Математическое моделирование взаимодействия обделок параллельных тоннелей, сооруженных вблизи склона, с массивом грунта Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ГЕОМЕХАНИКА

УДК 622.016

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОБДЕЛОК ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТОННЕЛЕЙ, СООРУЖЕННЫХ ВБЛИЗИ СКЛОНА, С МАССИВОМ ГРУНТА

C.B. Анциферов, A.B. Фомин

Приводится описание математической модели формирования напряженного состояния обделок параллельных тоннелей, сооруженных вблизи склона при действии гравитационных сил. В основу модели положен принцип совместной работы обделок тоннелей и массива грунта как элементов единой деформируемой системы. Выполнена постановка соответствующей плоской задачи теории упругости, аналитическое решение которой получено методами теории аналитических функций комплексного переменного.

Ключевые слова: математическое моделирование, массив пород, тоннель, обделка, плоская задача, теория упругости, функции комплексного переменного, напряженное состояние

На напряженное состояние обделок параллельных тоннелей, сооруженных закрытым способом вблизи склона, существенное влияние оказывают наличие земной поверхности, преобладающий угол ее наклона к горизонту, а также взаимное влияние подземных сооружений [1, 2, 3].

При математическом моделировании формирования напряженного состояния обделок комплекса близко расположенных параллельных тоннелей кругового поперечного сечения, сооружаемых вблизи наклонной земной поверхности, от действия гравитационных сил в массиве пород использованы представления механики подземных сооружений [4] и геомеханики о взаимодействии подземных конструкций и окружающего массива как элементов единой деформируемой системы.

Математическая модель позволяет учесть влияние на напряженное состояние обделок тоннелей и окружающего массива пород следующих основных факторов: количество параллельных тоннелей в комплексе; их

взаимное расположение и глубина заложения каждого из тоннелей; угол наклона поверхности склона к горизонту, размеры поперечных сечений тоннелей; толщины используемых обделок и деформационные характеристики их материалов; поле начальных напряжений в массиве, обусловленных собственным весом пород; реологические свойства массива пород (в рамках теории линейной наследственной ползучести); последовательность сооружения тоннелей, а также отставание возведения обделок от забоя в каждом из тоннелей.

Поскольку рассматриваются участки достаточно протяженных параллельных тоннелей, в математической модели реализована расчетная схема плоской задачи теории упругости, представленная на рисунке.

Расчетная схема задачи

На схеме полубесконечная весомая линейно деформируемая однородная среда ^ , моделирующая массив пород, ограничена прямой Ь0 , образующей угол Р с горизонталью. Материал среды обладает объемным весом у и деформационными характеристиками - модулем деформации Е0 и коэффициентом Пуассона у0 .

Среда ^ ослаблена произвольным конечным числом N круговых отверстий с контурами Ь0т радиусами Я0т (т =1,...,Л/), моделирующих поперечные сечения параллельных выработок. Центры отверстий распо-

ложены в точках ~т с координатами (хт; ут) (т =1,...,Л/) в прямоуголь-

I I

ной системе координат X ОТ с началом О, совмещенным с центром первого отверстия.

Отверстия подкреплены концентрическими кольцами с внутренними контурами Ь1т радиусами Я1т , моделирующими обделки тоннелей (т = \,...,Ы). Материалы колец 8т имеют деформационные характеристики Ет , (т = \,...,Ы). Весом обделок тоннелей по сравнению с весом вмещающего комплекс тоннелей массива пород пренебрегаем.

Расчетная схема модели допускает наличие неподкрепленных выработок. Если в тоннеле с номером т обделка отсутствует, тогда в расчетной схеме для него достаточно принять 111т = Щ т , Ет = Е0 , \т = у0 .

Среда и кольца деформируются совместно, т.е. на линиях

контакта Ь0т (т =1,...,Л/) выполняются условия непрерывности векторов

полных напряжений и перемещений.

Гравитационные силы в весомой среде ^ моделируются полем

начальных напряжений с компонентами а^0)(0) , а'''""' , т^.""' в наклонной

системе координат ХОУ (рис. 1). Будем считать, что для нормальных напряжений выполняется соотношение

ст(0ХО = Хст(охо) ? (1)

где X - коэффициент бокового давления в направлении оси Хв ненарушенном массиве пород, определяемый экспериментально путем натурных измерений, либо с использованием гипотезы Динника [4].

В рамках соответствующей плоской задачи теории упругости для весомой полуплоскости с наклонной границей компоненты поля начальных напряжений в массиве в условиях его естественного залегания определим из решения системы уравнений равновесия [5], принимающих вид

дст<°Х0) ат(0Х0) дт(0)(0) да(0)(0)

^— + = -у81пР ; + ^— = —усобР (2)

дх ду дх ду

при следующих условиях

д (0X0) ^(0X0)

^Г— = 0; —т— = 0 , (3)

дх дх

у=Н

Интегрирование уравнений (2) с учетом условий (3), (4) приводит к следующим результатам:

<Х0) = -У(Я-^)СО8Р; (5)

а(0)(0)

х

_ -(0X0)

у=Н ХУ

<т=-у(Н-у)* тр.

Полные напряжения с^0)* ,а(1°'* , т^? вереде S0 представляются в виде сумм:

а(0)* = а(0)(0) + а(0) ; а(0)* = а(0)(0) + а(0) ; т(0)* = т(0)(0) + т(0) , (6)

X X X ' у у у ' "ху ху "ху ' V/

где g(x0) , о'''' , т:'*.' - дополнительные напряжения в среде S0 , обусловленные наличием вблизи границы L0 подкрепленных круговых отверстий, определяемые из решения соответствующей плоской задачи теории упругости.

Так как весом обделок пренебрегаем, начальные напряжения в кольцах Sm (in = 1,...,Л') полагаются равными нулю, смещения в кольцах рассматриваются только дополнительные.

Граница полуплоскости L0 и внутренние контуры Lx m (m =l,...,N) поперечных сечений колец, подкрепляющих отверстия, свободны от действия внешних сил.

Исходя из сказанного выше, граничные условия задачи теории упругости имеют вид: на прямолинейной границе L0

<=0,т;, = 0; (7)

на контурах L0m (m = 1,..., N)

_ „(ОХи)* T(ix»»r _ T(0X"»r

ar - ar > Tre - Tre > \P)

M(iX"») _ M(°Xm) у(1Х™) _ v(0)(m) . ^

на контурах Llm (m=\,...,N)

aax»r = 0 ,x^ = 0 , (10)

(Dim)* (Dim)*

где &rA J , vrQ J - соответственно полные радиальные и касательные

(Dim) (Dim)

напряжения, а и v ' ' - соответственно компоненты радиальных и окружных перемещений в точках контуров Llm (/ = 0,1; m = 1,...,^) в полярной системе координат.

Учет влияния на напряженное состояние обделок последовательности проходки тоннелей и отставания возведения обделок от забоя с помощью корректирующих множителей am (т = 1,..., Л'), а также влияния реологических свойств грунтов с использованием теории линейной наследственной ползучести, согласно которой деформационные характеристики грунта, входящие в решения задач теории упругости, представляются как функции времени (метод переменных модулей [6]), возможен с использованием методик, изложенных в [1].

Разрабатываемый метод расчета обделок параллельных близко расположенных тоннелей кругового поперечного сечения, сооружаемых закрытым способом вблизи склона, на действие собственного веса пород ба-

зируется на полученном строгом аналитическом решении плоской задачи теории упругости. В основу решения положено применение математического аппарата теории аналитических функций комплексного переменного (ТФКП). Для этого необходим переход к соответствующей краевой задаче ТФКП и использование комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [7], связанных с напряжениями и смещениями в точках рассматриваемых областей в полярной системе координат известными формулами:

а«+^=41^(2);

zí;(z)+v¡>;(z)

,2¿e.

(П)

2ц, [

u{l) + iv{l) 1 =

]= ae/$/(z)-zí;(z)-vj>;(z)

je

где г = х + гу = гг + ге™ = z/ + га, а = е'" - аффиксы точек в областях (/= 0,1,...,^) соответственно в прямоугольной ХОУ и полярной Юд системах координат;

Е,

(/ = 0,1,.

(12)

2(1 +V/)

Граничные условия краевой задачи ТФКП имеют вид (т = 1,...,N):

Фо(0+'оШ + й>(0 = о Ha¿'o; (13)

Фо Со, J + 1 о,иФо^о,и) + Уо('о,и) + /»('оД

)-vj>

(¡0 ,т)

на (14)

«оФо ('о,*, ) - Фо ('о,*, ) - ^О (!о,т )

ф (t ) + t ф (t ) + v¡> (t ) = 0 на L , (15)

В условиях (13) - (14) применяются потенциалы (j)0(z) , \\f0(z) , регулярные в полуплоскости S0 вне отверстий, ограниченных контурами L0j (j = \,...,N), с учетом неинвариантности функции í¡/0(z) при переносе начала координат представляются в виде

N N __

Фо(^) = ЕФоAz~zj) ' Vo(z) = T¿Voj(z-zj)-zj$o,j(z-zj)]> (16)

7=1 7=1

где функции ф0 (z-z.) , \j/07(г - г/) , регулярные в полуплоскости вне каждого из контуров L(j , ( / = 1,...,Л'), с учетом наличия на этих контурах

отличных от нуля главных векторов усилий К, = (у/^/ 2)в гр определяются соотношениями [1,7]

/К

Фо,7- (2 - ^) = Ф1 ~ ^)+ ае01п(г - - И(Н - у}))] ,(17)

1+ае0

\К Г , ЧП

Ч>о,7 (2 - ^) = - ^) - —— - ^) + 1п- ^■ - 2г(Я - у])) ; (18)

1+ ае0

функции ф^ (г-г.) , 7(2 - ) регулярны в области вне контуров Ь0 . (7 = 1,..., ТУ), включая бесконечно удаленную точку.

Потенциалы фи(г) , Ч/т(^) , регулярные в кольцах 5И {т = с учетом неинвариантности функций \\!т(г) представляются в виде

уК

fm(?0, т) = —

г |_^ \ fl-X л /-cosp + sinp а-2+ 4hm -cosp-zsinp

V ^ У

V

+4/?m ^+ ^ cosP • а + г ^+ ^ cosP • а2 -Не гР1па

(20)

и 2 2

Для решения использован метод Арамановича И.Г. [8], модифицированный в работах [1, 9] и успешно примененный в работах [2, 10, 11]. Отличительной особенностью применения модифицированного метода является сведение решения задачи об определении напряженного состояния колец, подкрепляющих конечное число круговых отверстий в полуплоскости, моделирующих обделки параллельных тоннелей, сооруженных вблизи наклонной земной поверхности, к итерационному процессу решения задачи о напряженном состоянии кольца, подкрепляющего одно круговое отверстие в полной плоскости при соответствующих граничных условиях. Граничные условия этой задачи будут содержать дополнительные члены в виде рядов Лорана с неизвестными коэффициентами, отвечающими за влияние соседних подкрепленных отверстий и наклонной границы.

Список литературы

1. Анциферов, C.B. Метод расчета многослойных обделок параллельных тоннелей кругового поперечного сечения мелкого заложения: монография. Тула: ТулГУ, 2014. 298 с.

2. Анциферов, C.B., Федюнина М.Ю. Разработка метода расчета обделок комплекса параллельных транспортных тоннелей, сооружаемых вблизи склона// Транспортное строительство. №11. 2013. С. 14 - 17.

3. Определение зон неупругих деформаций грунта вокруг выработок неглубокого заложения/ C.B. Анциферов, А.Б. Копылов, К.Е.

Залесский, А.В. Фомин // Транспортное строительство. 2016. №12. С. 19 -21.

4. Булычев, Н.С. Механика подземных сооружений: учебник для вузов. М.: Недра, 1994. 382 с.

5. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов: учеб. пособие. М.: Изд-во. Ассоциации строительных вузов, 2005. 488 с.

6. Амусин Б.З., Линьков A.M. Об использовании метода переменных модулей для решения одного класса задач линейной наследственной ползучести// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1974. №6. С. 162 - 166.

7. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 707 с.

8. Араманович И.Г. О распределении напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Докл. АН СССР. М. 1955. Т. 104. №3. С. 372 - 375.

9. Designing tunnel linings located near slopes/ N.N. Fotieva, S.V. Antz-iferov, N.N. Korneeva // Geotechnics 99. The base of the modern technologies of constructions. Ostrava. Csech republic. 21-22 September 1999. P. 88 - 90.

10. Корнеева H.H. Расчет обделок тоннелей, сооружаемых вблизи склонов, на действие собственного веса пород // ГИАБ. 2000. №10. С. 106 -109.

11. Саммаль А.С., Князева С.В. Расчет многослойной обделки тоннеля, сооружаемого вблизи склона на действие собственного веса пород// Известия Тульского государственного университета. Сер.. «Геомеханика». «Механика подземных сооружений». 2004. Вып. 2. С. 3-11.

Анцнферов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, зав. кафедрой, antsseramail. ги, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фомин Антон Валерьевич, асп., antsser a mail.ги, Россия, Тула, Тульский государстве нн ый университет

MA THEMA TICAL MODELLING OF INTERACTION OF PARALLEL

TUNNELS' LININGS CONSTRUCTED NEAR SLOPE AND ROCK MASS

A.S. Antsiferov, A. V. Fomin

The description of a mathematical model of stress state forming in parallel tunnel linings constructed near a slope and subjected to the action of gravity forces is given. The model is based on the principle of united interaction of tunnels' linings and rock mass as elements of the united deformable system. Statement of the corresponding elasticity theory problem is given, the transition to the boundary problem of complex analytical functions theory is made.

Key words: mathematical modelling, rock mass, tunnel, lining, plane problem, elasticity theory, complex variable functions, stress state.

H3BecTH5i Tyjiry. HayKn o 3eMjie. 2017. Bbin. 4

Antsiferov Sergey Vladimirovich, Doctor of Technical Sciences, Head of the Department, antsser(a>,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fomin Anton Valerevich, postgraduate, ntsser@.mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

Reference

1. Anciferov, S.V. Metod rascheta mnogoslojnyh obdelok paral-lel'nyh tonnelej krugovogo poperechnogo sechenija melkogo zalozhenija: monografija. Tula: TulGU, 2014. 298 s.

2. Anciferov, S.V., Fedjunina M.Ju. Razrabotka metoda rascheta obdelok kompleksa parallel'nyh transportnyh tonnelej, sooruzhaemyh vblizi sklona// Transportnoe stroitel'stvo. №11. 2013. S. 14 - 17.

3. Opredelenie zon neuprugih deformacij grunta vokrug vyrabotok neglubokogo zalozhenija/ S.V. Anciferov, A.B. Kopylov, K.E. Zalesskij, A.V. Fomin // Transportnoe stroitel'stvo. 2016. №12. S. 19-21.

4. Bulychev, N.S. Mehanika podzemnyh sooruzhenij: uchebnik dlja vuzov. M.: Nedra, 1994. 382 s.

5. Ter-Martirosjan Z.G. Mehanika gruntov: ucheb. posobie. M.: Izd. Associacii stroitel'nyh vuzov, 2005. 488 s.

6. Amusin B.Z., Lin'kov A.M. Ob ispol'zovanii metoda peremen-nyh modulej dlja reshenija odnogo klassa zadach linejnoj nasledstvennoj polzuchesti// Izvestija AN SSSR. Mehanika tverdogo tela. 1974. №6. S. 162- 166.

7. Mushelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematiche-skoj teorii uprugos-ti. M.: Nauka. 1966. 707 s.

8. Aramanovich I.G. O raspredelenii naprjazhenij v uprugoj poluploskosti, osla-blennoj podkreplennym krugovym otverstiem. Dokl. AN SSSR. M. 1955. T. 104. №3. S. 372 - 375.

9. Designing tunnel linings located near slopes/N.N. Fotieva, S.V. Antziferov, N.N. Korneeva // Geotechnics 99. The base of the modern technologies of constructions. Ostrava. Csech republic. 21-22 September 1999. P. 88 - 90.

10. Korneeva N.N. Raschet obdelok tonnelej, sooruzhaemyh vblizi sklonov, na dejstvie sobstvennogo vesa porod. M.: MGGU. GIAB. 2000. №10. S. 106 - 109.

11. Sammal' A.S., Knjazeva S.V. Raschet mnogoslojnoj obdelki tonnelja, sooruzhaemogo vblizi sklona na dejstvie sobstvennogo vesa po-rod// Izvestija Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.. Geomehanika. Mehanika podzemnyh sooruzhenij. 2004. Vyp. 2. S. 3-11.