CC BY
5УДК 62:620.1
Чапаев Т. М. Chapaev T. M.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБОЛОЧКАХ МАЛЫХ ГИБКОСТЕЙ
DETERMINATION OF CRITICAL STRESSES IN SHELLS OF SMALL FLEXIBILITIES
Высокие темпы развития нефтяной, газовой, а также химической промышленности требуют мощной интенсификации строительства новых резервуаров, газгольдеров и аппаратов высокого давления. Немалые средства требуются и для восстановления несущей способности эксплуатируемых сооружений.
Претворение в жизнь этих задач возможно путем внедрения в практику резервуарострое-ния новых экономичных и надежных резервуар-ных конструкций большой вместимости (50, 100 тыс. м и более) и прогрессивных индустриальных методов строительства, позволяющих значительно сократить сроки строительно-монтажных работ и повысить качество готовой продукции.
Наиболее распространенными типами резервуаров являются вертикальные и горизонтальные цилиндрические резервуары. Одним из путей сокращения расхода металла, сроков монтажа и снижения стоимости, а также повышения надежности для таких резервуаров является применение предварительного напряжения, которое создается путем навивки напряженной проволоки или натяжением кольцевых бандажей.
Данная статья посвящена определению критических напряжений в оболочках малых гиб-костей.
Задача решалась с помощью энергетического критерия в форме Ритца-Тимошенко, являющегося одним из наиболее часто применяемых при решении задач устойчивости. Это обусловлено тем, что с энергетических позиций можно лучше описать особенности поведения любой системы, и при этом решение задач получается более простым. Кроме того, упрощается учет влияния таких факторов как начальные совершенства, силы трения между оболочкой и обмоткой, а также и другие особенности задачи устойчивости предварительно напряженной оболочки.
High rates of development of oil, gas and chemical industries are required powerful intensification of construction of new tanks, gas tanks and pressure washers. Considerable funds are also needed to restore the bearing capacity of exploited facilities.
The implementation of these tasks is possible by introducing into the practice construction of new economical and reliable tank structures of large capacity (50, 100 thousand m3 or more) and progressive industrial methods of construction, allowing considerably to reduce terms of construction works and improve quality finished products.
The most common types of tanks are vertical and horizontal cylindrical tanks. One way to reduce the consumption of metal, installation time and reduction the cost and increasing the reliability of such tanks is the application of the use of pre-stress, which is generated by winding wire of tension of ring bandages.
This article is devoted to determination of critical tension in covers of small flexibilities.
The problem was solved with the help of an energy criterion in the form of Ritz-Tymoshenko which is one of the most frequently used in solving stability problems. It is caused by the fact that from the energy positions it is possible to describe better features of behavior of any system, and at same time the solution of problems turns out to be simpler. In addition it is simple to take into account the influence of such factors as initially perfection, friction forces between the cover and the winding and also other features of a problem of stability of the prestressed shell.
Ключевые слова: стальная оболочка, потеря Key words: steel shell, buckling, critical form.
устойчивости, критическая форма.
Чапаев Тахир Магометович -
старший преподаватель кафедры «Строительные конструкции и сооружения», ФГБОУ ВО «Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет имени В. М. Кокова», г. Нальчик. Тел.: 8 928 722 72 29 Е-mail: 7227229@mail.ru
Chapaev Tahir Magometovich -
Senior Lecturer of the chair «Building constructions and structures», FSBEI HE «Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V. M. Kokov», Nalchik Tel.: 8 928 722 72 29 E-mail: 7227229@mail.ru
Введение. Высокие темпы развития нефтяной, газовой, а также химической промышленности требуют мощной интенсификации строительства новых резервуаров, газгольдеров и аппаратов высокого давления. Немалые средства требуются и для восстановления несущей способности эксплуатируемых сооружений.
Претворение в жизнь этих задач возможно путем внедрения в практику резервуаро-строения новых экономичных и надежных резервуарных конструкций большой вместимости (50, 100 тыс. м3 и более) и прогрессивных индустриальных методов строительства, позволяющих значительно сократить сроки строительно-монтажных работ и повысить качество готовой продукции.
Наиболее распространенными типами резервуаров являются вертикальные и горизонтальные цилиндрические резервуары. Одним из путей сокращения расхода металла, сроков монтажа и снижения стоимости, а также повышения надежности для таких резервуаров является применение предварительного напряжения, которое создается путем навивки напряженной проволоки или натяжением кольцевых бандажей.
Статья посвящена определению критических напряжений в оболочках малых гибко-стей.
Методология проведения исследования.
Задача решалась с помощью энергетического критерия в форме Ритца-Тимошенко, являющегося одним из наиболее часто применяемых при решении задач устойчивости [1, 2, 3, 15-17]. Это обусловлено тем, что с энергетических позиций можно лучше описать особенности поведения любой системы, и при этом решение задач получается более про-
стым. Кроме того упрощается учет влияния таких факторов как начальные совершенства, силы трения между оболочкой и обмоткой, а также и другие особенности задачи устойчивости предварительно напряженной оболочки.
Ход исследования. Согласно энергетическому критерию Ритца-Тимошенко потенциальная энергия системы (оболочка-обмотка) до потери устойчивости будет равна потенциальной энергии системы после потери устойчивости.
Если принять, что до потери устойчивости потенциальная энергия системы равна ио, а после потери устойчивости и, то можно записать:
и - и = о (1)
Потенциальная энергия системы после потери устойчивости определяется выражением:
и = иОБМ + ис + иТР + ин + ит + П,
где:
иобм - потенциальная энергия деформации обмотки при выпучивании оболочки;
и - потенциальная энергия деформации оболочки при изменении усилия в ней;
и - потенциальная энергия сил трения
между оболочкой и обмоткой возникающих при их взаимном сдвиге в момент выпучивания;
и - потенциальная энергия изгиба оболочки;
и - потенциальная энергия образования шарнира пластичности в точке заострения;
П - потенциал сил радиального давления обмотки на оболочку.
Критическое усилие в соответствии с [2, 13, 15] можно определить как минимальное, при котором потенциальная энергия системы до и после потери устойчивости не изменяется.
Для определения составляющих, входящих в уравнение баланса энергии (1), необходимо задаться линией прогибов. От правильности выбора функции, аппроксимирующей линию прогибов, зависит точность получаемого решения. В работах [8, 10, 11] принимается, что при потере устойчивости оболочка не выпучивается за начальный контур, однако экспериментальные данные [4, 8] показывают, что это не всегда так. Величина деформаций зависит от изгибной жесткости обмотки: при абсолютно гибкой обмотке она будет максимальной, а при абсолютно жесткой выпучивания за наружный контур не произойдет.
Для случаев, когда жесткость обмотки соизмерима с жесткостью оболочки, то есть при соотношении толщины обмотки и оболочки = 0,1 ^ 1,0, принято выражение
для прогибов, достаточно близко отражающее экспериментальные формы выпучивания оболочки:
а = Л\ е
-СО + 1ес83 О
(2)
где:
Л - прогиб стенки в точке заострения (рисунок 1);
с - коэффициент, принимаемый по аналогии с [8], но с некоторыми упрощениями
С = 1,05/Оо;
О - угол, соответствующий зоне отслоения обмотки от оболочки при потере устойчивости.
Уравнение изогнутой оси кольца можно записать в следующем виде:
у = (Я-а) собО . (3)
Тогда угол О0 определяется из условия dy|dО = 0, следовательно, при значении О = О можно записать:
Са
а--сХаО = К.
сО
Уравнения (2) и (4) дают выражение:
Л =
ЯеС
13 3 3 1 + СсХдО0 + —соб — О0+ — БШ — О0 МдО^ 4 2 8 2
(4)
После образования вмятины длина участка обмотки, находящегося в контакте с оболочкой, определяется формулой:
г / 2а а а
21 = 2К к 1--+ — + —СО-
1 Л V т? т?2 т?2
К К
а
К
(6)
Разлагая подинтегральное выражение в биноминальный ряд и удерживая первые два члена, получим после преобразований:
21, = 2К ||1 -
2а а + -
а
'2 Л
К 2 К 2 К
сСО.
(7)
Полная длина обмотки, окружающей оболочку после потери устойчивости, равна:
/ = 2(/1 +/2), (8)
где (см. рисунок 1): /2 =(К -а)8тО0.
Рисунок 1 - Первая форма выпучивания оболочки
Рисунок 2 - Вторая форма выпучивания оболочки
п
О
0
п
О
0
Относительная деформация обмотки, или уменьшение ее длины вследствие потери оболочкой устойчивости определяется формулой:
«= ЛЯГ ■ «
Эта формула справедлива в случае, когда оболочка не имеет начальных погибей (вмятин).
Как известно из работ [6, 9, 20], в реальных оболочках обычно имеются начальные погиби различного характера. Форма этих погибей носит случайный характер и не поддается аналитическому описанию, поэтому в запас устойчивости и для упрощения математических выкладок считаем, что форма начальной вмятины совпадает по характеру с образующейся при выпучивании оболочки. Такие допущения принимались в работах [5, 6, 18, 19] и др., где считается, что единственным наперед заданным параметром начального прогиба является амплитуда в центре вмятины А . Таким образом,
= А [ е~С' + ^СОВ3 о\ .
(10)
Наличие начальных вмятин приводит к уменьшению относительной деформации обмотки при выпучивании оболочки на величину . Поэтому формула для определения относительной деформации обмотки с учетом формул (8) и (9) приобретает вид:
(^ + 23 ~ 24 ~ 25 + 2б + ) I — 2---
—^о = I — 22 —
лЯ
где введены обозначения:
ч (А — А) в'105 1 ( = Я (я — в) ) + (А-А°)-+ ^ I 1
Я — (А—А)| е-1'05 + 0,25сов3в0
(11)
+ 1| 1 + вт3 в
втвп
лЯ '
( А — Ао )2 (1 + С2) е-21
23 =
25 = Уз
4СЯ
. 3
= У
У 2
3 сов — в
1 + вт-в +-
2С
12 25б Я 5
768Я
(А — А) )2 (л —в)); (А — Ао )%т3во;
У1 =( А — А) )2 Се-10
СОв — в--
2 0 2С
1 + вт — в
У2 =( 4С2 + 9) Я ; Уз 2у
3С2
Уз =—(А—А)
2 в"105
Зная величину £, можно определить потенциальную энергию деформации обмотки
при выпучивании оболочки по формуле: иаш=£
К J
'2 0
t2
В
(12)
где:
В = - жесткость обмотки на растяжение;
N - усилие в обмотке на единицу длины
оболочки до потери ее устойчивости, равное окружному сжимающему усилию в оболочке.
Согласно экспериментальным данным [4], на величину критических напряжений влияют силы трения, возникающие между оболочкой и обмоткой при их взаимном сдвиге в момент выпучивания. Поэтому при определении энергии системы необходимо учесть потенциальную энергию этих сил. Для этого воздействие обмотки представляется в виде системы радиально направленных сил, величина которых приближенно принимается одинаковой по всей недеформированной поверхности оболочки. Таким образом, силы трения равны:
N
р = /
1 ТР ТР ^ ,
где:
N0
— - средняя величина радиального Я
давления обмотки по поверхности оболочки; /тр - коэффициент трения обмотки по
поверхности оболочки.
При потере устойчивости оболочки, обмотка сдвигается симметрично относительно середины вмятины. В начальный момент выпучивания, при отсутствии начальных погнутостей, обмотка соприкасается с оболоч-
2б =
22 =
кой по всей длине окружности, т. е. на длине 2гК.
После потери устойчивости в новом отклоненном положении обмотка соприкасается с оболочкой на участке 2(г-О0)К .
При определении энергии сил трения для упрощения расчетов учитывается средняя длина участка соприкосновения обмотки и оболочки до и после потери устойчивости, поэтому предел интегрирования принят от 0,5О0 до г:
итр = 2К \ /ТР N £(п-О) КСОСх = .
2
(13)
Следует отметить, что в формуле (13) не учтена динамичность процесса выпучивания, поэтому она лишь приближенно характеризует работу сил трения между обмоткой и оболочкой при потере ею устойчивости.
Согласно экспериментальным данным [4] потеря устойчивости длинной оболочки сопровождается снижением усилий натяжения обмотки а, следовательно, и сжимающих усилий в оболочке. В соответствии с этим определим энергию деформации оболочки при изменении усилия в ней:
'1 пя(N -
и = ^Кг(^0 в*> с1О = -
Е Л '
Е1 0 '1
в1
(14)
где:
В = - жесткость оболочки при растяжении.
Энергию изгиба оболочки при ее выпучивании с учетом начальных вмятин и изгиб-ной жесткости выражается формулой:
и = Вг
и" я3 >
С2 (а-а)
СО
2 + а - а0
СО
где:
В - изгибная жесткость оболочки и обмотки, определяемая с учетом их проскальзывания между собой как для двух несвязных элементов,
В = в
1
а =
12 (1 -м2)
1 Е2 (п'2 )3
2 12
Коэффициент 1/ 2 при В2 - приближенно характеризует то, что обмотка изгибается меньше оболочки при потере устойчивости.
После подстановки формул (2) и (10) и последующего интегрирования получаем:
и„ =^т
н я
Е'3 Е111
12 (1 -
М)
Е2 (^2 )3 24
(1+ С2)2 5 (1+ С2)
2С
1
4С2
25г
С 2С2) 4С2 + g 512
(Л-А)2. (15)
Для рассматриваемой формы выпучивания характерным является образование заострения в центре вмятины, в котором образуется шарнир пластичности. Энергию образования его по аналогии с [8], [10] и [13] в соответствии с рисунком 1 определим по формуле:
ип = ТМу = 2 ± ат
(16)
где:
ММ - изгибающий момент в шарнире на единицу длины оболочки;
предел текучести стали оболочки;
ат 1 -
2^ = аг^
мещение.
С (Л - Л0) я-( л - Л)
угловое пере-
Потенциал сил радиального давления определяется по аналогии с [6]. При этом учитывается, что при выпучивании оболочки в зоне вмятины радиальное давление обмотки уменьшается в зависимости от изменения
кривизны оболочки от (N - В£)1 К до ну-
ля.
П = -2
N0 - В2%
я
R {(а-а ) М-RÍ1 (а-а0 ) =
К
= (^ - Б^) С
(17)
где:
С =( Л - Л)
2 -105 1 (л ■ 3а Л 1-е-1-05 1.3_
— е , — 1 + Бт — О +---1--бш — О
С 31 2 0 ] 2С 12 2 0
Потенциальная энергия системы до потери устойчивости равна:
2
2
и
п + ^ Я = яЯИ2 Е J ^ Е
Е1 0 Ч е2
1 1
- + -
V В1
В,
2 У
Условие (1) запишем в виде:
ли = иОБМ + ис+и№ + ин +иш + П —и = 0.
(18)
(19)
Из (19) с учетом формул (12)^( 18) получено выражение для определения значений:
N =■
{2
ин + у уФ + лЯВг?
1 + ^ В
л
+
1 У
2лЯ£| 1 + В
+ С1 — /р£| л —^
(20)
Я
Результаты исследования. Для получения величины критических усилий необходимо произвести минимизацию величины N (20) по параметрам прогиба оболочки, т. е. найти размеры вмятин, которые будут соответствовать минимальной силе. Поскольку в формуле (5) величина А выражена через в0, минимизацию N будем производить по в0, характеризующему ширину вмятины. Минимизацию можно произвести путем отыскания производной и приравнивания ее к нулю, однако, такое уравнение является трансцендентным, и решение его представляет весьма сложную задачу. Поэтому представляется более простым осуществить минимизацию с помощью численного анализа. Для этого была специально разработана программа для ЭВМ. Критические усилия определялись при углах в0 от 0,1 до 0,5 рад. с шагом 0,01, затем из них выбиралось минимальное значение Nкр, а затем и &Кр = МКр/11.
На рисунке 3 приведено сравнение результатов расчета, полученных по формуле (20) (кривая 1), и экспериментальных данных по испытанию на устойчивость колец (кривая 2) со следующими параметрами: ^ = 160 ^ 400, Е = 2,1 х 105 МПа, Е2 = 2,0х 105 МПа,
^ = ^ = 0,02 см, стп = 1100 МПа, А = ^,
= 0,3. Кривая (2) построена при /тр = 0. Экспериментальные точки (1) получены при наличии сил трения между кольцом и обжимающим витком, а точки (2) - при их отсутствии, за счет введения между соприкасающимися поверхностями графитовой смазки. На этом же рисунке приведены результа-
ты расчета по формуле (20) в сравнении с экспериментальными данными по испытанию цилиндров, обмотанных капроновым канатом [14]. Расчет произведен при следующих параметрах: 1 = 160 ^ 400, Е = 2,1 х 105 МПа, Е2 = 2,0х 103 МПа, ^ = 1,0 см, ^ = 0,181 см,
сгп = 230 МПа, А = Ч, /тр = 0,2. Кроме того, приведены кривые, полученные по формуле Ч. Эймера для этих же параметров.
Рисунок 3 — Сравнение теоретических и экспериментальных данных: 1 - критические напряжения в кольцах по формуле (20) при = 0,3; 2 - то же при /^ = 0;
3 - то же в цилиндрах при /тр = 0,2.
Сравнение показывает, что полученное нами решение дает результаты, в достаточной мере совпадающие с экспериментальными данными. Кривые, полученные по формуле (20), огибают соответствующие экспериментальные точки [4] и [14] снизу, тогда как кривые, построенные по формуле Ч. Эймера, незначительно отличаясь от средних экспериментальных данных [4, 14], расположены выше большинства экспериментальных точек. Это связано с тем, что критические напряжения по формуле (20) в отличие от значения полученного по формуле Ч. Эймера, определяются с учетом начальных вмятин глубиной А = ^ ■
Сравнение результатов расчета при /тр = 0,3 (кривая 1) и при = 0 (кривая 2) показывает, что снижение критических напряжений во втором случае по сравнению с расчетом при /тр = 0,3 составляет в среднем
16% и в достаточной мере соответствует соотношению экспериментальных величин
2
критических напряжений, полученных при испытаниях колец [4] для того и другого варианта.
Был проведен анализ влияния параметров, входящих в формулу (20), на величину критических напряжений.
На рисунке 4 приведены результаты расчета при стп = 1100 МПа, Е = 2,1х 105 МПа, Е = 2,0х 105 МПа, /„ = 0,3, А = Ч, для соотношений толщин обмотки и оболочки = 0,2; 0,4; 0,6; 1,0. Видно, что величина критических напряжений существенно зависит от жесткости обмотки: при изменении от 0,2 до 1,0 они увеличиваются на 50-60%.
выше, чем при А = t. Дальнейшее увеличение А до 2^ приводит к снижению критических напряжений еще на 15%.
Рисунок 5 — Зависимость критических напряжений от предела текучести стали
Рисунок 4 — Зависимость критических напряжений от относительной жесткости обмотки
На рисунке 5 приведены результаты расчета при тех же параметрах для = 0,2, но при разных значениях предела текучести материала оболочки: <гп= 230, 400, 515 и 1100 МПа. Получено, что величина критических напряжений существенно зависит от предела текучести стали, так как с увеличением последнего энергия образования шарнира пластичности в точке заострения вмятины, входящая в формулу (20), также увеличивается. При изменении предела текучести от 230 до 1100 МПа критические напряжения возрастают в среднем на 50-60%.
На рисунке 6 даны результаты расчетов по формуле (20), проведенные при различных величинах начальных вмятин, которые показали, что при А = 0,величина критических напряжений в среднем на 10-15%
Рисунок 6 — Зависимость критических напряжений от величины начальных погибей в оболочке
Область применения: проектирование новых резервуаров, газгольдеров и аппаратов высокого давления.
Выводы. Таким образом, установлено, что на величину критических напряжений существенное влияние оказывают все основные факторы, введенные в расчет: жесткость обмотки, силы трения между оболочкой и обмоткой, величина начальных несовершенств, предел текучести стали.
Литература
1. Александров А.В., Лащенков Б.Я. О применении энергетического метода в задачах устойчивости упругих систем // Строительная механика и расчет сооружений. М., 1965. №5. 32 с.
2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 311 с.
3. Алфутов Н.А., Балабух Н.А. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального состояния // ПММ. 1968. Т. XXXII. Вып. 1. 703707 с.
4. Астряб С.М. Экспериментальные исследования устойчивости тонкостенного кольца, усиленного натянутой гибкой нитью // Изв. ВУЗов. Сер. Строительства и архитектура. М., 1968. № 2. 12-17 с.
5. Вольмир А.С. О влиянии начальных неправильностей на устойчивость цилиндрических оболочек при внешнем // ДА НСССР. 1957. Т. 113. № 2. 291-293 с.
6. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
7. Егоров Е.А. К вопросу усиления стальных резервуаров // Нефтяное хозяйство. 1979. № 7. 47-48 с.
8. ЛангхаарX. Борези А., Марух Л., Лове Г. Выпучивание длинной армированной нитями оболочки, обусловленное напряжениями намотки // Прикладная механика. М.: Мир, 1965. № 1. 93-99 с.
9. Писанко Н.М. К определению допусков при изготовлении сварных вертикальных цилиндрических резервуаров // Сб. научных трудов ДИСИ. Днепропетровск, 1960. Вып. XIV. 50-80 с.
10. Постоев B. C. К теории устойчивости предварительно напряженной цилиндрической оболочки // Труды ЦКТИ. 1966. Вып. 72. 3-12 с.
11. Рамазанов Э.Б. Устойчивость предварительно напряженных цилиндрических металлических оболочек // Труды III Международной конференции по предварительно напряженным металлическим конструкциям. СССР. М., 1971. Т. 1. 337-341 с.
12. Сафарян М.К. Стальные резервуары для хранения нефтепродуктов. М.: Стройиз-дат, 1958. 237 с.
References
1. Aleksandrov A.V., Laschenkov B.Ya. O pri-menenii ehnergeticheskogo metoda v zadachakh ustojchivosti uprugikh sistem // Stroitelnaya mekhanika i raschet sooruzhenij. M., 1965. № 5. 32 s.
2. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustojchi-vost uprugikh sistem. M.: Mashinostroenie, 1978. 311 s.
3. Alfutov N.A., Balabukh N.A. Ehnergeti-cheskij kriterij ustojchivosti uprugikh tel, ne tre-buyuschij opredeleniya nachalnogo sostoyaniya // PMM. 1968. T. XXXII. Vyp. 1. 703-707 s.
4. Astryab S.M. Ehksperimentalnye issledo-vaniya ustojchivosti tonko-stennogo kolca, usi-lennogo natyanutoj gibkoj nityu // Izv. VUZov. Ser. Stroiteljstva i arkhitektura. M., 1968. № 2. 12-17 s.
5. Volmir A.S. O vliyanii nachalnykh nepra-vilnostej na ustojchivostj cilindricheskikh obolo-chek pri vneshnem // DA NSSSR. 1957. T. 113. № 2. 291-293 s.
6. Volmir A.S. Ustojchivost deformiruemykh sistem. M.: Nauka, 1967. 984 s.
7. Egorov E.A. K voprosu usileniya stalnykh rezervuarov // Neftyanoe khozyajstvo. 1979. N7. 47-48 s.
8. LangkhaarX. Borezi A., Marukh L., Love G. Vypuchivanie dlinnoj armirovannoj nityami ob-olochki, obuslovlennoe napryazheniyami na-motki // Prikladnaya mekhanika. M.: Mir, 1965. № 1. 93-99 s.
9. Pisanko N.M. K opredeleniyu dopuskov pri izgotovlenii svarnykh vertikalnykh cilindricheskikh rezervuarov // Sb. nauchnihkh trudov DISI. Dnepropetrovsk, 1960. Vihp. XIV. 5080 s.
10. Postoev B.C. K teorii ustojchivosti pred-varitelno napryazhennoj cilindricheskoj oboloch-ki // Trudih CKTI. 1966. Vyp. 72. 3-12 s.
11. Ramazanov Eh.B. Ustojchivost predvari-telno napryazhennykh cilindricheskikh metalli-cheskikh obolochek // Trudih III Mezhdunarod-noj konferencii po predvaritelno napryazhennym metallicheskim konstrukciyam. SSSR. M., 1971. T. 1. 337-341 s.
12. Safaryan M.K. Stalnye rezervuary dlya khraneniya nefteproduktov. M.: Strojizdat, 1958. 237 s.
13. Серов Н.А. Устойчивость оболочек вращения при некоторых видах нагрузок. Л.: Издательство ЛГУ, 1974. 207 с.
14. Степкин С.А. Устойчивость тонкостенного цилиндра обжатого гибкой напряженной обмоткой // Сб. трудов ЛИИЖТ. Л., 1964. Вып. 229. 19-23 с.
15. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней пластин и оболочек. Избранные работы. М.: Наука, 1971. 808 с.
16. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1955. 568 с.
17. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. 635 с.
18. Феодосьев В.И. К расчету хлопающей мембраны // Прикладная математика и механика. 1946. № 2. 295-300 с.
19. Феодосьев В.И. Расчет хлопающей мембраны // Труды каф. строит. мех. МВТУ. М.: Машгиз, 1947. 58 с.
20. Шутов В.Е. Влияние монтажных дефектов в оболочке стальных вертикальных цилиндрических резервуаров на ее напряженно-деформированное состояние // Тезисы докладов 2-ой Всесоюзной научно-технической конференции по трубопроводному транспорту нефти и газа. Уфа, 1982. 53-55 с.
21. Темроков В.Х., Чапаев Т.М. Устойчивость стенки стального цилиндрического силоса при несимметричной форме потери устойчивости // Материалы интернет-семинара «Информационные технологии, математическое моделирование, генетика и селекция, экология». Москва-Нальчик, 2000.
22. Чапаев Т.М. Устойчивость стенки стального цилиндрического силоса // Сборник трудов международной научно-технической конференции «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий». Москва-Сочи, 2004.
23. Чапаев Т.М. Устойчивость стенки цилиндрического силоса сжатой силами трения зерна и нагрузкой от крыши // Сборник НТ КБГСХА. Нальчик, 2009.
24. Чапаев Т.М. Устойчивость стенки стального цилиндрического силоса с предварительно напряженной обмоткой // VIII Международная конференция «Научная индустрия Европейского континента». Прага, 2012.
13. Serov N.A. Ustojchivost obolochek vra-scheniya pri nekotorykh vidakh nagruzok. L.: Izdatelstvo LGU, 1974. 207 s.
14. Stepkin S.A. Ustojchivost tonkostennogo cilindra obzhatogo gibkoj napryazhennoj ob-motkoj // Sb. trudov LIIZhT. L., 1964. Vyp. 229. 19-23 s.
15. Timoshenko S.P. Ustojchivost sterzhnej plastin i obolochek. Izbrannye raboty. M.: Nau-ka, 1971. 808 s.
16. Timoshenko S.P. Ustojchivost uprugikh sistem. M.: Gostekhizdat, 1955. 568 s.
17. Timoshenko S.P. Plastinki i obolochki. M.: Gosudarstvennoe izdatelstvo fiziko-matema-ticheskoj literatury, 1963. 635 s.
18. Feodosev V.I. K raschetu khlopayuschej membrany // Prikladnaya matematika i mekhani-ka. 1946. № 2. 295-300 s.
19. Feodosev V.I. Raschet khlopayuschej membrany // Trudy kaf. stroit. mekh. MVTU. M.: Mashgiz, 1947. 58 s.
20. Shutov V.E. Vliyanie montazhnykh defek-tov v obolochke stalnykh verti-kalnykh cilindri-cheskikh rezervuarov na ee napryazhenno-deformirovannoe sostoyanie // Tezisy dokladov 2-oj Vsesoyuznoj nauchno-tekhnicheskoj konfe-rencii po truboprovodnomu transportu nefti i gaza. Ufa, 1982. 53-55 s.
21. Temrokov V.Kh., Chapaev T.M. Ustoychi-vost stenki stalnogo cilindricheskogo silosa pri nesimmetrichnoj forme poteri ustojchivosti // Materialy internet-seminara «Informacionnye tekhnologii, matematicheskoe modelirovanie, genetika i selekciya, ehkologiya». Moskva-Nalchik, 2000.
22. Chapaev T.M. Ustojchivost stenki stalno-go cilindricheskogo silosa // Sbornik trudov mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konfe-rencii «Sistemnye problemy kachestva, matema-ticheskogo modelirovaniya i informacionnykh tekhnologij». Moskva-Sochi, 2004.
23. Chapaev T.M. Ustojchivost stenki cilin-dricheskogo silosa szhatoj silami treniya zerna i nagruzkoj ot kryshi // Sbornik NT KBGSKhA. Nalchik, 2009.
24. Chapaev T.M. Ustojchivost stenki stalno-go cilindricheskogo silosa s predvaritelno na-pryazhennoj obmotkoj // VIII Mezhdunarodnaya konferenciya «Nauchnaya industriya Evropejs-kogo kontinenta». Praga, 2012.
25. Чапаев Т.М. Устойчивость стенки стальной цилиндрической оболочки при несимметричном выпучивании // Научно-практический журнал «Известия КБГАУ». Нальчик, 2015. № 4 (10).
26. Чапаев Т.М. Особенности задачи устойчивости цилиндрических оболочек с предварительно напряженной обмоткой // Актуальные проблемы и инновационные технологии в отраслях АПК // Международная научно-практическая конференция. Нальчик: Кабардино-Балкарский ГАУ, 2016. Ч. 2. 324 с.
25. Chapaev T.M. Ustojchivost stenki stalnoj cilindricheskoj obolochki pri nesimmetrichnom vypuchivanii // Nauchno-prakticheskij zhurnal «Izvestiya KBGAU», Nalchik, 2015. № 4(10).
26. Chapaev T.M. Osobennosti zadachi ustoj-chivosti cilindricheskikh obolochek s predvari-telno napryazhennoj obmotkoj // Aktualnye prob-lemy i innovacionnye tekhnologii v otraslyakh APK // Mezhdunarodnaya nauchno-praktiches-kaya konferenciya. Nalchik: Kabardino-Balkar-skij GAU, 2016. Ch. 2. 324 s.
