Определение классов единственности прямого уравнения и условий разрешимости сопряженного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССОВ ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРЯМОГО УРАВНЕНИЯ И УСЛОВИЙ РАЗРЕШИМОСТИ

СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

1 2 Искаков С.А. , Хайркулова А.А.

1Искаков Сагындык Абдрахманович - докторант PhD, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова; 2Хайркулова Алтынай Айтбековна - магистр естественных наук, преподаватель, кафедра высшей математики, Карагандинский государственный технический университет, г. Караганда, Республика Казахстан

Аннотация: в работе исследуются вопросы разрешимости взаимно сопряженных особых интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода, возникающие при решении граничных задач нагруженного уравнения теплопроводности, когда точка нагрузки движется по автомодельному закону. Определены классы единственности прямого уравнения и условия разрешимости сопряженного уравнения.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, особые интегральные уравнения Вольтерра, тривиальное решение.

Пусть R + = ( 0 , со) , R _ = ( - оо, 0 ) , R = ( - оо,оо) .

Рассмотрим в области ()={i£ R+, t 6 R+} следующие обобщенные спектральные задачи:

L 0и= -Яихх(х, о fU - Uxx= ^^ (1)

о XXV Лх-Vt [ и(х,0) = 0, и(0 ,t) = 0; ( )

со

L*0u = -Л ■ 8"(х -Vt)J v((, t)d(

vt-vxx = -l-S//{x-h^v^,t)d^, (2)

(v(x,oo) = 0, v(0, t) = I?(go, t) = vx(x>, t) = 0;

где

Я 6 С - спектральный параметр.

Здесь, в отличие от ранее изученных нагруженных дифференциальных уравнений, нагруженное слагаемое в уравнении не является слабым возмущением его дифференциальной части [1, 2, 3]. Здесь проявляются новые свойства нагруженного дифференциального оператора, не присущие операторам со слабым возмущением. Граничные задачи (1) и (2) сводятся к сопряженным интегральным уравнениям:

0 1 ( t) = Я £-^е хр ( - ^ dr. (3)

V Ч1-)/ т

J" Г<ю 1 I 1 \ V1(r)

V- ( О --—зехр((4)

4 V Ч1-)/ т

Вначале исследуем однородное интегральное уравнение (3). Введя функцию к ^ по формуле

1Д

перепишем (3) в виде:

Применяя к нему преобразование Меллина, с учетом теоремы о свертке, получим

^(б) ■ [1 — Лк.(б)] = 0, 5 = 5^ ¿б2,

где

Д1 00 = ¡о^ ^т5 _ 1(йт,

- изображение функции Д 1 (Ь), а изображение ядра имеет вид

к (б) = Г1-1—^ехр (—^-Лг _5 _ 1йг, И е б <0. (5)

J 0 2 М1 -2)1 V 4(1-^ ( )

Замечание 4. [4, с 181] Отметим, что наличие и вид собственных функций интегрального уравнения (3) определяются наличием и количеством корней следующего трансцендентного уравнения относительно комплексного параметра б 1 — Лк (б) = 0, И е б <0 (б = б1 + 1б2 ), (6)

а именно

1 0. действительным однократным корнем б® уравнения (6) отвечают собственные функции

Д1 к = ,

10. комплексным однократным корням б= Б(к + Iб(к) уравнения (6) отвечает пара собственных функций

1 с/ (к) , л ? Лк) . Г (к) , л

Д1к = Г 1 ■ СОБ1п Ь), Д2к = 1 ■ б Ш(^2 1п Ь).

Решение однородного уравнения (3) представляет собой линейную комбинацию (с произвольными постоянными) собственных функций этого уравнения.

Для интегрального представления функции к, (б) (5) непосредственно следует справедливость следующего утверждения.

Утверждения 1. Если б - действительное число и б < 0, то функция к (б) не отрицательна, и монотонно возрастает при б Е (—сс, 0 ). Поэтому для действительных значении

оо

5(5)=У-^>

£—1 П — Б

п=О

где Ьп - многочлены Лагерра порядка п и справедливы соотношения:

11т5 _ _ (б) = 0, 11т5 _ 0 (б) = + с.

Имеет место следующая лемма.

Лемма 1. При условии И е б = б^^ < 0, обе суммы стоящих в правых частях равенств

0

1 1

К 7 __я2 е 4 п_51

|Я|2 п (П-Х1)2 + Х|' -х2|Я|2 п (П-Х1)2+Х|

положительны, т.е. Ие Л = Л^^ > 0, а 1т Л = Л2 имеет знак, противоположный знак .

Из утверждения леммы 1 непосредственно следует

Предложение 1. Для того чтобы уравнение (6) имело корней бс Ие Б(к < 0, необходимо, чтобы значение спектрального параметра принадлежало правой (комплексной) полуплоскости, т.е. Ие Л> 0. Если же Ие Л < 0, то уравнение (6) не будет иметь корней с .

Итак, факт о существовании и виде собственных функций интегрального оператора показывает следующее предложение

Предложение 2. Если Д е Я > 0, то однородное интегральное уравнение

Кдум = (/ - ЯК) ц = ц(О - я/к (£,т) е" т) ц(т)^ = 0, £ 6 Д+, (7)

имеет собственные функции вида

^ (£) = £"х*е",

где 5* - является корнем уравнения

1 - Я£ (5) = 0, Д е 5* < 0 .

Если же Д е Я < 0, то однородное уравнение (7) имеет только тривиальное решение.

Сформулируем полученный результат применительно к спектральной задаче для интегрального уравнения (7).

Теорема 1. Для интегрального оператора Кд (7) множество а (Кд) = {Я| Я 6 С, Д е Я > 0 } является множеством характеристических чисел С\а(Кд) -резольвентным множеством.

Теперь перейдем к исследованию однородного сопряженного уравнения для (7)

Кд*19 = (/-ЯК *) 19 = 19 (О-ЯГ-1—зехр( —¡А^ ) — (т = 0, £6Д +. (8)

4 2^(1--^ V Ч1-)/ т

Если в этом уравнении произвести замены: £ = т = т£" 1 и ввести следующее обозначение 99 2 ( £-) = -19 ( -) , то оно преобразуется к виду

2^(1-11)5 V Ч1—;/ Г1

то есть оно совпадает с интегральным уравнением (3), где неизвестной функцией выступает функция 9 2 ( £-) . Итак, мы установили

Предложение 3. Однородное интегральное уравнение (8) для УЯ 6 С, Д е Я < 0 имеет только тривиальное решение. Если же , то однородное

интегральное уравнение (8) имеет одну собственную функцию вида 9 2х о( £) = ^ , где 5 ( 0 -1 - корень уравнения (6), причем Д е 5 ( 0 -1 < 0 . А это обозначает, что однородное сопряженное уравнение

К*9 = (/ - ЯК *) 19 = 19 (£) - Я/°К (£,т)е" "т) ^(т = 0, (9)

где имеет решения только вида

9 о (£) = е4 ( о) , Д е 5(0) < 0,

которые, очевидно, не принадлежат пространству (Д+) . Таким образом, в пространстве (Д+) однородное интегральное уравнение (9) для УЯ 6 С имеет только тривиальное решение.

Сформулируем полученный результат применительно к спектральной задаче для интегрального уравнения (9).

Теорема 2. Для интегрального оператора К* (9) вся комплексная плоскость не содержит собственных значений.

Список литературы

1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М: Высшая школа, 1995. 205 с.

2. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения, 1983. Т. 19. С. 86-94.

3. Дженалиев М.Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы. Компьютерный центр ИТПМ, 1995. 270 с.

4. Полянин А.Д., Манжиров А.В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: ФМЛ, 2003. С. 608.