Методы определения энергетических показателей систем электрической тяги в переходных режимах ее работы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.332.3 : 629.423

П. е. МИХАЛ1ЧЕНКО, М. О. КОСТИ (ДПТ)

МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ЕНЕРГЕТИЧНИХ ПОКАЗНИК1В СИСТЕМИ ЕЛЕКТРИЧНО1 ТЯГИ В ПЕРЕХ1ДНИХ РЕЖИМАХ II РОБОТИ. 1. ТЕОРЕТИЧНЕ ОБГРУНТУВАННЯ

У статгi запропоновано три методи визначення енергетичних показникiв i непродуктивних втрат елект-роенерги в системi тягового електропостачання постiйного струму, основаних на сучасному математичному апарап аналiзу електричних величин, як1 е випадковими функцiями часу.

Ключовi слова: енергетичш показники, спектральний аналiз, перетворення Фур'е

В статье предложено три метода определения энергетических показателей и непроизводительных потерь электроэнергии в системе тягового электроснабжения постоянного тока, основанных на современном математическом аппарате анализа электрических величин, которые являются случайными функциями времени. Ключевые слова: энергетические показатели; спектральный анализ; преобразование Фурье

In the article three methods for determination of the wasteful losses of electric energy in a system of DC traction supply based upon the advanced mathematical techniques for analysis of electric values, which are random functions of time, are suggested.

Keywords: energy factors; spectral analysis; Fourier transformation

Вступ. Сутшсть енергетичних показникчв

1снуюча на сьогодшшнш день в електричних колах систем електротяги традицшна кла-сична система показниюв ефективност елект-роенергетичних процешв включае в себе наступи показники, що подаш в роботах О. Маев-ського [1] та Г. Зшов'ева [2]: коефщент зсуву фаз основно! гармошки несинусо!дного струму вщносно вхщно! синусо!дно! напруги (cos ф(^);

коефщент спотворення форми струму по вщ-ношенню до форми напруги (v); коефiцiент несиметри навантаження по фазах (КHC); кое-фiцiент нерiвномiрностi споживання електро-енерги (КHP). Ц коефiцiенти базуються на спiввiдношеннях вщповщних потужностей активно! P, реактивно! Q(^, спотворення D, не-

симетрi!' HC , нерiвномiрностi HP та повно! S. Автори [1, 2] розглядали системи лише з вхщ-ною синусо!дною напругою. Тому cos ф(1), P i

Q(1) визначались лише для першо! гармонiки. У

випадку несинусо!дних напруги та струму кое-фщент cos ф буде коефщентом зсуву за фазою мiж кривими напруги та струму, потужнють Q буде реактивною потужшстю по Будеану QB , а потужнiсть P буде обумовлена однойменними гармошками напруги i струму. Тому зазначеш коефщенти визначаться через цi потужностi, як складовi повно! потужностi S, таким чином:

cos ф =

P

v =

KHC =

KHC =

JP'+QBB ' Vp 2+qB .

yp+QB+D2'

yjp2 + QB + D2 VP2 + QB + D 2 + HC

4P2 + QB + D2 + HC

(1)

(2)

(3)

yJP2 + QB + D2 + HC + H Vp2 + QB + d2 + HC

S

(4)

Загальним показником в цiй ra^^i е кое-фiцiент потужностi X, який об'еднуе мульти-плшативно всi локальнi коефiцiенти (1) - (4) за виразом:

P

X = — = (cosф)•v- Khc •Khp . (5)

Стосовно системи електротяги у класичному розумшш коефiцiент потужностi X, по-перше, визначае ступiнь використання повно! потуж-ностi S, шдведено! взагалi до тягово! шдстан-ци чи до електрорухомого складу зокрема. Подруге, величина X також характеризуе втрати активно! потужносп в силових тягових колах

© Михашченко П. е., Костш М. О., 2011

електрорухомого складу i в тяговш мереж1 еле-ктропостачання.

Слщ зауважити, що коефщент потужност cos ф не завжди е достатньо очевидным енерге-тичним показником (для кш i режим1в, у яких потужност D Ф 0, HC Ф 0, HP Ф 0 ), i тому в останнi роки в тяговому електропостачанш, подiбно промисловому, в якосп зв^но! величи-ни використовують коефiцiент реактивно! по-тужностi:

QB

tg ф = р,

(6)

який е бшьш енергетично практичним показником. Дшсно, наприклад, при cos ф = 0,95 величина tg ф= 0,33 . Отже, хоча cos ф близький до 1, але споживана реактивна потужшсть QB складае майже 1/3 вщ активно!, тобто порiвня-но велика.

Викладена вище система енергетичних по-казникiв базуеться на гармонiйному пiдходi i тому, по-перше, може призвести до невизначе-ностi та ускладнень при характеристик потокiв енергi!, коли вже треба оперувати з штегралами функцш енергi!. По-друге, вона володiе негати-вними сторонами, що обумовлюють неодно-значнiсть розв'язання проблеми оцiнки ефекти-вностi процесiв передачi, споживання i пере-творення електроенергi!. Тому розглянута вище система (1)-(4) повинна бути доповнена шши-ми показниками, яю б у першу чергу ощнювали ступiнь споживання реактивно! енергi! й тим самим стушнь якостi електроенерги. Таким по-казником, на нашу думку, можуть бути непро-дуктивнi (додатковi) втрати електроенерги в елементах системи електротяги, бо лише вони базуються на ушх факторах неякiсностi енергi! i вщображають економiчну сторону як енергопо-стачання, так i енергоспоживання [3]. Ц втрати характеризують не лише техшчну сторону транспортування електроенергi! вщ тягово! тд-станцi! до електрорухомого складу, але i якiсть оргашзацп та контролю електроенергетичних процесiв в OT^^i електрично! тяги.

Для отримання формул додаткових втрат електроенергi! скористаемося концепщею С. Фризе [4, 3]. Вш запропонував будь-якого споживача зi струмом i(t) довiльно! форми представляти паралельним з'еднанням резисти-вного елемента R, що вщображае споживану активну електроенергiю, та реактивного елемента X, що характеризуе споживання неактив-них складових потужиосп: реактивно! потуж-ностi та потужносп спотворення. Вважаеться, що у виц з елементом R протшае активна складова струму ia (t), яка спiвпадае за формою

з прикладеною до споживача напругою u (t) . По елементу X протшае реактивна складова ip (t), що ортогональна до напруги u (t). Тодi

для довiльного штервалу часу [0...т] iмпульсу перехiдного i(t) його можна представити сумою:

i(t) = ia (t) + ip (t), (7)

1 ^ 1 ^ 1 ^

- [i2 (t\dt = - [i2a (t\dt + - [ip (t\dt, T 00 т 00 X J

I fi2 (t)dt =1 fi2 (t)dt -1 fip (t)dt. (8)

T » T » T »

чи

x x x

0 0 0

Помноживши всi складовi (8) на

1

i (8) на -ju2 (t)dt,

отримаемо:

1T 1T 1T 1T

- fu2 (t)dt • - fi2p (t)dt = - fu2 (t)dt • - fi2 (t)dt -T 00 т 00 X 00 x 00

-1 fup (t)dt •1 fip (t)dt. (9)

X X

0 0

Лiва частина виразу (9) характеризуе реак-тивну потужшсть Фризе Q^, що споживаеться

на iнтервалi [0...т], тобто

Qox =1 ] u2 (t)dt •1 f ip (t)dt . (10)

г X ■

0 0

Тодi непродуктивнi (додатковi) втрати активно! електроенерги в споживачi R будуть ви-значатися виразом:

1 т

- fR • i2 (t)dt =

T »

^R = R • tgpф, (11)

1 т 1 т

1 f u p(t )dt 1 f u p(t )dt ? i ? i

де Qфт та Рт - реактивна та активна потужнос-тi, що споживаються навантаженням R .

Теоретичнi передумови методiв

Як випливае iз виразiв (1)-(6) i (11), для визначення потужностей, як енергетичних характеристик, а, отже, i власне енергетичних по-казникiв необхiдно знання часових функцш перехщних напруги u(t) i струму i(t). Ui зале-

жност можуть бути одержанi або експеримен-тальними дослiдженнями на дiючих енергод> лянках залiзниць, або моделюванням в умовах лабораторш. Задача визначення складових по-вно! потужностi на основi несинусо!дних кри-вих и (У) та /(У) вже розв'язувалась авторами робiт [5 - 7], але то були дослiдження для часо-вих залежностей неперервних технологiчних коливань випрямних напруги i струму в уста-лених режимах для добових i мiсячних репст-рограм. В той же час, як показуе практика до-слiджень, в перехщних, i особливо в аварiйних, режимах залежност и (У) та Щ) являють собою одинок короткочаснi, тривалiстю т, неперю-дичнi iмпульси довшьно! форми, наприклад, вигляду рис. 1. Для визначення енергетичних показникiв системи електрично! тяги у режимах з такими iмпульсами пропонуються насту-пнi три методи.

7,9 кА

47 кВ u(t)

W

збiжнiсть у середньоквадратичному limf| a(t) - fK (t )|2 dt = 0,

найбiльш доцiльним для апроксимаци e перший, найбшьш жорсткий, критерiй. Система функцiй f(t), f2(t), ..., fK(t), ..., (t) в анат-тичних виразах критерив збiжностi являе собою функцп, комбiнацieю яких можна представити перехщну величину a(t) (чи то напругу, чи то струм). При виборi методу наближення складно! за формою a(t), апроксимащя чи штерпо-ляцiя, перевагу треба вщдавати апроксимаци, оскiльки у цьому випадку iнтерполяцiйний многочлен буде дуже високого порядку, що робить розрахунки недопустимо громiздкими. Бiльш того, не для всяко! перехщно! a(t) мож-ливо простими способами побудувати многочлен, що забезпечуе рiвномiрну збiжнiсть до a(t) (якщо вона необхiдна).

У подальшому розглядуваний метод полягае у визначенш енергетичних показниюв за вира-зами (1)-(6) i (11), в яких потужносп оцiнюють за нижченаведеними формулами на основi ап-роксимованих перехiдних u (t), i(t), а саме:

- миттеву потужшсть на iнтервалi [0...т] ю-

нування iмпульсу перехщно! величини визна-чають як:

p%( t ) = u (t )• i (t);

(12)

Рис. 1. Осцилограми перехвдних фвдерних напруги u (t) та струму i(t) при вимиканш швидкодшчим вимикачем типу АБ-2/4 короткого замикання в тяго-вш мереж

Перший, назвемо його методом наближення, полягае в такому. Для заданих граф1чно (осцилограм) чи таблично перехщних u (t), i(t) (позначимо i'x одшею функщею a(t)) знаходять наближеш анал^ичш вирази, тобто здшснюють 1х аналггичну апроксимащю за критер1ями зб1-жиосн або штерполящю. Особливютю i важли-вютю цих математичних операцш при розв'я-занш поставлених енергетичних задач е те, що апроксимуючи щ штерполююч1 функци f (t) повинш найбшьш точно вщображати перехщш величини a(t), шакше буде загублена важлива шформащя, що призведе до неточних кшцевих результанв. Тому 1з ус1х вщомих у математищ критерив зб1жност1, зб1жн1сть в кожиш точщ

a(t) = lim fK (t) в обласн [0...т],

рiвномiрна збiжнiсть

lim (max|a(t) - fK (t)|) = 0,

- активну потужн1сть за той же штервал часу за виразом:

1 т 1 т

Р,=т\Рт dt = -f u (t )• i (

0 0 - повну потужшсть як:

^т= Uт • Iт ,

t)dt. (13)

(14)

де ит, 1т - дiючi значення напруги i струму за iнтервал часу [0...т]:

ит =

1Ju2 (t)dt; 1т = 1Ji2 (t)dt . (15) т 0 \т 0

Для визначення реактивно! потужносп юнуе багато методiв i пiдходiв i це питання залиша-еться дискусiйним до цього часу. Найбшьш пе-рспективним тдходом до визначення цiе! неактивно! складово! е концепцiя С. Фризе [4], яка направлена на збереження функщонального характеру описання енергетичних властивостей кiл при синусо!дних i несинусо!дних процесах. В цьому випадку реактивна потужшсть за Фризе визначаеться за виразом:

Qox =yj S-2 - P .

(16)

У другому методi, методi «дискретно'1 еле-ктротехшки» аналоговi iмпульси перехiдних u (t) та i(t) (у подальшому те ж як a(t)) шляхом дискретизацп з певним штервалом часу At перетворюють в iмпульси, якi мiстять масиви N значень (вщлтв) дослiджувано! величини a(t) (рис. 2): a1 = a(tj); a2 = a(t2); ..., an = a(tn); ...; aN = a(tN); n = 1,2,3,..., N; т

At = — - штервал дискретизацil в реальному

N

масштабi часу, вибiр якого е дуже важливою операщею i його треба здiйснювати виходячи iз характеру змiни дослiджувано! величини a(t).

At <-

2 /в

п

(17)

Дослщження також показують, що ефектив-но правильний результат вiдносно At при ана-лiзi змiн напруг i струмiв навантаження дае оцiночна формула [9]:

At = (0,1...0,25)T,

де T1 - найменший середнш термiн часу циклу роботи пристрою чи системи.

У подальшому, тсля визначення At дискретизацп iмпульсiв перехщно! напруги u (t) i струму i(t) i визначення !х вiдлiкiв, згiдно з розглядуваним методом, а, отже, i рис. 2, не-обхiднi потужностi розраховують таким чином [5].

Активну потужнiсть Рт, згiдно (13), знахо-дять як середне арифметичне за штервал [0...т]:

P = -n=1

N

Z Pn

N

або Рт = -

N

(18)

^u , i

n? n

n -i значення напруги, струму

ot

Рис. 2. Дискретизащя неперервного 1мпульсу перехщно! величини a(t)

Останнш може бути отриманий анатзом схеми дослiджуваного пристрою чи системи, принципу !! функцiонування, вимог до a(t), взаемних зв'язюв мiж елементами тощо. У першому наближеннi аналоговий iмпульс-функцiя a(t) може бути адекватно представлений дискретними вщлшами, якщо його частота не перевищуе половини частоти Найквюта (ча-стоти дискретизацi!). Для точних розрахунюв можна зробити припущення про максимальну (верхню) /в i мшмальну (нижню) /н частоти у спек^ перехiдно! величини або (у крайньому випадку на основi власного досвщу або непря-мих передумов) можна задатись цими величинами i визначити At за теоремою Котельникова [8], зпдно з якою будь-яка функщя a(t), спектр яко! не мiстить складових з частотами вище певного значення юв = 2п/в, може бути без втрат шформацп представлена сво!ми дискретними вiдлiками a1,a2,...an (рис. 2), взятими з штервалом At, який визначаеться за такою не-рiвнiстю:

або миттево! потужностi;

N - загальна кiлькiсть точок дискретизацi! за термш часу [0...т].

На перший погляд, активну потужнiсть Рт для розглядуваних режимiв можна визначити i як добуток середнiх за час споживання енергi! системою напруги Ucp та струму Icp :

Pcp = Ucp

cp

де U

cp

1 N 1 N

=N Z Un, 1cp = N in.

n=1 n=1

Однак значення потужносп Рт в цьому разi будуть менш точнi, бо тодi вона визначаеться лише потужнютю нульово! гармошки (якщо припустити можливiсть розкладання u (t) та

i(t) в ряд Фур'е) оскiльки UCp = U(0), 1ф = 1(0).

Для визначення повно! потужносп ST також застосовують формулу (14), в якш дiючi значення UT та 1т знаходять як середнi квадрати-чш за т вiд дискретних значень (рис. 2):

U,='

Ъ

N

(19)

1

n=1

n=1

Iт =

N

У п

/ V п

N

(20)

Реактивну погужнiсть за Фризе визначають за формулою (16), а енергетичш показники -також за виразами (1)-(6) i (11).

Третiй метод, який можна назвати методом цифрового спектрального аналiзу, базуеться на гармоншному аналiзi iмпульсiв перехiдних напруги i струму, що виконуеться за допомо-гою дискретного перетворення Фур'е. Для цьо-го замють реально отриманого одного iмпульсу перехщно1 величини а(^) (типу рис. 1 i 2) думкою утворимо перюдичну (з довшьним перь одом Т ) послщовшсть таких iмпульсiв (рис. 3).

к)

що знахо-

диться за вiдомим виразом [10]:

-т(к )

| а (

- ] кю t

(22)

Однак функцiя а(^) е несинусо1дною i дов>

льно1, часто дуже складно1, форми, тому засто-сування для 11 спектрального аналiзу класично-го Фур'е-анатзу практично утруднено, доцiль-ним е використання дискретного перетворення Фур'е [11, 12]. Для цього, як i в другому метод^ здiйснимо дискретизащю з iнтервалом а? iм-пульс-функцн а^), як це зроблено на рис. 2.

Тодi значення ап = а (п • Аt) е вiдлiками тепер

вже перiодично1' (рис. 3) аналогово! функцi1'

а(^ у виглядi послiдовностi дельта-функцп, «зважено!» вiдлiками а (п • Аt) аналогово! фун-кцл а(0 (рис. 4) [13]:

N

а(t) = У а(п • Аt)5(t— п^ Аt) . (23)

п=1

Пiдставивши (23) в (22), отримаемо

2 Т N

Ат(к) = Т|Уа( Аt)5(t-п- Аt).в-^^ . (24)

0 п=1

Оскшьки а (п- Аt) е константами (незалеж-ними вщ t), а функцiя 5( - п •Аt) дорiвнюе

нулю за будь-якого t о^м t = п • Аt, тодi (24) можна переписати у виглядi:

2 N Т N

1т( к) = Т У а (•Аt ){У5(п А)

Т п=1

(25)

0 п=1

Рис. 3. Утворення перюдично1 1мпульс-функцп )

Тепер несинусо!дну функцiю-iмпульс а(^ можна розглядати не на штерват [0...т] 11 юну-вання, а продовжену перiодично поза штерва-лом [0...т]. Тобто неперiодична iмпульс-функ-цiя а(t) перетворена в перюдичну з перюдом Т , для яко1 е чинним розкладання в ряд Фур'е в дшснш класичнiй формi:

а () = Ат(к)вШ (+ У а(к) ) , (21)

де Ат(к), уа(к) - ампл^уда i початкова фаза к-о1 гармонiки ряду, яю визначаються iз комплек-

сно1 ампШтуди Ат(к) = Ат(к) е

5(пА1)=5(1-п А)

1 2 3

\ а(1)

А1

п п+1

5(ЫА1)=5(1-ЫА1)

Ы-- N

011 12 1з

1п1п+

1,=т=Т

Рис. 4. Дискретизований 1мпульс-функц1я а(/) у вигляд1 послщовносп дельта-функцш

Врахуемо фiльтруючу властивiсть дельта-функцп [11, 12], яка полягае у тому, що якщо ця функщя присутня пiд iнтегралом у якост множника, то результат штегрування буде до-рiвнювати значенню шшо1 шдштегрально1 фу-нкцн (чи виразу) у тш точцi (часу), де зосере-джена дельта-функцiя, незалежно вщ меж ште-грування. Тодi вираз (25) набуде вигляду:

2 N

1т(к) = Т У а ( А)

Т п=1

— ]кю А t

(26)

В (26) спектр е дискретним з частотною вщ-станню мiж гармонiками, яка, згiдно рис. 4, до-рiвнюе

2п 2п

ю = -

Т N • А

(27)

З урахуванням (27) i того, що а (п • а?) - це значення вщлшв i тому а (п • а?) = а (п), вираз (26) можна записати у виглядк

п=1

а'*

т

-m( к)

N-ЫПй

N

Za (n)

(28)

Отже, комплексна амплiтуда дискретного ряду Фур'е представляе собою лшшну комбь нацiю вiдлiкiв а (п) дискретизованого iмпульсу перехщно! величини а(г).

У вирaзi (28) реальний масштаб часу фиу-

1

руе лише у множнику — перед оператором

Аг

додавання. При аналiзi дискретних послщовно-стей зазвичай оперують номерами вщлтв (1, 2, ..., п, ..., N рис. 2 i 4) та спектральних гармонiк без прив'язки до дiйсного масштабу часу i час-

тоти [12]. Тому множник — вилучимо iз вира-

Аг

зу (28), тобто будемо вважати частоту дискре-тизацн рiвною одиницi. I тодi остаточний вираз комплексно! амплiтуди «к»-о! гармонiки буде:

2 N Nn=i

-m(к) = NZa (П)e N = Ат(к)

• e

JVa(K)

(29)

якии i e виразом дискретного перетворення Фур'е аналогового 1мпульса-функц1! a(t).

Пюля визначення Am(к) та jya(K) за цим виразом та запису ряду Фур'е за виразом (21) по-тужносп Рт i ST знаходять за вщомими класи-чними формулами теорп кiл несинусо!дного струму, а саме:

- активну потужнiсть:

Рт = Z U ( ч • I ( ч • cos rn(

т / - т(к) т(к)

- повну потужнiсть:

Sт = U • Iт

(20)+и(2)+и(2)+...+и(к)+...

1т =* I1(0) +1(2) +1(2)

-...+1(

Де Uт

- реактивну потужнiсть за Фризе визначають за формулою (16), а енергетичш показники та-кож за виразами (1)-(6) i (11).

На основi отриманих вище теоретичних ви-кладок, у наступнiИ статп авторiв будуть пред-ставленi чисельн розрахунки показникiв якостi електроенергн для аваршних режимiв короткого замикання, експерименти яких були прове-денi на однш з дiючих дiлянок системи тягового електропостачання постшного струму ДП «Придншровська залiзниця».

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИИ СПИСОК

1. Маевский, О. А. Энергетические показатели вентильных преобразователей [Текст] / О. А. Маевский. - М.: Энергия, 1978. - 320 с.

2. Зиновьев, Г. С. Прямые методы расчета энергетических показателей вентильных преобразователей [Текст] / Г. С. Зиновьев. - Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990. - 220 с.

3. Костш, М. О. Зниження непродуктивних втрат електроенерги - найважливша задача тдви-щення ефективносл електроспоживання системами електрично! тяги [Текст] / М. О. Костш, П. £. Михал1ченко, А. В. Петров // Зал1зн. трансп. Укра!'ни. - 2009. - № 2. - С. 43-44.

4. Fryse, S. Wirk - Blind - und Scheinleistung in elektrischen stromkreisen min nichtsinusformigen Verfaf von Strom und Spannung // Elektrotechn. Z.

- 1932. - V. 25. - S. 596-599; V. 26. - S. 625-627; V. 27. - S. 700-702.

5. Костш, М. О. Методи визначення потужностей в системах зi стохастичними електроенергетич-ними системами [Текст] / М. О. Костш // Техш-чна електродинамша. Тем. вип. ПСЕ. - 2006. -Ч. 6. - С. 3-8.

6. Петров, А. В. Методи спектрального аналiзу випадкових коливань напруги та струму фвдера тягово! пвдстанцп постшного струму [Текст] / А. В. Петров // Вкник Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад. В. Лазаряна. - 2010. -Вип. 34. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2010. - С. 52-56.

7. Костин, Н. А. Методы определения составляющих полной мощности в системах электрической тяги [Текст] / Н. А. Костин, А. В. Петров // Техшчна електродинамша. - 2011. - Вип. 5. -С. 39-43.

8. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И. С. Гоноровский. - М.: Сов. радио, 1977. - 608 с.

9. Электромагнитная совместимость электроприемников промышленных предприятий [Текст] / под ред. А. К. Шидловского. - К.: Наук. думка, 1992. - 236 с.

10. Основы теории цепей [Текст] / под ред. Г. В. Зе-веке. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

11. Марпл-мл., С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения [Текст] / С. Л. Марпл-мл.

- М.: Мир, 1990. - 584 с.

12. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Б. Сергиенко. - СПб.: Питер, 2003. - 604 с.

13. Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : Т. 3 / Г. М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1966. - 656 с.

Надшшла до редколегп 21.03.2011.

Прийнята до друку 30.03.2011.

к=0