CC BY
6нарушений вестибулярной и глазодвигательной систем у испытуемых. Коэффициент может быть использован для оценки экспериментальных записей нистагма.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01-00216.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Burr D.C., Ross J. Contrast sensitivity at high velocities // Vision Res. 1982. 28. 479-484.
2. Лисогор М.М., Черкасов Ю.П. Кинопроекционная техника и учебная демонстрация кинофильмов: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1987.
Поступила в редакцию 20.07.2007
УДК 539.371
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ УПРАВЛЯЕМЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ БЕЗ СИЛ ТРЕНИЯ С ПОЗИЦИОННОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
А. Е. Орданович, Резаей Асл Аббас
При исследовании движения управляемых механических систем часто не учитываются силы трения. Если при этом имеются лишь позиционные обратные связи, то уравнения движения таких систем содержат только четные производные по времени. Легко убедиться, что классические способы исследования устойчивости (например, критерий Рауса-Гурвица или D-разбиение [1, 2]) для таких систем непригодны. Конструктивные аналитические способы решения этой проблемы нам неизвестны. В работе предлагается возможный способ исследования устойчивости для систем шестого порядка.
Указанная проблема возникла, в частности, при исследовании устойчивости движения комбайна с управляемым положением хедера [3]. После некоторых упрощений и приведения к безразмерной форме эти уравнения принимают вид
АХ" + СХ = 0,
где
A =
(1 + ß) ß ßßi ß (j + ß) ßßi ßßl ßßi ß
i + ßi2)
C =
2 A 0
A d2 + al a2 0 —al —a2
(1)
Здесь ], в, Д и й — безразмерные параметры устройства, а а\ и Характеристическая матрица системы (1) имеет вид
параметры системы управления.
F (q) =
(1+ ß)q2 + 2 ßq2 + A
ßßiq2
ßq2 + A (j + ß)q2 + d2 + ai ßßi q2 + a2
ßßiq
ßßiq2 - ai ß(i + ß2)q2 - a2_
Детерминант ёе!^(д) = Ф(д2,01,02) является полиномом шестого порядка и содержит только четные степени параметра д. Интерес представляет исследование устойчивости системы в зависимости от параметров управления а\ и 02.
Известно, что если полином Ф(д2, а\, «2) с действительными коэффициентами устойчив, то все корни полинома являются чисто мнимыми. Если перейти для простоты к переменной Л = д2, то, чтобы полином Ф(д2,01,02) был устойчив, корни полинома Ф(Л, 04,0:2) должны быть отрицательными. При этом Л = 0 соответствует неустойчивому решению, так как является кратным корнем полинома Ф(д2,01,02). Задача определения границ устойчивости состоит, таким образом, в том, чтобы определить параметры управления 01 и 02, при которых корни Л полинома Ф(Л, 01,02) являются строго отрицательными.
Для этой цели рассмотрим изменение значения корней полинома Ф(д2,01,02) при непрерывном изменении параметров 01 и 02. Существуют две возможности для перехода системы из устойчивого (все корни полинома Ф(д2,01,02) отрицательны) состояния в неустойчивое.
Первая возможность состоит в том, что меняет знак на положительный только один из трех корней полинома Ф(А, 0:1,0:2) (например, А1). Поскольку в этом случае два других корня остаются отрицательными, то в соответствии с теоремой Виета (Ф(0,а1,02) = — А1А2А3) это возможно только тогда, когда при изменении параметров 01, 02 меняется знак с положительного на отрицательный у свободного члена полинома Ф(А, 01,02). Таким образом, одна из границ области устойчивости может быть найдена из соотношения Ф(0,О1,02) = 0.
Вторая возможность состоит в том, что при изменении параметров 01, 02 один корень остается отрицательным, а два других корня (например, А2 и А3) образуют кратный корень А2з.
Для анализа поведения корней А2 и Аз вблизи кратного корня рассмотрим вначале случай, когда изменяется только один параметр, например 01, а параметр 02 остается фиксированным. В этом случае полином Ф(А,а1 ,а2) имеет вид Ф(А,а1) = Фо(А) + а1 Ф1(А).
Пусть при значении а1 = а\ образуется двукратный корень А2з. Можно показать, что малые изменения корней 5А вблизи двукратного корня А2з при малом изменении параметра 8а1 могут быть найдены
Ф (А* )
из уравнения 8А2 = —8а\М, где N = --,-—-г--действительное число. Здесь А^о*) — соответ-
Фоо (А*з — А1(а*))
ствующее значение корня А1, а Фоо — значение старшего коэффициента в полиноме Фо (А). Если корень А2з является изолированным (т.е. А*з = А1(а*)), то это уравнение имеет решение. В зависимости от знака N при смене знака ¿01 решения 8X23 = которые ранее находились на действительной оси, переходят в два комплексно-сопряженных: ¿А23 = ±-1Л/\8щЖ\ (г — мнимая единица). Таким образом, при переходе параметра а1 через свое критическое значение а* корни перестают быть отрицательными, т.е. нарушается условие устойчивости. Случай Ф1(А2з) = 0 требует особого рассмотрения.
Как известно, необходимыми и достаточными условиями наличия у полинома Ф(А, а1) изолированного двукратного корня являются соотношения
Ф(А,а1) = 0
(1Ф{\, а\)
Ж
= Ф'(А,а1) = 0,
(2)
которые можно записать в виде Фо(А) + а1Ф1(А) =0 и Фо(А) + а1 Ф1(А) = 0.
Решения этих уравнений можно найти аналитически, последовательно исключая старшие степени числа А из этих уравнений, или численно, задавая значение А. Условием возможности такого решения являются требования Ф1(А*з) =0 и Ф1(А*з) = 0. Система уравнений (2) определяет, таким образом, вторую границу области устойчивости.
Перейдем теперь от примера к общему случаю. Сформулированные выше условия могут быть использованы для определения границы области устойчивости в пространстве параметров а1 и а2. Действительно, условия строгой отрицательности корней полинома Ф(А) (образование кратных отрицательных корней и/или изменение знака корня на положительный) не зависят от количества параметров.
Таким образом, общий подход (для полиномов шестого порядка с четными степенями) к определению границы области устойчивости в пространстве параметров можно сформулировать в следующем виде.
Пусть характеристический полином третьего порядка Ф(А, а1,а2) (А = q2) имеет вид
Ф(А, а1 ,а2) = Фо(А) + а1 Ф1(А) + а2 Ф2(А).
Для поиска нетривиальной границы области устойчивости используем условия существования двукратного корня. Получим
Фо(А) + а1 Ф1(А) + а2Ф2(А) = 0, Фо (А) + а1Ф'1(А) + а2 Ф'2(А) = 0.
Решение системы определяет параметры а1(А) и а2 (А) для конкретного значения А. Будем изменять значения А в пределах — то < А < 0. В этом случае, если детерминант этой системы Ф1(А)Ф2(А) — Ф2(А)Ф;(А) не равен нулю, можно получить параметрическое описание одной из границ области устойчивости А(А) = {а1 (А),а2(А)}, каждая точка которой соответствует отрицательному двукратному корню полинома Ф(А, а1,а2).
Вторая граница области устойчивости определяется из условия равенства нулю свободного члена полинома: Ф(0, а1, а2) = 0.
и
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №4
67
Это условие соответствует возможности смены знака одного корня, если два других не равны нулю. Соответствующая граница задается уравнением Фо(0) + 01Ф 1(0) + 02Ф2(0) =0 и представляет прямую в пространстве параметров 01 и 02.
Некоторые особые случаи, в частности возможность образования трехкратных корней, случаи нарушения условий разрешимости некоторых соотношений, за недостатком места в данной работе не обсуждаются.
Для конкретного примера, приведенного в начале работы, предложенная процедура была проделана. Ее результаты показаны на рисунке (серым цветом обозначена область устойчивости). Заметим, что точка А на рисунке соответствует двукратному нулевому корню (0 = Л2 = Л3), а точка В — трехкратному корню Л*** = Л1 = Л2 = Л3.
В принципе возможно обобщение предложенного способа на системы более высокого порядка, однако технические трудности с увеличением порядка системы растут очень быстро.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
2. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.
3. Резаей Асл Аббас, Орданович А.Е. Способы уменьшения колебаний комбайна при движении: Отчет Института механики МГУ № 4834. М., 2006.
Поступила в редакцию 12.11.2007
