Определение критических напряжений в оболочках больших гибкостей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Определение критических напряжений в оболочках больших

гибкостей

Т.М. Чапаев, С.О. Курбанов, А.А. Созаев, Э.Э. Кертиева Кабардино-Балкарский государственный аграрный университет, Нальчик

Аннотация: Данная статья посвящена определению критических напряжений в оболочках больших гибкостей. Задача решалась с помощью энергетического критерия в форме Ритца-Тимошенко, являющегося одним из наиболее часто применяемых при решении задач устойчивости. Это обусловлено тем, что с энергетических позиций можно лучше описать особенности поведения любой системы, и при этом решения задач получаются более простыми. Кроме того упрощается учет влияния таких факторов как начальные совершенства, силы трения между оболочкой и обмоткой, а также и другие особенности задачи устойчивости предварительно напряженной оболочки. Ключевые слова: расчет устойчивости, устойчивость стенки, предварительное напряжение, внутреннее боковое давление, упругий отпор.

Задача определения критических напряжений в оболочках решается с помощью энергетического критерия в форме Ритца-Тимошенко, являющегося одним из наиболее часто применяемых при решении задач устойчивости [1-4]. Это обусловлено тем, что с энергетических позиций можно лучше описать особенности поведения любой системы, и при этом решения задач получаются более простыми. Кроме того упрощается учет влияния таких факторов, как начальные совершенства, силы трения между оболочкой и обмоткой, а также и другие особенности задачи устойчивости предварительно напряженной оболочки.

Согласно энергетическому критерию Ритца-Тимошенко потенциальная энергия системы (оболочка-обмотка) до потери устойчивости будет равна потенциальной энергии системы после потери устойчивости [5, 6].

Если принять, что до потери устойчивости потенциальная энергия системы равна ио, а после потери устойчивости и, то можно записать:

и - ио = 0. (1)

Потенциальная энергия системы после потери устойчивости определя-

ется выражением:

и = UОБМ + Uc + UTP + UH + Um + П, (2)

где: UОБМ - потенциальная энергия деформации обмотки при выпучивании оболочки;

Uc - потенциальная энергия деформации оболочки при изменении усилия в ней;

UTP - потенциальная энергия сил трения между оболочкой и обмоткой возникающих при их взаимном сдвиге в момент выпучивания;

UН - потенциальная энергия изгиба оболочки;

Um - потенциальная энергия образования шарнира пластичности в точке заострения;

П - потенциал сил радиального давления обмотки на оболочку.

Критическое усилие можно определить как минимальное, при котором потенциальная энергия системы до и после потери устойчивости не изменяется [2, 4, 5].

Для определения составляющих, входящих в уравнение баланса энергии в формуле (1), необходимо задать линию прогибов. От правильности выбора функции, аппроксимирующей линию прогибов, зависит точность получаемого решения. В работах [3, 6, 7, 8] принимается, что при потере устойчивости оболочка не выпучивается за начальный контур, однако экспериментальные данные [9,10] показывают, что это не всегда так. Величина деформаций зависит от изгибной жесткости обмотки: при абсолютно гибкой обмотке она будет максимальной, а при абсолютно жесткой выпучивания за наружный контур не произойдет.

Для случаев, когда жесткость обмотки соизмерима с жесткостью оболочки, то есть при соотношении толщины обмотки и оболочки t2/11 = 0,1 ^ 1,0, принято выражение для прогибов, достаточно близко отражающее экспериментальные формы выпучивания оболочки [11].

При потере устойчивости гибких стальных оболочек с гибкостью

оболочки Л > 300, в соответствие с экспериментальными данными, наиболее вероятна плавная форма вмятины без заострения в центре, соответствующая схеме на рис. 1.

Рисунок 1 Потеря устойчивости гибкой стальной оболочки при Л > 300

Как показали исследования, потеря устойчивости таких оболочек происходит при напряжениях, намного меньших предела текучести, вследствие чего образования шарнира пластичности не происходит. Поэтому в уравнении баланса энергии не входит потенциальная энергия образования шарнира пластичности и выражение (1), можно записать в следующем виде: ли = иОБМ + ис + иТР + ин + П - и = 0, (3)

где: и0 - потенциальная энергия системы.

Как показали экспериментальные исследования [11], критических усилий определяется по формуле:

^0 ="

ин + 2 ф + лЯВ^2

Л

1 в2

У В1 у

+ В£С,

г

2жЩ

Л

В2

1 + -2-

У В1 у

+ С1 -| Я

величина

(4)

где: В1 - расчетная ширина кольца, вырезанного из оболочки, обычно

1

принимаемая равной единице; В2 - жесткость обмотки на растяжение, В2 = Е2?2; стт 1 - предел текучести стали оболочки; О0, в, / - см. рис. 1.

Для определения составляющих входящих в уравнение (4), примем выражение аппроксимирующее линию прогибов наиболее близко отражающее фактическую форму, полученную при испытаниях [9, 10]:

™ = I

3* 1 23.

СОБ— в +-СОБ —в

. 2 Пов 2

(5)

где: пов - варьируемый параметр, характеризующий степень выпучивания оболочки за начальный круговой контур при потере устойчивости в зависимости от жесткости обмотки.

После преобразований получаем:

Я

I =

3в соБ2в0

г

СОБ1,5в

Л

0

1 +

V Пов

+ 3вт2в0С^в0

'11 3 Л

— +-СОБ— в0

2 Пов 2

(6)

Полная длина обмотки, окружающей оболочку после потери устойчивости определяется по формуле:

I = 2 (/ +12). (7)

Относительная деформация обмотки £ (уменьшение ее длины

вследствие потери оболочкой устойчивости) в случае, когда оболочка не имеет начальных вмятин, может быть определена по формуле:

2пЯ - /

£

2пЯ

(8)

В реальных оболочках обычно имеются начальные вмятины и форму этих вмятин можно принять в запас устойчивости, совпадающей с той, которая образуется при потере устойчивости:

1

^0 = /о

2 3

СОБ— в +-СОБ — в

3 2

\

Поб

(9)

где: /0 - амплитуда начального прогиба оболочки.

Наличие начальник вмятин приводит к уменьшению относительной деформации обмотки при выпучивании оболочки на величину. Поэтому формула для определения относительной деформаций обмотки с учетом формул (5) -^(9) после интегрирования и соответствующих преобразований имеет вид:

4 = 4-4=1

пЯ

Я

+

X, + Х2 + (/ + X4 + X5 ))

+

Я-(/-/0)

' 3в 1 23вЛ

СОБ— в0 +--СОБ — в0

2 Поб 2

V

БШвА

(10)

где: X1 = 71 -(/ - /0 )П"4' 7 =п-в0 + ^ (/ - /0)

2ПобЯ 3Я

г 3 л

1 + БШ — в

0

V

/

X 2 = (/ - /0 ^^ X 3 = 9 (/ - /0 )

/

бПоб Я

X4 =-

2 (/ - /0 )2

8

3 л

1

V

п-в0 + ^б1п 3в0

1 + БШ3- в

Лов V

, X5 =

9 (/ - /0 )2

8п2б

1

п-в0 +—бш 6в0 6

Зная из формулы (10) относительную деформацию обмотки 4, можно определить потенциальную энергию деформации обмотки в процессе выпучивания оболочки по формуле:

и

ОБМ

Я](N - в = пЯ(N0 - ^ Е ■» "

2 0

П

в

(11)

С учетом формулы (10), принимаем, что силы трения между оболочкой и обмоткой, возникающие в момент выпучивания оболочки, равномерно распределены по всему периметру соприкосновения между ними, поэтому

потенциальная энергия этих сил выражается формулой:

60. 2

п N

иТР = 2Я Г /ТР-^¿;(п- в)Яс1вс1х = N0/ТР£Я J Я

Г а \

П ■

в

(12)

Энергия деформации оболочки при изменении кольцевого сжимающего усилия в ней в результате выпучивания с учетом формулы (10), определяется по формуле:

и<=Е ЯI

'1 N0 - В2#)2 М = П(N0 - В2#)2

1 0

В,

(13)

Энергию изгиба оболочки при выпучивании с учетом влияния начальных вмятин и изгибной жесткости обмотки можно определить по

формуле:

иН =Л

Я3

Ез_+ Е0 (т'2 )3

12 (1 -/)

+

24

(/-/0 )2

25п 10 51П +

32 9поб 8п

об

(14)

Потенциал сил радиального давления для данной формы выпучивания оболочки определим с учетом формул (6), (9) и (10) по формуле:

П = (N0 - В2{)С2

2

(15)

где

: С2 =(/ - /0)

. 3 ^ п-60 яп3в0 1 . 3 1 . 1 + Бт—в0 +-0--0 + - Бт—в0 +—Бт360 +

, 2 0 У Пб 3Поб 3 2 0 12 0

в

4п

об

Потенциальная энергия системы до потери устойчивости оболочки определяется выражением:

и0 = Я ] ^ с1в + Я = пШ.

0 Т7 Л /2 Р 1

Е '

0 {1

Е

1 1 — + —

У В1 В2 у

(16)

Из формулы (2) с учетом полученных результатов, определим значения

:

"0 по формуле:

N0 =

Пн + пЩ£2 (1 + Б,/В2) + В2^ С2 2пЩ(1 + Вх!В2) + С2 - /^Я[п - |

(17)

Изменяя 60 от 0,01 до 0,49 с шагом 0,01, а цоб - от 1 до 2 с шагом 0,05 численным путем определяем минимальное значение критического сжимающего усилия в оболочке Икр, а затем критические напряжения

кр

"„к.

На рис. 2 приведены результаты, полученные по формуле (17) в сравнении с экспериментальными данными, взятыми из [4]. Расчеты выполнены при:

Е1 = 2,1 • 105МПа, Е2 = 2,0 • 105МПа, г1 = г2 = 0,02 см, /0 = Л = Щ = 200 - 400, /тР = 0,3 и /тР = 0.

Рисунок 2 - Зависимость критических напряжений от гибкости

Снижение экспериментальных величин критических напряжений при отсутствии сил трения (точки 2) по отношению к результатам с учетом сил трения (точки 1) составляет в среднем 20-30%, а теоретические

:

величины критических напряжений, получаемых по формуле (17) при /тр = 0 и ниже на 15^20%, чем при /тр = 0 .

В целом, результаты, получаемые по формуле (17) при /тр = 0,3,

примерно на 10% меньше средних данных, полученных экспериментально [4], и результатов, получаемых по формуле Ч. Эймера [3].

На рис. 3 приведена зависимость критических напряжений от жесткости обмотки. Видно, что при изменении соотношения ¿0/^ от 0,2 до 1,0 величина критических напряжений увеличивается в среднем в 2 раза, то есть в этом случае влияние жесткости обмотки сказывается в большей степени, чем для оболочек, теряющих устойчивость по форме с заострением в центре вмятины (см. рис. 1). Это, по-видимому, объясняется тем, что для второй формы выпучивания характерно выпучивание оболочки за наружный контур в большей мере, чем для первой формы и поэтому зависимость критических напряжений от жесткости обмотки проявляется в большей степени.

Рисунок 3 - Зависимость критических напряжений от относительной

жесткости обмотки

Результаты расчета оболочек при различных величинах начального

прогиба показали, что при изменении f0 от 0,01^ до 2^ величина

критических напряжении снижается на 18^22%.

Таким образом, по формуле (17) можно получить величину критических напряжений с учетом влияния всех основных факторов: жесткости обмотки, сил трения, начальных несовершенств.

Литература

1. Александров А.В., Лащенков Б.Я. О применении энергетического метода в задачах устойчивости упругих систем // Строительная механика и расчет сооружений. М.: 1965. №5. 32 с.

2. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: «Машиностроение», 1978. 311 с.

3. Алфутов Н.А., Балабух Н.А. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального состояния // ПММ, т. ХХХ11, вып. 1, 1968. 703-707 с.

4. Астряб С.М. Экспериментальные исследования устойчивости тонкостенного кольца, усиленного натянутой гибкой нитью // Изв. ВУЗов, Сер. Строительства и архитектура. М. 1968. №2. 12-17 с.

5. Fung Y., Sechler E. Buckling of thin walled circular cylinders under axial compression and internal pressure //Aeronaut. Sci. 1957, №5, pp. 24-30.

6. Астряб С.М., Гусев Б.М. Экспериментально-теоретическое исследование прочности предварительно напряженной цилиндрической оболочки // Труды НИИХИММаш. М., 1972, № 56, с. 5-10.

7. Вольмир А.С. О влиянии начальных неправильностей на устойчивость цилиндрических оболочек при внешнем // ДА НСССР, т. 113, №2 (1957). 291-293 с.

8. Massolani F., Ramasanov E. Ricerca sperimentale sulla stabilita dei recipenti

con avvolgimento sotto pressione esterna // Costruzioni Metalliche, 1980, №4, pp. 187-199.

9. Чапаев Т.М., Хасанов М.М., Амшоков Б.Х. Устойчивость стенки стального силоса при осесимметричном выпучивании и начальном искривлении оболочки, направленном наружу // Инженерный вестник Дона, 2018, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2018/5056.

10.Чапаев Т.М., Балкизов А.Б., Сасиков А.С. Анализ известных теоретических и экспериментальных исследований устойчивости стенки цилиндрического зернохранилища // Инженерный вестник Дона, 2018, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2018/5292.

11.Чапаев Т.М. Определение критических напряжений в оболочках малых гибкостей // Известия КБГАУ. Нальчик, 2017, № 1(15), с. 81-89.

References

1. Aleksandrov A.V., Lathenkov B.Ya. Stroiteljnaya mekhanika i raschet sooruzheniyj. M.: 1965. №5. 32 p.

2. Alfutov N.A. Osnovy rascheta na ustojchivost' uprugih sistem [Basis of calculation for stability of elastic systems]. M.: «Mashinostroenie», 1978. 311 p.

3. Alfutov N.A., Balabukh N.A. PMM, t. KhKhKhll, vihp. 1, 1968. 703-707 s.

4. Astryab S.M. Izv. VUZov, Ser. Stroiteljstva i arkhitektura. M. 1968. №2. pp. 12-17.

5. Fung Y., Sechler E. Aeronaut. Sci. 1957, №5, pp. 24-30.

6. Astryab S.M., Gusev B.M. Trudih NIIKhlMMash. M., 1972, № 56, pp. 510.

7. Voljmir A.S. DA NSSSR, t. 113, №2 (1957), pp. 291-29.

8. Massolani F., Ramasanov E. Costruzioni Metalliche, 1980, №4, pp. 187199.

9. Chapaev T.M., Khasanov M.M., Amshokov B.Kh. Inzhenernyj vestnik

Dona, № 2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2018/5056.

10.Chapaev T.M., Balkizov A.B., Sasikov A.S. Inzhenernyj vestnik Dona, 2018, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2018/5292.

11.Chapaev T.M. Izvestiya KBGAU. Naljchik, 2017, № 1(15), pp. 81-89.