CC BY
17
УДК 539.3; 534.26
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОКРЫТИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПО РАССЕЯНИЮ ЗВУКА
В ПРИСУТСТВИИ УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
С.А. Скобельцын
Представлено решение обратной задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом цилиндре с эллиптическим сечением. Цилиндр находится в идеальной жидкости, граничащей с упругим полупространством. Считается, что материальные параметры внешнего слоя цилиндра зависят от расстояния от поверхности его однородной части. Решение проводится в предположении малого влияния переотражения звука от упругого полупространства. Получено численно-аналитическое решение задачи определения параметров линейной неоднородности инерционных и упругих характеристик внешнего слоя цилиндра. Решение построено на основе метода конечных элементов. Представлены результаты идентификации параметров линейной неоднородности с использованием имитационного моделирования.
Ключевые слова: дифракция звука, обратная задача, неоднородный упругий эллиптический цилиндр, упругое полупространство, метода конечных элементов, имитационное моделирование.
Многие инженерные методы в области ультразвуковой диагностики и гидроакустики основаны на решениях задач дифракции звуковых волн. Качественную, а иногда и количественную оценку возможности реализации подобных методов можно получить путем решения обратных задач дифракции звука. При решении задач дифракции наряду с формой и свойствами материала основного рассеивающего объекта важно учитывать наличие различных ограничивающих поверхностей.
Решение задач об отражении звука объектами в виде эллиптического цилиндра рассмотрено в ряд работ. В работах [1 - 4] решается задача о рассеянии звука эллиптическим цилиндром с абсолютно жесткой или мягкой поверхностью. В работе [5] рассмотрено рассеяние звука эллиптическим цилиндром со смешанными граничными условиями. Дифракция звука на полых цилиндрах с эллиптическим сечением, заполненных жидкостью, рассмотрена в работах [6 - 8]. Задача о рассеянии звуковых или упругих волн эллиптическим цилиндром из упругого материала решается в [9 - 12]. В некоторых работах, например [12], предложено решение для случая неоднородного материала цилиндра.
В большей части известных решений задач о дифракции звуковых волн на эллиптическом цилиндре предполагается, что поверхность тела идеальна или материал цилиндра является однородным, а процесс наблюдается в неограниченном пространстве. В работе [13] представлено решение задачи о рассеяния звука бесконечным упругим эллиптическим цилиндром с неоднородным внешним слоем. Предполагается, что цилиндр нахо-
дится в идеальной жидкости, граничащей с упругим полупространством. В данной работе на основе решения [13] построена процедура определения параметров неоднородности покрытия цилиндра по измеренному акустическому давлению вблизи него.
Элементы геометрической постановки задачи показаны на рис. 1.
Рис. 1. Геометрия задачи
Символом П обозначена поверхность упругого полупространства □2, которая также является границей области Од, заполненной идеальной жидкостью, имеющей плотность рд и скорость звука сд. Эллиптичекий цилиндр представлен на рисунке нормальным сечением и двумя образующими. Пунктирными линиями показаны соответствующие элементы для внутренней - однородной - части цилиндра О1. Нормальное сечение цилиндра представляет собой эллипс с полуосями а и Ь. Ось ци-
291
линдра и его образующие параллельны плоскости П. Расстояние от оси цилиндра до поверхности упругого полупространства равно й = ОС, где точка О лежит на оси цилиндра, а О является ее проекцией на поверхность упругого полупространства.
Символом О обозначен внешний - неоднородный - слой цилиндра, который имеет постоянную толщину И . При таком введении неоднородного покрытия цилиндра сечение его внутренней поверхности является эллипсом с полуосями а и Ь , а сечение внешней поверхности в общем случае не является эллипсом. Плотность и модули упругости Ламе в слое О представляют собой функции расстояния q точки слоя от его внутренней
поверхности: р^), 1^), Ц^) (0 £ q £ И). Соответствующие материальные параметры в О1 и О2 являются постоянными величинами: р1, 11, т и р2, 12, Ц2, соответственно.
На рис. 1 изображены две декартовы системы координат, которые используются при постановке задачи и решении. Главная система х, у, 2 с началом О введена так, чтобы поверхность упругого полупространства совпадала с координатной поверхностью у = 0, а ось Ог была проекцией
на П оси упругого цилиндра. Вторая система координат Х1, у1, ¿1 с началом в точке О1 связана с цилиндром так, чтобы ось О1 г1 была направлена по оси цилиндра, а координатные линии х1, у1 содержали полуоси эллипса в сечении цилиндра О1 так, что его поверхность Г) описывается каноническим уравнением
х?/ а2 + у 2 / Ь2 = 1.
Угол между ОУ1 и Оу обозначается а .
На цилиндр О и О падает плоская гармоническая звуковая вона, потенциал скорости в которой имеет вид
¥р = ехр[/(ко ■ г - ю?)],
где i - мнимая единица; ^ - время; ю - круговая частота; кд - волновой вектор, направление которого, определяет направление распространения волны, а длина |к 0 = ^ = ю / сд - волновое число. Без ограничения общно-
= 1. Направление вектора к д задается полярным
углом 0д и азимутальным - фд .
Будем считать, что кд, геометрические характеристики a, Ь , и , й, а также материальные параметры сред Од, ^2. Предположим, что средние по толщине значения материальных параметров неоднородного покрытия О совпадают с соответствующими значениями параметров однородной части цилиндра - Р1, 11, Ц^. Также будем считать, что вид
292
сти полагается, что
¥
функциональных зависимостей р(д), , ц(д) также задан, но неизвестны некоторые числовые параметры £ этих зависимостей. Требуется определить параметры £ по известному рассеянному полю звука .
В общем случае однозначно получить параметры £ по известному полю не представляется возможным [14] Чтобы определить параметры зависимостей р(д), 1(#), ц(д) будем использовать решение прямой задачи о рассеянии плоской звуковой волны, которое позволяет единственным образом найти при известных £. Такой подход использовался в работах [15-18].
Порядок решения прямой задачи изложен в [13]. Отметим, что решение уравнений движения в области О аналитически при сделанных предположениях об условиях задачи нельзя потому, что зависимости р(д), 1(д), ц(д) являются достаточно произвольными функциями координат х, у (или х1, л), а внешняя поверхность цилиндра Г в общем случае не является координатной поверхностью ортогональной системы координат. Поэтому численно-аналитическое решение строится на основе метода конечных элементов [19].
По решению, представленному в [13], при полностью известных параметрах задачи, в числе £, можем определить рассеянное поле .
Пусть при неизвестных материальных параметрах £ для их идентификации проводится серия т экспериментов по определению давления
Р = 1<аро(?р + (1)
в рассеянной волне в К точках Уц, У2, ..., Ук нормального сечения в окрестности цилиндра (точках наблюдения) для различных частот ю . Действительные значения параметров £ для материала исследуемого покры-тияя обозначим £ *, а измеренные значения давления - Qj (] = 1,2,...,М -
порядковый номер замера давления М = т х К), Qj объединим в вектор
О. В общем случае можно считать, что при проведении экспериментов по определению Qj возможна погрешность - п. Погрешность может быть
связана с неточным заданием величин ю, координат точек наблюдения, погрешностями измерения Qj.
Решая теоретически задачу об отражении звука упругим слоем в соответствии с [13] для тех частот, при которых выполнялись измерения, для некоторого набора параметров £, построим вектор Р , составленный из расчетных значений давления Pj (j = 1,2,..., М) в точках Уц, У2, ...,
Ук.
Для характеристики степени отличия действительного набора параметров £ * и использованного при расчетах £ будем использовать функцию
„2 м /
8(£) = ||Р - 0||2 = I р - )2. (2)
;=1
Очевидно, что в отсутствии погрешностей при проведении экспериментов по определению Qj в том случае, когда при расчетах используются £ = £ *, функция (2) должна обращаться в 0. Следовательно, задачу поиска параметров неоднородного слоя £ * можно сформулировать как задачу
Ч£)|£еВ/ ® т^ (3)
где Б у определяет диапазон изменения параметров и некоторыми дополнительными ограничениями, например, шагом изменения при поиске. Задача минимизации (3) является нелинейной задачей оптимизации функции многих переменных.
На рис. 2. показан вариант размещения точек измерения.
V .....-•-•"¿V "V
ч V /
\ ' N ✓
^ / Ч /
4 ч \ у
" .к''
п
о
Рис. 2.1-й вариант размещения точек наблюдения
294
Предполагается, что точки У[, У2, Vк размещаются равномерно на окружности радиуса Я с центром в точке С. Если ввести шаг по углу при размещении точек на окружности Дф = 2р / К, то координаты точки Ук будут определяться так:
х^ = Я соб((Ь -1) Дф), уь = й + Я зт((к -1) Дф).
Второй вариант размещения точек измерения давления - на прямолинейном отрезке параллельном оси Су (отрезку СС\) показан на рис. 3.
XVI
П
О
Рис. 3. 2-й вариант размещения точек наблюдения
В этом случае прямолинейный отрезок с точками У[, У2, ..., Ук отстоит от оси цилиндра на расстояние Я; К нечетно; а координата уь
к = 1, К точки У к определяется по формуле уь = й + к -1 - (К -1)/2), где ^ - расстояние между соседними точками. Понятно, что при этом хь = Я.
Представленный алгоритм определения параметров неоднородности материала неоднородного слоя цилиндра был исследован при численном моделировании.
При расчетах использовались следующие свойства идеальной жид-
3
кости в По : Р0 = 1000кг/м , с0 = 1485 м/с. Упругая среда однородной части цилиндра и упругого полупространства П 2 задавалась свойствами
295
Р2 = Р1 = 2700кг/м3, 12 =11 = 5.3 1010 Н/м2, |12 =т1 = 2.6 1010 Н/м2. Базовые характеристики материала неоднородного слоя выбраны такими же, что и в однородной части цилиндра.
Рассматривались варианты неоднородности слоя, когда плотность и модули упругости меняются по линейному закону:
а) Мя) = 1; б) Мд) = 1.5 - д/и; в) /2(д) = 0.5 + д/и. (4)
Случай а) соответствует постоянному значению X параметра во всем слое. В случае б) величина параметра линейно убывает от величины 1.5£ на внутренней поверхности неоднородного слоя до значения 0.5£, на внешней поверхности. Функция /-¿(д) задает вариант линейного возрастания плотности от 0.5Х до 1.5Х.
Таким образом, свойства среды в области О имеют вид: р = (д)р1, 1 = ^ (д)11, т = ^ (д)т1, где I и j принимают значение 0, 1 или 2 в зависимости от того, по какому закону из (4) меняется параметр по толщине слоя. Заметим, у функций 1(д), т(д) индекс j одинаков, что соответствует предположению, что в материале слоя коэффициент Пуассона постоянен, а может изменяться только модуль Юнга.
Были использованы следующие параметры геометрии задачи: Ь/а = 0.5, И/а = 0.25, с/а = 30, а= 20°. Приведенный волновой размер сечения цилиндра был задан 7.5. Предполагается, что волна распространяется в направлении 00 = 90°, ф0 = -10°.
Для анализа акустического давления на контурах наблюдения в ближнем поле использовалась приведенная амплитуда давления
р^црир , р =1 Цр^!, (5)
ьь
где Ь - контур наблюдения (окружность - в варианте 1, отрезок - в варианте 2).
На рис. 4 показано распределение Р' для случая кругового контура наблюдения. Точки контура наблюдения отстоят от оси цилиндра на расстояние 2 а. Сплошной линией представлена зависимость для случая неоднородности материала ^ (д) = Л(д), ^(д) = У0(д), т. е. в слое меняется
только плотность по закону 1.5 - д / И. Штриховой линией показано распределение Р' для случая однородного цилиндра, т. е. полагается и
¡г (д) = ¡0 (д), и fj (д) = /0 (д).
Маркерами вида " х" отмечены значения р\ которые могли бы быть измерены в точках У1, , ..., У^. В этом случае шаг размещения точек по углу равен 20°.
(р = тг/2
Рис. 4. Распределение давления р' при Я=2а
Рис. 5. Распределение давления р' при Я=2а, К=14, Б=4а/К
297
Пунктирной линией в области начала координат схематично показано сечение цилиндра. Пунктирная окружность радиуса 1 показывает возможное место положения значений Р при одинаковой амплитуде давления на всем контуре.
На рис. 5 для тех же 2 типов неоднородности покрытия цилиндра представлено распределение приведенного давления на прямолинейном контуре наблюдения, отстоящем от оси цилиндра также на 2а. Общая длина контура наблюдения составляет величину 4 а. Маркерами отмечены теоретические значения Р в точках измерения VI, V2, ..., ^5. Расстояние между точками V при этом составляет величину а /3.75.
Заметное несовпадение штриховой и сплошной линий показывает влияние неоднородности упругого слоя на рассеяние звука цилиндром. Это различие и предполагается идентифицировать решением задачи (3).
Результаты ее решения в предположении наличия ошибок измерения представлены в табл. 1 - 4.
Таблица 1
Частоты идентификации типа неоднородности при круговом размещении точек измерения (Я=4.0, К=18, о = 0.02)
Код 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 0.999 - 0.001 - - - - - -
01 - 1.0 - - - - - - -
02 - - 1.0 - - - - - -
10 - - - 0.828 0.170 0.002 - - -
11 - - - 0.169 0.828 0.003 - - -
12 - - - 0.002 0.002 0.995 - - -
20 - - - - - - 0.992 0.008 -
21 - - - - - - 0.007 0.993 -
22 - - - - - - - - 1.0
В заголовках строк и столбцов указан код "у", определяющий сочетание вида зависимости от q плотности и модулей упругости в слое. В ячейках внутренней части таблиц указана относительная частота. Код строки "у*" представляет действительный тип зависимостей параметров. А код столбца "у°" обозначает тип неоднородности, найденный при решении задачи (3) в результате моделирования процесса измерения давления. Отсутствие значения в клетке означает, что соответствующая частота с точностью до 0,001 равна нулю.
Для моделирования измерений используются общие принципы имитационного моделирования [20]. Вместо реально измеренных величин Qj берутся расчетные значения с добавлением случайной составляющей,
представляющей ошибки измерения, возможные в реальных условиях. В данном случае формировалось т = 100000 измерений в каждой точке контура наблюдения. При этом полагалось
&= рк+Ч,
где р - расчетное значение; ек - псевдослучайная величина [20], распределенная по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением о.
Значение 0,828 в клетке ("10*", "10°") означает, что в проведенной серии из 100000 экспериментов только приблизительно в 82800 случаях неоднородное покрытие с р = /1(д)р1, 1 = /о(д)1ь т = /о(^)т1 Ш=10) было идентифицировано правильно, а в остальных случаях процедура (3) «признала» его другим. Из табл. 1 видно, что часто (около 17000 раз) из-за погрешностей измерений этот тип неоднородности распознавался как 11. В остальных случаях (около 2000 раз) он был идентифицирован как 12.
Таблица 2
Частоты идентификации типа неоднородности при круговом
размещении точек измерения (Я=4.0, К=36, о = 0.02) _
код 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 1.0 - - - - - - - -
01 - 1.0 - - - - - - -
02 - - 1.0 - - - - - -
10 - - - 0.898 0.102 - - - -
11 - - - 0.104 0.896 - - - -
12 - - - - - 1.0 - - -
20 - - - - - - 1.0 - -
21 - - - - - - - 1.0 -
22 - - - - - - - - 1.0
Таблица 3
Частоты идентификации типа неоднородности при линейном размещении точек измерения^ (Я=4.0, К=15, ^=4и/К, о = 0.02)_
Код 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 0.971 - 0.029 - - - - - -
01 - 1.0 - - - - - - -
02 0.029 - 0.971 - - - - - -
10 - - - 0.720 0.236 0.043 - - -
11 - - - 0.234 0.720 0.046 - - -
12 - - - 0.033 0.040 0.927 - - -
20 - - - - - - 0.985 0.006 0.009
21 - - - - - - 0.006 0.994 -
22 - - - - - - 0.009 - 0.991
Заметим, что в случае отсутствия ошибок измерения (о =0) ненулевые значения есть только в диагональных клетках и они равны 1.
Результаты аналогичных расчетов при К = 36 представлены в табл. 2. Видно, что удвоение числа точек измерения несколько улучшает результативность процедуры (3). Однако неоднородность типа у=10 неправильно распознается в 10% случаев.
В табл. 3 - 4 представлены результаты решения задачи идентификации неоднородности для второго варианта размещения точек измерения. В этом варианте и при 15 точках измерения (табл. 3) и при 21 точке (табл. 4) без ошибок идентифицируется только один тип неоднородности - 01. Другие типы неоднородности определяются правильно с вероятностью от 0,996 до 0.720.
Таблица 4
Частоты идентификации типа неоднородности при линейном
размещении точек измерения^ (R=4.0, K=21, s=4a/K, s = 0.02)
код 00 01 02 10 11 12 20 21 22
00 0.985 - 0.015 - - - - - -
01 - 1.0 - - - - - - -
02 0.014 - 0.986 - - - - - -
10 - - - 0.797 0.179 0.023 - - -
11 - - - 0.180 0.790 0.030 - - -
12 - - - 0.020 0.025 0.954 - - -
20 - - - - - - 0.996 0.001 0.003
21 - - - - - - 0.002 0.998 -
22 - - - - - - 0.003 - 0.997
Таким образом, представленные результаты показывают, что размещение точек измерения вокруг цилиндра имеет определенные преимущества по сравнению с линейным расположением датчиков. Предложенный алгоритм может быть использован при идентификации параметров задачи по рассеянному звуковому полю.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-710083).
Список литературы
1. Barakat R. Diffraction of plane waves by an elliptic cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. N. 12. P. 1990-1996.
2. Лейко А.Г., Омельченко А.В. Дифракция плоской звуковой волны на акустически жестких эллиптических цилиндрах // Акустический журнал. 1976. Т. 22. № 1. С. 171-173.
300
3. Lauchle G.C., Kim K. Acoustic Intensity Scattered from an Elliptic Cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 2001. V. 109. N. 5. P. 2342-2342.
4. Андронов И.В. Дифракция на эллиптическом цилиндре с сильно вытянутым сечением // Акустический журнал. 2014. Т. 60. № 3. С. 219-226.
5. Андебура В.А. Силецкий С.М. Рассеяние звука эллиптическим цилиндром со смешанными граничными условиями // Акустический журнал. 1973. Т. 19. № 6. С. 897-901.
6. Goel G.C. Jain D.L. Scattering of plane waves by a penetrable elliptic cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1981. V. 69. N. 2. P. 371-379.
7. Hong K., Kim K. Natural mode analysis of hollow and annular elliptical cylindrical cavities // J. Sound and Vibration. 1995. V. 183. N. 2. P. 327-351.
8. Hasheminejad S.M., Sanaei R. Acoustic Scattering by an Elliptic Cylindrical Absorber // Acta Acustica united with Acustica. 2007. V. 93. N. 5. P. 789-803.
9. Pillai T.A., Varadan V.V., Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V. 72. N. 4. P. 1032-1037.
10. Leon F., Chati F., Conoir J.-M. Modal theory applied to the acoustic scattering by elastic cylinders of arbitrary cross section // J. Acoust. Soc. Am. 2004. V. 116. N. 2. P. 686-692.
11. Seyyed M.H., Sanaei R. Acoustic radiation force and torque on a solid elliptic cylinder // J. Comp. Acoust. 2007. V. 5. N. 3. P. 377-399.
12. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 126-136.
13. Скобельцын С. А., Пешков Н.Ю. Рассеяние звука неоднородным упругим эллиптическим цилиндром в акустическом полупространстве // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 7. С. 183-200.
14. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. 152 с.
15. Скобельцын С.А., Иванов В.И., Моделирование задачи идентификации положения полости в упругом препятствии по рассеянному звуковому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 74-86.
16. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.
17. Скобельцын С. А. Идентификация плотности материала упругого цилиндра по рассеянному акустическому полю // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 158169.
18. Толоконников Л.А., Ларин Н.В., Скобельцын С.А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотра-жающими свойствами // Прикл. мех. и техн. физика. 2017. № 4. С. 189-199.
19. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.
428 с.
20. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. СПб.: Издательская группа «BHV», 2004. 847 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
DETERMINATION OF THE INHOMOGENEITY THE ELLIPTIC CYLINDER COVERING BY THE SO UND SCA TTERING IN THE PRESENCE OF ELASTIC SEMI-SPA CE
S.A. Skobel'tsyn
The solution of the inverse problem of plane sound wave diffraction on an inhomo-geneous elastic cylinder with an elliptical cross section is presented. The cylinder is in an ideal fluid bordering the elastic semi-space. It is believed that the material parameters of the outer layer of the cylinder depend on the distance from the surface of its homogeneous part. The solution is carried out under the assumption of a small effect of the reflection of sound from an elastic half-space. A numerical-analytical solution is obtained for the problem of determining the parameters of the linear inhomogeneity of the inertial and elastic characteristics of the outer layer of the cylinder. The solution is based on the finite element method (FEM). The results of identification of the parameters of linear inhomogeneity using simulation are presented.
Key words: sound diffraction, inverse problem, inhomogeneous elastic elliptical cylinder, elastic semi-space, finite element method, simulation modeling.
Skobel'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skbl@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
