Определение фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов на основе жесткостных соотношений однородных конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 А.Д. Матвеев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ ЖЕСТКОСТНЫХ СООТНОШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Предложена процедура нахождения фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов регулярной структуры, которые с позиций макроподхода считают изотропными однородными телами. В основе процедуры лежат же-сткостные соотношения, которые представляют в явном виде коэффициенты матрицы жесткостни однородных конечных элементов через их модули упругости Показано совместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе трехмерных композитов.

Введение. При анализе композитов широко используют микро- и макроподходы [1]. Конечноэлементный анализ композитов при микроподходе сводится к решению проблемы обращения матриц высокого порядка. Согласно макроподходу композит рассматривается как (фиктивное) однородное тело с некоторыми (фиктивными) модулями упругости. Однако определение фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов регулярной структуры является достаточно трудной задачей, особенно для композитов с малым коэффициентом наполнения.

В данной работе изложена процедура нахождения фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов регулярной структуры, которые с точки зрения макроподхода считают изотропными однородными телами. В основе процедуры лежат жесткостные соотношения (^-соотношения [2, 3]), которые устанавливают взаимно однозначную связь между коэффициентами матрицы жесткости и модулями упругости однородного конечного элемента (КЭ) первого порядка (формы куба). В связи с этим в предлагаемой процедуре в качестве представительного объема композита используем представительный конечный элемент (ПКЭ), состоящий из конечного числа регулярных ячеек композита. ПКЭ рассматриваем как некоторый (фиктивный) изотропный однородный КЭ первого порядка формы куба. Считаем, что модули упругости фиктивного КЭ являются фиктивными модулями упругости композита. Полагая, что матрица жесткости ПКЭ есть матрица жесткости фиктивного КЭ, фиктивные модули упругости композита определяем с помощью ^-соотношений и коэффициентов матрицы жесткости ПКЭ. Реализация процедуры сводится к построению ^-соотношений и матрицы жесткости ПКЭ. При построении матрицы жесткости ПКЭ используем две вложенные узловые сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена разбиением области ПКЭ, которое учитывает его композитную структуру. На крупной сетке ПКЭ определяем функции формы, которые используем при построении & соотношений.

Достоинства предлагаемой процедуры заключаются в следующем. Во-первых, мелкое разбиение учитывает структуру регулярных ячеек ПКЭ композита. Во-вторых, данная процедура применяется для определения фиктивных модулей упругости трехмерных композитов сложной регулярной структуры, имеющих малый коэффициент наполнения. В третьих, эта процедура имеет матричную формулировку и реализуется на основе алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) [4, 5].

Здесь показано совместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе трехмерных композитов. Суть предлагаемого подхода заключается в следующем. В области крепления композита используем мелкое разбиение, построенное по правилам микроподхода. Остальную область композита согласно макроподходу представляем крупным разбиением, состоящим из (фиктивных) изотропных однород-

ных КЭ, при построении которых используем фиктивные модули упругости композита. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью связующих КЭ, которые проектируем на основе многосеточных КЭ [6,7]. В результате получаем смешанную дискретную модель композита, размерность которой многократно меньше размерности дискретной модели композита, построенной по микроподходу. При этом погрешность решения, которое отвечает смешанной модели композита, меньше погрешности решения, построенного по макроподходу. Изложены процедуры построения ^-соотношений и матриц жесткости для ПКЭ. Приведен пример расчета трехмерного композита регулярной волокнистой структуры, имеющего малый коэффициент наполнения.

1. Процедура определения фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов регулярной структуры. В основе данной процедуры лежат следующие положения.

Положение 1. Процедуру применяем для трехмерных композитов, которые с позиций макроподхода можно считать изотропными однородными телами.

Положение 2. В процедуре используем ^-соотношения, которые устанавливают взаимно однозначную связь между коэффициентами матрицы жесткости и модулями упругости однородного КЭ первого порядка (формы куба).

Положение 3. В качестве представительного объема композита используем область формы куба, состоящую из конечного числа регулярных ячеек композита. Эту область будем называть представительным конечным элементом (ПКЭ) композита и при этом считаем, что ПКЭ есть некоторый (фиктивный) изотропный однородный конечный элемент (КЭ) первого порядка формы куба. Считаем, что модули упругости фиктивного КЭ являются фиктивными модулями упругости ПКЭ, т.е. композита.

Положение 4. Фиктивные модули упругости композита определяем с помощью ^-соотношений и коэффициентов матрицы жесткости ПКЭ.

Положение 5. Расчеты показывают, что для ПКЭ формы куба (со стороной а) существует такое

ао < ж, что при а ^ ао Ср ^ С°, причем для любого а > ао имеем Ср = С°, где Ср -

ч ч ч ч ч

фиктивные модули упругости композита, г, ч = Как известно [8], модули упругости Су однород-

ных изотропных трехмерных тел удовлетворяют условиям

Сч = 0, I = 1,2,3; ч = 4,5,6; С45 = С46 = С56 =0

С12 = С13 = С23; С11 = С22 = С33; С44 = С55 = С66 ■

Пусть

1 с02 -с03 I /I с02 I<£; I с03 -с03 | /| с03 |<£; | С101 -с02 | /| с02 |<£;

|С303 - С202 |/|С202 ^ |С404 - С55 |/| С°4 ^ С6 - 4 |/|С606 ^

| с0 I<£1, г = 1,2,3; ] = 4,5,6; | с45 |,| сЦ5 |,| С06 |<е1, где е,е1 << 1 . (1)

Тогда трехмерный композит будем считать фиктивным изотропным однородным телом, для которого (фиктивные) модули упругости Ср определяем по формулам

ч

С11 = С22 = С33 = (СП + С22 + Ф/3; С12 = С13 = С23 = (С12 + С13 + С23 ) /3; С4Р4 = С55 = С66 = (С44 + С505 + Ф/3; СЦ =0, г = 1,2,3; 3 = 4,5,6

(2)

Рассмотрим в декартовой системе координат Охуг ПКЭ формы куба со стороной а (рис. 1), который состоит из областей Qi формы куба со стороной Ь, і = 1,..., Ыь, Ыь - общее число областей Qi в ПКЭ. Область Qi состоит из конечного числа регулярных ячеек композита. На рисунке 1 ПКЭ состоит из 64 областей Qi ( Ыь = 64).

Пусть для композита выполняется положение 1. Согласно положению 3 ПКЭ композита считаем фиктивным изотропным однородным КЭ Уд формы куба первого порядка со стороной а. Узловыми неизвестными КЭ Уд являются перемещения и, V, w. Узловую сетку КЭ Уд обозначим через Ун и назовем крупной сеткой ПКЭ. Узлы сетки Ун на рисунке 1 отмечены точками. Фиксируем в КЭ Уд (т.е. на крупной сетке Ун ПКЭ) три узла А, В, С, которые лежат в плоскости хОу (или в плоскости хОг, или в плоскости уОг, при этом узел В лежит в начале координат), (рис. 2). Пусть первые девять узловых неизвестных 81 ,...,89 КЭ У0 (т.е. девять неизвестных крупной сетки Ун ПКЭ) есть неизвестные трех узлов А, В, С, порядковая нумерация которых показана на рисунке 2. Однородный КЭ Уд, в котором все узловые неизвестные, кроме неизвестных 8[,..., 89 узлов А, В, С, равны нулю, обозначим через У^ . Для рисунка 2 имеем: 8р = щ, 82 = и2, 8р = из, 8р = VI, 85 = V2, 8р = vз, 87 = W1,

8р = W2, 87 = W1, где щ, VI, Wi - есть перемещения I -го узла (I = 1,2,3) соответственно в направлении осей Ох, Оу, Ог.

а

Рис. 1. ПКЭ формы куба (узлы крупной сетки Ун отмечены точками)

Рис. 2. Однородный КЭ Уд (нумерация узловых неизвестных КЭ Уд )

о

Рассмотрим процедуру построения ^-соотношений для КЭ Уд . При этом считаем, что напряжения, деформации и перемещения КЭ Уд связаны соотношениями Гука и Коши [8]. Согласно МКЭ функции перемещений и2, V2 , w2 КЭ У0 (построенные на крупной сетке Ун ПКЭ) представим [4, 5]

wr

N

(3)

где др = [82,..., 89} - вектор неизвестных КЭ Уд ; Nд - матрица функций формы. Пусть матрица Nд имеет структуру [2]

[ N2 ]

N1 N2 N2 0 0 0 0 0 0

0 0 0 N3 N2 N2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 N2 N2 N3

(4)

где N 2, N 2, N 2 - функции формы КЭ Уд , построенные соответственно для его узлов А, В , С.

и

V

В силу (4) коэффициенты (а = , в = а,...,9) верхней треугольной части матрицы же-

сткости [KР ] (размерности 9 X 9) однородного КЭ V0 представляются через его модули упругости Cj (С? = Cj; i, j = 1,...,6) по формулам [2].

к0;в = C11 Аав + C15 (Pafi + Pfia) + Ci6 (Dafi + Dfia) + С5б (Fafi + F'вод + C55Qap + C66В®в ’

ка+ 3,в+3 = C22Вав + C46 (Рав + Pfia) + C26 (Da(3 + Dва) + C24 ('ав + Ffia) +

C44Qae + C 66 Аав •

ка+ 6,в+6 = C33Qafi + C35 (Рав + PPa) + C45 (Dafi + DPa) + C34 (Fав + Fpa) +

C55Aafi + C44Baв’ а = 1»2»3’ в = а,---,3;

ка,в+3 = C12Dав + C14 Рав + C56Рва + C26Вав + C66Dва + C46Fав + C25F'ва +

^<0 + C/6 Аав

ка,в+6 = C14Daв + C13 Рав + C55Рва + C46Вав + C56Dвa + C36'ав + C45Fва +

^5^ + CZ5 Аав’

ка+ 3,в+6 = C46Dafi + C36 Рав + C45Рва + C24Вав + C25Dfia + C23'ав + C44'ва + C34Qafi + C56 Аав’ в =1’2,3’ (5)

Э N в dNp д N в dNp д N в

Г ^v , Вав= Г dv, 2ав= Г dNa в

Vo дх д х ав V ду д у ав V dz д z

здесь а = 1,2,3; в=а,...,3;

-np д N в . -nP д N в . дNР д N в

Рав= fvo -lf-эГ dV ■ Dat= fvo -а-ТТdV • 'ав= fvo ^~дГ dV • (6)

здесь а, в =1,2,3; Уд - область КЭ Уд .

Используя (5), (6), построим равенства

КР =[Я1 ]сР, КР = [н2]сР, КР =[нз]сР, (7)

где кР = к^,к[з,крз,к22,к23,к3з ' ; КР = { ^44’^45’к55,к56,к66 ^'

КР = {кр кр кр кр кр кр\ ' СР ={ср Ср Ср Ср Ср Ср К•

Кз = [k77,^k79,k88,k89,к9^ ; С1 = C11,C15,С^ с55,с56,С66\ ’

СР = { Ср Ср Ср Ср Ср Ср I • СР ={ Ср Ср Ср Ср Ср Ср I • с2 = 1С225С245С265 С445С465С66> ’ сз = I Сзз,Сз4,Сз5, С44,С45,С5^ •

[Н1 ], [н 2 ], [н з ] - квадратные матрицы размерности 6 X 6.

Коэффициенты и}- , Н2, Нз (г, - = 1,... ,6) соответственно матриц [Н1 ], [н2], [нз] вычис-и и и

ляем с помощью формул (6), т.е. имеем

Н,1, = [

11 л

Уо

и

66

Уо

2

' ды1

дх

V У

^ V ^ 2

щ

дх

V

йУиЬ = 1

66 .Ъ

Уо

{ \2

' <л

дУ

V У

йУ' Н121=1

У0

2

' дм[

дУ

V У

йУ,...,

йУ' Н з = 1

11 л

Уо

/"-л И

дыр

дг

V У

2

йУ Н6з6 = 1

Уо

( Л 2

д<л

дх

V У

йУ.

Численныи эксперимент показывает, что йвг [н,~]ф 0, йвТ [н2 ]^ 0, йвг [нз ]^ 0. Тогда, пользуя (7), получаем

сР = [н, ]-1кР , сР =[н 2 ]-1к Р, сР = [н з ]-1К Р,

(8)

ис-

(9)

где [н, ]-1, [н 2 г1, [н з г1 - матрицы, обратные матрицам [н, ], [н 2 ], [н з ].

Пусть для КЭ У0 построены функции формы Ыр, Nр, Nр и определены матрицы [н, ],

[н2 ], [н з ]. Пусть для однородного КЭ У{р матрица жесткости [Кр ] известна. Тогда, используя формулы (9), находим векторы с]5, сР, с ^, т.е. определяем следующие пятнадцать модулей упругости КЭ

У0р:

Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср Ср (10)

Чр с15, с16, С22, с24, с26, с33, с34, Сз55 с44, с45, с46, с55, С565 С66. ()

Оставшиеся 6 модулей упругости КЭ У^ однозначно определяются через модули упругости (10) следующим образом. Используя соотношения (5), (6), построим равенства

К 5 =[н 4 ]с Р + [04] с4, К Р =[н 5 ]сР + [05] с5, I11)

гае Кр = \кр кр кр Г ' Кр = \кр кр кр I1' ср - { Ср Ср Ср Г •

где К4 = I к14,к15,к16 ] ' К5 = I к48,к49,к57 J ' с4 = I С12,С14,С25J ’

с* = { Ср Ср Ср Ср Ср Ср г • с* = { Ср Ср Ср Ср Ср Ср I •

с4 = I C16,с26,с45, с46,с56,С66> ’ с5 = C24,с34,с44, с45,C46,С5^ •

сР = C25, Сз6 Г • [н 4], [н 5 ] - матрицы размерности зх з; [04 ], [О5 ] - матри-

цы размерности зх 6.

Расчеты показывают, что йвг [н4]^ 0, йвг [н5 ]^ 0. Тогда из (11) находим векторы сР, сР по формулам

СР = [н4]-1 КР - [н4]-1[04] с4, СР = [н5] 1 КР-[н5] ^5] с5,

1-1.

(12)

2

где [н 4 Г1. [Н 51"1 - матрицы, обратные матрицам [Н 4 ], [Н 5 ].

* *

Отметим, что в (12) векторы модулей упругости с4, с5 известны. Итак, осталось найти модуль упругости

Срз. Для нахождения Ср с помощью (5), (6) построим равенство

:Р =[н 6 ]СР

к Р =[н 6 ]СР, (13)

где КР = {к^, к-^8, к^9, к, к, к^9, к^, к38, к^ ]Т і [Н61 - матрица размерности 9 X9;

СР = {СР СР СР СР СР СР СР СР СР }

С6 = 1С13’С14’С15’ С35’С36’С45’С46’С55’С56> .

Обозначим: к6 - коэффициенты матрицы [Н6]; і, І = 1,...,9 . Расчеты показвают, что кЦ ^ 0. Тогда

из (13) следует

ср = (кр " СР к6 " СР к6 " СР к6 " СР к6 — СР к6 —

С13 = (к17 С14 к12 С15к13 С35к14 С36к15 С45к16

СР к6 — СР к6 — СР к6 )/к6 (14)

С46к17 С55к18 С56к19)/к11. (14)

Формулы (9), (12), (14) составляют ^-соотношения, построенные для однородного КЭ (узловые неизвестные которого показаны на рис. 2).

Итак, все модули упругости СІ (і = 1,...,6, І = і,...,6) однородного трехмерного КЭ У^ первого

порядка формы куба однозначно определяются с помощью ^-соотношений и коэффициентов матрицы жест-

'Р ь0

неизвестные крупной сетки Ун равны нулю во всех узлах, кроме неизвестных дРдд трех узлов А, В, С, нумерация которых показана на рисунке 2. При этом предполагаем наличие идеальных связей между компонентами композита. Пусть ПКЭ состоит из Ыь областей Qi размерами Ь X Ь X Ь

к

(і = 1,...,Ыь ). Разбиваем область Qi на КЭ У^ первого порядка формы куба со стороной к, где

І = 1,..., N о; N о - общее число КЭ У к. Данное разбиение учитывает композитную структуру области

к

Qi и порождает мелкую равномерную узловую сетку Уі с шагом к. С помощью метода конденсации [5]

к

выражаем неизвестные внутренних узлов сетки Уі через неизвестные узлов, лежащих на границе области

Qi. В результате получаем суперэлемент УЬ [4] формы куба со стороной Ь. Все узловые сетки Ук

(і = 1,.,Ыь ) образуют мелкую сетку Ук ПКЭ. Функционал Па потенциальной энергии ПКЭ запишем в виде [5]

*Ь\

1а ~

кости [Кр ]. Рассмотрим построение матрицы жесткости ПКЭ (формы куба со стороной а ), у которого

%

П а = 2 [о,5 (а і )Т [Кі к і — (а і )Т К і

(15)

і=1

где [Кг ] - матрица жесткости суперэлемента Уг ; qг-, и[ - векторы узловых неизвестных и сил супер-

Ь Ь

элемента У- , Ыь - общее число суперэлементов У■ (т. е. областей Qi) в области ПКЭ.

Ь

Используя представление (3), выражаем вектор q г- неизвестных суперэлемента Уг

(г = 1,..., Ыь) ПКЭ через узловые неизвестные крупной сетки Ун, т.е. через вектор qР. В результате построим равенство

qг = [А ]qР, (16)

где [А ] - прямоугольная матрица, г = 1,.... Ыь.

Подставляя (16) в (15), из условия дП / д q Ц = 0 получим

N

[К0]= 1[А,- ][К и ]Г, (17)

г =1

где [К^] - матрица жесткости ПКЭ (размерности 9 X9).

Согласно положению 3 ПКЭ (формы куба со стороной а ) является фиктивным изотропным однородным КЭ р

У^ первого порядка (формы куба со стороной а ), следовательно, матрица жесткости [^ ] есть матрица жесткости КЭ У{р, т.е. принимаем

кр = ки '■ и = ь-9, (18)

где кр, кг- коэффициенты соответственно матриц [К0 ], [К0].

Для определения фиктивных модулей упругости Ср (г,] =1,...,6) композита используем Н-

ч

соотношения (см. положение 4), т. е. формулы (9), (12), (14), в которых в силу (18) вместо коэффициентов кр

ч

применяем коэффициенты к[-. Итак, фиктивные модули упругости Ср ПКЭ (т. е. композита) вычисляем по

ч ч

формулам:

сР =[н, Г'К^ сР = [н 2 ]-1К2, с? = [н з ]-1кз,. (19)

СР =[н4]-1 К4 - [н4]-1[04] с4, СР =[н5]-1 К^-[н5]-1[05] с5, (20)

Ср = (кр - Ср и6 - Ср и6 - Ср и6 - Ср и6 - Ср и6 -С,з = (к,7 С,4 и,2 С15Н1з Сз5Н14 Сз6 Н15 С45Н16

Ср Н6 - Ср Н6 - Ср Н6 )/Н6 (21)

С46Н17 с55и18 С56 И19)/ Н11, (21)

где кГ = \ к1Г,,к[з,к1з,к^2,к2з>кзз Г; К2 = {к44>к45k4б,к55>k5б,к66 Г'

Кз = { к77' k78’ к79' k88’ к8Г95 к99 Г' К4 = {к14, к15, к1Г6 Г' К5 = {к48' к<495 к57 Г'

к* - параметр вектора к6 , г = 1,...,9' К6 = {к17, к,г8, к,г9, к27, к28, к29, к^, к™, к™ }Г'

* Г ' I г г г г г г г г г

‘6, г = 1,"',9' К 6 = {к17, к18, к19, к27, к28,к 29, кз7, кз8, кз9-

Г г

к•• - коэффициенты матрицы [К0 ], г, ] = 1,.-,9 .

Ч 0

2. Совместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе трехмерных композитов.

Суть совместного применения микро- и макроподходов рассмотрим на примере расчета трехмерного композита (рис. 3), который с позиций макроподхода можно считать (фиктивным) изотропным однородным телом. Пусть для данного композита определены фиктивные модули упругости. Область V композита разбиваем на две области: VI и V2; V = VI +V2. Область VI, которая содержит границу крепления композита (на

к

рис. 3 граница крепления заштрихована), представляем мелким разбиением, которое состоит из КЭ V^ первого порядка формы куба (со стороной к) и построено по микроподходу [1]. Область V2 представляем

н

крупным разбиением, которое состоит из (фиктивных) изотропных однородных КЭ VI первого порядка

формы куба со стороной Н (Н = кк; к - целое, к > 2), построенных с применением фиктивных модулей упругости данного композита. В результате получаем смешанную дискретную модель композита, при построении которой используем одновременно микро- и макроподходы. Связь мелкого разбиения области

VI с крупным разбиением области V2 осуществляется с помощью связующих КЭ, которые проектируются на основе двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) [6, 7].

1

к

Р.

VI V2

/ V і ь < 160Н ►

20Н

X

10Н

Рис. 3. Расчетная схема трехмерного композита

Рассмотрим процедуру построения связующего ДвКЭ Оа (а - порядковый номер ДвКЭ) формы куба со стороной Н , для рисунка 4 Н = 5Н. Отметим, что ДвКЭ Оа имеет две вложенные узловые сетки: мелкую и крупную.

Н

Г

Рис. 4. Связующий КЭ Оа (регулярная ячейка V- композита)

Вначале область ДвКЭ Оа представляем мелким разбиением, которое состоит из фиктивных изотропных однородных КЭ V0 первого порядка формы куба со стороной Н и порождает мелкую узловую сет-

ГУ

ку Vн с шагом Н размерности ті Xт2 Xт3, для рисунка 4 ті = т2 = тз = 6. При построении КЭ V0 используем фиктивные модули упругости Ср композита. На мелкой сетке Vа определяем крупную

] Ч Н

/у

узловую сетку Vн с шагом На размерности щ XП2 X щ. На рисунке 4 узлы крупной сетки отмечены точками, пі = П2 = П3 = 2; На = 5Н. Пусть связующий ДвКЭ Оа по границе Га (на рис. 4 граница

/у

Га есть плоскость уОї) соприкасается с областью V1. Используя мелкое разбиение V^ , потенциальную энергию Па ДвКЭ Оа, представим [5]

і

Па= - (ЬаТ [К|] Ьа-(ЬаУ Pа, (22)

о а

где [Щ-матрица жесткости ДвКЭ О а; , Аа - векторы узловых сил и неизвестных разбиения V^ .

Вектор Аа имеет структуру

А а={ А Г . Ч Н ’ 4 £ [. (23)

(X

где А Г - вектор значений перемещений тех узлов мелкой сетки Vн ДвКЭ О а, которые лежат на гра-

/V /у

нице Га и не совпадают с узлами крупной сетки Vн (на рис. 4 эти узлы лежат в плоскости уОї); А £ -вектор значений перемещений остальных узлов мелкой сетки, не совпадающих с узлами крупной сетки, Ч Н

(у

- вектор узловых неизвестных крупной сетки Vн . С помощью полиномов Лагранжа [5] на крупной сетке

(у

Vн определяем аппроксимирующие функции ин, ун, пн , которые представим в виде

п0 п0 п0

ин = X NвЦ’ Ун = Е NвОв’ пн = X Nв^’ (24)

в=1 в=1 в=1

где N в - базисная функция в-го узла сетки V ^, Ов, - значения функций ин. ун. wн

в в-м узле крупной сетки Vаа ; П0 = П1П-П3.

ОС

Считаем, что в узлах мелкой сетки ^ выполняются равенства

иН (її )=ин (її). П (її )=Vн (її). пН (її ) = пн (її), (25)

где — I -й узел мелкой сетки; ик, Ук, ^к - аппроксимации соответственно перемещений и, V, w

^ (X к

СУ

ДвКЭ, которые построены на мелкой сетке V, ; ї = 1.....т1 т- тз.

С учетом (24) равенства (25) представим в виде

п0

иН (її )= X Nв(її)ов’ уН (її )= X Nв(її)ов’ пН (її )= X Nв(її)ов• (26)

в=1

п0

X

в=1

п0

X

в=1

Используя (26), между векторами а а и ч 0, установим связь

о НН

А £ = [Оа ] Ч Н,

Т

п0'^' ' ±п0' м ' ' "п0 Учитывая (27) в (23), построим равенство

„ а і и и V V в в где Ч н = \ °1’....* ’ °1’-’°пп ’О1 ’-’0

(27)

; [»а ] -

а ] - прямоугольная матрица.

а а =[Ва]ча. где Ч а = {аГ. Ч Н Т ’

(28)

[ва]_

Е ] 0 '

0 [Е- ]

. 0 [О а ]

. [Е1 ]. [Е- ] - единичные матрицы,

гу

Ч - вектор узловых неизвестных (перемещений) связующего ДвКЭ О а.

Применяя (28) в (23), из условия дПа / с^а =0 получаем формулы вычисления матрицы жесткости

[М а ] = [Ва ] [К @ ][в а ] и вектора узловых сил ¥а = [ва ]т Ра связующего ДвКЭ-та G а.

Результаты численных экспериментов. Рассмотрим в декартовой системе координат Охуг трехмерный композит (с малым коэффициентом наполнения, равным 0,394) размерами 160к X 10к X 20к, на рисунке 3 (к = 0,5), который имеет волокнистую регулярную структуру. Область композита состоит из регулярных ячеек V? формы куба со стороной 5к, I = 1,...,256. Волокна расположены вдоль ребер ячейки. На рисунке 4 показана ячейка VI , представленная ортогональной трехмерной регулярной сеткой с шагом к, волокна с поперечным сечением размерами к X к отмечены жирными линиями. С позиций макроподхода считаем, что данный композит является фиктивным изотропным однородным телом. При X = 0 композит закреплен (и = V = 0). На рисунке 3 граница крепления отмечена штриховкой. Модуль Юнга волокон равен 10, связующего материала - 1. Коэффициент Пуассона для всех компонент композита равен

0,3. Фиктивные модули упругости Ср для ПКЭ формы куба (со стороной а ), вычисленные по формулам

ч

(19)-(21) для различных значений а , представлены в таблицах 1-3, где N? - количество регулярных ячеек композита в области Qi (размерами Ь X Ь X Ь). При определении матрицы жесткости ПКЭ используем области Qi формы куба со сторонами Ь = 5к,10к,15к,20к.

Таблица 1

а Ь Ср С11 С Р С12 С Р С13 С Р С14 С р С15 С р С16 С р С22

т 20Ь 64 3,841 1,207 1,169 -0,023 0,011 -0,010 3,841

100Ь 3,853 1,212 1,198 -0,008 0,004 -0,004 3,853

120Ь 3,855 1,213 1,203 -0,006 0,003 -0,003 3,855

240Ь 3,858 1,215 1,212 -0,001 0,001 -0,001 3,858

2т 3,858 1,215 1,213 -0,001 0,001 -0,001 3,858

240Ь 15Ь 27 3,931 1,259 1,257 -0,001 0,000 0,000 3,931

240Ь т 8 4,081 1,354 1,353 -0,001 0,000 0,000 4,081

240Ь 5Ь 1 4,576 1,709 1,709 0,000 0,000 0,000 4,575

Таблица 2

а Ь СР С23 С Р С24 С Р С25 С Р С26 С Р С33 С Р С34 С Р С35

т 20Ь 64 1,219 0,010 -0,012 -0,010 3,866 -0,011 -0,011

100Ь 1,217 0,004 -0,004 -0,004 3,862 -0,004 -0,004

120Ь 1,216 0,003 -0,003 -0,003 3,861 -0,003 -0,003

240Ь 1,216 0,001 -0,001 -0,001 3,860 -0,001 -0,001

2т 1,216 0,001 0,001 -0,001 3,860 -0,001 -0,001

240Ь 15Ь 27 1,258 0,000 -0,001 0,000 3,931 0,000 0,000

240Ь 10Ь 8 1,353 0,000 0,000 0,000 4,082 0,000 0,000

240Ь 5Ь 1 1,708 0,000 0,000 0,000 4,575 0,000 0,000

Таблица 3

а Ь СР С36 С Р С44 С Р С45 С Р С46 С Р С55 С Р С56 С Р С66

т 20Ь 64 0,017 1,001 0,011 0,010 1,001 0,010 1,001

100Ь 0,006 1,001 0,004 0,004 1,001 0,004 1,001

120Ь 0,004 1,001 0,003 0,003 1,001 0,003 1,001

240Ь 0,001 1,001 0,001 0,001 1,001 0,001 1,001

2т 0,001 1,001 0,001 0,001 1,001 0,001 1,001

240Ь 15Ь 27 0,001 1,051 0,000 0,000 1,051 0,000 1,051

240Ь т 8 0,000 1,150 0,000 0,000 1,150 0,000 1,150

240Ь 5Ь 1 0,000 1,425 0,000 0,000 1,425 0,000 1,425

Для значений £ = £ = 0,001 при а = 260Н, Ь = 20Н неравенства (1) выполняются. Поэтому композит с характерным размером а , где а > 260Н, можно считать (фиктивным) изотропным однородным телом. Подставляя в (2) значения фиктивных модулей упругости СР, которые построены для ПКЭ со

ч

стороной а = 260Н, Ь = 20Н (табл. 1-3), получим

С11 = С 22 = С33 = 3,858; С12 = С13 = С 23 = 1,214; С44 = С55 = С66 = 1,001;

Су = 0, I = 1,2,3; ] = 4,5,6; С45 = С46 = С56 =0 (29)

к

Базовая модель композита (построенная по микроподходу) состоит из КЭ V у формы первого порядка

со стороной к и порождает ортогональную трехмерную равномерную узловую сетку Vк с шагом к и размерности 161х 11х21. Для узлов сетки Vк введена целочисленная система координат ук, совмещенная с декартовой Охуг (рис. 3). Композит нагружен силами Рг = 0,256, которые приложены в узлах сетки к

V с целочисленными координатами: (-,1,21), (-,11,21), где I = 51+ 10(к -1), к = 1,...,10.

Смешанная модель композита при Ь = 10к (рис. 3) включает следующие разбиения. Область

к

0 < х < 10к представляем по микроподходу КЭ Vу первого порядка (формы куба со стороной к);

У = 1,...,2000. Область 10к < х < 15к состоит из связующих ДвКЭ Оа формы куба со стороной 5к (рис. 4), а = 1,...,8. Область 15к < х < 160к представляем (фиктивными) изотропными однородными

КЭ V- первого порядка формы куба со стороной 5к, - = 1,...,232, при построении которых используем

фиктивные модули упругости (29).

В таблицах 4, 5 представлены характерные сеточные перемещения WQ, Wк и эквивалентные на-

к

пряжения <7(0, (7к. Перемещения wo, напряжения <7(0 (посчитанные в центрах тяжести КЭ Vу по четвертой теории прочности) получены для базовой модели композита. Перемещения Wк, напряжения 7к отвечают смешанным моделям композита, построенным для Ь = 10к и Ь = 20к (рис. 3). Максимальные значения перемещений wo и Wк отличаются при Ь = 20к на 2,96%, при Ь = 10к - на 3,87%, Ь = 20к (см. табл. 4). В окрестности защемления композита максимальные значения напряжений и 7к отличаются при Ь = 20к на 0,01%, при Ь = 10к - на 0,04%, Ь = 20к (табл. 5).

Таблица 4

Перемещения (у = 1)

к \ - 217 241 265 289 313 337 361 w Ь

21 39,528 80,576 129,887 184,424 241,678 299,913 357,922

39,033 78,776 126,529 179,282 234,655 291,001 347,301 20Ь

38,423 77,726 125,037 177,349 232,281 288,187 344,045 т

Таблица 5

Напряжения (у = 0,5к)

г \ х 0,5Ь 1,5Ь 2,5Ь 4,5Ь 5,5Ь 6,5Ь 7,5Ь 7э Ь

0,5Ь 7,344 11,243 11,156 7,758 7,776 10,266 10,591 70

7,344 11,242 11,155 7,758 7,776 10,265 10,590 7к 20Ь

7,343 11,239 11,151 7,746 7,747 10,117 10,334 7к 10Ь

Анализ результатов расчетов показывает, что увеличение размеров области V (для рис. 3 - увеличение параметра Ь ) приводит к уменьшению погрешности для сеточных перемещений и напряжений, которые отвечают смешанным моделям. Относительные погрешности для максимального перемещения w композита при использовании областей Qi со сторонами Ь = 5к,10к,15к (Ь = 20к) соответственно равны

Ь

9,36%, 5,41 и 3,82%. Итак, увеличение размеров областей Qi (суперэлементов V- ) приводит к уменьшению погрешности решения. Базовая модель композита содержит 110800 узловых неизвестных, ширина лента системы уравнений (СУ) МКЭ равна 761. Смешанная модель (при Ь = 10к) имеет 8280 неизвестных, ее лента СУ МКЭ (шириной 761) занимает в 13,4 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели.

Литература

1. Фудзии, Т. Механика разрушений композиционных материалов / Т. Фудзии, М. Дзако. - М.: Мир, 1982.

2. Матвеев, А.Д. Уравнения связи модулей упругости с жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / А.Д. Матвеев. - Деп. в ВИНИТИ 2000, №3195-В00.

3. Матвеев А.Д. Проектирование плоских композитов на основе связей модулей упругости с жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов / А.Д. Матвеев. - Деп. в ВИНИТИ 2000, №2989-В00.

4. Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций / В.А. Постнов. - Л.: Судостроение, 1977.

5. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де-Фриз. - М.: Мир, 1981.

6. Матвеев, А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / АД Матвеев. - Деп. в ВИНИТИ 2000, №2990-В00.

7. Матвеев, А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения / А.Д. Матвеев // ПМТФ. - 2004.- №3. - С.161-171.

8. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1981.

9. Метод конечных элементов / П.М. Варвак [и др.]. - Киев: Высш. шк., 1981.

--------♦'----------

УДК 630.378 Н.И. Казначеева

ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЕ РЕЖИМЫ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ

Построены формулы для расчета энергосберегающих режимов движения плотов путем нахождения значения стационарного функционала энергии, затрачиваемой при транспортировке лесоматериалов.

В настоящее время темпы роста стоимости углеводородного топлива существенно превышают стоимость лесоматериалов, поэтому формулирование энергосберегающих режимов транспорта лесоматериалов становится особенно актуальным. Это означает необходимость постановки и решения задачи минимальных экономических затрат на путь доставки продуктов производства к потребителю. В свою очередь это предполагает, что из всего возможного множества вариантов параметров движения лесотранспортных единиц необходимо выбрать один (или близкий к нему), наиболее экономичный.

Транспортируемые по воде в пучках хлысты и сортименты в процессе проплава впитывают влагу, поэтому с позиции классической механики необходимо исследовать задачу в общем случае, как для тел с переменной массой при движении.

Решение транспортной задачи построим на развитии представления основного уравнения классической механики

йр/& = йшы/& = Гд - Гс, (1)

здесь р - импульс;

т - транспортируемая масса; и - скорость;

Гд - движущая сила;

Гс - сила сопротивления движения; t - время.