ДЧ = -1 ^

где С1 =^1 (11 + 2т1)/ р1 , с,

с/ Э г2 >1/ Р1

1 Э 2Ф1 ДФ1 =~2-1

Э г2

(6)

скорости продольных и попереч-

ных волн в среде ^1, соответственно.

Колебания упругой среды во внешнем слое цилиндра описываются общими уравнениями движения упругой среды:

166

1

Г

Эо хх Эо ху Э 2ых Эо ух Эа Э 2иу

(7)

где о у - компоненты тензора напряжений, а их, иу - проекции на оси координат вектора смещений и.

Компоненты тензора напряжений выражаются через компоненты вектора смещения посредством обобщенного закона Гука [15].

Рассматривая установившийся процесс рассеяния звуковой волны упругим шаром следует положить зависимость от времени всех характеристик движения такой же, что и в падающей волне, т. е. ехр(-/ю?). Далее этот множитель будем опускать.

Граничные условия на поверхности Г - границе сопряжения идеальной жидкости и упругого материала покрытия цилиндра - состоят в требованиях равенства нормальных составляющих смещения (скорости), равенства нормальных напряжений и отсутствия касательных напряжений. На поверхности Г предполагается жесткое сцепление частиц упругих сред, поэтому здесь должны выполнятся условия непрерывности кинематических и динамических характеристик колебаний. На поверхности полости Г2 напряжения должны обращаться в ноль. Таким образом, совокупность граничных условий может быть представлена системой

где г - радиус-вектор; Уоп, М1 у, иу - компоненты векторов (2), (5) и

вектора смещений и в покрытии, соответственно; ро =-ро ЭЧо/Э £ -давление звука в жидкости Но ; Ощ, о у - компоненты тензора напряжений в однородной части цилиндра и покрытии, соответственно; индексы п и х обозначают нормальные и касательные составляющие векторов и тензоров.

Таким образом, математическая постановка задачи дифракции гармонической полоской звуковой волны (1) на некруговом упругом цилиндре с неоднородным покрытием и полостью представляется уравнениями (3), (6), (7), граничными условиями (8) и условиями излучения на бесконечности (4).

Неоднородность свойств среды в области Н и произвольность формы границ Г, Г1, Г2 не позволяют в общем случае получить аналитическое решение этой задачи. Будем использовать метод решения задачи дифракции на основе метода конечных элементов (МКЭ) [17], представленный в работах [18, 19].

г е Г: Эип / Э £ = Уоп, Опп =-P0, Опх = о; г е Г1 : Мх = М1х , иу = и1у , Опп = О1пп , ОпХ = О1пХ ;

г е Г2 : о1 пп = о , о1 пх = о ,

(8)

В соответствии с этим подходом выделим в области Од в

окрестности внешней границы цилиндра Г слой жидкости Од так, чтобы

его внешний контур Гд представлял окружность радиуса Яд (рис. 3). Бус __/-\ с

дем считать, что центр этой окружности совпадает с началом О введенной выше системой координат.

Рис. 3. Модификация формы препятствия

Далее будем рассматривать модифицированную постановку задачи дифракции, в которой в качестве рассеивающего звук объекта рассматривается область О' = О'д и О и О и . «Новое» препятствие представляет собой неоднородный цилиндр, внешняя часть которого Од -жидкость с плотностью рд и скоростью звука сд, далее идет слой неоднородного упругого материала О, потом - однородный упругий материал О и, наконец, внутри него - полость О 2.

Пусть звуковые колебания в слое Од описываются потенциалом скорости движения частиц жидкости ¥. Тогда ¥ должен, как и , удовлетворять уравнению вида

1 Э 2¥

ДТ = -2 (9)

Сд Э £

На границе Гд кругового цилиндра О' в качестве граничных условий выступают условия сопряжения двух областей идеальной жидкости с одинаковыми механическими свойствами. Они требуют непрерывности нормальных скоростей и давлений в граничащих жидкостях

168

г, * = ¥>. (10)

Эг Эг

Здесь и далее используются цилиндрические координаты г, ф, 2, связанные с введенной ранее декартовой системой координат.

В области Но для потенциала будем использовать аналитическое решение уравнения (3) в цилиндрической системе координат, которое с учетом условий излучения (4) может быть представлено в виде [16]

X АШНШ (V )ехр(шф).

т=—¥

(11)

где Ат - пока неизвестные постоянные; Нт (х) - функция Ханкеля первого рода порядка т .

В аналогичной форме можно представить и падающую волну (1):

¥р = X 1т^т (ког) ехр(тф):

т=—¥

(12)

где Зт (х) - функция Бесселя первого рода порядка т .

Вводя конечно-элементное разбиение области Н' (рис. 4), будем искать решения уравнений (6), (7), (9) в виде разложений неизвестных функций и1, и, ¥ по координатным функциям сетки конечных элементов:

К К К

и1 = X и1к!к (х, у), и = X ик!к (x, у), ¥= X Ук/к (x, у), (13) к=1 к=1 к=1

где К - число узлов сетки конечных элементов; /к (х, у) - координатная

функция узла к; и^, и к, У к - узловые значения искомых функций.

оо

сю

Рис. 4. Конечно-элементное разбиение области препятствия

169

Заметим, в выражениях (11), (13) требуется определить коэффициенты Ат, и^, и к, у к • Подставляя (11), (12) во второе условие (10) и используя ортогональность функций ехр(тф) на окружности Г0, получим выражения коэффициентов Ат через у к во множестве узлов внешней поверхности О0:

л - 1

Лm

Hm (k0 R0)

- imJm (ko Ro) + К fk ,exp(zmj)) yk keK 0

(14)

где Ko - множество узлов сетки конечных элементов на границе Г0; f ,exp(imj>)) - скалярное произведение координатной функции fk (х, y) и функции exp(imj) на окружности r — Ro •

Подставляя (14) в первое уравнение (10) и привлекая граничные условия (8), получим систему условий, содержащих только функции U1, u, Y и коэффициенты yk • Эти условия на границах Гэ, Г, Г1, Г2 составляют набор краевых условий для МКЭ-модели уравнений (6), (7), (9) с учетом представлений (13). После решения полученной краевой задачи для уравнений движения в области W методом МКЭ определяются узловые значения Ü1k, Uk, Уk функций U1, u, Y • Подставляя значения yk на поверхности Г0 в соотношения (14), найдем коэффициенты в разложении рассеянного звукового поля Y5.

После этого, изменяя параметры материала и вид их неоднородности в слое W и выполняя соответствующие расчеты для получения Am, можно анализировать влияние покрытия на рассеяние звука цилиндром. Характеристики рассеянного поля (11) оценивались по функции формы амплитуды рассеянного поля в дальней зоне (r ® ¥) [16]

2

F(j ; w p, 1 m) — .

sjpk0 R

К (—i)m Am exp(imj)

m ^

Am

m——¥

(15)

где Я характеризует поперечный размер цилиндра, сопоставимый с радиусом некоторого кругового цилиндра, используемого для сравнения.

Здесь в предположении, что геометрические параметры цилиндра и покрытия, материальные свойства содержащей жидкости и однородной части цилиндра, а также направление распространения волны зафиксированы, аргументы функции Я разделены на две группы. В первой группе ф - угол наблюдения, который может изменяться в диапазоне всех возможных значений [0,2р) при каждом эксперименте (решении задачи дифракции), во второй ш, р, 1, т - параметры, которые должны быть зафиксированы к моменту проведения эксперимента.

170

СЮ

Для демонстрации особенностей представленного решения задачи дифракции и возможности подбора параметров неоднородного покрытия для получения требуемых акустических эффектов в отраженном поле был проведен ряд численных экспериментов для эллиптического цилиндра с круговой полостью.

Нормальное сечение поверхности цилиндра Г задавалось уравнением

х

/2

+ У2 = 1, (16) а2 Ь

где а, Ь - полуоси эллипса; х' = х соб(фо) — у Бт(фо), у' = х Бт(фо) + + у соб(фо); фо - угол поворота направления распространения волны относительно полуоси а сечения цилиндра.

Рассматривался случай соотношения полуосей а = 2Ь при условии, что радиус полости а2 = о,5Ь, а ее центр лежит на большей полуоси эллипса (16) и смещен на а2 в направлении распространения волны при фо = о. Толщина покрытия составляла 1о % от величины Ь. На рис. 5 показан пример конечно-элементного разбиения области Н' такого цилиндра.

2

Рис. 5. Разбиение на конечные элементы окрестности эллиптического цилиндра

Предполагалось, что рассеиватель находится в идеальной жидкости с параметрами ро = 1ооо кг/м3, со = 1485 м/с. Материал однородной части цилиндра Н1 имеет плотность р1 = 77оо кг/м3, а модули упругости

171

10 2 10 2 1 = 11.2 • 10 Н/м , т = 8.1 • 10 Н/м . Базовые значения плотности и модулей упругости покрытия Q полагались р* = 2700кг/м ,

1* = 5.3 • 1010 Н/м2, т* = 2.6 • 1010 Н/м2. Частота падающей волны ю была установлена такой, что безразмерная величина к0а = 11.5. При расчете диаграммы направленности рассеянного поля (15) величина характерного размера препятствия задавалась соотношением Я = (а + Ь) / 2.

На рис. 5. показано сопоставление диаграмм направленности рассеянного поля эллиптическим цилиндром без покрытия (т.е., при р = р1, 1 = 1*1, т = И) и с однородным покрытием, материальные параметры которого определяются соотношениями: р = р*, 1 = 1 *, т = т*.

Рис. 5. Диаграмма направленности (14) при ф0 = 0О

Показан случай распространения падающей волны вдоль большей полуоси сечения цилиндра. Сплошной линией на рис. 5 показана диаграмма для цилиндра с покрытием, а штриховой - без покрытия. Вблизи начала координат тонкой пунктирной линией изображено сечение цилиндра.

Как видно, введение покрытия существенно изменяет форму Е (ф). Наличие покрытия заметно уменьшает амплитуду отраженного сигнала в диапазонах углов 90.. .120° и 150.. .210°.

Для сравнения на рис. 6 показан случай распространения падающей волны под углом 20° к большей полуоси сечения цилиндра. Диаграммы становятся существенно несимметричными. Но также наблюдается эффект снижения амплитуды отражения в двух диапазонах углов в «освещенной» области препятствия.

-1

(р = 71/2

Рис. 6. Диаграмма направленности (14) при ф0 = 20О

Рис. 7. Влияние материальных параметров покрытия

На рис. 7 показано влияние изменения параметров материала покрытия. Здесь сплошной линией показана диаграмма направленности рассеянного звукового поля (14) для случая неоднородного покрытия, в котором модули упругости постоянны (1 = 1 *, т = т *), а плотность - переменная с законом изменения вида р = р*(2-8/И), где 8 - расстояние точки внутри покрытия & от внешней поверхности (16). Пунктирной линией показана диаграмма Е(ф) для случая цилиндра с однородным покрытием

(р = р *, 1 = 1 *, т = т *).

Представленные на рис. 7 зависимости показывают, что неоднородная плотность покрытия приводит к тому, что диапазоны углов уменьшения амплитуды отражения изменяются. В окрестности ф=90° этот диапазон сужается до интервала 90.. .110°, а в окрестности ф = 180° - расширяется до 145.215°.

Проведенный анализ показывает, что полученное численно-аналитическое решение задачи позволяет выбирать свойства материала неоднородного покрытия упругого цилиндра с некруговым сечением и полостью для получения требуемых эффектов при рассеянии плоской звуковой волны.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-710083).

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. P. 405-420.

2. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. Вып. 1. С. 58-63.

3. Flax L., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. V. 68. № 6. P. 1832-1835.

4. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.

5. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акустический журнал. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

6. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акустический журнал. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

7. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. №1. С. 134-138.

8. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

9. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

10. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

11. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука // Известия Тульского государственного университета. 2014. Вып. 2. С. 194-202.

12. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.

13. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотра-жающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.

14. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

15. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

16. Скучик Е. Основы акустики, Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.

17. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.

428 с.

18. Скобельцын С. А., Королев А.Н. Метод конечных элементов в задаче о рассеянии плоской упругой волны неоднородным цилиндром // Известия ТулГУ. Сер. «Математика. Механика. Информатика». 2005. Т. 11. Вып. 5. С. 187-200.

19. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия ТулГУ. 2008. Вып. 2. С. 132145.

20. Иванов В.И., Скобельцын С.А. О модели рассеяния звука цилиндрическим телом с полостями на основе метода конечных элементов // Известия Тульского государственного университета. 2012. Вып. 3. С. 6983.

Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

DETERMINA TION OF THE INHOMOGENEOUS COA TING PARAMETERS OF AN ELASTIC CYLINDER WITH A CAVITY TO PROVIDE SPECIFIED SOUND

REFLECTION PROPERTIES

S.A. Skobeltsyn

The problem of determining the density and elastic moduli variation laws of a coating an elastic non-circular cylinder with a cavity is solved. The coating material parameters must provide the required properties of sound reflection. It is assumed that the material parameters of the inner part of the cylinder and the range of changes in the parameters of the coating are known. Required values of the coating material parameters are to be find by analyzing the scattered waves amplitude shape function in the far field for a given range ofpolar angle.

Key words: sound diffraction, harmonic plane wave, elastic non-circular cylinder with cavity, elastic coating, inverse problem.

Skobeltsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, skbl@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University