CC BY
14
УДК 621.372.061
ВИЗНАЧЕННЯ ПОТУЖНОСТ1 Л1Н1ЙНИХ ПАРАМЕТРИЧНИХ К1Л У СЕРЕДОВИЩ1 СИСТЕМИ ПРОГРАМНИХ ФУНКЦ1Й MAOPCS1
Шаповалов Ю.1., д.т.н., професор; Мапдзш Б.А., д.т.н., професор;
Бачик Д.Р., к.т.н.
Нацгоналъний унгверситет "Лъвгвсъка полгтехнжа ", Лъвгв, Украгна
THE DETERMINATION OF POWER OF LINEAR PERIODICALLY-TIME-VARIABLE CIRCUITS IN AN ENVIRONMENT OF THE SYSTEM OF SOFTWARE
FUNCTIONS MAOPCS
Yu. Shapovalov, Doctor of Engineering, Professor; B. Mandziy, Doctor of Engineering,
Professor; D. Bachyk, Ph.D.
Lviv National Polytechnic University, Lviv, Ukraine
Вступ
Здатшсть лшшних параметричних кш перетворювати спектр вхщних си-гнаив та здшснювати параметричне тдсилення сигнатв при низькому piBHi шумiв зумовило 1х важливу роль в сучаснiй радюелектрошщ. За останне де-сятирiччя шгерес до вивчення параметричних кiл значно зрю у зв'язку з по-явою високотемпературних надпровiдникiв i можливостей 1х використання у параметричних тдсилювачах, високодобротних резонаторах, фiльтрах, ль шях затримки, кiнетичних iндуктивностях тощо [1,2,3]. Сучасш програмнi засоби схемотехнiчного моделювання електронних кiл Micro-Cap, Mathcad та iншi дають змогу моделювати поведшку лiнiйних параметричних кiл в часовш царинi, проте не забезпечують безпосереднього розрахунку функщ-ональних характеристик параметричних вузлiв в усталеному режимi (часто-тний аналiз), оскiльки в них закладеш числовi алгоритми, орiентованi на аналiз лiнiйних кiл з сталими параметрами. 1з числа праць, присвячених пи-танням аналiзу лiнiйних параметричних кш , слiд вiдзначити [4,5], де описано метод формування гармошчних передавальних матриць (HTMs), за яким модель параметричного кола представляеться у виглядi структури з нескшченною кшьюстю входiв та виходiв. Цей тдхщ вимагае значних об-числювальних ресурсiв i вiдсутнi данi про його програмну реалiзацiю. Най-бшьш практично придатним методом аналiзу лшшних параметричних кш е частотний символьний метод (ЧСМ) [6], який грунтуеться на використанш передавальних характеристик , представлених в символьнш формi, що спро-щуе багатоварiантний аналiз та процедуру оптимiзацil при проектуваннi параметричних пристро1в. ЧСМ дае змогу: а)сформувати спряжену i норма-льну параметричш передавальнi функцп у виглядi аналiтичних виразiв, що
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/1332
зв'язують мiж собою вхщний i вихiдний сигнали, та несуть iнформацiю про стшюсть кола, вiдповiдно; б) позначити символами параметри довшьних елементiв i дослщити !х вплив на характеристики кола; в)достатньо просто програмно реалiзувати алгоритми аналiзу. Пiдтвердженням сказаного е система програмних функцiй (СПФ) MAOPCs (Multivariate Analysis and Optimization of the Parametric Circuits), яка описана в [7], i призначена для моде-лювання, багатоварiантного анаизу та оптимiзацii лiнiйних параметричних кш в частотнiй царинi. Математичне забезпечення СПФ MAOPCs основане на ЧС-методi [6], згiдно з яким формуються спряженi параметричнi переда-вальнi функцп лiнiйних параметричних кiл W(s, t) та нормальнi передава-льнi функцп W(s,£) в частотнiй царинi у виглядi апроксимуючих полiномiв Фур'е у тригонометричнш чи комплекснiй формi, де £ - момент подання на коло S -функцп. Передавальш функцп W(s,t) та W(s,£) можуть мiстити ряд параметрiв, що заданi символами. Поряд з тим в СПФ MAOPCs наявш програмш функцii визначення коефщенлв чутливостi, аналiзу допускiв на параметри елеменлв, проведення оптимiзацii.
Актуальною i практично важливою задачею аналiзу лшшних параметричних кiл е задача розрахунку потужностей в гiлках кола, оскшьки в таких колах вщбуваеться перетворення енергii джерела накачки в енергш сигналу, що в окремих випадках може спричинити нестшюсть кола. Проте в даний час у СПФ MAOPCs вщсутш програмш функцп розрахунку енерге-тичних характеристик кш, зокрема, розрахунку миттевоi потужност в гш-ках кола та коефщенлв передавання середньоi потужностi з входу на вихщ кола, що обмежуе можливост дослiдження температурного режиму роботи схем, а також анаиз схем в дiапазонi високих частот, де бшьш зручно вимь рювати потужностi, а не напруги чи струми. У данш статтi описаш структура та алгоритм нових програмних функцш СПФ MAOPCs, як розширю-ють ii функцiональнi можливост в частинi розрахунку енергетичних характеристик лшшних параметричних кш, наведено результат комп'ютерного експерименту.
Основна частина
Для досягнення поставлено!' мети у СПФ MAOPCs вводимо: а) функцш «PowerInTheBranch()», призначену для визначення у обранш гшш кола мит-тево1' потужностi, що представляе собою добуток часово1' залежностi попе-редньо визначених (оберненим перетворенням Фур'е чи Лапласа) струму та напруги ше1' гшки за алгоритмом, представленим на рис.1; б) функшю «TransferCoefficientOfPower()», призначену для визначення коефщента передавання середньо1' потужностi за перiод сигналу з входу кола на його вихщ в усталеному режимi.
У блош 1 блок-схеми з рис. 1 користувач створюе файл «inputm», де вка-зуе параметри та структуру дослщжуваного кола.
У блощ 2 блок-схеми з рис. 1 за програмною функщею «Т^ипс ()» фор-муеться параметрична передавальна функцiя W(s,t) у виглядi полiнома
(s,t) Фур'е у комплексны формi:
(s,t) = W±0(s) + £ 1=1
+W+i(s)exp(+-ЮО
,(1)
Завантажен-ня файлу «¡ппШмш
де
Wo(s),WCi(s),Wsi(s)
та
W±o(s),W_i(s),W+i(s) - незалежш вiд часу t дробово-ращональш функцii комплексно! змiнноi s, ^ кiлькiсть гармонiчних складових у полшом^ О = 2к! Т,Т - перюд змiни параметра параметричного елемента кола тд дiею сигналу накачки.
У блощ 3 блок-схеми з рис. 1 за програмною функщею «ОШ:Уаг()» визначасться струм або та напруга у гшщ кола у частотнш областi у виглядг
Y(s,t) = W(s,t) • е-®*, (2)
де е-1^ та Y(s,t) - зображення гармошчного вхiдного та вихiдного сигналiв, вщповщно.
У блоцi 4 блок-схеми з рис. 1 за стандартною Matlab програмною функщею real() ви-значаеться струм або напруга у(^) у гiлцi кола у часовш областi t:
y(t) = Яе W(s,t) • е
(3)
У блоцi 5 блок-схеми з рис. 1 за програмною функщею «PowerInTheBranch()» обчис-люеться миттева потужнiсть гiлок кола шляхом перемноження часових залежностей струму та напруги у них. На основi обчисле-них миттевих потужностей гiлок за допомо-гою програмно! функцii «TransferCoeffícientОfPower()» розраховуемо кое-фiцiент передавання середньо! потужностi за перюд сигналу з входу кола на його вихщ у усталеному режима
Рис.1. Блок-схема алгоритму визначення миттево! потужносп гшки кола
КР = Рвих
/р
вх '
гр гр
де Рвх =(1/Т )• |0 [1вХ (t) • И вХ (ф , Рвих =(1Т)/0 [1вих (0 • ^ С)]Л, Т = 2
Комп'ютерний експеримент
Для усталеного режиму одноконтурного параметричного тдсилювача з рис. 2: а) за теоремою Теллегена перевiрити адекватнють обчислень у сере-довищi СПФ MAOPCs миттево! потужностi гiлок цього кола; б) визначити коефщент передавання середньо! потужностi з його входу на вихщ.
З метою тако! перевiрки для заданого кола визначаемо суму Р(1) митте-вих потужностей кожно! гiлки цього кола у усталеному режимi:
Р(1) = ^(1)• ц(1) + 1Х(1) • п12(1) +12(1) • п2(1) + 1з(1) • п2(1) +14(1) • п2(1), (4) яка за теоремою Теллегена мае дорiвнювати нулевi.
Перев1ряемо (4) на рiвнiсть нулевi, ви-конавши за СПФ MAOPCs послщов-нiсть функцш з рис.3. Результати тако! пе-ревiрки наведенi у табл.1 при
шь = тс = 0.05 з ура-хуванням у передава-льних функцiях 4-х гармонiчних складо-вих та у табл.2 при
Рис.2. Одноконтурний параметричний тдсилювач, = 0.2533 -10-6 (1 + ш соэ(4л1081 + л)),
с(1) = 10-1012(1 + ш соэ(4л1081 + 0)), ^ = 0.25См, У2 = 0.0004См,^) = ^(2л1081 -л/ 4) шь = 0.055 i шс = 0.07 з урахуванням у передавальних функщях 6-х гармо-нiчних складових [4]. Максимальнi значення шь = 0.055 та шс = 0.07 обраш з тих мiркувань, що при шь > 0.06 та шс > 0.075 пiдсилювач стае нестш-ким. Отриманi миттевi значення потужност гiлок (рядки 1,3,5,7,9 табл.1 та табл.2) та значення суми (1) (рядок 11 табл.1 та табл.2) наведен у таблиц з урахуванням 5-ти знаюв тсля коми.
На рис. 3 представлено фрагмент програмного коду у середовищi СПФ MAOPCs, що вiдповiдае проведеному комп'ютерному експерименту.
% передавальна функцiя i1(t) у u1(t);
^^^(8,^,4') % передавальна функцiя i1(t) у
TrFunc(9,'s','t') % передавальна функщя i1(t) у iз(t);
TrFunc(10,'s','t') % передавальна функщя у i4(t);
TrFunc(12,'s','t') % передавальна функцiя у ^0);....
OutVar('classic',2,TF{1,4},i*2*pi*1e8,'t') % визначення Ul(s,t);
OutVar('classic',2,TF{8,4},i*2*pi*1e8,'t') % визначення Ь^Д);
OutVar('classic',2,TF{9,4},i*2*pi*1e8,'t') % визначення Iз(s,t);
OutVar('classic',2,TF{l0,4},i*2*pi*1e8,'t')% визначення I4(s,t);
OutVar('classic',2,TF{l2,4},i*2*pi*1e8,'t')% визначення и2^Д);.....
Ке^и^апаЬ^ {1,1}=real(OutVariaЫes {1,1}{4,1}); %ul(t);
Re_OutVariaЫes{l,8}=real(OutVariaЫes{l,8}{4,l}); %i2(t);
Re_OutVariaЫes{l,9}=real(OutVariaЫes{l,9}{4,l}); %iз(t);
Re_OutVariaЬles{l,10}=real(OutVariaЬles{1,10}{4,1});% i4(t);
Re_OutVariaЫes{l,12}=real(OutVariaЫes{l,12}{4,l}); %и2^)
% Блок визначення миттево! потужност у гiлках кола;
PowerInTheBranch(1 ,[Re_OutVariaЬles {1,1},InputSignal {1,1}]);
PowerInTheBranch(1 ,[Re_OutVariaЬles {1,2},InputSignal {1,1}]);
PowerInTheBranch(l ,[Re_OutVariaЬles {l,8},Re_OutVariaЬles {1,12}]);
PowerInTheBranch(l ,[Re_OutVariaЬles {l,9},Re_OutVariaЬles {1,12}]);
PowerInTheBranch(l ,[Re_OutVariaЬles {l,10},Re_OutVariaЬles {1,12}]);
TransferCoefficientОfPower=([Re_OutVariaЬles {1,1},InputSignal {1,1}, Re_OutVariaЬles {1,8},Re_OutVariaЬles {1,12}])% визначення
коефiцiента передачi по потужност
Рис.3. Фрагмент програмного коду у середовищi СПФ MAOPCs Остання функщя послщовност з рис.3 визначае коефщент передавання середньо! потужностi за перюд сигналу з входу тдсилювача на його вихщ Кр = |Рвих/Рвх| = 21.75, де Рвх=1.25е-5, РВиХ = 2.71е-4 при mL = Шс = 0.05 та Кр = |Рвих/Рвх| = 2.95е+3, де Рвх=1.25е-5, Рвих = 0.0369 при mL = 0.055 та шс = 0.07, де Т = 2 -л/(2 - л -108) = 10-8 с. На рис.4 наведено залежнють ко-ефщент передавання середньо! потужност вiд змiни глибини модуляцi!' шс параметрично! емностi с(t) та змши глибини модуляцi! mL параметрично! шдуктивност L(1).
Таблиця 1
№ ^ с 8.000е-6 8.001е-6 8.002е-6 8.003е-6 8.004е-6
1 и21 -1 за MAOPCs 0.2000е-7 0.3902е-7 0.3176е-7 0.8244е-8 0.9789е-9
2 и21 -1 за Micro-Cap 0.2000е-7 0.3902е-7 0.3176е-7 0.8244е-8 0.9790е-9
3 и - 12 за MAOPCs 0.2690е-3 0.5240е-3 0.4441е-3 0.1039е-3 0.1879е-4
4 и - Ц за Micro-Cap 0.2689 е-3 0.5240е-3 0.4441е-3 0.1040 е-3 0.1879е-4
5 и2 - Ц за MAOPCs -0.4383е-2 -0.1263е-2 0.3454е-2 0.3243е-2 -0.1584е-2
6 и2 -13 за Micro-Cap -0.4383 е-2 -0.1264 е-2 0.3454 е-2 0.3243 е-2 -0.1584 е-2
7 и -14 за MAOPCs 0.4172е-2 0.8525е-3 -0.3804е-2 -0.3324е-2 0.1569е-2
8 и - ^ за Micro-Cap 0.4174 е-2 0.8530 е-3 -0.3805 е-2 -0.3325 е-2 0.1569 е-2
9 Ц - \ за MAOPCs -0.5792е-4 -0.1130е-3 -0.9391е-4 -0.2319е-4 -0.3298е-5
10 Ц - ^ за Micro-Cap -0.5798е-4 -0.1130е-3 -0.9388е-4 -0.2315е-4 -0.3391е-5
11 Р(1) 0 0 0 0 0
Таблиця 2
№ t, с 38.000e-6 38.001e-6 38.002e-6 38.003e-6 38.004e-6
1 U21 • i за MAOPCs 0.2000e-7 0.3902e-7 0.3176e-7 0.0824e-7 0.0098e-7
2 U2i • i за Micro-Cap 0.2000e-7 0.3902e-7 0.3176e-7 0.0824e-7 0.0098e-7
3 U2 • i2 за MAOPCs 0.0360 0.0704 0.0613 0.0137 0.0029
4 U2 • \ 3a Micro-Cap 0.0360 0.0705 0.0614 0.0137 0.0029
5 U2 • i3 за MAOPCs -0.5889 -0.1695 0.4740 0.4339 -0.2290
6 U2 • I3 за Micro-Cap -0.5897 -0.1700 0.4745 0.4343 -0.2291
7 U2 • i4 за MAOPCs 0.5535 0.1004 -0.5342 -0.4473 0.2262
8 U2 • I4 за Micro-Cap 0.5540 0.1007 -0.5349 -0.4481 0.2260
9 U • h за MAOPCs -0.0007 -0.0013 -0.0011 -0.0003 -4.2155e-5
10 U • ^ за Micro-Cap -0.0006 -0.0012 -0.0010 -0.0003 -4.2155e-5
11 P(t) 0 0 0 0 0
1з табл. 1 та табл. 2 випливае, що незначна змша значень napaMeTpiB mL та mc призводить: а) до значного збшьшення миттевих значень CTpyMiB та
напруг одноконтурного параметрич-ного тдсилювача; б) до значного збь льшення коефiцiе-нта передавання середньо! потуж-ностi за перюд сигналу з входу тдсилювача на його вихщ у 135.6 разiв. Цей факт пояснюе доцiльнiсть вико-ристання у пара-метричних тдси-
лювачах декшькох параметричних елементiв, що забезпечуе значне тдси-лення сигналiв при незначнт змiнi параметрiв цих елементiв.
Нyльовi значення P(t) для рiзних часових точок з табл.1 та табл.2 пере-конують у адекватностi обчислень, виконаних для одноконтурного тдсилювача у середовищi СПФ MAOPCs.
Yd миттевi значення стрyмiв, напруг та значення миттевих потужностей одноконтурного параметричного тдсилювача, отримаш за допомогою СПФ MAOPCs, зб^аються iз значеннями, що отримат за програмою Micro-Cap 7.0.
Рис.4. Залежшсть коефщент передавання середньо'1 потужносп Рвих/Рвх вщ mc та mL
Висновки
Система програмних функцш MAOPCs, що основана на частотному символьному метод^ на вщмшу вiд описаних у лiтературi [4,5], е бiльш ефек-тивним засобом для визначення параметричних передавальних функцiй ль нiйних параметричних кш, якi е основою для розв'язування задач багатова-рiантного аналiзу та оптимiзацii. Розробка нових програмних функцш «PowerInTheBranch()» та «TransferCoefficientOfPower()» системи MAOPCs дала можливють обчислювати енергетичш характеристики лiнiйних параметричних кш, зокрема миттевi потужностi гiлок кола та середню потуж-нiсть за перюд сигналу в усталеному режим^ Це дозволяе пiдвищити адек-ватшсть моделювання та покращити якiсть проектовано1' апаратури.
Для бiльшостi параметричних кш , зокрема параметричних шдсилюва-чiв, визначення однiеi символьно! параметрично!' передавальноi' функцi!' кола займае до 7 хвилин (MATLAB 7.6.0, процесор Intel Core i5-3317U CPU @ 1.70 GHz та оперативна пам'ять 8.00 Gb.), а необхщна кiлькiсть гармош-чних складових у параметричних передавальних функщях, що забезпечуе необхiдну точнють, е невеликою. Пiсля формування символьних параметричних передавальних функцш багатоварiантний розрахунок миттевих по-тужностей параметричного кола у СПФ MAOPCs вщбуваеться за долi секунд.
References
1. Tholen E. A., Ergul A., Doherty E. M., Weber F. M., Gregis F. and Haviland D. B. (2007) Nonlinearities and parametric amplification in superconducting coplanar waveguide resonan-ors. Appl. Phys. Lett., Vol. 90, No. 25, p. 253509. doi: 10.1063/1.2750520
2. Yamamoto T., Inomata K., Watanabe M., Matsuba K., Miyazaki T., Oliver W. D., Naka-mura Y. and Tsai J. S. (2008) Flux-driven Josephson parametric amplifier, Applied Physics Letters, Vol. 93, No. 4, p. 042510. doi: 10.1063/1.2964182
3. Eom B. H., Day P. K., LeDuc H. G. and Zmuidzinas J. (2012) A wideband, low-noise superconducting amplifier with high dynamic range, Nature Physics, Vol. 8, No. 8, pp. 623627. doi: 10.1038/nphys2356
4. Vanassche P., Gielen G. and Sansen W. (2002) Symbolic modeling of periodically time-varying systems using harmonic transfer matrices, IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 21, No. 9, pp. 1011-1024. doi: 10.1109/tcad.2002.801098
5. Vanassche P., Gielen G. and Sansen W. (2005) Systematic Modeling and Analysis of Telecom Frontends and their Building Blocks, Katholieke Universiteit Leuven, 230 р.
6. Shapovalov Yu. I. (2014) Symvolnyi analiz liniinykh elektrychnykh kil u chastotnii ob-lasti. Postiini ta zminni parametry [Symbolic analysis of linear electrical circuits in the frequency domain. Fixed and variable parameters]. Lviv, Lvivska politekhnika Publ, 324 p.
7. Shapovalov Yu., Mandziy B.and Bachyk D. (2014) The system functions MAOPCs for analysis and optimization of linear periodically time-variable circuits based on the frequency symbolic method, Przeglad Elektrotechniczny, Vol. 91, No 7, pp. 39-42. doi: 10.15199/48.2015.07.13
Шаповалов Ю. I., Мандзт Б. А., Бачик Д. Р. Визначення потужност1 лтшних па-раметричних шл у середовищ1 системи програмних функщй MAOPCs
У робот1 представленорозширення системи програмних функцтMAOPCs функщею визначення миттевог потужност1 у гшщ лттного параметричного кола та функщею передавання середньог потужност1 з входу кола на вихгд. Архтектура системи програмних функцт MAOPCs основана на засадах програмного середовища Matlab, що пе-редбачае iснування програмних функцт та user-defined functions (функци, що визнача-ються користувачем), а тому вона е вiдкритою системою, що дозволяе доповнювати гг новими функщями. Подано комп'ютерний експеримент використання нових програмних функцт системи MAOPCs
Ключов1 слова: частотний символьний метод, система програмних функцт MAOPCs, лттш параметричш кола.
Шаповалов Ю. И., Мандзий Б. А., Бачик Д. Р. Определение мощности линейных параметрических цепей в среде системы программных функций MAOPCs
В работе представлено расширение системы программных функций MAOPCs функцией определения мгновенной мощности в ветви линейной параметрической цепи и функцией передачи средней мощности с входа цепи на выход. Архитектура системы программных функций MAOPCs основана на принципах программной среды Matlab, что предполагает существование программных функций и user-defined functions (функции, определяемые пользователем), а потому она является открытой системой, позволяющей дополнять ее новыми функциями. В работе представлен компьютерный эксперимент использования новых программных функций системы MAOPCs.
Ключевые слова: частотный символьный метод, система программных функций MAOPCs, линейные параметрические цепи.
Yu. Shapovalov, B. Mandziy, D. Bachyk. The determination of power of linear periodically-time-variable circuits in an environment of the system of software functions MAOPCs
The paper presents two new the software functions of the system of software functions MAOPCs. The first software function is designed to determination the instantaneous power in the branch of linear periodically-time-variable circuit and the second software function is designed to determination of transfer coefficient of average power from input of circuit to it's output. Architecture of the system MAOPCs based on the principles of programming environment Matlab, which implies the existence of software functions and user-defined functions (functions defined by the user), and it is an open system that allows you to complement it with new functions.
The paper presents a computer experiment in which for single-circuit parametric amplifier by the Tellegen's theorem checked adequacy of calculations in the MAOPCs environment instantaneous power branches of the circuit and defined transfer coefficient of average power from its input to output.
The system of software functions MAOPCs, which is based on the frequency symbolic method is an effective tool for determination of parametric transfer functions and calculation of energy characteristics of linear periodically-time-variable circuits, in particular, parametric amplifiers. Introduction to the system MAOPCs such software functions as «PowerlnThe-Branch()» and «TransferCoefficientOfPower()» allowed it to calculate the energy characteristics of linear periodically-time-variable circuits, leading to increase of adequacy of modeling and improving the quality of designed equipment.
Keywords: the frequency symbolic method, the system of software functions MAOPCs, linear periodically-time-variable circuits
