Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том I 19 70 Мб

УДК 629.7.015.7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА

В. А. Ярошевский

Рассматривается задача об отыскании квазистатических режимов пространственного движения вращающегося тела при полете в атмосфере. Получены формулы для определения этих режимов для тела вращения с малой весовой и аэродинамической асимметрией и тела с плоскостью симметрии под произвольным углом атаки с малым нарушением этой симметрии.

Выводятся приближенные уравнения, определяющие квазиста-тические режимы изменения углов атаки и скольжения и продольной угловой скорости для случая, когда тело имеет немалую продольную угловую скорость. Подобный подход применялся в работах [1] —[4]. В [1] содержится подробный анализ таких режимов в линейной (по углам атаки и скольжения) постановке применительно к самолетным конфигурациям, имеющим плоскость симметрии. Полученные результаты, в частности, позволяют установить, в каких случаях возможно развитие неблагоприятных режимов интенсивного вращения. В [2] подобные режимы рассматриваются в нелинейной (по углу атаки) постановке применительно к телам вращения. Получен целый ряд интересных результатов, относящихся к влиянию массовой асимметрии, в частности, наличию центробежных моментов инерции у тела вращения.

В настоящей статье квазистатические режимы рассматриваются в двух вариантах: для тела вращения с малой весовой асимметрией в линейной по углам атаки и скольжения постановке с учетом центробежных моментов инерции, а также для тела с плоскостью симметрии в нелинейной по углу атаки постановке.

1. Рассмотрим тело почти осесимметричной формы, центр масс которого смещен с геометрической оси на малую величину, а эллипсоид инерции близок к телу вращения и повернут на малый угол по отношению к геометрической оси. Предположим, что тело совершает полет в атмосфере, причем угол между вектором скорости и геометрической осью мал. Будем считать, что отличие формы тела от осесимметричной выражается только в возникновении малого аэродинамического момента МХа, направленного по геометрической оси.

Введем правую систему ортогональных центральных связанных с телом осей х, у, г: ось х параллельна геометрической оси, ось у расположена в плоскости центр масс — геометрическая ось. Уравнения движения имеют вид .

Щз- + <0^ к, - ш2 кя =- М„ (1>

йК

у

ш

йК,

сИ

где

+ “г Кх — шх К2 = Му< (2)

+ <°хКу — °>У Кх = мг, (3>

кх Л: и)х ~ ^ху “у Iхг шг>

Ку = Iху 10х Ч- /у *_у ^уг °\г>

Кг = ~ шл- + 7уг “у + 4 ШГ

Проектируя вектор скорости на указанные оси, введем угол 1/у „ V,

атаки а =------и угол скольжения р = -у- .

Аэродинамические моменты при малых углах а и р можно представить в следующем виде: Мх = МХо-1-М1$ + М™х юх-\г М™у шу> Му = Му р М*х ых + МуУ а>у, Мг = М2о + Мга + М*гц>г (эффектами нестационарное™ пренебрегаем), где

Мх0 = тХоЯ81, М9Х = т\ ^5/, т3х = — сапАу, М\ = М& = М*=т* цБ1, ю= «•••

V

мга = т2„ т2п = с~ Ду.

— Ду

Здесь Д_у = -у— ; Д_у—смещение центра масс; с, — коэффициент тангенциальной силы; с* — производная коэффициента нормальной

Р^2 - с /

силы по углу атаки; <7 = -*—^------скоростной напор, 6 и I — харак-

терные площадь и длина тела. Разница между Му и ЛГ* имеет второй порядок малости по а, Р и Ду, поэтому ею можно пренебречь.

Производные демпфирования /га®; выразим через значения производных для тела с несмещенным центром масс (Ду =0, индекс „0“):

здесь принято допущение о том, что аэродинамическими моментами, обусловленными ВЯЗКИМ трением (т*х)о, (туХ)о> можно пренебречь.

Если пренебречь влиянием гравитационных сил, то связь между углами и угловыми скоростями определяется соотношениями

йя.

сИ

сIр йЬ

где

= со + асо, — 7)Р,

(5)

(сап - с-) Я5 _ с'дЭ

^ тУ тХ ‘

Попытаемся с помощью выписанных уравнений найти приближенное частное квазистатическое решение, соответствующее случаю, когда углы атаки и скольжения, а также угловые скорости медленно изменяются в процессе полета.

Считая асимметрию тела малой, приписываем центробежным моментам инерции, разности моментов /г —/, возмущающему моменту тХо) а также смещению Ду параметр малости е. Угловая скорость со, имеет порядок 1. Тогда нетрудно убедиться, что в квазистатическом режиме

а = 0(е), р = 0 (з), а = 0 (а2), (5 = 0 И,

и)х=°(£). иу = 0(®), шг = 0(е); шу = 0 (а3), сог = 0(£2).

Для определения этого решения выпишем вначале уравнения (2) и (3) и с их помощью найдем а и р в функции от ш,, а затем, подставляя полученные выражения в уравнение (1), найдем изменение со, по времени.

Сохраняя в уравнениях (2) и (3) только члены порядка е, получим:

а(- Д/4-М*- чЛГ) + р(г)Д/-МГ)со, = Мго + 1ху *»=; V

— а (тг)Д/ — Мт) со, Р (— ДЛол — ■/И<р —- 7)Жт) = Мух со, — 1хг шх. ) ()

Здесь Д/ = /— 1Х, 1у^12 — 1. Разрешая эту систему уравнений, получим выражения для аир:

(Мг + /хч сор(Д/и)2 -{-М^-^-чМ”) + (Т]Д/—/Иш)(УИ“-« со^ — /,гсоЗ)

(т]Д/ - му а>% + (Д/а£ + М9 + г\МУ

(Д/а£+Л1* + 71 ЛГ) (/,г - Мух со,) + (у)Д/— ЛГ)(М,.+1ху»1у

р =

(О..

(т]Д/ - му со, + (Д/< + м9 + -цМУ

(7)

Если считать, что аэродинамические коэффициенты и скоростной напор изменяются медленно [0(^) = е], то нетрудно убедиться,

что 0(а) = 0((3) = е2, а 'это оправдывает сделанные оценки порядков. Эти выражения следует подставить в уравнение (1), которое имеет следующий вид (сохранены только члены порядка е, которые подчеркнуты, и члены порядка г2):

(— а1хг — ^ху) -■»]<“*(— №хг + а1ху) + Мх Р +

+ Мт/ + Мху (—ашх + -ф) + МХп. (8)

Следует отметить, что при плавных искажениях поверхности тела порядка г коэффициент тХа, подсчитанный по теории Ньютона, имеет порядок е2. Тогда все члены в (8) имеют одинаковый порядок.

Тот факт, что углы а и ? вычисляются в первом приближении

с точностью до порядка е, не противоречит удерживанию в урав-

нении (1) членов порядка в2, поскольку эти углы умножаются в уравнении (1) на коэффициенты порядка г(Мх, 1хг, 1ху).

г-г I I ^ХУ а ^хг

При | 0), | - ОО а —-----д^“ , -д7

ш МГх* АР + 1ху АI (Мшу* + Мшху) + ЛГ (4, + 11г)

л- шх

-Условие —*

АР '

<0 гарантирует от неограниченной рас-

со ^ = 00

крутки тела. При с», 0 а - — м? ^.°Мт = Чал, р — О,

м м;* (м1 + г,м;у) 4-мга(- -п!ху - м»

—£---> М х-----'------------------------------------1

(71Д/-Жш)Мго(М^+

+

Условие

(М* + -цму

< 0 гарантирует существование устойчивого

режима вращения с малой угловой скоростью, если момент МХа достаточно мал.

Особый интерес вызывает окрестность критической угловой скорости [1] — [4], где возможно резкое увеличение угла атаки или угла скольжения. Пространственный угол атаки равен

,______(Мг, + /,у <»*)2 + (М“х шх - !хг ш2х)2

8 _ /а2 + В3 = — ________Х1Л1--------*--------Х±Л!_---. (9)

(т,Д /— ЛГ)2 О)2 + (Д 1ш1 + м* + ^му

Нетрудно заметить, что в случае М9 <^0, Д/>0 (сплюснутый ЭЛЛИПСОИД инерции) при небольших демпфирующих членах Т] и Мт пространственный угол атаки резко возрастает, если шх = о/ =

АI '

«, *ч | ° А/

°К)

М9 + -чМш (М“у*~-1хгтх? Д7

(,4/-ЛГ).' м'+^'

АI

Проанализируем, как изменяются величины а, р и ш, в окрестности со, = ш*х. Обозначим а>, — о/ = Дев,. При малых Ли, любую из названных величин можно представить в виде

аДсо, + Ьх

с, (И)

где а, Ь, с — некоторые коэффициенты; у = т]Д/—ЛГ.

Величина 2 обращается в нуль в точке Дсо, =------и дости-

гает экстремума в точках

(Дш4г)и= (--|-+|/'-|2-+4^7г)х = -257-(-а±У1 + П (12)

где

2Д/&

к =-----,

а

причем

2 [(Д“л)и] = +------7-— а—---------------------\-с. (13)

IV х>.\ _ 4Д/[у1 +Л»п:Л]х ^ '

Нетрудно видеть, что при не очень больших значениях с экстремумы имеют разные знаки. Следовательно, при малых / названные величины достигают больших экстремальных значений противоположных знаков в малой окрестности соА. = между которыми располагается значение 2 = 0.

Для названных величин значения а и Ъ равны:

^ 2Д/(Л1,0+/„»;*)

— * >

(X) у

ч = 2Д/(/„ со, - ЛГ*), Ьа =.......МГ* + /

* 3

-------- , у , г. =5= 0, с?«0,

со,

1Г / Г * 2 Г * ■ 1||) *\ I

а; = -у- [а« (— “>•* - г/*у ~ Л/,У си,) +

+ ар(— /,у 42 + г\1хг<ьх 4- /Их + ^Л4“у)],

Ьт = А- [Ьа (- — У*у “С - Л4"» 4) 4-

.V 1 у.

+ (— 4У “-Г2 "Ь ^Х2ФХ + М?х + ^М“У)]>

С(ц ^'(мхЛму»х).

X

Отметим, что по аналогии со случаем плоского движения роль производных демпфирования зависит от величины безразмер-

2щ

ного параметра р. = —[1]. Действительно, условие с», = 0(1)

означает, что члены ЛГ и Д/св* имеют одинаковый порядок. Тогда, сравнивая, например, члены М1 и ЛГа>г или члены ЛГр и ЛГ соу,

учитывая соотношения (5) и считая, что углы а и ковый порядок, получим:

имеют одина-

0 (ЛГ «д = О (Г Ю = 0 Мю а

м>

д/

Отсюда следует, что

0(ЛГ<ог)

та

(14)

где

Дг

т12 '

Следовательно, при больших ^ демпфирующие члены типа и ■/)<* являются малыми и пространственный угол атаки может достигать немалых значений в окрестности критической угловой скорости 0)^ = 0)* [см., например, (10;]. К тому же изменение углов атаки и скольжения в окрестности сох = <»; может происходить

достаточно быстро, что противоречит условию а = 0(е2), (3 = 0 (е2). Поэтому линейная квазистатическая теория может привести в окрестности «* к неточным количественным оценкам, хотя качественная картина, по-видимому, верна, если разность 1у — /2 достаточно мала.

С помощью уравнений (7) и (8) можно проанализировать возможные режимы установившегося вращения (если значения и V и аэродинамические коэффициенты постоянны или достаточно медленно изменяются), им соответствуют точки (0,(0),) = 0. Устойчивость этих режимов зависит от наклона фазовой кривой в этих точках [1], [2] при условии, что обеспечена устойчивость по а и р.

Рассмотрим несколько типичных случаев. Пусть Д/> О, ЛГ^О,

<0,

«) =0

<0. Тогда в зависимости от величины МХл

могут существовать один, три или пять режимов установившегося вращения, из которых устойчивы (отмечены кружками) соответственно один, два или три режима (фиг. 1).

а/>0; /,гДу(ст-О<0; ;

Фиг. 1

<0; ^ 0 шх

<0

При Л/<0 типичными являются один или три режима установившегося вращения, из которых устойчивы один или два соответственно (фиг. 2).

4 — Ученые записки № 5

49

Если использовать допущение о малости демпфирующих членов, то квазистатические решения для углов атаки и скольжения могут быть найдены и в более общем случае, когда тело не является осесимметричным, но имеет плоскость симметрии, причем массовая асимметрия сводится к малому отклонению центра масс от плоскости симметрии Дг и малым центробежным моментам 1Г, и 1у2 (центробежный момен

в квазистатическом режиме угол атаки такого большим, хотя угол скольжения считаем по-прежнему малым.

1ху не является малым). При этом тела может быть

Д/<0; 1Х2 Ду (ст — сап) < 0; “

О

Фиг. 2

<0;

<0

Искажение симметрии формы тела относительно плоскости сводится к возникновению вектора аэродинамического момента, лежащего в этой плоскости, а также к возмущающей силе, нормальной к этой плоскости.

Введем правую систему ортогональных центральных осей х, у, z: ось х, служащая для отсчета угла атаки, может быть выбрана произвольно в плоскости, параллельной плоскости симметрии, ось z нормальна к этой плоскости. Определим углы атаки и скольжения формулами

^ Vy ■ о V'

Sin а =---_ __ ss----— , sin 3 = —гг- .

Yv*-vt V V

Аэродинамические моменты при малых р и малых Дz можно определить в следующем виде (с точностью до малых первого порядка)

Мх = МХо (а) + Ml (а) р + М°х* (а) а>, + М°ХУ (а) (а) qSIAz,

Му = МУо (а) + Ml (а) р + М^ (а)+ МГу у (а) <»у - (а) qSl&Z,

Mz = Мг (a) + Мт/ (а) шг,

где все аэродинамические коэффициенты моментов определяются относительно точки, соответствующей несмещенному центру тяжести (Дг = 0). Если пренебречь гравитационными силами, то связь между углами и угловыми скоростями определяется соотношениями

Су (a) qS

i^sina ту ,

, . , [cl (я) + C; (a)] PtfS-f cZo qS

о)у cos а + ш sin а 4-

у х mv

Уравнения движения по-прежнему заданы в форме (1) —(3). В данном случае следует вначале рассмотреть уравнение (3) и, отбрасывая члены второго порядка малости, найти зависимость Я)- После этого можно разрешить уравнения (1) и (2) относительно р и со,, отбрасывая члены третьего порядка малости, и получить в итоге уравнение, определяющее изменение со, по времени.

Проиллюстрируем все необходимые выкладки,- приписывая малым величинам параметр малости з в нужной степени. Напомним, что малыми являются члены, характеризующие асимметрию тела, а также в силу допущения ^^>1 демпфирующие производные и силовые члены в соотношениях (15). Подставляя в уравне-

ние (3)

. (cl + cz) $qS + cz„qS — mV$ n . 2

со = — со tg a - s2 -i-1----‘------------------!- = — со tg a -f- 0 (s2),

у X ь my cos a v /*

CO =—SCO tga— gt°x2g +0(e2), y cos2a

еРШлг , SCyQS , •

* cos a mV

mz = 0 (®2)>

Mt (a) + МУ сог + My cov + MУ a), = Mz (a) + 0 (г2),

I.xz ^xzi fyz ®^уг>

получим уравнение для определения а (со,, q):

Ч [(4 - Ix) tg а + IXy (1 - tg2 «)] + («) = 0 (г2). (16)

Далее, подставляя выписанные выражения в уравнения (1) и (2), получим: .

Ршлг , су qS

Iv I — со tg ж — —— I — /гсо -|~ шх 1 ------------------------1------Г7----1- a ) (4 — 4) “f~

•v \ * & cos2 a / Vcosa т V '

( Pa>, cyqS

+ Lz «d + 7У* “jc (— tg a) - ^ (— “*tg =t) p- Л*,0 - Жэу P - ж;- О), - му (- a), tg a) - c, ?SMi ] = О И, (17)

со, a \ . , v / pco, £y <7*5

X (4 - 4) — /у* К tg «)2 — 1хг шд (— “х tg “) + 1ху + + я ) —

-МХо~м1р- му со, - му (- со, tg а) - ся Д г] = 0 (а3). (18)

Уравнения (17) и (18) являются линейными относительно ш, и р. Разрешая их, получим выражение для р и уравнение для изменения со,.

Анализируя полученные уравнения, можно заметить, что они могут быть записаны в более компактном виде, если использовать полусвязанные оси. Для этого представим себе тело под углом атаки а и с малым углом скольжения р, вращающееся с угловой

COS a

в направлении ско-

скоростью, которая имеет проекцию 2;

рости и проекцию на ^-направление (фиг. 3), оси х и у лежат в плоскости симметрии.

Тогда уравнения (16), (17) и (18) могут быть преобразованы к виду

— (/,-«)= м~- 1Т? № - м7+ м-

dt

JL. (_ Ij7 Q) = М~ I77 Q* + (/г- I7W\

(19)

(20)

0 — /~~ Q2.

Здесь /~, 17~

(21)

обозначают моменты инерции, зависящие от а, пересчитанные на новые оси х, у; ось z не изменяется:

I~ — Ix cos2 a + 2/лу sin a. cos a -f-+ Iy sin2 a;

hy = (cos2 a — sin2 a) +

+ (/v — Ix) sin a cos a,

I~~ = Ixz cos a — /j,zsin a.

Аэродинамические моменты определяются формулами

М;

Ж~+Ж

М-Q -

Ж~ = Ж- + MU + Ж^ 9 - (/г - /~)

cvqS

- у Щ—■

mV ху'

Су

где

■у Уо ' "'Уг 1 "'У '"г 'х> ту

М~ = Л1х0 cos a — Жд,0 sin a + c qSIAz,

Q.

Ж- = Mxx cos2 a — (Ж“у + Ж“*) sin a cos a + Ж”у sin2

a;

№

Ж"-1 cos2 a -f- (Ж"

.y ... ----- , x...x Ж“у) sin a cos a — Ж“у$т2а.

Производные Ж“/ могут быть взяты для тела с несмещенным

в боковом направлении центром масс (Дг = 0), поскольку А2— малая величина порядка е. Разрешая систему уравнений (19) и (20), получаем:

" " -I~~Q2)} dQ

= W~ + (b-I7)&\

Mz

X у

cy qS

dt

+ (Ж

-/гт0*)}|_Ж~ + /гт9« + 0 d

— ~di^7y)

m V ху

d±

dt

~h)

cy qS m V

Решая это уравнение совместно с уравнением (21), получим закон изменения 2(0- При этом угол скольжения определяется соотношением

Если, например, тело представляет собой тело вращения со смещенным центром тяжести (случай, рассмотренный в [2]), то считая Дг = 0, получим:

Из приведенных формул, в частности, следует, что при вычислении производных демпфирования для тела вращения нельзя пренебрегать смещением центра тяжести Ду, поскольку в противном случае можно ошибиться в оценке эффекта демпфирования на порядок его величины.

Сравнивая полученные уравнения с уравнениями, приведенными в [2], можно убедиться, что они несколько различаются. Помимо того, что в приведенных выше уравнениях учтены демпфирующие слагаемые, причина различия заключается в следующем. При выводе уравнений в работе [2] использованы оценки

(cos а) = 0 (е2), -^(sin а) = 0 (s2), которые можно считать справедливыми лишь при условии, что эллипсоид инерции близок к сфере и аэродинамическая характеристика тг{о) мало зависит от числа М.

сп(а)АУ .

- 7

Sin а

Т огда

т

т~ = т*(о0 ctg а — Дусп (а);

т7 = — *Усп (“) ctS а — "Ч (<*);

Сп (а) Д уг COS2 a + У (а) Д_у Sin2 a COS а + mZo (a) sin a COS а А у

— /и"v sin3 а

у

sin а

Используя уравнения (21) и (22), можно, аналогично предыдущему, проанализировать возможные режимы вращения, пользуясь построениями в фазовой плоскости.

Автор выражает благодарность Г. Е. Кузмаку и Р. В. Студневу за ценные замечания по содержанию работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., „Машиностроение", 1967.

2. Шилов А. А. Влияние массовой и аэродинамической несим-метрии тела на характер его пространственного движения. ДАН, т. 183, № 5, 1968.

3. Migotsky Е. On a criterion for persistent re-entry vehicle roll resonance. AIAA Paper No. 67—137.

4. Frank J. Barber a. An analytical technique for studying the anomalous roll behavior of ballistic re-entry vehicles. AIAA Paper No. 69-103.

Рукопись поступила 9/XII 1969 г.