Определение характеристик упругости неоднородных материалов динамическим методом Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Д.А. Игнатьков

ул. Гагарина, д. 4, кв. 14, 223037, а/г Петришки, Минский р-н, Республика Беларусь

dmis@rambler.ru; dm.isnatkov@smail.com

Введение

Современные технологии модифицирования поверхностных слоёв и нанесения покрытий приводят, как правило, к созданию неоднородных материалов многослойной структуры, у которых характеристики упругости становятся функциями координат упрочняемых изделий. Поскольку модули упругости и коэффициент Пуассона относятся к основным параметрам в расчетах прочности, жесткости, устойчивости, резонансных частот и остаточных напряжений [1, 2], то развитие эффективных методов их определения для материалов многослойной неоднородной структуры является актуальной задачей.

Динамический резонансный метод определения характеристик упругости изотропных материалов регламентирован стандартом [3]. Модули упругости вычисляются по соотношениям, учитывающим линейные размеры образца, резонансные частоты продольных, крутильных и из-гибных колебаний, геометрические характеристики поперечного сечения и плотность материала. Для возбуждения резонанса и регистрации резонансных частот применяются различные схемы закрепления образцов (рис. 1). Схема на рис. 1,а используется для возбуждения и регистрации собственных продольных колебаний призматических и цилиндрических стержней. Она предусматривает измерение модуля Юнга Е. Схемы I и II на рис. 1,б применяются для возбуждения и регистрации собственных изгибных (I) и крутильных (II) колебаний, а по схеме III одновременно возбуждаются изгибные и крутильные колебания. Схема I обеспечивает измерение модуля Юнга Е, схема II - модуля сдвига О, а по схеме III одновременно находятся Е и О с последующим расчётом коэффициента Пуассона V и объёмного модуля упругости К.

Настоящая работа посвящена определению характеристик упругости неоднородных материалов многослойной структуры динамическим методом.

таз

8

1/2

10

10

II 10

: тр - -

III ^10 1 10^

і -І - -

0,224/ 0,224/

/

а б

Рис. 1. Схемы закрепления, возбуждения и регистрации колебаний: 1 - образец; 2 - диафрагма; 3 - вязкая жидкость; 4 - генератор синусоидальных колебаний; 5 - возбудитель колебаний; 6 - приёмник; 7 - усилитель; 8 - индикатор колебаний; 9 - частотомер; 10 - проволоки подвеса образца (диаметром до 0,1 мм)

© Игнатьков Д.А., Электронная обработка материалов, 2011, 47(1), 53-62.

Постановка задачи

Получим в общем виде расчётные формулы для определения характеристик упругости неоднородных материалов многослойного или, иначе говоря, кусочно-неоднородного стержня, состоящего из пакета прочно сцеплённых слоев, в пределах каждого из которых упругие характеристики являются некоторыми детерминированными функциями координат. Такая постановка позволяет получить частные выражения для стержней с непрерывной упругой неоднородностью, кусочно-однородных, у которых упругие характеристики материалов постоянны в пределах каждого слоя, но различны для каждого из них, а также однородных.

Для материалов кусочно-неоднородного призматического (рис. 2,а) и цилиндрического (рис. 2,6) стержней, как единых целых, кусочно-непрерывные функции модуля Юнга Е(£), модуля сдвига Є(£), коэффициента Пуассона у(£) и плотности материала р(£) переменных £ = у, И, г представляем в виде [4]:

п—1

р (£) = Р1 И + £ [ Рк+10 - Рк (£)] £-(£-£к),

к=1

(1)

где рк(£) соответственно обозначают функции модуля Юнга Ек(£), модуля сдвига Ок(£), коэффициента Пуассона у^) ( ук ф ук+\ ) и плотности рк(£) материала к-го слоя; к = 1,2,...,п - общее коли-

чество слоёв; S— (£ — £ к )

- £ )= Г1, если£ > £к —

если£ <£ к

ординаты плоскостей сопряжения к-го и к+1-го слоёв.

асимметричная единичная функция; £ = ук,Ик,Як- ко-

й

Л

л

Л

п

М

Л

о

о,

в

а б

Рис. 2. Сечения кусочно-неоднородных стержней с внешними размерами, нумерацией и координатами сопряжения пакета неоднородных материалов

Пусть в пределах к-го слоя прямоугольного и круглого поперечного сечений стержня длиной I модули упругости по координатам £ = у, И,г есть некоторые неизвестные функции Ек(£) и Ок(£), вид которых требуется установить экспериментальным путем. Для этого последовательно удаляются или наращиваются слои материала, после чего каждый раз измеряются линейные размеры, резонансные частоты продольных /„(£), крутильных/к(£) и изгибных/и(£) колебаний, а также вес Q(£) остающейся части или наращиваемого стержня. Далее экспериментальные данные аппроксимируются аналитическими зависимостями и по соответствующим формулам вычисляются значения характеристик упругости, а также устанавливаются функции их изменения по координатам сечения. В рамках технической теории продольных, крутильных и изгибных колебаний кусочно-неоднородных стержней получим требуемые расчётные формулы и поясним их применение численными примерами.

Определение модуля Юнга при возбуждении продольных колебаний Уравнение для установившихся собственных продольных колебаний с круговой частотой «(£) кусочно-неоднородного стержня записываем в виде [5]

и" (г) +

^2(£) т(£) Л(£)

и (г) = 0,

(2)

где и(х) - амплитуда продольного перемещения поперечного сечения в направлении продольной оси г; £ = И,г; т(£) = Q(£)/g/ - погонная масса; g - ускорение свободного падения тела; Л(£) - жесткость поперечного сечения при растяжении-сжатии; и"(г) = (11и(г)/йі .

Общий интеграл уравнения (2) выражаем в форме

и(£) = Бсоъог+Вбїп аг, (3)

где В и В - постоянные интегрирования; а =

А

®\£)т(£)

Л(£)

Граничные условия закрепления стержня со свободными концами (рис. 1,а) при г = 0 Л(£)и'(0) = 0 и х = / Л(£)и'(1) = 0) означают, что В = 0; ^іпа/ = 0 . Поскольку константа Бф0, то из решения частотного уравнения 8Іпа/=0 следуют значения собственных круговых частот:

(4)

Mm(^)

Внося в соотношение (3) и учитывая, что В = 0, приходим к формуле для расчёта

форм главных продольных колебаний:

тг (5)

иі (г) = Бі оо8-

/

Из равенства (4) следует зависимость, выражающая жесткость поперечного сечения через измеряемые собственные частоты /т(£) = шпг-(£)/2л,

Л(£) =

4/ 2т(£)

її (£)=

4/2Р(£)

р(£) її (£),

(6)

/2 т i'2

где ^(£) - площадь сечения; ^(И) = ЬИ; ^(г) = п(г2 - Я2); Р(4) - плотность неоднородного материала; р(£) = Q(Q = в(& = ; У(Н)=ЬМ и V(г) = п(г2 - Д2)1 - соответственно объемы приз-

gV(£) еР(£)1

матического и цилиндрического стержней.

Учитывая представления кусочно-непрерывных функций Е(И) и Е(г) выражениями (1), формулы для вычисления жесткостей поперечных сечений при растяжении-сжатии в случае удаления или наращивания слоёв материала до высоты £ = И (рис. 2,а) или радиуса £ = г (рис. 2,б) записываем так:

Л(И) = | ЕЪйу = Ъ

0

г

Л(г) = 2п | Е£с1£ = 2п

к-1 ИР

| Ек(у¥у + £ І Е (у¥у

Ик-1 р =1 Ир-1

(И = 0);

(7)

(8)

| Е, ©« + £ | Е1

_ Як-1 1=1 Я-1

Теперь равенства соотношений (6) и (7), (6) и (8) записываем в виде интегральных уравнений Вольтерра I рода

И к-1 И 4/2и

i'

р й-1 р 4/2 И

| Ек (у)ёу + £ І Ер (у)ёу - ^ р(И) Л (И) = 0.

(9)

Ик-1 г

р =1 Ир-1

г к-^ р 2/2(г - /? )

І Ек(£)£<і£ + £ / Ер(£)£«£--------------р(г)/„!(г):

|=0* (10)

1 ^ ^ ^ -2 • ^ ^ ги ^ '

Як - 1=1 ^ -! 7

После дифференцирования по переменным И, г и преобразований получаем искомые формулы для расчета модуля Юнга материалов призматического и цилиндрического кусочно-

неоднородного или кусочно-однородного стержней:

412

Ек (И) = 4т (И){[Ир, (И) + Рк (И)] (И) + 2рк (И(И)}: (И)

л/.

(г) = ---^(г){(г2 -{к (г) + 2гРк(г)]/ш(г) + -Рк(г)(г2 -%)Л(г)} • (1-)

Поскольку для стержня из однородного материала р1(£) = 0 и /(£) = 0 , то из общих выражений (11) и (12) вытекает известная формула (р = р1; Е = Е1):

412

Е = ~г Р/ш •

(13)

Из выражения (5) следует, что при собственных продольных колебаниях стержня по основной форме (/ = 1) перемещение сечения при ъ = 1/2 равно нулю. Поэтому стержень со свободными концами закрепляется посредине длины (рис. 1,о). Так как резонансные частоты для высших форм колебаний отличаются в 2, 3, и более раз, то по этим соотношениям они опознаются во всём частотном спектре.

Определение модуля сдвига при возбуждении крутильных колебаний Уравнение для установившихся собственных крутильных колебаний с круговой частотой ю(г) кусочно-неоднородного цилиндрического стержня (рис. 1,6, схемы II, III) рассматриваем в виде [5]

9" (г)-

®2(г) /т (г)

С (г)

9( г) = 0,

(14)

где 9(г)- амплитуда угла закручивания сечения; /т (г) - погонный момент инерции массы; С(г) - жесткость поперечного сечения на кручение.

Учитывая запись кусочно-непрерывной функции плотности р(г) в форме (1), функцию погонного момента инерции массы представляем следующим образом:

/т (Г) = 2П

\ рктч+х| р, (^ч • (15)

_ Я*-1 ,=1 , _

Нетрудно заметить, что уравнение (14) адекватно выражению (-) при условии замены 9(г) на и(г), /т(г) на т(£) и С(г) на А(£). Учитывая, что в случае свободного закрепления концов закручиваемого стержня крутящие моменты при г = 0 С (г )9?(0) = 0 и г = / С (г )9'(/) = 0, то,

опуская выкладки, подобные вышеизложенным, сразу записываем формулы для нахождения собственных частот:

Я.(г) = П ( і = 1, -, 3 ...)

” 1\/т (г)

и форм главных крутильных колебаний

9. (г) = В СОБ — • 1 /

(16)

(17)

Из соотношения (16) имеем формулу для расчета жесткости поперечного сечения при кручении через измеряемые резонансные частоты / (г) = (г) / 2 п:

4/2 С (г ) = — /т (г )/- (г )•

(18)

С другой стороны, жёсткость составного круглого сечения (рис. 2,6) при кручении в случае удаления или наращивания слоёв материала до радиуса г

| Ок + Ц | о, Ч . (19)

_ *к-1 ,=1 , _

Равенство соотношений (18) и (19) записываем в виде интегрального уравнения Вольтерра I рода:

г к- 212

I ОквШ + £ | О,--пгг■>.(г)Л(г) = 0.

,=1 К-1

г

После дифференцирования и преобразований получаем искомую формулу для расчета модуля сдвига:

функции изменения плотности материалов р,(£) кусочно-неоднородного или кусочнооднородного стержней устанавливаются экспериментальным путём, если они заранее неизвестны.

Очевидно, что для стержня из однородного материала(г) = 0. Для этого частного случая из выражения (21) имеем известную формулу (р = р1; G = G1)

Поскольку частоты резонансных колебаний для высших форм собственных крутильных колебаний отличаются в 2, 3, и более раз, то по этим соотношениям выполняется их опознание во всём частотном спектре.

Определение модуля Юнга при возбуждении изгибных колебаний Рассматриваем уравнение для установившихся собственных изгибных колебаний по схемам I, III на рис. 1 кусочно-неоднородных стержней прямоугольного (рис. 2,а) и круглого сечений (рис. 2,6) в виде [5]

где у(г) - амплитуда поперечного перемещения сечения; ю(£) - круговая частота; т(Е) - погонная масса; Вх( £) - жесткость поперечного сечения на изгиб относительно оси х.

Общий интеграл уравнения (24) записываем следующим образом:

тегрирования.

Находим спектр собственных круговых частот и соответствующие им формы изгибных колебаний кусочно-неоднородного стержня со свободными концами: при ъ = 0 Вх ( £,)у"(0) = 0,

Вх ( £)у"'(0) = 0; при г = I Вх ( £)у"(I) = 0, Вх ( £)у'"(I) = 0. Эти граничные условия приводят выражение (25) к частотному уравнению

Решение частотного уравнения (26) относительно собственных круговых частот шиг-( £) даёт зависимость

412 Г 2

Gk (r) = —L (r) Pk (r)/кг (r) + -I(r)/K' (r) .

(21)

г

r

Здесь в интеграле

(22)

(23)

(24)

y( z) = AS (kz) + BT (kz) + CU (kz) + DV (kz),

(25)

где S(kz), T(kz), U(kz), V(kz) — функции Крылова; k = ^ ; A, B, С, D — постоянные

ин-

cos ktl • ch kj = 1,

(26)

корни которого при i = 2 a2 = 4,730; i = 3 a3 = 7,853; i = 4 a4 = 10,996; i = p a = 0,5n(2p -1), а также к уравнениям для соответствующих форм колебаний

У г (z) = Л [( Ch k,1 - coskj)(shktz + sinktz) - (shkj - sin ktl)(ch ktz + cosktz)] • (27)

(28)

из которой следует формула для определения жесткости сечения на изгиб:

4п 2l 4

Bx ©=-V f ©p© /2 ©,

а,.

где / ( £) = Q)ui ( £)/2я - частоты колебаний в единицу времени.

Сначала определим модули Юнга материалов кусочно-неоднородного стержня с площадью поперечного сечения ^(Н) = ЪН (рис. 2,6). Жесткость поперечного сечения на изгиб относительно оси х выражаем соотношением

Бх (Н) = БЧ(Н) - е2(Н) А(Н). (30)

Учитывая представление кусочно-переменной функции Е(Н) в виде (1), записываем формулы для расчёта упруго геометрических характеристик:

жесткость поперечного сечения на изгиб относительно оси Хі

Бх, (Н) = Ъ

I Ек(У)У2ЛУ + Ц | Е: (У)У2гіу

1=1 н_,-і

Нк-і

(Но = 0);

ордината центра тяжести поперечного сечения

^ (Н)

е(Н) = -^;

А(Н)

статический момент инерции поперечного сечения относительно оси Хі

^(Н) = Ъ

к-1 Н1

| Ек(У) У ЛУ + Е | Е1(У) У ЛУ

Нк-1 1=1 Н-і

(Но = 0);

(31)

(32)

(33)

жёсткость поперечного сечения на растяжение

А(Н) = Ъ

| Ек (У)ЛУ + ]С I Е1(У)ЛУ

Нк-і 1=1 Ні-і

(Но = 0).

(34)

Теперь равенство соотношений (29) и (30) записываем в форме интегрального уравнения:

Бл (Н) - ^ ^ЪНр(Н)/2 (Н) = 0.

А(Н)

(35)

а,.

После дифференцирования по переменной к и преобразований получаем искомую формулу для расчёта модуля Юнга материалов кусочно-неоднородного или кусочно-однородного призматического стержней:

2 74

Ек (Н) =

4п /

а4 [ - ек(Н)]

І (Н) {[Н^рк (Н) + {(Н) ]/„ (Н) + 2Нрк (Н) Ц (Н)}. (36)

Использование формулы (36) осложняется тем, что из-за неизвестности значений модуля упругости невозможно найти упруго геометрические характеристики поперечного сечения. Затруднение преодолевается путём применения численного метода последовательных приближений. Его сущность заключается в следующем: по задаваемому ряду предполагаемых значений Ет(Н) подсчитываются величины А (Н), е (Н) и Б (Н) (т = 1, 2, ..., V), которые подставляются в

т ^ ' т ^ * Хіт ^ ^

выражение (35). Критерий сходимости заключается в выполнении равенства (35). Поясним этот метод примером.

Пусть на стержень с шириной Ъ и высотой Ні из однородного материала с известными значениями Еі и р1 нанесено однородное покрытие толщиной ї = Н - Ні. Определим неизвестное значение модуля Юнга материала покрытия Е2 по измеряемым резонансным частотам /2(Н) основной формы (, = 2) изгибных колебаний и рассчитываемой плотности р2 материала покрытия после каждого последовательного удаления слоев в пределах толщины ї и взвешивания остающейся части двухслойного стержня (п = 2).

По формулам (30) - (34) упруго геометрические характеристики суть: жёсткость поперечного сечения на растяжение-сжатие

Л(Л) = Ь

^Е,йу + | Е2<1у

= Ь [Е1к1 + Е2(Л - Л,)]

(37)

статический момент инерции поперечного сечения относительно оси

к к ^

£,(*)=ь |Еу^у+| е2у^у

[ ЕЛ + Е2_(1,г - Л,2)].

о л

ордината центра тяжести поперечного сечения

е(Л) = ^ = Е,А,2 + Е3(А2 - А,2) .

Л(Л) 2[[ + Е2(А- Л,)]

жесткость поперечного сечения на изгиб относительно оси X,

Л Л

БЛЛ) = Ь

| Е, у2 йу + | Е2 у2 йу

[ЕЛ3 + Е2(Л - А,3)];

жесткость поперечного сечения на изгиб относительно оси X

Вх (А) = В, (Л) - е2 (Л) Л( Л) = 3

Е,Л,3 + Е2(Л - Л3) -

3 [Е,Л + Е2(Л2 - Л2)]2

4 Е,Л + Е2(Л- Л) Итак, равенство выражений (29) и (41) даёт разрешающее уравнение:

(38)

(39)

(40)

(4!)

еЛ

, 3

, + Р(У3 - ,) -

[,+Р(У2 -,) ]2

4п /

2/4

а,.

(42)

где в = Е2 / Е, и у = А / А,- безразмерные коэффициенты.

Пусть теперь на 5-м этапе удаления слоев материала покрытия измерены линейные размеры, резонансная частота /и25 (Л) и вес Qs (Л) оставшейся части стержня. Тогда текущая плотность материала покрытия

р,

(43)

Щ £

Решая уравнение (42) относительно коэффициента рк, получаем Е2ж = Е, • вж. Осреднение величин Е2т (т = 1, 2, •••, 5, — , у) даёт искомое значение модуля Юнга Е2.

Если в частном случае коэффициенты у = 1 и в = 1, то из уравнения (42) вытекает известная формула для расчёта модуля упругости однородного материала призматического или цилиндрического стержней (р = р,; Е = Е,):

Е 48п / /2 (і _ 2 3 ) Е = ~тг^ Р/ш (і “ 2, 3, •).

(44)

Рассмотрим теперь определение модуля Юнга Ек материалов кусочно-неоднородного цилиндрического стержня. Представляя кусочно-переменную функцию Е(г) в форме (1), записываем формулу для расчёта жесткости поперечного сечения на изгиб относительно оси х (рис. 2,6):

Вх (г) = п | Е (5 )5й = п

| Е* (5)53й5 + £ | Е1 (5)5!й5

К*-, М К]-,

(45)

Равенство формул (29) и (45) выражаем в виде интегрального уравнения Вольтерра I ро-

I Е„+Х I Е,-^(г --;)р(г)/;(г) = О-

(46)

] =1 -^ а>

После дифференцирования по переменной г и преобразований получаем формулу для определения модуля Юнга материалов кусочно-неоднородного или кусочно-однородного цилиндрического стержней:

Ек (г ) = 4П^ /ш (г){[(г 2 - {к (г ) + 2ГРк { ) ] /иг (г ) + 2(г 2 - Дз2)Рк (г )/„' (г )}- (47)

Поскольку для однородного цилиндрического стержня жёсткость поперечного сечения на

изгиб

— Г)4 Г)4

Бх (г) = п I = Е> -^—^, (48)

-о 4

то из равенства выражений (29) и (48) имеем известную формулу для вычисления модуля Юнга однородного материала (р = р1; Е = Е1):

Е =___16п/ 4___р/2. (49)

аг4( Я2 + -2)Р/иг

Из уравнения (27) для форм собственных изгибных колебаний следует, что на основной форме (г = 2) колебаний узловые точки находятся на расстоянии 0,224/ и 0,776/ от левого конца, которые показаны на рис. 1,6. Поэтому крепление образцов осуществляется на тонких проволоках в этих точках. Частоты высших форм собственных изгибных колебаний отличаются от основной формы (г = 2) в 2,76, 5,41, 8,94, ... раз. Эти соотношения служат для опознания резонансных частот во всём частотном спектре, а также для разделения резонансных частот изгибных и крутильных колебаний при совместном определении модулей упругости Е и О по схеме III на рис. 1,б.

Коэффициент Пуассона V и модуль объёмной упругости К вычисляются по формулам:

v=E-1; (50)

2О

К =-----—-----=-----Е---- (51)

3(3О - Е) 3(1 - 2у)

Расчет характеристик упругости и анализ результатов

В качестве примера вычислим характеристики упругости материала плазменного покрытия из иттрия толщиной ^ = 3 мм, напыленного на полый цилиндрический стержень из легированной стали с составом (%): С - 0,14; 81 - 0,12; Мп - 0,52; Сг - 13,6; N1 - 0,48. Размеры стержня: длина / = 200 мм; радиусы —0 = 8 мм; —1= 10 мм; — 2 = 13 мм. После каждого удаления слоя измерялись линейные размеры, вес стержня и резонансные частоты основных форм собственных продольных (г = 1), крутильных (г = 1) и изгибных (г = 2) колебаний. Результаты испытаний представлены в табл. 1, которые аппроксимировались аналитическими зависимостями в математической системе Mathcad 14 по методу наименьших квадратов с применением линейной и полиномиальной регрессий полиномами первой и пятой степеней.

Таблица 1. Экспериментальные данные

г

] г, м д(г), Н /т(г ^ Гц /Л г ), Гц /и 2(г X Гц

0 0,01000 1,736 13119 8145 2990

1 0,01050 1,998 12636 7282 2872

2 0,01089 2,210 12417 7001 2818

3 0,01105 2,304 12276 6897 2799

4 0,01130 2,443 12099 6663 2790

5 0,01165 2,653 11916 6459 2785

6 0,01215 2,954 11701 6297 2785

7 0,01240 3,117 11556 6241 2795

8 0,01270 3,309 11455 6170 2807

9 0,01300 3,505 11326 6059 2823

Результаты расчетов характеристик упругости по формулам (12), (21), (47), (50) и (51) сведены в табл. 2, где переменная толщина а = г — ^.

Изменение веса по радиусу г (^ < Г < ^) или по толщине а покрытия описывается линейной регрессионной зависимостью

Q(г) = 1,696 + 592,737(г — Я1), Н; Q'(г) = 592,737Н/м.

Из неё следует, что плотность легированной стали р! = 7,82-103 кг/м3, а плотность напыленного иттрия не изменяется по радиусу стержня и составляет:

^ ^2^0 3,3

тттр1 = 4,1 • 10 кг/м ,

2 п (Щ—й2)/ g й2 — д2 1

где Qъ = 3,505 Н - суммарный вес стержня до испытаний. Это обстоятельство указывает на то, что модули упругости напыленного иттрия — постоянные величины. Характеристики упругости легированной стали Е1 = 215,3 ГПа, G1 = 82,7 ГПа; VI = 0,3; К1= 180,9 ГПа соответствуют данным справочной литературы.

т 1 2 3 4 5 6 7

г • 103, м 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0 12,5 13,0

а -103, м 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

при возбуждении собственных продольных колебаний

Q, Н 1,696 1,992 2,289 2,585 2,881 3,178 3,474

Q', Н/м 592,737 592,737 592,737 592,737 592,737 592,737 592,737

р • 10-3 кг/м3 7,821 7,015 6,472 6,093 5,811 5,589 5,418

р' • 10—6, кг/м4 -1,955 -1,312 -0,895 -0,643 -0,497 -0,395 -0,279

/-1 -10^^ Гц 1,311 1,266 1,230 1,201 1,175 1,153 1,133

1!л-10—6, Гц/м -1,013 -0,799 -0,649 -0,546 -0,475 -0,423 -0,375

Е2, ГПа 58,5 55,8 57,8 58,6 57,2 55,7 58,4

р! = 7,82-103 кг/м3; р2 = 4,1-103 кг/м3; Ех = 215,2 ГПа; Е2 = 57,4 ± 1,2 ГПа; АЕ = 2,1%

при возбуждении собственных крутильных колебаний

I-105, кг • м2 1,154 1,576 2,062 2,619 3,254 3,973 4,784

/к1 -10—=’, Гц 8,130 7,350 6,873 6,573 6,363 6,199 6,075

/к' -10—6, Гц/м -1,964 -1,208 -0,743 -0,488 -0,365 -0,293 -0,193

Ог, ГПа 23,8 22,7 23,6 24,4 23,7 22,5 23,8

G1 = 82,7 ГПа; V! = 0,3; Кх= 180,9 ГПа; О2 = 23,5 ± 0,6 ГГ 1а; V2 = 0,22; А О = 2,6%

при возбуждении собственных изгибных колебаний

/и 2-10Л Гц 2,990 2,870 2,807 2,783 2,784 2,798 2,823

ги2 • 10—6,Гц/м -3,130 -1,760 -0,813 -0,198 0,176 0,402 0,571

Е2, ГПа 57,7 56,4 57,3 58,1 58,0 57,4 56,8

Е1 = 2 5,3 ГПа; VI = 0,3; Е2 = 57,4 ± 0,6 ГПа; V = 0,22; К2 = 34.3 ГПа; АЕ = 1,1%

Расчётные значения модулей упругости материала плазменного покрытия из иттрия распределяются по толщине с небольшими отклонениями АЕ и А0 порядка 1,1 — 2,6% от средних величин Е2 = 57,4 ГПа и О2 = 23,5 ГПа (табл. 2), подсчитанные по формулам:

Е2 = 1 ЁЕ2т ■ 4 = “4Ё( — Е2) ^ А£ = Е

V т=1 V 1 т=1 е2

G = 1 ±G2„; sG = -i-£( -G)2; д„ = G100,

vm=i v -1 m=iy > G2

где v = 7; и SG - среднеквадратичные отклонения.

Наличие указанных отклонений обусловлено следующим. По своей сущности, в нелинейных формулах (11), (12), (21), (36) и (47) присутствуют два основных слагаемых, в одном из которых аппроксимированные функции частот в квадрате, а другое представляет собой произведение этих функций на их отрицательные производные. Следовательно, из-за неточностей измерений и аппроксимации экспериментальных данных возникает погрешность при вычислении истинной разности слагаемых, которая и обусловливает неизбежное появление указанных отклонений. Поэтому при испытаниях должны обеспечиваться точность измерений веса порядка 0,1%, а резонансных частот не выше 0,05%. Расчёты следует вести с точностью до четырёх знаков с предъявлением жестких требований к подбору аппроксимирующих зависимостей, применяя, например, обобщённую регрессию. Для напыленного иттрия принимаем значение модуля Юнга Е2 = 57,4 ГПа, а модуля сдвига - G2 = 23,5 ГПа. Тогда по формулам (50) и (51) получаем величину коэффициента Пуассона v2 = 0,22, а модуля объемной упругости К2 = 34,3 ГПа.

Значения характеристик упругости напыленного иттрия меньше, чем у металлического иттрия, полученного металлургическим путем. По данным из справочника [6] для металлического иттрия р = 4,55-103 кг/м3 и Е= 63,3 ГПа, а по сведениям из источника [7] с учётом исправлений опечаток р = 4,45-103 кг/м3, Е = 66 ГПа , G = 26,4 ГПа, v = 0,25. Различие значений характеристик упругости напыленного и металлического иттрия очевидно вызвано наличием в покрытии пористости. Учитывая связь модуля Юнга с пористостью [8], найдём её величину по формуле:

п = (1 - Щ - V , (52)

Е 15(1 -v2) - 2(1 - X)(4 - 5v2) где X = Е2 / Е. Внося в соотношение (52) усреднённые данные литературы и полученные значения X = Е2/ Е = 0,866; v2 = 0,22, получаем величину пористости напыленного иттрия п Е = 7,2%, которая несколько меньше обычной оценки, учитывающей только плотности сравниваемых материалов:

( Р ^

1 --^ -100 = 8,9%.

V р )

Таким образом, пористость плазменного иттриевого покрытия является основной причиной, которая приводит к снижению характеристик упругости напыленного иттрия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Игнатьков Д.А. Остаточные напряжения в неоднородных деталях. Кишинев: Штиинца. 1992. 302 с.

2. Игнатьков Д.А. Методы определения и регулирование остаточных напряжений в телах неоднородной структуры. Автореферат дис. д-ра техн. наук: 01.02.04. Екатеринбург, 2005. 23 с.

3. Металлы. Динамический метод определения характеристик упругости: ГОСТ 25156-82. Введ. 02.03.82. М.: Государственный комитет СССР по стандартам: Издательство стандартов, 1982. 21 с.

4. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. 368 с.

5. Справочник по строительной механике корабля: в 3 т. редкол.: О. Палий (науч. ред.) и др. Л.: Судостроение, 1982. Динамика и устойчивость корпусных конструкций. Г. Бойцов и др., 1982. 3, 318 с.

6. Справочник. Свойства элементов: в 2 ч. редкол.: Г. В. Самсонов (ред.). М.: Металлургия, 1976. Физические свойства. Т. А. Андреева и др. 1976. ч. 1, 600 с.

7. Химическая энциклопедия [Электронный курс]. Режим доступа:

http://www.xumuk.ru/tncvklopedia/1767.html. Дата доступа: 13.04.2010.

8. Hashin Z. Relations between Young's modulus and temperature. J. Appl. Mech. 1962, 29(1), 143-147.

Поступила 08.06.10

Summary

Settlement formulas and examples of definition of characteristics of elasticity of heterogeneous multilayered materials are stated by a dynamic resonant method.

П,=