CC BY
28
_Известия ТулГУ. Науки о земле. 2016. Вып. 3_
УДК 624.19.034.5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБДЕЛОК ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ НЕКРУГОВЫХ ПОДВОДНЫХ ТОННЕЛЕЙ С ТЕХНОЛОГИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫМ МАССИВОМ ПОРОД
А.С. Саммаль, И.Ю. Воронина, Н.В. Шелепов
Предложена математическая модель взаимодействия многослойных обделок параллельных подводных тоннелей произвольного поперечного сечения с технологически неоднородными породами дна водоема, как в предположении их водонепроницаемости, так и с учетом фильтрации воды вглубь массива. Для реализации математической модели получены аналитические решения двух плоских задач теории упругости для полубесконечной весомой среды, ослабленной произвольно расположенными некруговыми отверстиями, подкрепленными многослойными кольцами, моделирующими обделки тоннелей при граничных условиях, отражающих особенности статической работы обделок подводных тоннелей в различных условиях.
Ключевые слова: подводные тоннели, математическая модель, многослойные обделки, теория упругости, технологически неоднородный массив.
Обделки подводных тоннелей должны удовлетворять жестким требованиям обеспечения прочности и несущей способности, поскольку устранение последствий возможных аварий требует больших материальных затрат, а в ряде случаев - практически неосуществимо. В связи с этим обделки тоннелей под водоемами, как правило, представляют собой сложные многослойные конструкции. При этом грунты вокруг тоннелей инъекти-руются специальными связующими растворами с целью повышения их деформационных характеристик и снижения водопроницаемости. В результате в массивах вокруг тоннелей искусственно создаются зоны технологической неоднородности, которые также оказывают существенное влияние на статическую работу комплексов подземных сооружений в целом.
В Тульском государственном университете в течение ряда лет проводятся научные исследования, связанные с созданием теории и аналитических методов расчета обделок подводных тоннелей [1], [2]. Ниже излагаются основные положения разработанной в настоящее время математической модели формирования напряженного состояния многослойных обделок параллельных взаимовлияющих подводных тоннелей произвольного поперечного сечения, базирующейся на современных представлениях геомеханики [3] о взаимодействии подземных конструкций и окружающего массива пород как элементов единой деформируемой системы.
При построении математической модели учитываются следующие основные факторы, оказывающие существенное влияние на напряженное состояние подземных конструкций:
- количество тоннелей;
- форма и размеры поперечного сечения обделок тоннелей;
- количество и толщины слоев в обделке каждого тоннеля, а также выделяемых в технологически неоднородном массиве пород в окрестности каждого из тоннелей;
- деформационные и фильтрационные характеристики массива ненарушенных пород (грунта), в слоях технологически неоднородного массива и обделок;
- глубина заложения каждого из тоннелей;
- глубина водоема;
- коэффициент бокового давления пород (грунта) в ненарушенном массиве;
- удельный вес пород (грунта) и воды;
- различие характера статической работы обделок в предположении водонепроницаемости пород и в случае фильтрации воды вглубь массива;
- последовательность сооружения тоннелей и отставание возведения слоев обделок от забоя каждого из тоннелей;
- реологические характеристики (в рамках теории линейной наследственной ползучести) массива пород (грунта).
Для определения напряжений в многослойных обделках параллельных подводных тоннелей рассматривается плоская задача теории упругости для полубесконечной весомой линейно-деформируемой среды, ослабленной произвольным числом любым образом расположенных некруговых отверстий, подкрепленных многослойными кольцами различной толщины, выполненными из разных материалов. Расчетная схема представлена на рисунке.
Расчетная схема
155
Здесь среда £0 с деформационными характеристиками - модулем деформации Е0 и коэффициентом Пуассона V 0, ослабленная произвольным числом N любым образом расположенных отверстий произвольной формы с центрами в точках 2т = хт + /ут (т = 1,...,N), моделирует ненарушенный массив пород. Слои £рт (р = 1,..., пт, т = 1,..., N,), моделируют
технологически неоднородный массив в окрестности тоннельных выработок и обделки тоннелей.
Механические свойства слоев характеризуются модулями деформации Ерт (р = 1,...,п*т, т = 1,...,N) и коэффициентами Пуассона прт
(р = 1,..., п*т, т = 1,..., N) при рассмотрении технологически неоднородных частей массива, а в многослойных обделках задаются деформационными характеристиками Ерт, V рт (р = п*т+1,..., пт, т = 1,..., N).
Среда £0 и слои £рт (р = 1,...,пт, т = 1,...,N) деформируются со-
вместно, т. е. на линиях контакта Ьрт (р = 0,1,...,пт -1, т = 1,...,N) выполняются условия непрерывности векторов смещений и полных напряжений. Внутренние контуры Ьп т (т = 1,....,N) колец свободны от действия
внешних сил.
Действие собственного веса водонепроницаемых пород (задача 1) моделируется наличием в среде £0 и слоях £рт (р = 1,...,п*т, т = 1,...,N) начального поля напряжений, определяемого формулами:
оХ0)(0) = о(/,т)(0) = -1у(Н - у),
Оуо)(о) =^ур,т)(0) =_у(н - у), (1)
Т(0)(0) = _(р ,т )(0) = 0
ху ху '
где у - удельный вес пород; Н - глубина заложения первого из тоннелей, в центр которого помещено начало координат, под дном водоема; 1 - коэффициент бокового давления пород в ненарушенном массиве.
Действие давления воды на дно водоема моделируется равномерно
распределенной по всей границе полуплоскости Ь'0 нормальной нагрузкой интенсивности Р, определяемой по формуле
Р = -У , (2)
где уw - удельный вес воды; НУ9 - глубина водоема.
Как известно [4], действие нагрузки, равномерно распределенной по бесконечной границе полуплоскости, приводит к появлению начальных напряжений
о(0)(0) =о(0)(0) = -у Н . (3)
х у ¡ww V /
Тогда суммарное начальное поле напряжений в среде £0 и слоях Зрт (Р = 1, -,п*т, т = 1, -,N), соответственно моделирующих водонепроницаемый массив пород и зоны укрепленного грунта в окрестности т -той выработки, определяется по формулам
= °Хр'тХ0> —[1Т(Н - у) + у„И, ],
<х0> = °Г)<0> =-[7(И - у) + 7„И, ], (4)
Т(0)(0) = _(р,т)(0) = о
ху ху
Пренебрегая собственным весом обделок, начальные напряжения в слоях Брт (р = пт +1,...,пт т = 1,...,N), моделирующих подземные конструкции, равны нулю, то есть
а( р,т )(0) = _(р,т )(0) = _(р,т )(0) = о (5)
х у ху
Тогда, вводя в формулах (4), (5) обозначения
у-в слоях Брт (р = 1,...,п*т, т = 1,...,N);
/ * ч (6)
0 -вкольцах Брт (р = пт +1,...,пт, т = 1,...,N),
7„-в слоях £р,т (р = и.пт, т = 1,...,N);
ур
у („) =
I р,т
0 - вкольцах £р,т (р = п*т+1,..., пт, т = 1,..., N),
(7)
запишем выражения для начальных напряжений в среде £0 и всех слоях (р = 1,. .,пт, т = 1,...,N) в следующем виде
а(0)(0) = _(р,т)(0) = _
х х
а(0)(0) = _(р,т)(0) =
у у
\17р,т (И - у) +72И„ ] ,
;Ур,т (И - у) И„ ] , (8)
Т(0)(0) = _(р ,т )(0) = 0
ху ху
При этом в результаты расчета р - того слоя неоднородной области и обделки каждого из т - го тоннеля вводятся соответствующие корректирующие множители арт (р = 1,...,пт, т = 1,...,N), предназначенные для
приближенного учета влияния отставания возведения этого слоя конструкции от забоя выработки. Этот множитель может быть определен по формулам, предложенным в работах [5], [6].
Предложенная расчетная схема позволяет также рассматривать случай фильтрации поверхностных вод через породы дна водоема, а также водопроницаемые слои неоднородного массива в окрестности каждой из выработок и обделок тоннелей (задача 2).
В отличие от задачи 1 начальное поле напряжений в среде £0 и слоях £рт (р = 1,...,8*т-1, т = 1,...,N), соответственно моделирующих обводненные породы и зоны технологической неоднородности, определяется удельным весом водонасыщенных пород с учетом взвешивающего дейст-
1
вия воды %
1 + е
(где е - коэффициент пористости водонасыщенных по-
род). Здесь s*m - номер водонепроницаемого слоя в конструкции т-го тоннеля.
Обозначим
1
Р,т
% - в среде £0 и водопроницаемых слоях £
Р,т
(р = 1,...,smя-1, т = 1,...,N);
1 — в водонепроницаемых слоях £
Р,т
(9)
(р = s*,...,п , т = 1,...,N);
0 - в кольцах £рт (р = пт +1,...,пт, т = 1,...,N).
Тогда действие собственного веса пород приводит к появлению в области £0 и слоях £рт (р = 1,...,п*т, т = 1,...,N) следующих начальных напряжений:
ОТ' =°ГХ0) = 1~1р,т (Н - У),
с(0Х0) _ р,т)(0) _
1 р,т (Н У ) '
У У 1 р,т
Т(0)(0) = _(р ,т )(0) = 0
ху ху
(10)
Давление воды, фильтрующей через водопроницаемые слои массива пород дна водоема и обделок тоннелей, моделируется в среде £ 0 и слоях £рт (р = 1,...,s*m -1, т = 1,...,N) полем начальных напряжений, линейно изменяющимся по высоте - координате у.
После введения обозначений
1, - в среде £0 и водопроницаемых слоях £р т
(р = 1,...,-1, т = 1,...,N); (11)
0 - в водонепроницаемых слоях £рт (р = 5*т,...,пт, т = 1,...,N), придем к следующим выражениям для начальных напряжений в среде £0 и областях £_ (р = 1,...,пт, т = 1,...,N)
1
* (,) р ,т
р,т
оХ»х»> =о("Х01 =аХр-т*°> = а<р-тх») =-1 р(т>( Н, + Н - у), (12)
Просуммировав выражения (10) и (12), получаем начальные напряжения в среде £0 и слоях £рт (р = 1,...,пт, т = 1,...,N):
аГ> = 0,,тХ°) = -[1урт(И - у) + урт (и„ + И - у)] - [7р., (И - у) + 7*рт (И, + И - у)
а(0)(0) = О р,т)(0)
уу
(13)
Т(0)(0) = Т р,т)(0) = 0 ху ху
В случае фильтрации воды вглубь массива для вычисления корректирующих множителей арт (р = 1,...,пт, т = 1,...,N) используется та же методика расчета, что и в задаче 1.
Полные напряжения о(х0)*, о уо)*, т^1?* в среде £0 представляются в
виде сумм:
о(х0)* = о(х0)(0) .(0) о (0) т(0)
+ о(0) . о(0)* = о(0)(0) + о(0) . т(0)* = т(0)(0) + т(0) "гих ; у у ; ху ~ ху ^ ху ,
(14)
где о х , о у , тху' - дополнительные напряжения в области £ 0, обусловленные наличием отверстий. Смещения рассматриваются только дополни-
тельные.
В слоях Брт (р = 1,...,пт, т = 1,...,N) полные напряжения имеют представления аналогичные выражениям (14)
о(р,т)* = о(р,т)(0) + о(р,т) , их их ' их '
о(р,т)* = о(р,т)(0) + о(р,т) ,
у у у '
_(р,т )* = _(р,т )(0) + _(р,т) ху ху ху
(15)
где о(р,т) о(р,т) т(р,т)
х у ху
о( р,т )(0) о( р,т )(0) _(р,т )(0) х у ху
о( р,т)(0) =<
х
(16)
- дополнительные напряжения в слоях Бр т, - начальные напряжения в тех же областях, представляемые соотношениями
-1У (И - у - у+у )-У(,)Н = -1У [И -(у - у )]-У(,И
I р,т \ Ут У Ут/ I р,т , I р,т [ т \У Ут/ ] I р,т ,
в задаче 1;
-17р,т ( И - У т - У + У т Курт ( И„ + И - У т - У + У т ) =
= -1Ур,т [И т -(У -У« )] - № [И„ + И т -(У -У т )]
в задаче 2,
-у/ (И - у - у + у )-7/(")Н =-у/ [И -(у - у )]-У^Н
' р,т \ У т У У т / * р,т , * р,т |_ т V-7 У т /_| * р,т ,
в задаче 1;
-Ур,т (Н - Ут - У + Ут )-7р(;) (Н„ + Н - Ут - У + Ут ) =
= -Ур,т [Нт -(У - У т )] - 7р(,,) [Н„ + И -(У - Ут )]
в задаче 2,
о'
,(р,т)(0) = У
тХр,т)(0) = 0, (18)
ху
Нт = Н - ут - глубина заложения т -того тоннеля
Граничные условия задачи для определения дополнительных напряжений и смещений имеют вид:
на границе !/0
О У = 0, <0> = 0, (19)
- на контурах Ьрт (р = 0,1,...,пт -1, т = 1,...,N)
_(р+1,т) + _(р+1,т)(0) = _(р,т) + _(р,т)(0) _(р+1,т) + _(р+1,т)(0) = _(р ,т) + _(р,т)(0)
иу "гиу _ иу "гиу ' Чф ^ Чф _ Чф ^ Чф '
и (р+1,т) = и (р,т) и (р+1,т) = у (р,т)
х х ' у у '
на контурах т (т = 1,...,N)
т
пт,т ^
0ППт ,т) = 0, Тф- ,т) = 0. (21)
В граничных условиях (19) - (21) о (0), Т(ху - дополнительные нормальные и касательные напряжения на прямолинейной границе ¿0 в декартовой системе координат, и(хр,т), и(ур,т) (р = 0,1,...,пт; т = 1,...,N) - дополнительные горизонтальные и вертикальные смещения точек контуров
¿р,т (р = 0,1,...,Пт, т = 1,...,N); оПр,т), тф,т) (р = 0,1,...,Пт; т = 1,...,N) - соответственно нормальные и касательные напряжения на контурах Ьрт (р = 0,1,...,пт; т = 1,...,N).
Вводим комплексные потенциалы ф 00( г), т%00( г) и ф рт (г), \% рт (г) (р = 1,...,пт, т = 1,...,N), характеризующие напряженно-деформированное состояние соответственно области £0 и слоев £рт (р = 1,...,пт, т = 1,...,N),
что позволяет свести сформулированную задачу теории упругости к решению краевой задачи теории аналитических функций комплексного переменного при граничных условиях
- на контуре 1!0
ф0,0 (*) + * фр 0,0 (0 + У%0,0 (* ) = 0, (22)
- на контурах Ьрт (р = 0,1,...,пт -1, т = 1,...,N)
фр+1,т ( * )+ * фр+1,т ( * )+Ур+1,т ( * ) = фр,т ( * ) + * ф'р,т ( * )+Ур,т ( * ) + /р,т ( * ) , (23)
^р+1,тфр+1,т ( * ) - * фр+1,т ( * ) - Ур+1,т ( * ) = ^^ р,тфр,т ( * ) - * фр,т ( * ) - Ур,т ( * )
т р,т
160
на контурах Ьп т (т = 1,...,N)
ф (X - г ) + X ф/ (X - г ) + ш (X - г ) = 0,
тп„, т \ т / т пт, т \ т / т пт, т \ т/ '
(24)
где X = х + 1у - комплексная координата точки границы Ь0 или контуров Ьр т, коэффициенты вида напряженного состояния ж0, т и коэффициен-
ты Ламе т0, т т определяются по известным формулам:
^0 = 3 - 4П0 '
Еп
2 (1+ П0)
^ = 3 - 4п , т =
р,т р,т ' ™ р ,т
Б,
р,т
р,т ' г р,т
2 (! + Прт )
(р = 1,..., пт, т = 1,..., N)
(25)
(26)
Функция /рт (X)(р = 0,1,...,пт -1, т = 1,...,N), входящая в правую часть первого граничного условия (23), определяется соотношением
/р,т (X) = I | (хпр,т)(0) + 1Гп(р,т)(0)) ds -1 | (хпр+1,т)(0) + 1У(п р+1,т)(0)) ds (27)
р+1,т
и в зависимости от рассматриваемой задачи будет отыскиваться так: - в задаче 1
(7/ -7/ )
^ I р,т I р+1,т )
/Рт (*):
+
+-
4
2 {и, [(1 + 1)(X - гт ) + (1 -1)(Г - гт )]
2 " ч4" ^] 1 Г(1 + 1)I(Г^ (X - гт )-
(1 + 1)( Г - гт )2-(1 -1)(* - гт)
-(1 -1)I(X - гт ]} - (у/С,) - у'р&т)И„ (X - гт); (28)
в задаче 2
/р,т ( Х ) = ■
/ * * \
V ' р,т 7 р+1 ,т 2
{и, Г(1 + 1)(X - гт ) + (1 -1)(х - гт)] +
(1 + 1)( X - гт )2-(1 -1)(Т-гЛ2 ] - 2 [(1 + 1) I (X - гт)
-(1 -1)I(X - гт у(X - гт)]} - (7*р(,:) - 7р+1)т){(И„ + Ит)(X - гт) +
I
+— 4
+1
('- гт)
2
I(' - гт у (* - гт)
(29)
Рассматриваемая задача теории упругости решена с использованием теории аналитических функций комплексного переменного [4], аналитического продолжения комплексных потенциалов, регулярных в нижней полуплоскости вне отверстий через границу полуплоскости [7], метода
ь
р ,т
2
_Известия ТулГУ. Науки о земле. 2016. Вып. 3_
Д.И. Шермана [8] для определения напряженного состояния многосвязных областей, аппарата конформных отображений и комплексных рядов. Ограничением задачи является требование, чтобы окружности, описанные вокруг наружных контуров колец, не пересекались между собой и не касались границы полуплоскости.
В результате решения поставленной задачи определяются дополнительные напряжения в среде S 0, моделирующей массив пород, и в слоях
Spm (p = 1,...,nm, m = 1,...,N), моделирующих области технологически неоднородного массива пород и обделки тоннелей.
На основе полученного решения разработан метод расчета многослойных обделок параллельных подводных тоннелей произвольного поперечного сечения, реализованный в виде алгоритма и соответствующего программного обеспечения.
Список литературы
1. Fotieva N.N., Voronina I.Yu. Study of parallel undersea or under-river tunnel linings stress state // Proceedings of the VlIth Regional Rock Mechanics Symposium 2004. Sivas, 2004. P. 389 - 393.
2. Воронина И.Ю., Деев П.В. Метод расчета обделок параллельных подводных транспортных тоннелей произвольного поперечного сечения // Транспортное строительство. №12. 2013. С. 8 - 10.
3. Булычев Н.С. Механика подземных сооружений. М: Недра, 1994.
382 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
5. Фотиева Н.Н., Козлов А.Н. Расчет крепи параллельных выработок в сейсмических районах. М.: Недра, 1992. 231 с.
6. Анциферов С.В. Метод расчета многослойных обделок параллельных тоннелей кругового поперечного сечения мелкого заложения: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 298 с.
7. Араманович И.Г. Распределение напряжений в упругой полуплоскости, ослабленной подкрепленным круговым отверстием // Доклады АН СССР. Вып. 104. № 3. 1955. С. 372 - 375.
8. Шерман Д.И. О напряжениях в плоской весомой среде с двумя одинаковыми симметрично расположенными круговыми отверстиями // ПММ, Т. XV. Вып. 6. 1951. С. 751 - 761.
Саммаль Андрей Сергеевич, д-р техн. наук, проф., sammal a mm.tsH.tiila.rH, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Воронина Ирина Юрьевна, канд. техн. наук, доц., virena 29 amail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
_Геомеханика_
Шелепов Николай Валентинович, канд. техн. наук, руководитель проектной группы, spmvrna mail.ru, Россия, Воронеж, ООО «СтройПолимерМонтаж»
MA THEMA TICAL MODELLING THE INTERACTION OF PARALLEL NON-CIRCULAR UNDERWATER TUNNEL MULTILAYER LININGS WITH THE TECHNOLOGICALLY HETEROGENEOUS ROCK MASS
A.S. Sammal, I.Yu. Voronina, N.V. Shelepov
The mathematical model of interaction of multilayer lining of a parallel undersea tunnels of an arbitrary cross-section shape with technologically heterogeneous rocks of the bottom taking into account, as in the assumption of their waterproof so water filtration into the array is proposed. For the implementation of mathematical model a new analytical solution of two plane problems of elasticity theory for a semi-infinite solid medium weakened by randomly spaced non-circular holes, supported by multilayer rings simulating lining tunnels with boundary conditions, reflecting the characteristics of the static loads acting upon underwater tunnels in various conditions has been obtained.
Key words: underwater tunnels, mathematical model, multilayer lining, the theory of elasticity, technologically heterogeneous rock mass.
Voronina Irina Yurevna, candidate of technical sciences, docent, vire-na 29@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Sammal Andrey Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, sam-mal a mm.tsu.tula.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Shelepov Nikolay Valentinovich, candidate of technical sciences, project team leader, spmvrn@,mail.ru, Russia, Voronezh, Оpen Society "StroyPolimerMontazh"
Reference
1. Fotieva N.N., Voronina I.Yu. Study of parallel undersea or under-river tunnel linings stress state / N.N. Fotieva, // Proceedings of the VIIth Regional Rock Mechanics Symposium 2004. Sivas, 2004. P. 389-393.
2. Voronina I.Ju., Deev P.V. Metod rascheta obdelok parallel'-nyh podvodnyh trans-portnyh tonnelej proizvol'nogo poperechnogo se-chenija // Transportnoe stroitel'stvo №12, 2013. S. 8-10.
3. Bulychev N.S. Mehanika podzemnyh sooruzhenij. M: Nedra, 1994. 382 s.
4. Mushelishvili N.I. Nekotorye osnovnye zadachi matematiche-skoj teorii uprugosti. M.: Nauka, 1966. 707 s.
5. Fotieva N.N., Kozlov A.N. Raschet krepi parallel'nyh vyrabotok v sejsmicheskih rajonah. M.: Nedra, 1992. 231 s.
6. Anciferov S.V. Metod rascheta mnogoslojnyh obdelok paral-lel'nyh tonnelej kru-govogo poperechnogo sechenija melkogo zalozhenija: monografija. Tula: TulGU, 2014. 298 s.
7. Aramanovich I.G. Raspredelenie naprjazhenij v uprugoj polu-ploskosti, oslablen-noj podkreplennym krugovym otverstiem // Dokla-dy AN SSSR. Vyp. 104. № 3. 1955. S. 372-375.
8. Sherman D.I. O naprjazhenijah v ploskoj vesomoj srede s dvumja odinakovymi simmetrichno raspolozhennymi krugovymi otverstijami // PMM, t. XV. Vyp. 6. 1951. S. 751761.
