Возмущенное движение неуправляемого тела около центра масс при полете в атмосфере Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том II

1971

№ 6

УДК 629.76.015:531.56

ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕУПРАВЛЯЕМОГО ТЕЛА ОКОЛО ЦЕНТРА МАСС ПРИ ПОЛЕТЕ В АТМОСФЕРЕ

Рассматриваются линеаризованные уравнения возмущенного движения около центра масс неуправляемого тела с плоскостью симметрии. Предполагается, что скоростной напор, скорость и продольная угловая скорость являются медленно изменяющимися функциями времени. С помощью метода ВКБ определяются законы изменения углов атаки и скольжения по времени.

1. Рассмотрим возмущенное движение неуправляемого летательного аппарата в атмосфере, считая углы атаки и скольжения аи^ малыми и пренебрегая влиянием демпфирующих членов,

пропорциональных тг*, т°уу, с“, (?г-{-Ст.. Кроме того, будем считать, что продольная угловая скорость и скоростной напор ц являются медленно изменяющимися функциями времени или функциями х = е^, где £ —параметр малости.

Будем считать, что все главные моменты инерции JxJy и Jz различны, а также различны значения пй и Шу. Центробежные моменты инерции в первом приближении не влияют на возмущенное движение (за исключением Ууг при 0)^ = 0, см. ниже), хотя они влияют на квазистатические „невозмущенные“ значения а, р,

Здесь и в дальнейшем под величинами а, р, <аг, шу понимаем приращения по отношению к квазистационарным значениям а, р, <»г> иу

В. А. Ярошевский

(1>

(2>

(3)

Так же, как это сделано в статье [4], ищем ВКБ-решение в виде

<х = [Са(т) + еС1а(х)]ег-Гадл;

Р-Мт) + ес1р(х)1 ^8МЙ.

Используя соотношения (2) и удерживая члены нулевого и первого порядка малости по е, получаем:

“г = [^2с„ 4- ш* ср + е (г’2с1 а са ШХС\ р)] е1 ^ 2 м;

<0у = [Шер — шх са + е (г2с! р 4- С(3 — <0Х С\ „)]

шг = {*'2 (І&С* + Шх Ср) + Є [/ (2<?а) + (ш*’ср) +

г'2 (Ї2сіа 4~ с„4“ Сі р)]} є ^ м;

<0 = {т (г'2ср — а>, са) + Є [І (2ср) — {шхса) +

+ і2 (г‘2сі р 4- £р ■— шх сі<*)]}

/е

(4)

Подставляя приведенные выражения в уравнения (1) и приравнивая члены нулевого порядка малости, получаем два соотношения:

ср [-/у 22 + Му + (У, — Ул) ю*]— — іса 2о)ж [Уу Jг — Jx\,

са [Л 4- (Л - /г) ] = щ а®, (Л + Л - Л).

(5)

Однородная система (5) совместна, если ее определитель равен нулю. Тогда получаем уравнение для определения „замороженных“ корней характеристического уравнения ±гй:

[ууа* + ^4-(Л-Л)“’] [Л9а+лС-НЛ-У>“] =а3<*>2ЛЛ+Л-Л)2 (б)

или

Л 2* — 2В22 4- С — О,

где

2В =. - (у, + у, ж®) 4- «4 [Л у, + (Ул - у,) (Л—Л)3;

С= [УИ| — (У, - У,) 4] [ж: - (У, - Уу) 4];

Я ± /В2 —ЛС

2м =

2і > 2г-

(7)

Подставляя выражения (4) в уравнения (1), учитывая, что члены нулевого порядка малости при выполнении равенства (6) сокращаются, и приравнивая члены первого порядка малости, получаем два соотношения:

- с, а [уг 2* + (Уу - У,) <4 + М% 4- 1сх р 2а)х (У, 4- Уу - У^) =

= ---\иг 2с« + иг (2с в) 4- Л (с? Шх) + (/у ~ Л) Шхс?]’

1С\а 2шх (Уу + Уг —' Уд-) “Ь С1 р [Уу 22 4- (Уг — Ух) «>* 4- М\\ —

= [Цу 2ср 4- гУу (2ср) — Уу (са ш^) — (Уг — Уг) со^. са].

Неоднородная система (8) с определителем, равным нулю, совместна, если определитель, в котором один из столбцов заме-

(8)

6-

Ученые записки № 6

815

нен вектором правых частей, равен нулю; последнее условие и дает искомое уравнение, определяющее закон изменения величины са или ср [5].

Учитывая соотношения (5) и (6), это условие удобно представить в следующей форме:

Ср [Л 2Ср 4- Jу (2Ср) -I- и У (са шх) Ч- I (/г ^х) тх Са1 ~

= сп [Уг 4~ Iг(2са) иг (Ср °)д-) I (./у 3х) Ср].

Интегрируя это уравнение, получаем

(Уу Ср ]г Со) 2 -{- ках (Уу Jг Jx) са ср ^ шх ^ = О- (®)

Л>

Используя соотношения (5) и (6), преобразуем первый член в формуле (9):

_ . 2Уг Уу а2 + (Уу м* + Jz Щ) ч- [Л (/у - Л) ч- Л (Л - Л)] «>:

^ “Н /г /*)

М+;.-и±*Ут-м

■ (Л + /г-------Л).

£*|3

(знак Ч- относится к Подставляя это выражение в (9) и дифференцируя, получаем уравнение для определения сас$:

, 2 /В2-АС

±«ЛЛ + Л-Л)СвСр

^О^С.Ср, (10)

которое легко интегрируется и в сочетании с соотношениями (5) позволяет найти Са(?) И Ср(т), соответствующие корням 2ДХ) и

д2 ('О-

Рассмотрим подробнее случай, когда аппарат по форме близок к телу вращения с аэродинамической и весовой асимметрией порядка е. Тогда производная юх имеет порядок е3, интеграл в соотношении (9) или правая часть в уравнении (10) могут быть отброшены и решения для сх, Ср имеют особенно наглядный вид (не содержат в явном виде производных).

Применим полученные результаты для определения значений угла атаки и скольжения в случае входа вращающегося аппарата в атмосферу. Будем считать, что аппарат статически устойчив (тг, /Иу< 0) и, кроме того, что Jx больше Уу и У2. В противном

случае, как показано в [1], при некоторых возможна статиче-

ская неустойчивость и ВКБ-решение в форме (3) перестает быть справедливым. '

При указанных выше условиях справедливы неравенства Л>0,

0, В^> УАС. Для доказательства последнего неравенства можно записать

4 л

в*- л С = ^ [У, Уу - (У, - Зу) (У, - у,)]» + ±- [у, м1 - У, М1]2 -

О)2 „

- {Уг М\ [Уг Уу + (У, - У,) (У, - 2У, - Уг)] Ч-

ч- У, М\ [У, Уу + (У, - У,) (У, - 2У, - Уу)]} , (11)

вычислить минимум этого выражения, например по Щ, и убедиться простой подстановкой в положительности минимума, Отсюда -следует, что значения £2), и всюду действительны и различны, что является необходимым условием для использования метода ВКБ на всей траектории полета. Кроме того, необходимо, чтобы переменные коэффициенты изменялись достаточно медленно. Например, при расчете траектории входа в атмосферу по аналогии с работами [6] и [7] можно предположить, что метод ВКБ применим при не слишком малых значениях

2С?0

; /*■ "Ч, 3-

тахЦ, Jг), X =--—

Л01/01 вт 601 ’

1 й? р йН

индекс „0“ означает

где С:

вход в атмосферу.

Метод ВКБ позволяет непосредственно связать значения (или ср), соответствующие данному корню, при больших и малых угловых скоростях, точнее, при больших и малых значениях пара-

К

метра V:

, где У—порядок моментов инерции, ЛГ — порядок

маг, м\.

Отметим, что при больших значениях V

2і

а при малых V

Ц^тах

•КЗ

№

Л

(/-£■

V

V-

м\

мі

Будем считать для определенности, что

рим вначале больший корень £2,. Использз таты, запишем:

V

м* > м\

л л

. Рассмот-

і при V = оо;

с.

0 при V == 0;

2

Са% у=х

= /■

2

С а, у=0 ■

Для меньшего корня 2, получим:

V

1х_

. л

Л

л

при V = оо; — = 0 при 7 = 0;

или

с2 £х^х_ = \[_ ^У_ с2

а, у=оо 1 X Т 1-0'

•/у ' Jy

Интересно сравнить полученный результат с результатом для идеального тела вращения. Пусть Л£ = М$, = М9, а различие в моментах инерции Jy и Jг не очень велико (У,~ Уу ~У), так что в пустоте движение можно приближенно считать суммой двух регу-

лярных прецессий I I/ ^ 1 , но в плотных слоях атмо-

сферы параметр ч настолько мал, что различие в значениях Ц и определяется в основном не влиянием о>х, а различием моментов инерции.

Определим угол ср, как угол между направлением кинетического момента и вектором скорости на границе атмосферы, а угол <р2 как полуугол конуса прецессии [6]. В данном случае для первого корня | | = | | = ?1, для второго корня 14? 1 ~ |с5? | « ?2-

Тогда для идеального тела вращения в соответствии с работой [8] получим

52 , 7=о = (?і ~Ь Тг)2 Л27° г-

итах,

где 82 = а2 + р2, а для тела вращения с малой, но не пренебрежи-мой разностью моментов инерции

<•/, ф Л) =■ <£* 4 сГ - « 4 9І) ^ —А

V-

ЛГ

У

(12)

или

^тах, 7=0 {JyфJ^ ^ |^2(<р2 + ср2) ^шах, ч=о('/у = Лг) ?1 ~Ь ?2

Как видно, пространственный угол атаки при наличии разности моментов инерции возрастает в У2 раз, если ^ > <р2 или <р2 > <р„ и сохраняется прежним, если ср1==!р2.

Оценим, в каких случаях необходимо учитывать различие моментов инерции Уу и Уг И производных Му И Мг при определении амплитуд колебаний угла атаки и угла скольжения.

Если М\ и Му, Уг и Уу близки, но различны, причем то при малых со^. (малых V) из формул (5) и (6) можно

м\ м1

Уг > 4

получить

Са

Са 1 с?

X

Уу У г

V-

4 М9

1 (2 У — Ух?^л

У3

(индекс „1“ относится к £2,, индекс „2“—к Й2).

Если это выражение дает число, близкое к единице, то в рас-

Мр Ма

четах по методу ВКБ можно пренебречь разностью ------------------у-.

^у **г

Если же оно близко к нулю, то можно пользоваться формулами типа (12).

В связи с этим интересно отметить роль малого центробежного момента инерции УугфО для тела вращения (МУ = М*, ^, = Уг). Применение обычной процедуры метода ВКБ в этом случае нельзя считать обоснованным при очень малых шх (точнее, при очень малых V), поскольку корни характеристического уравнения становятся кратными.

Действительно, соотношения — + щ при <ох -* 0 и Уу2ф О несправедливы, и, следовательно, углы атаки и скольжения в плотных слоях атмосферы определяются неточно. Для получения более точных результатов в этом случае лучше предварительно сделать преобразование к главным осям у' и так чтобы Уу,г. = 0, и применить предложенную выше методику.

2. Влияние малых демпфирующих (или антидемпфирующих)

членов, пропорциональных /га“г, тшуУ, су, с1 + с-с=с1п, сводится к тому, что корни замороженного характеристического уравнения из чисто мнимых превращаются в комплексные сопряженные с теми же мнимыми и малыми действительными частями.

Характеристическое уравнение имеет вид

Ак4 + ваЛ* + 2 ВК + вЫ + С = О, где А, В и С определяются формулами (7),

а = УуУг (х + V - {Уу М? + У2 ЛГ/) ; ъ = ю2 [- (У, м;*+уг м;>) + (у, - у2) (ух - уу) к + ^)] +

+ (м1 м°г* + м1 м;у) - (уг м1 х + уу ма2 ■%),

_с;д5 ■

тУ ’ тУ ‘

Корни уравнения определяются выражениями:

^2 = + г'Ц + е/,; | ..

X

Здесь подкоренное выражение определяется формулой (11), числитель можно привести к виду со2

- y- и, J, - (л - Л) (Л - Л)] [л Jz +ч?)+[Jy Кг+Jz м;у)} +

4- ~ № Jy - Ml jz] [Л /у (ч. - Чр) - Уу м;* + Jz м;у] +

+ -у ^ ^ + V ~ + у* х

^ [Л /у - (Л - Л) (J, - Л)]2 + (Л Ml - Jy мчу - ^'''

- 2со| \JZ М\ [J2Jy 4- (Jx - Jy) (У, - 2Jy - Уг)] + ‘ "

+ Jy Mi \JZ Jy 4- (/, —Л) (/* - 2Jt-Jy)] 1 •

Влияние коэффициентов демпфирования можно определить добавочным членом в уравнении (10). Представим это уравнение в виде

-^-(Fcacp)^Gcac? (15)

(смысл функции F и G очевиден),

d . . d, d dF

dt^CaCf,) dt°“ dtc? G~~df '

+ ■

с d c& cp F

Влияние демпфирования в соответствии с выражениями (13)

1 dCa 1 dcs

сводится к тому, что в выражениях для-----------------гг и------- появля-

Са dt dt

ются одинаковые добавки /, или /2 (в зависимости от того, какой из корней 2, или 22 рассматривается). В итоге уравнение (15) преобразуется к виду

■ft {Fc* Cp)=(G + 2fF) ca ch где /1,2 определяется из формулы (14).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., Студне в Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., „Машиностроение", 1967.

2. Шилов А. А. Влияние массовой и аэродинамической несим-метрии тела на характер его пространственного движения. Доклады АН СССР, т. 183, № 5, 1968.

3.Ярошевский В. А. Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 5, 1970.

4. ЯрошевскийВ. А. Оценка устойчивости квазистатических режимов движения неуправляемого тела. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 5, 1971.

5. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1969.

6. Воейков В. В., Ярошевский В. А. Определение амплитуды колебаний осесимметричного космического аппарата при неуправляемом спуске в атмосфере. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I,

№ 3, 1970.

7. К у з м а к Г. Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. М., „Наука", 1970.

8. К u z ш a k G. Е., Y а г о s h е v s к у V. A. Application of the asymptotic methods to some problems of the re-entry vehicles dynamics. Proceedings of the XlV-th International Astronautical Congress, Paris, 1963.

Рукопись поступила 17/XI 1970 ?.