ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ, СООРУЖАЕМЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ УКРЕПИТЕЛЬНОЙ ЦЕМЕНТАЦИИ ВБЛИЗИ СКЛОНА Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 624.19.03

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ОБДЕЛОК ТОННЕЛЕЙ, СООРУЖАЕМЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ

УКРЕПИТЕЛЬНОЙ ЦЕМЕНТАЦИИ ВБЛИЗИ СКЛОНА

С.В. Анциферов, А.А. Феклин, М. А. Кудрявцев, А.В. Фомин

На основе предложенной математической модели взаимодействия обделок параллельных тоннелей, сооруженных вблизи склона, с окружающим массивом грунта, разработан аналитический метод определения напряженного состояния элементов геомеханической системы "массив грунта с наклонной поверхностью - зоны укрепленного грунта - обделки тоннелей". Выполнена постановка плоской задачи теории упругости, решение которой получено с использованием математического аппарата теории функций комплексного переменного. Полученные результаты реализованы в виде алгоритмов расчета и компьютерной программы, позволяющих выполнять многовариантные расчеты при проектировании подземных сооружений и в научно-исследовательских целях. Приводятся результаты расчета.

Ключевые слова: массив грунта, склон, предварительное укрепление, тоннель, обделка, собственный вес грунта, напряжения, расчет.

При сооружении тоннелей закрытым способом в слабых грунтах используются специальные способы строительства, в том числе предварительное укрепление грунта. Проектирование комплексов тоннелей, трассы которых расположены в непосредственной близости от земной поверхности, требует учета влияния на напряженно-деформированное состояние обделок и массива грунта рельефа местности, наличия зон грунта, подверженного укреплению, а также взаимного расположения выработок.

В работах [1, 2] приведены методики оценки устойчивости склонов, в основу которых положены теоретические положения механики грунтов. Эти методики, основанные на приближенных инженерных подходах, принципиально не позволяют учесть наличие в массиве грунта подземного сооружения.

Изучение процессов формирования напряженно-деформированного состояния массива грунта в склоне, в котором пройдены выработки, возможен методами физического моделирования или численными методами с использованием специализированных программ. В публикациях [3 -5] представлены результаты моделирования методами эквивалентных материалов и конечных элементов (МКЭ) напряженно-деформированного состояния склона с одной или двумя параллельными неподкрепленными выработками, позволяющие определить области неупругих деформаций в массиве грунта вокруг выработок.

В работе [6] опубликованы результаты численного моделирования на основе методов оптимизации напряженного состояния склона для случая, когда продольная ось выработки расположена параллельно плоскости склона. Определялась величина минимального равномерного внутреннего давления, приложенного к контуру отверстия, моделирующего сечение выработки, обеспечивающего ее устойчивость при действии гравитационных сил. Это давление использовано в качестве расчетного при определении напряженного состояния обделки тоннеля, моделируемой кольцом.

В Тульском государственном университете разработан ряд аналитических методов, позволяющих выполнять расчеты обделок как одиночных, так и комплексов близко расположенных параллельных тоннелей [7, 8], сооружаемых, в том числе с применением предварительного инъекционного укрепления грунта [9], при действии статических нагрузок - собственного веса грунта, веса объектов на поверхности, а также внутреннего напора для гидротехнических сооружений. В работах [10 - 13] приведены методы расчета монолитных обделок параллельных тоннелей с учетом наличия наклонной земной поверхности.

Ниже приведена математическая модель формирования напряженного состояния массива грунта и обделок тоннелей, сооруженных с применением предварительного укрепления грунта вблизи склона [14].

Принятая при постановке плоской задачи теории упругости расчетная схема приведена на рис. 1. Она позволяет учесть основные факторы, существенно влияющие на напряженное состояние обделок протяженных параллельных тоннелей и массива грунта: преобладающий угол наклона земной поверхности к горизонту; количество, взаимное расположение и размеры поперечных сечений тоннелей; деформационные характеристики материалов обделок, массива грунта в естественном и укрепленном состояниях; поперечные размеры зон укрепленного грунта и обделок.

В расчетной схеме линейно деформируемая весомая полубесконечная среда £0 ограничена прямой линией , расположенной под углом Р к горизонтали, моделирует наклонную земную поверхность. Среда ослаблена конечным числом N произвольно расположенных круговых отверстий с контурами Ь1т радиусами Я1т (т = , моделирующих сечения вы-

работок.

Центры отверстий расположены в точках с координатами (хт;Ут) (т = 1,...^) в прямоугольной системе координат х Оу, начало которой совмещено с центром первого отверстия, ось Ох является горизонтальной. Оси Ох, Оу наклонной системы координат хОу образуют угол Р с соответствующими осями системы х Оу .

Материал среды характеризуется удельным весом у, коэффициентом бокового давления X и деформационными характеристиками - модулем деформации Е0 и коэффициентом Пуассона у0 .

Концентрические шайбы 81т с наружными радиусами т (т = 1,...,Щ вокруг отверстий моделируют зону грунта, подверженного предварительному укреплению. Материалы шайб имеют различные в общем случае деформационные характеристики Е1>ш и .

Возможными изменениями удельного веса и коэффициента бокового давления в грунте в результате упрочнения пренебрегаем - их значения принимаются совпадающими с соответствующими величинами для грунта в естественном состоянии.

Отверстия подкреплены концентрическими кольцами £2т с внутренними контурами Х2т радиусами Я2и (т = 1,...,Ы), моделирующими сечения обделок тоннелей. Материалы колец £2т обладают деформационными характеристиками т, \2т (т = 1,...,Ы). Весом обделок тоннелей

по сравнению с весом вмещающего массива грунта пренебрегаем.

В среде и в шайбах ^ т заданы поля начальных напряжений, отвечающих за действие гравитационных сил - собственного веса грунта. Соответствующие компоненты этих полей с(0)(0), с((0)(0), т(0)(0) в среде и

с(1,т)(0), с(1т)(0), т£")(0) в шайбах 51>т (т = 1,...,Ы) в системе координат хОу определяются соотношениями

сГ) =сХ1т)(0) =-Ху(Н — у)ссвР;

суо)(о =сут х°) =-у(н - у)осв Р; (1)

тГ =тГ)(0) = —у(Н - у)БШ Р. Тогда, следуя [15], полные напряжения с(0)*, с(0)*, т^* в среде и полные напряжения с(1т)*, с(1,т)*, т(1,т)* в шайбах (т = 1,...,Ы) пред-

ставляются в виде сумм

с(0)* = с(0) I с(0)(0) . с(1,т)* = с(1,т) , с(1,т)(0) .

х х х ? х х х '

с(0)* = с^0) + с(0)(0); с(1т Т = с(1т) + с ^ )(0); (2)

т(0)* = т(0) + т(0)(0) ; т(1,т)* = т(1,т) + т(1,т)(0)

ху ху ху ' ху ху ху '

где с(х0), с(0), т(0); с(1т), с(1т), т(1'т) - искомые дополнительные напряжения в среде £0 и в областях £1т (т = 1,...,Ы) в наклонной прямоугольной системе координат хОу соответственно.

Начальные напряжения в кольцах £2и (т = 1,...,Ы) полагаются равными нулю, т.е. в кольцах £2т (т = 1,...,Ы) искомые дополнительные

напряжения являются полными. Смещения во всех областях рассматриваются только дополнительные.

На линиях контакта областей с различными деформационными характеристиками выполняются условия непрерывности векторов полных напряжений и смещений. Наклонная граница полуплоскости свободна от действия внешних сил; на внутренних контурах Ь2т колец 82т (т = 1,...,Ы) внешние нагрузки отсутствуют.

Исходя из этого, граничные условия плоской задачи теории упругости формулируются следующим образом: - на прямолинейной границе

с(0)* = 0, т( 0)* = 0, (3)

у ? ху ? V /

на контурах т (т — 1,...,Ы)

а

(1,т )*__(0)* (1,т )*_ (0)* (1,т) (0) (1,т)_ (0)

— ° г , Х гв — Х гв , М — М , У — У

(4)

на контурах ЬХт (т — 1,...,Ы)

а

(2,т)* _ (1,т)* (2,т)* _ _(1,т)* (2,т) _ (1,т) (2,т) _ (1,т)

а

"гв

хо,т)*, и(2,т) — ии,т), — ^1>т), (5)

на контурах т (т — 1,...,N)

а(2,тг — 0 , т(2'т)* — 0

Г ' гв

(6)

В условиях (4) - (6) а(/,т , х (/,т

(/ ,т) (/,т)

^ ■ полные радиальные и касательные напряжения; и( ""), V''т) - дополнительные радиальные и окружные смещения в точках областей (/ — 0,1,2; т — 1,...,Ы) в полярных системах координат с полюсами в точках ^ (т — 1,..., N).

Решение задачи получено с использованием математического аппарата теории функций комплексного переменного (ТФКП) на основе использования потенциалов Колосова - Мусхелишвили, связанных с напряжениями и деформациями известными соотношениями [16].

В рассмотрение вводятся комплексные потенциалы, характеризующие напряженно-деформированное состояние соответствующих областей: ФсХ*), ¥„(*) в области 5; ~~1,т(*), ¥1,«(*) (т — 1,...,Ы) в шайбах ;

Ф2,т (, ¥2,т (*) (т — 1,..., Ы) в ГОЛЬцГС 52,т (т — 1,..., Ы) .

Граничные условия краевой задачи ТФКП имеют вид [9]: - на прямолинейной границе

Ф0 (О+к Ф0 (0+у<>(0 — 0;

(7)

на контурах Ь0т (т — 1,...,Ы)

Ф\,т (¿0,т ) + Ф\,т (¿0,т ) + (¿0,т )

= Ф<>(Ч,т) + * 0,А(кш) + и,тУ>

\,тт\ т\ 0,т / 0,тт\ т (Ч ,т)-{РГ\,т(1Ъ,т) =

А,.

(8)

А

® Д (Ч,т )-ЧМЧ,т)~Ч'ъ( кш )

г

г

<

на контурах Цт (т = 1,...,Л)

Фг.т (Ч,т ) Ч,т Фг.т (Ч,т )

Ф\,т (Ч,т 1 ,тФ\,т (Ч,т ) У\,т (Ч,т ) /т (Ч,т )'

2,т Фг ,т V I ,т / I ,т Фг ,т V I ,т

1,тг1,т\ I ,т / 1,т г1,и * I ,т )~¥х ,т(Ч,т)

(9)

на контурах Ь2т (т = 1,...,Л)

ф2, т (кт ) + ктф2, т (кт ) + ¥2,т (кт ) = 0 • (10)

В уравнениях (7) - (10) приняты следующие обозначения для аффиксов точек контуров: ^ = х +1Н на контуре 10; = + Дие9 = Дта (I = 0,1,2; т = 1,...,Л), где а = ег'9 - аффикс точки окружности единичного радиуса. Используемые в условиях (7) - (10) константы определяются со-

отношениями

«0 = 3 - 4"0 , Ц

Е

2(1 + v 0)

; аз, = 3 — 4", , ц =

' I, т ¡,т ' ^¡,т

Е,

2(1 + " ¡,т )

(I = 1,2), (11)

9 - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Для функций /т (г), обусловленных наличием действующих на контурах Ь1т главных векторов внешних усилий

уЯ2,

Кт = , т = 1,...,Л,

(12)

получены следующие соотношения:

/ С, ) =

^ т V 1,т /

уЯ 2

< 1,т

4

. 1 — X

г--

2

СОБ Р + БШ Р

а-2 +■

4 Н

Я

1,т V

1 — X 2

СОБ Р — г БШ Р

а-1 +

4 Н 1+ Х 1+ Х п 2 „ ,В1 +-т-собр-а + г--собр-а2 — 2ге гр 1па

. . •(13)

Я 2 2

1,т

Потенциалы ф0(г), \\0(г) с учетом неинвариантности функции ¥0( г), представляются в виде [9]

~ М ~ ~ N Г -"I

Ф0(г) =Еф0,; (г — ) > \\0(г) = ХК,у (г — ) — ф0,1 (г — ^ Н (14)

1 =1 1=1

Каждая из функций ф (г — г), \ф0;(г — ) является регулярной в области £0 вне соответствующего контура Ь0 (1 = 1,...,Л).

<

При наличии на контурах Ц (] — 1,...,N) главных векторов усилий

(12) функции ф0 .(* - ), - ) имеют следующие представления:

'0,у

Ф0,у (* - ^ ) — Ф0,, (* - ^ )

о,](

к

1+ авп

¥0,у (* - ^ ) — \0,/ (* - ^ )

0,]'

К

1+ ае„

[1п( * - ) + ае01п(* - г, - 2И_)]; (15) [ ае01п(* - ^ ) +1п(* - ^ - 2Ш )]. (16)

Для выполнения аналитического продолжения функций ф (* - ),

ф .(* - ) через прямолинейную границу Ц в верхнюю полуплоскость,

дополняющую область 5 до полной плоскости, вводятся функции ф (* - *), \0;( * - ), регулярные в полной плоскости вне ] -го отверстия (] — 1,...,Ы). Для этих функций справедливы разложения в виде степенных рядов с неизвестными коэффициентами

Фс,/(* - ) —X С

-V „(1X0,./)

к—1

Л- к

* - 2.

__

V К0_ У

¥ 0, /(* - ) —£ с

-V )

/у ^'к

к—0

л- к

* - 1.

__

V У

(17)

С использованием теоремы Сохоцкого - Племеля, свойств аналитических функций и интегралов типа Коши [16] для функций ф (* - *),

\ф0 (* - * ) (] — 1,... ,Ы) на контурах (т — 1,...,Ы) получим

Ф (4 - * ) — X

т 0,] V 0,т ] /

¥п (^ - * ) — X

т 0,/ \ 0,т / / /

] ,т

£ с[1)(0т)а-к

К

к—1

1+ аеп

1п а

+ £ С<3)(т'])ак; (18)

к—1

Ш 1 К

;;!х0 т)а-к ¡е> а

£ ск

к—0

1 + ае

0

+ £ ск4

(4)( т, ] ) к

а.

(19)

к—1

В соотношения (18), (19) использован символ Кронекера

_|1 при ] — т; 1 ,т [0 при ] Ф т,

; для коэффициентов С(3)(т, 1), С(к4)(т,/) получены соответ-

ствующие определяющие их выражения.

Потенциалы ф1т( *), \ф1т( *) представляются в виде [9]

ф1,т (ф1,т (* *т) , \\1,т (*) \\,т (* ^т) Zmф1,m (* *т ) . (20)

Для функции ф*,т (* - *т ), ¥*,т (* - *т ) (т — 1,...,Ы) справедливо

Ф* (* - * ) — ф (* - * ) -

т 1,т V т У т 1,т V «у

¥* (* - * ) — ¥ (* - * ) -

т 1, т V т / т1,т\ т /

\К , * - *

т _т_

1+ ае,

Я

1К

1+ аз,

ае, „. 1п т

1,т

Я

(21) (22)

Функции ф1т (* - ), ¥1т (* - ) представляются в виде рядов Лорана с неизвестными коэффициентами

со

со

ф1,Ш ( ^ ^ Ш ) ^^ С

к=1

ад

У<ш (* " ^Ш ) = Х Ск

(1)(1,Ш)

к

(2)(1,ш)

ш ; ¿ш^ ~ к к=0

* — * _ш

V Д /

V 1,Ш у

( Vк

* — *

Д

V 1,Ш у

+ 1 С

к =0

ад

+ 1С

(3)(1,ш) к

(4)(1,ш )

к

* — * _ш

V Д /

V 1,Ш у

к

* — *

к=1

Д

V 1,Ш у

(23)

(24)

Для потенциалов ср2>т(*), у2>т(*) в £2>т (ш = 1,...,Ы) справедливо

~2,ш (*) = Ф2,Ш (* — *Ш ) , ^2,ш (= V2,Ш (* — ^ ) — *шф2,ш (* — ^ ) , (25)

где ф2,Ш(г — ), ^2,Ш(* — *Ш) в кольцах Б2ш (ш = 1,...,Ы) представляются в виде рядов Лорана с неизвестными коэффициентами

Ф2,Ш (* — ^ ) = Х С ^2,ш (* — ^ ) =Е Ск

(1)(2,ш) к

(2)(2,ш)

к

к=0

* — * ш

Д у

* — * Ш

Д у

+ 1 С

(3)(2,ш ) к

к=0

+ 1 С

(4)(2,ш)

к

к=1

* — * ш

Д у

>

*—* Ш 1

Д А,Ш у

(26) (27)

Для решения поставленной краевой задачи ТФКП использован модифицированный метод И.Г. Арамановича [17], позволяющий свести решение исходной задачи об определении напряженного состояния колец, подкрепляющих несколько круговых отверстий в полуплоскости с наклонной границей, вокруг которых имеются концентрические области с отличающимися деформационными характеристиками, к сходящемуся итерационному процессу, на каждом шаге которого решается задача о напряженном состоянии двухслойного концентрического кольца в полной плоскости при граничных условиях, содержащих дополнительные члены в виде рядов Лорана с коэффициентами, отвечающими за влияние наклонной границы и остальных подкрепленных отверстий [9].

Представления (18) - (27) комплексных потенциалов и граничные условия (7) - (10) на каждом из контуров = 0,1, 2; ш = 1,...,Ы) крае-

вой задачи ТФКП позволяют получить для каждого из отверстий по две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений относительно действительных и мнимых частей коэффициентов с ^)(0Ш), С2)(0'Ш), входящих в соотношения (18) и (19) для комплексных потенциалов ф0я!(* — zя¡) и ~ (* — ^), характеризующих напряженно-деформированное состояние среды £0 вне ш-го отверстия (ш = 1,...,Ы).

Далее с использованием установленных рекуррентных соотношений между коэффициентами разложений комплексных потенциалов в смежных областях вычисляются компоненты напряжений в каждой из рассматриваемых областей.

к

к

ад

ад

к

к

Полученное решение положено в основу разработанного аналитического метода расчета обделок параллельных взаимовлияющих тоннелей кругового поперечного сечения, сооружаемых закрытым способом с применением инъекционного укрепления грунта вблизи наклонной земной поверхности.

На основе результатов компьютерного моделирования с использованием компьютерной программы, реализующей данный метод, выполнены многовариантные расчеты. Они позволяют установить особенности формирования напряженного состояния обделок при изменении сочетаний основных влияющих факторов.

Ниже приведены результаты расчетов монолитных бетонных обделок двух параллельных тоннелей, пройденных вблизи наклонной земной поверхности. На рис. 2 приведена расчетная схема сечения тоннелей и исходные данные, использованные при компьютерном моделировании. Центры поперечных сечений тоннелей расположены на вертикальной линии. Массив грунта, вмещающий тоннели, подвержен предварительному укреплению. Поперечные сечения зон укрепленного грунта моделируются концентрическими шайбами.

Наружные радиусы сечения выработок Я; глубина заложения верхнего тоннеля И — 2Я, нижнего -Н2 — 5 Я ; толщины зон укрепленного грунта — 0,3Я, обделок -52 — 0,1Я; удельный вес грунта у — 0,022 МН / м3; коэффициент бокового давления X — 0,5; деформационные характеристики грунта в естественном состоянии Е —100 МПа, у0 — 0,3, упрочнённого грунта - Е — 300 МПа, — 0,3; деформационные характере. 2. Расчетная схема ристики материала °бделки

Е — 27000 МПа, V, — 0,2.

На рис. 3 представлены эпюры нормальных тангенциальных напряжений ае, МПа, в точках наружного (слева) и внутреннего (справа) контуров поперечных сечений обделок верхнего (а) и нижнего (б) тоннелей, расположенных вблизи горизонтальной земной поверхности при отсутствии зон укреплённого грунта. Данные результаты получены с использованием компьютерной программы, реализующей метод [13]; растягивающие напряжения считаются положительными, а сжимающие - отрицательными.

Рис. 3. Расчётные эпюры напряжений для обделок тоннелей:

а - верхнего; б - нижнего

Отличительной особенностью представленных эпюр является наличие вертикальной оси симметрии. Из представленных результатов следует, что влияние земной поверхности приводит к «разгрузке» свода обделки по сравнению с лотком для обоих тоннелей.

На рис. 4 приведены эпюры напряжений в точках контуров сечений обделок тоннелей той же компоновки, сооруженных без применения укрепительной цементации грунта вблизи склона, угол наклона составляет 45 °.

Пунктирными линиями на рис. 4 показаны эпюры напряжений, возникающих в точках контуров сечения одиночных тоннелей, расположенных на тех же глубинах.

Из приведённых эпюр следует, что наличие наклонной поверхности существенно влияет на напряжённое состояние обделок: исчезает симметрия эпюр; происходит перераспределение напряжений; возрастают значения максимальных растягивающих и сжимающих напряжений в обделках как верхнего, так и нижнего тоннелей.

верхний тоннель

наружный контур внутренний контур

Рис. 4. Расчётные эпюры напряжений в обделках тоннелей без учёта укрепительной цементации (начало)

нижний тоннель

1,91

наружный контур внутренний контур

Рис. 4. Окончание

На рис. 5 приведены результаты расчётов для тех же тоннелей с учётом наличия зон укреплённого грунта.

Представленные результаты свидетельствуют об уменьшении значений максимальных сжимающих и растягивающих напряжений в обделке верхнего тоннеля на 10 %, а в обделке нижнего - до 20 %.

На рис. 6 приведены зависимости максимальных растягивающих (положительных) и сжимающих (отрицательных) нормальных тангенциальных напряжений, возникающих на внутреннем контуре поперечного сечения обделок верхнего (линии 1, 2) и нижнего (линии 3, 4) тоннелей.

верхний тоннель

1,15 0,79

наружный контур внутренний контур

Рис. 5. Расчётные эпюры напряжений для обделок тоннелей с учётом укрепительной цементации (начало)

нижний тоннель

наружный контур внутренний контур

Рис. 5. Окончание

Рис. 6. Зависимости максимальных напряжений в обделках тоннелей от величины модуля деформации укреплённого грунта

Приведенные зависимости свидетельствуют о снижении значений максимальных напряжений, возникающих в обделках обоих тоннелей, при увеличении модуля деформации укрепленного грунта. Полученные зависимости имеют асимптотический характер. Из рассмотренного примера следует, что увеличение модуля деформации укрепленного грунта более чем в 3 раза, не сказывается на дальнейшем уменьшении абсолютных значений напряжений. В результате численного эксперимента установлено, что при модуле деформации грунта в естественном состоянии Е0 = 100 МПа изменение модуля деформации укрепленного грунта Е от

300 МПа и выше максимальные напряжения в обделках тоннелей стремятся к соответствующим значениям напряжений, возникающих в обделках тоннелей, сооруженных в грунте с E0 = 120 МПа.

Таким образом, разработанный метод позволяет определять напряжённое состояние обделок параллельных тоннелей, сооружаемых с применением укрепительной цементации в районах, отличающихся сложным рельефом поверхности и наличием слабых грунтов.

Использование нового аналитического метода при практическом проектировании подземных сооружений, а также при выполнении научно-исследовательских работ позволяет сформулировать рекомендации по выполнению работ, исходя из особенностей используемых технологий строительства.

Список литературы

1. Маслов Н.Н. Условия устойчивости склонов и откосов в гидроэнергетическом строительстве. М., Л.: Государственное энергетическое изд-во, 1955. 468 с.

2. Перевощикова Н.А., Идиятуллин М.М. Сравнительный анализ устойчивости потенциально оползнеопасных склонов по результатам расчетов аналитическими методами и методом конечных элементов // Международный научно-исследовательский журнал. 2016. № 6. Ч. 5. С. 144 - 149.

3. Численные и модельные эксперименты по определению устойчивости однородного откоса, подработанного горизонтальной выработкой / А.Н. Богомолов [и др.] // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура, 2018. Т. 9. № 1. С. 30 - 41.

4. Влияние горизонтальной подземной выработки, ориентированной параллельно фронту однородного откоса, на его устойчивость / А.Н. Богомолов [и др.] // Вестник ПНИПУ. Строительство и архитектура, 2018. Т. 9. № 1. С. 82 - 92.

5. Богомолов А.Н., Абрамов Г.А., Богомолова О.А. Устойчивость двух спаренных круглых выработок, отрабатываемых в однородном откосе на уровне его подошвы // Сб. науч. тр. WORLD SCIENCE: PROBLEMS AND INNOVATIONS: XVII Междунар. науч.-практ. конф. Пенза: МЦНС «Наука и Просвещение», 2018. Ч. 1. С. 98 - 103.

6. Sounik K. Banerjee, Debarghya Chakraborty Stability of long circular tunnels in sloping ground // Geomechanics and Geoengineering. 2018. 13:2. P. 104 - 114.

7. Фотиева Н.Н., Козлов А.Н. Расчет крепи параллельных выработок в сейсмических районах. М.: Недра, 1992. 231 с.

8. Саммаль А.С., Анциферов С.В., Деев П.В. Аналитические методы расчета подземных сооружений: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. 111 с.

9. Анциферов С.В. Метод расчета многослойных обделок параллельных тоннелей кругового поперечного сечения мелкого заложения: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 298 с.

10. Анциферов С.В., Фомин А.В. Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных тоннелей, сооруженных вблизи склона, с массивом грунта // Известия Тульского государственного университета. Науки о Земле. 2017. Вып. 4. С. 255 - 262.

11. Фомин А.В., Анциферов С.В. Определение напряженного состояния обделок параллельных тоннелей, сооруженных вблизи склона // Сб. науч. тр. «Научные исследования в области технических и технологических систем»: сборник статей международной научно-практической конференции. Уфа: "ОМЕГА САЙНС", 2018. С. 104 - 109.

12. Анциферов С.В., Фомин А.В. Напряженное состояние крепи параллельных выработок, сооруженных вблизи склона, от массы расположенных на поверхности объектов // Известия Тульского государственного университета. Науки о Земле. 2020. № 1. С. 375 - 391.

13. Исследование напряженного состояния массива пород и обделок параллельных тоннелей, сооружаемых вблизи горного склона / С.В. Анциферов, А.В. Фомин, А.А. Феклин, М.А. Кудрявцев // Фундаментальные и прикладные вопросы горных наук. 2021. Т. 8. №1. С. 20 - 26.

14. Анциферов С.В., Феклин А.А., Залесский К.Е. Математическая модель определения напряженного состояния обделок параллельных тоннелей, сооруженных вблизи наклонной земной поверхности с учетом технологической неоднородности грунта вокруг выработок // 17-я междунар. конф. по проблемам горной промышленности, строительства и энергетики, 1 - 3 ноября 2021: сб. науч. тр.Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. С. 582 - 590.

15. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. М.: Недра, 1982. 270 с.

16. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

17. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Докл. АН СССР. М., 1955. Т. 104. №3. С. 372 - 375.

Анциферов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, зав. кафедрой, antsser a mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Феклин Артём Александрович, асп., afeklinlagmail. com, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Кудрявцев Максим Александрович, асп., мл. науч. сотр., maks. kudravtcev@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фомин Антон Валерьевич, канд. техн. наук, favr_93@mail.ru, Россия, Тула, ООО "Центр Прикладных Разработок"

DETERMINING THE STRESS STATE OF TUNNEL LININGS CONSTRUCTED USING STRENGTHENING CEMENTATION NEAR THE SLOPE

S.V. Antsiferov, A.A. Feklin, M.A. Kudryavtsev, A. V. Fomin

On the basis of the proposed mathematical model of the interaction of the linings of parallel tunnels built near the slope with the surrounding soil massif, an analytical method for determining the stress state of the elements of the geomechanical system "soil massif with an inclined surface - zones of reinforced soil - tunnel linings" was developed. The formulation of a plane problem of the theory of elasticity is carried out, the solution of which is obtained using the mathematical apparatus of the theory offunctions of a complex variable. The results obtained are implemented in the form of calculation algorithms and a computer program that allows performing multivariate calculations in the design of underground structures and for research purposes. The calculation results are presented.

Key words: soil mass, slope, preliminary reinforcement, tunnel, lining, soil self-weight, stresses, calculation.

Antsiferov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, head of the department, antsser@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Feklin Artyom Aleksandrovich, postgraduate, laboratory assistant, afe-klin1@,gmail.com, Russia, Tula, Tula State University,

Kudryavtsev Maksim Aleksandrovich, postgraduate Student, junior researcher, maks.kudravtcev@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fomin Anton Valerievich, candidate of technical sciences, favr_93@mail.ru, Russia, Tula, Russia, Tula, LLC "Center for Applied Research"

Reference

1. Maslov N.N. Conditions of stability of slopes and slopes in hydro-energy construction. M., L.: State Energy Publishing House, 1955. 468 p.

2. Perevoshchikova N.A., Idiyatullin M.M. Comparative analysis of the stability of potentially landslide-prone slopes based on the results of calculations by analytical methods and the finite element method // International Scientific Research Journal, 2016. No. 6. Part 5. pp. 144 - 149.

3. Numerical and model experiments to determine the stability of a homogeneous slope worked by horizontal mining / A.N. Bogomolov [et al.] // Bulletin of PNRPU. Construction and Architecture, 2018. Vol. 9. No. 1. pp. 30 - 41.

4. The influence of horizontal underground mining, oriented parallel to the front of a homogeneous slope, on its stability / A.N. Bogomolov [et al.] // Bulletin of PNRPU. Construction and Architecture, 2018. Vol. 9. No. 1. pp. 82 - 92.

5. Bogomolov A.N., Abramov G.A., Bogomolova O.A. Stability of two paired round workings, worked out in a homogeneous slope at the level of its sole // Sb. nauch. tr. WORLD SCIENCE: PROBLEMS AND INNOVATIONS: XVII International scientific and practical conference. Penza: ICNS "Science and Enlightenment", 2018. Part 1. pp. 98 - 103.

6. Sounik K. Banerjee, Debarghya Chakraborty Stability of long circular tunnels in sloping ground // Geomechanics and Geoengineering, 2018. 13:2. P. 104 - 114.

7. Fotieva N.N., Kozlov A.N. Calculation of the support of parallel workings in seismic areas. M.: Nedra, 1992. 231 p.

8. Sammal A.S., Antsiferov S.V., Deev P.V. Analytical methods for calculating underground structures: monograph. Tula: TulSU Publishing House, 2013. 111 p.

9. Antsiferov S.V. Calculation method of multilayer lining of parallel tunnels of circular cross-section of shallow laying: monograph. Tula: TulSU Publishing House, 2014. 298p.

10. Antsiferov S.V., Fomin A.V. Mathematical modeling of the interaction of parallel tunnel linings constructed near the slope with the soil mass // Proceedings of the Tula State University. Earth sciences. 2017. Issue 4. pp. 255 - 262.

11. Fomin A.V., Antsiferov S.V. Determination of the stress state of parallel tunnel linings constructed near the slope // Sb. nauch. tr. Scientific research in the field of technical and technological systems. Collection of articles of the International Scientific and Practical Conference. / Ufa: "OMEGA SCIENCES", 2018. pp. 104 - 109.

12. Antsiferov S.V., Fomin A.V. The stress state of the supports of parallel workings constructed near the slope from the mass of objects located on the surface // Izvestiya Tula State University. Earth sciences. 2020. No. 1. pp. 375 - 391.

13. Investigation of the stressed state of the rock mass and the lining of parallel tunnels constructed near the mountain slope / S.V. Antsiferov, A.V. Fomin, A.A. Feklin, M.A. Kudryavtsev // Fundamental and applied issues of mining sciences. 2021. Vol. 8. No. 1. pp. 20-26.

14. Antsiferov S.V., Feklin A.A., Zalessky K.E. A mathematical model for determining the stress state of parallel tunnel linings constructed near an inclined earth surface taking into account the technological heterogeneity of the soil around the workings // Sb. nauch. tr., 17th International Conference on problems of mining, construction and energy. November 13- 2021. Tula: TulSU Publishing House, 2011. pp. 582 - 590.

15. Bulychev N.S. Mechanics of underground structures. Moscow: Nedra, 1982.

270p.

16. Muskhelishvili N.I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. M.: Nauka, 1966. 707 p.

17. Aramanovich I.G. On stress distribution in an elastic half-plane weakened by a reinforced circular hole // Dokl. USSR Academy OF Sciences. M., 1955. Vol. 104. No. 3. pp. 372 - 375.