CC BY
49
УДК 539.3 АД. Матвеев
МЕТОД МНОГОСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ КОМПОЗИТНЫХ ПЛАСТИН И БАЛОК
A.D. Matveev
MULTIGRID FINITE ELEMENT METHOD IN COMPOSITE PLATE AND BEAM CALCULATIONS
Матвеев А.Д. - канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. отдела № 5 Института вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск. E-mail: [email protected]
Для расчета напряженного состояния упругих трехмерных композитных пластин и балок при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов, который реализуется на основе алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) с применением трехмерных многосеточных конечных элементов (МнКЭ), имеющих неоднородную и микронеоднородную структуру. Отличие МнКЭ от существующих конечных элементов (КЭ) состоит в следующем. При построении m -сеточного КЭ используются m вложенных сеток. Мелкая сетка порождает разбиение, которое учитывает неоднородную структуру и форму МнКЭ, остальные m -1 крупные сетки применяются для понижения размерности МнКЭ, причем с увеличением m размерность МнКЭ уменьшается. Особенность и достоинство МнКЭ состоят в том, что при построении МнКЭ используются сколь угодно мелкие базовые разбиения композитных пластин, балок, состоящих из односеточных КЭ 1-го порядка, т.е. по сути используется микроподход в конечноэлементной форме. Такие мелкие разбиения позволяют учитывать в МнКЭ, т.е. в базовых дискретных моделях композитных пластин, балок, сложную неоднородную, микронеоднородную структуру и форму, сложный характер нагружения и закрепления и описывать сколь угодно точно напряженное деформированное состояние уравнениями трехмерной теории упругости без введения дополнительных упрощающих гипотез. Краткая суть МнКЭ состоит в следующем. На базовом разбиении (на мелкой сетке) m сеточного конеч-
Matveev A.D. - Cand. Physical and Math. Sci., Department № 5, Institute of Computing Modeling, SB RAS, Krasnoyarsk. E-mail: [email protected]
ного элемента, m > 2 , определяем полную потенциальную энергию как функцию F многих переменных, которыми являются узловые перемещения мелкой сетки. На остальных m -1 крупных сетках (вложенных в мелкую сетку) строим по МКЭ функции перемещений, которые используем для понижения размерности функции F, что позволяет проектировать МнКЭ малой размерности. Изложены процедуры построения МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда, пластинчатого и балочного типов. Достоинства МнКЭ состоят в том, что они порождают дискретные модели малой размерности и сеточные решения c малой погрешностью. Приведен пример расчета многослойной пластины с применением трехмерных 3- сеточных КЭ.
Ключевые слова: упругость, композиты, пластины, балки, многосеточные конечные элементы, микроподход, малая погрешность.
To calculate the stress state of elastic three-dimensional plates and beams under static loading a multigrid finite element method implemented on the basis of algorithms of finite element method (FEM), using three-dimensional multigrid finite elements (MFE) of heterogeneous structure has been provided. The differences of MFE from currently available finite elements (FE) are as follows. When building m - grid FE m of nested grids is used. The fine grid generates a partition taking into account inhomogeneous structure and shape of MFE, the other m -1 large grids are applied to reduce MFE dimensionality, with MFE dimension decreasing when m is increasing. The peculiarities and
advantages of MFE are to develop MFE, arbitrarily small basic partitions of composite plates and beams containing the 1st order single-grid FE can be used, i.e. in fact, the finite element micro approach is applied. These partitions allow one to take into account in MFE the complex heterogeneous and microscopically inhomogeneous structure, shape and complex loading and fixing nature and to describe the stress and stain state by the equations of three-dimensional elastic theory without any additional simplifying hypotheses. The essence of MFE is as follows. At a basic partition (on the fine grid) of m - grid FE, m > 2, the total potential energy as a F function of many variables depending on the fine grid nodal displacements has been determined. On the other m -1 coarse grids (enclosed in the fine one), the displacement functions used to reduce the dimension of the F function that allows one developing MFE of small dimension are found by FEM. The procedures of developing MFE of rectangular parallelepiped of plate and beam types are given. The advantages of MFE are: they produce small dimensional discrete models and high accuracy numerical solutions. An example of calculating the laminated plate, using three-dimensional 3-grid FE and the reference discrete model are given, with that having 623 millions of FEM nodal unknowns.
Keywords: elasticity, composites, plates, beams, multigrid finite elements, micro-approach, high accuracy.
Введение. При анализе напряженно-деформированного состояния пластин, балок с неоднородной структурой широко используют микро- и макроподходы [1]. Реализация макроподхода для композитных пластин, балок регулярной структуры сводится к сложной проблеме нахождения эффективных модулей упругости. Однако для композитов нерегулярной структуры определение эффективных модулей упругости связано с большими трудностями, особенно для композитных пластин, балок с малыми коэффициентами наполнения [1]. Расчет композитных пластин, балок по МКЭ [2] в постановке трехмерной задачи теории упругости [3] производится с учетом их сложной неоднородной, микронеоднородной структуры по правилам микроподхода, т.е. каждая компонента неоднородной структуры тела представляется однородными
трехмерными КЭ, что приводит к построению базовых разбиений высокой размерности. Размерности таких разбиений могут достигать несколько миллиардов (107 ^ 1010 узловых неизвестных МКЭ), ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ - более миллиона. Применение в этом случае известных программ расчета АМЭУЭ, МАЭТКАИ [4] и другие затруднительно. Кроме того, решение, полученное для СУ МКЭ высокого порядка, содержит вычислительную погрешность, определить точное значение которой достаточно сложно. Построение аналитических решений для пластин, балок, имеющих сложную неоднородную структуру, связано с большими трудностями.
Цель и метод исследований. В данной работе для анализа напряженного состояния упругих трехмерных композитных пластин и балок с различными коэффициентами наполнения при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ). Краткая суть ММКЭ состоит в следующем. мМкЭ реализуется на основе алгоритмов МКЭ с применением однородных и композитных МнКЭ. Отличие МнКЭ от существующих КЭ состоит в том, что в МнКЭ учитываются (по правилам микроподхода [1]) сложная неоднородная и микронеоднородная структура, форма и описывается напряженное состояние уравнениями трехмерной теории упругости без введения дополнительных упрощающих гипотез. Для построения МнКЭ [5, 6] используются степенные и лагранжевые полиномы различных порядков и уравнения трехмерной задачи теории упругости [3], записанные в локальных декартовых системах координат. Полиномы Лагранжа эффективно применяются при построении МнКЭ пластинчатого и балочного типов. Кратко показаны процедуры построения МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда. Достоинства МнКЭ состоят том, что они:
- учитывают неоднородную и микронеоднородную структуру пластин, балок;
- образуют многосеточные дискретные модели, размерность которых в 103 -И05 раз меньше размерностей базовых моделей пластин, балок;
- порождают численные решения с высокой скоростью сходимости к точным решениям, что
позволяет строить решения с малой погрешностью.
Расчеты показывают, что реализация МКЭ для многосеточных дискретных моделей требует в !°3 ^105 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовых. Построены и численно исследованы 3-сеточные КЭ пластинчатого типа.
1. Первая процедура построения композитных 2-сеточных КЭ. Основные положения данной процедуры (не теряя общности суждений) покажем на примере построения композитного 2-сеточного КЭ Уа (ДвКЭ) 2-го порядка
формы куба размерами 6И х 6Их 6И (рис. 1). Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ связи идеальны. Функции перемещений, напряжений и деформаций компонентов удовлетворяют закон Гука и соотношения Коши, отвечающие трехмерной задачи теории упругости [3], т.е. во всей области ДвКЭ реализуется трехмерное напряженное состояние без упрощающих гипотез. Пусть ДвКЭ армирован волокнами, параллельными оси Оу .
Для построения ДвКЭ используем две вложенные сетки: мелкую Иа и крупную Яа. Сетка Иа
порождена базовым разбиением Яа ДвКЭ, которое состоит из однородных КЭ у 1-го порядка формы куба со стороной И [2]. Базовое разбиение Яа учитывает сложную неоднородную
структуру ДвКЭ, форму, сложный характер на-гружения и закрепления, е = 1,...ГМ; М - общее число КЭ У . Равномерная узловая сетка И размерности щ х щ х щ имеет шаг И. Для рисунка 1 имеем щ, щ, щ = 7, сечения волокон закрашены. На сетке И определяем крупную сетку На размерности п х п2 х п3 с шагами: Н по оси Ох, Н2 по оси Оу и Н по оси Ог, причем Н = КИ; Н = к2Н; Н3 = кк, где К , к2, к - целые. Узлы сетки Яа отмечены точками (рис. 1); к, К, к = 3; Н, Н, Из=3И; П1, п2, п3=3.
Рис. 1. Сетки ДвКЭ Уа, V
Полную потенциальную энергию Па базового разбиения ДвКЭ У представим
М 1
Па = 2 (х че [Ке ]Че - Че Р ),
е=1 2
(1)
где [К] - матрица жесткости; Ре - вектор уз-
ремещений иа, ^, ДвКЭ, которые запишем в форме
= 2 N
рир
Р=1
(2)
=2*>
Р=1
= 2 N
Р=1
ловых сил; ч - вектор узловых перемещений где uр, vр, wр, N - перемещения и функция
КЭ V; T - транспонирование. формы р -го узла сетки На; п - общее число
С помощью полиномов Лагранжа [2] (2-го узлов сетки #а , п = ппп , для ДвКЭ Уа
порядка) на сетке Яа определяем функции пе- п = 27 (см. рис. 1).
и
а
V
а
Пусть ца = ип, V!,...,V, м?!,...,wn}T -вектор узловых перемещений крупной сетки На, т.е. вектор узловых перемещений ДвКЭ.
Используя (2), вектор яе выражаем через вектор яа, в результате получим равенство
я, = [ % ] я в, (3)
где [Аае ] - прямоугольная матрица, е = 1,...М.
Подставляем (3) в (1) и из условия минимизации потенциальной энергии Па (я), т.е. из выполнения дПа (яй)/дяа = 0, получаем соотношение [Ка ] яа = Г , отвечающее равновесному состоянию ДвКЭ V, где
м м
[Ке ] = £[ А ]Т [К, ][ А ] , Га = Ё[ Аа ]Т Р ' (4)
е=1
здесь [К], Г - матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ V ■
Считаем, что порядок ДвКЭ при п = п = п2 = п3 равен п -1 ■
Замечание 1. Решение, построенное для сетки Н ДвКЭ V, с помощью формулы (3) проецируем на мелкую сетку ка базового разбиения ДвКЭ V, что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ V базового разбиения ДвКЭ V, т.е. определять напряжения в
любом компоненте неоднородной структуры пластин и балок.
Замечание 2. При построении аппроксимирующих функций перемещений для ДвКЭ на сетке Н можно применять полиномы 1-го, 2-го и 3-го порядка [2].
2. Вторая процедура построения композитных ДвКЭ. Вторую процедуру кратко рассмотрим (не теряя общности суждений) на примере построения ДвКЭ формы куба размерами 6Их6Их 6И , который имеет неоднородную структуру и расположен в локальной декартовой системе координат Охух , как и
ДвКЭ V (см. рис. 1). В процедуре используем мелкую сетку На и базовое разбиение Яа ДвКЭ V. На базовом разбиении Яа ДвКЭ с помощью метода конденсации [2] строим супер-
элемент О . Полную потенциальную энергию П суперэлемента О запишем в виде
П, (я, ) = 1 яТ К ]я, - яТР, (5) где [КТ ] - матрица жесткости; РТ, яТ - вектор
узловых сил и перемещений суперэлемента О ■ На границе суперэлемента О определяем крупную сетку Н, вложенную в мелкую сетку Ьа. Пусть я5 - вектор узловых перемещений сетки Н, т.е. узловых перемещений ДвКЭ ■ Используя функции перемещений, построенные по МКЭ на крупной сетке Н5, между векторами
я5, яя установим связь вида
я Т = [АТ ]я 5
(6)
где [ А^ ] - прямоугольная матрица.
Подставляем (6) в (5). Из условия минимизации потенциальной энергии П (я5), т.е. из
выполнения дЩ(я)/дя = 0 , следует соотношение [К ] я^ = Г, которое отвечает равновесному состоянию ДвКЭ V, где
Г = [Ар1 Р8, [ К3 ] = [ А ]Т [Кт ][А ], здесь [К ] - матрица жесткости; Г - вектор узловых сил ДвКЭ ■
Композитные ДвКЭ формы прямоугольника проектируются по процедурам, которые аналогичны процедурам п. 1 и п. 2. При построении ДвКЭ формы треугольника используем полиномы 1-го, 2-го и 3-го порядка [2].
Замечание 3. Как показывают расчеты, ДвКЭ ^ (построенные по 2-й процедуре) порождают
более точные решения, чем ДвКЭ V (построенные по 1-й процедуре). Однако 2-я процедура включает построение суперэлементов О , что связано с обращением матриц высокого порядка. Это увеличивает временные затраты на построение ДвКЭ V■
Замечание 4. В силу (3) размерность вектора яа (размерность ДвКЭ V) не зависит от числа М, т.е. от размерности разбиения Яа. Поэтому для учета в ДвКЭ V сложной неоднородной и микронеоднородной структуры можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения
е=1
Яа, состоящие из КЭ Уе (см. п. 1). В этом случае в КЭ V сколь угодно точно описывается
трехмерное напряженное состояние (без введения дополнительных упрощающих гипотез). При резком увеличении размерностей базовых разбиений ДвКЭ, т.е. числа м (размерности суперэлемента О , см. п. 2), резко увеличиваются временные затраты на построение ДвКЭ V,
V. В этом случае целесообразно применять 3-сеточные КЭ, построение которых требует
меньше временных затрат и которые порождают дискретные модели меньшей размерности, чем ДвКЭ.
3. Процедура построения композитных трехсеточных КЭ. Основные положения процедуры рассмотрим на примере построения 3-сеточного КЭ (ТрКЭ) V 3-го порядка формы
куба размерами 12Ь х12Ь х12Ь, который расположен в локальной декартовой системе координат Охуг (рис. 2).
Рис. 2. ТрКЭ
Область ТрКЭ V состоит из ДвКЭ Vе , п = 1,...,К, N - общее число ДвКЭ Уna (размерами 6Ъ х 6Ъ х 6Ъ), для рисунка 2 N = 8. Крупные сетки ДвКЭ Уa образуют мелкую сетку Ьь ТрКЭ, на которой определяем крупную сетку Нь. На рисунке 2 - 27 узлов сетки Нь отмечены точками. Функции перемещений иь, V, ТрКЭ, построенные на сетке Н с помощью полиномов Лагранжа, запишем в форме
иь =
£ ^, V = £ ад, ;=1 ;=1
мь =
£ ад, ;=1
(7)
где я и, я;, , N - перемещения и функция формы ;- го узла крупной сетки Нь; ; = 1,...,т, т - общее число узлов сетки Нь, для рисунка 2 имеем т = 27 ■
При построении ТрКЭ V используем три
характерные сетки: две сетки ДвКЭ Уa и круп-
ную сетку Н . Полную потенциальную энергию Щ ТрКЭ V представим выражением N 1
Щ. = £ (т(яП )Т [Ка ]яП - (яП )Т Ра, (8)
п=1 2
где [ Ка ] - матрицы жесткости, Рип, яе - векторы узловых сил и перемещений ДвКЭ ■
Пусть я - вектор узловых перемещений сетки Нь. Используя (7), выражаем узловые перемещения вектора яП через узловые перемещения вектора я крупной сетки Н . В результате построим равенство
яп =[аЬп ]яь, (9)
где [ Аьп ] - прямоугольная матрица, п = 1,...,N ■ Подставляя (9) в функционал (8) и минимизируя его по перемещениям я, получаем соотношение [ К ]я& = Г, которое отвечает равновесному состоянию ТрКЭ V, где [ К ] - матрица жесткости, Г - вектор узловых сил ТрКЭ V, определяемые по формулам
ж—1 иг и ' !ЛГ\\ ИЛ «V/ I Г1П, V си IV 1\ IV!
К ] = Ж* Г [ К Ы ], Р4 =Е А ]т г;. (10) m _1 сеточные КЭ.
пластин, балок меньшей размерности, чем
В силу (9) размерность вектора (т.е. размерность ТрКЭ V ) не зависит от числа N ДвКЭ V", значит, разбиение ТрКЭ V на ДвКЭ Vможет быть сколь угодно мелким (т.е. размеры ДвКЭ могут быть сколь угодно малыми). В этом случае в базовых разбиениях ДвКЭ V", т.е. в КЭ V (см. п. 1, 2) описывается трехмерное напряженное состояние (без упрощающих гипотез). Определение напряжений в ТрКЭ Уъ сводится к следующему. Пусть найден вектор
. По формуле (9) находим векторы я" узловых перемещений ДвКЭ V" (рис. 2) и по алгоритмам п. 1 определяем напряжения в КЭ V базового разбиения ДвКЭ V", п = 1,...,N .
Композитные ТрКЭ формы прямоугольника проектируются по процедуре, которая аналогична процедуре п. 3. При построении ТрКЭ формы треугольника используем полиномы 1-го, 2-го и 3-го порядка [2].
Замечание 5. Используя ТрКЭ по процедуре, аналогичной п. 3, проектируем 4-сеточные КЭ. С помощью m _1 сеточных КЭ строим т -сеточные КЭ [7, 8], ш > 4. Отметим, что т -сеточные КЭ порождают дискретные модели
Замечание 6. При построении МнКЭ пластинчатого (балочного) типа используем полиномы Лагранжа, имеющие по осям Ох, Оу (по оси Оу) более высокий порядок аппроксимаций, чем по оси Оъ (по осям Оъ, Ох), т.е. п,п2>п (п2>п,п3); при этом применяем соотношения Н, Н > Н (Н > Н, Н ), см. п. 1.
Достаточно мелкие разбиения композитных пластин, балок представляются однородными МнКЭ. При проектировании однородных МнКЭ используются процедуры, которые аналогичны процедурам, описанных в пп. 1-3. Процедуры построения МнКЭ сложной формы и смешанных многосеточных дискретных моделей композитных тел сложной формы изложены в работах [9, 10].
4. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим модельную задачу изгиба трехмерной шестислойной прямоугольной (в
плане)
пластины
V
размерами
216Их X 216Иу X 6Иъ (рис. 3), где к = ку = 3,5; кг = 6; к = 6к2 - толщина пластины. При
у = 0: и = V = w = 0.
Рис. 3. Размеры пластины У0
Слои являются изотропными однородными телами и имеют толщину Ь0 = \ / 6 = 6. Модули Юнга слоев, начиная с нижнего, соответственно равны: 10, 25, 40, 55, 70, 85. Коэффициент Пуассона равен 0,3. При у > 108Ьу, ъ = И
пластина нагружена равномерной нагрузкой
Р = 0,002.
Базовые дискретные модели Я пластины состоят из односеточных КЭ V" 1-го порядка размерами кхп х ку х кп, кхп = кх / (2п _ 1), ку = ку / (2п_1), кП = к2 /(2п_ 1), п = 1,...,6, е = 1,...,N, N - общее число КЭ V" модели . Узловая сетка модели Я имеет размер-
N
ность щ\ х ш2п х шъп , где т1 = 216(2п -1) +1 , т2 = 216(2и-1) + 1, тъп = 6(2п-1) + 1, п = 1,...,6.
На базовых моделях Я0 (п = 1,...,6) проектируем многосеточные дискретные модели Яп пластины V. Дискретные модели Яп состоят из ТрКЭ V размерами 108ЬХ х108Ьу х 6Ь^, (см. п. 3). Крупная сетка ТрКЭ V/ имеет по осям Ох, Оу, Oz шаги П6Нхп, П6Нуп, 6¥п, т.е. полиномы Лагранжа имеют третий порядок по осям Ох, Оу и первый - по оси Оп. ТрКЭ V состоит из ДвКЭ 3-го порядка формы куба
размерами 6ИП х 6Нуп х 6Н2п (см. п. 3), ] = 1,...,П24. Крупная сетка ДвКЭ имеет 32 узла. Шаги сетки по осям Оп, Оу, Оп соответ-
ственно равны ПИП, Пку, ПЬП. ДвКЭ строим по процедуре п. 2. На крупной сетке ДвКЭ аппроксимирующие функции перемещений определяем с помощью полиномов 3-го порядка.
Результаты расчетов даны в таблице, где ^т, < - максимальные прогиб и эквивалентное напряжение многосеточной дискретной модели Яи, параметры д;; (%), 5; (%) находим по формулам:
€ (%) = 100% | -О-^/а
_т
' п
дп (%)=100% | ^т - <_11 / <, п > п.
Напряжения а; определяем по 4-й теории прочности, п = 1,...,6.
Максимальные прогибы и эквивалентные напряжения многосеточных дискретных моделей пластины
Кп К2 Яп Я4 Я5 Я,
< 434,168 484,070 491,726 494,094 495,093 495,605
д п (%) - 10,309 1,557 0,479 0,202 0,103
т ап 1,764 2,499 2,834 2,994 3,081 3,128
з; (%) - 29,412 11,821 5,344 2,824 1,503
Анализ результатов показывает (см. табл.), что характер изменения величин дт(%), §т(%) ( п = 1,...,6 ) демонстрирует высокую скорость сходимости напряжений ат и перемещений
М!т
п к точным решениям. Так как дт = 0,00103, 5т = 0,01503 малы и параметры д^(%) , 5; (%) имеют высокую скорость изменения, то значения wm = 495,605, ат = 3,128 можно считать точным решением.
Базовая модель Я0 пластины имеет
1135198240 узловых неизвестных (т.е. 1,1 млрд неизвестных МКЭ), ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 955967. Размерность многосеточной модели Я6 равна 158400, ширина ленты СУ МКЭ - 14699. Реализация МКЭ для многосеточной модели Я требует в 468350 раз
меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой модели Я0.
Выводы. В данной работе предложен метод многосеточных конечных элементов для расчета упругих трехмерных композитных пластин и балок при статическом нагружении. Предлагаемый метод реализуется на основе алгоритмов метода конечных элементов (в форме метода Ритца) с применением трехмерных однородных и композитных многосеточных конечных элементов. Достоинства многосеточных конечных элементов состоят в том, что они учитывают по правилам микроподхода неоднородную и микронеоднородную структуру пластин, балок, порождают дискретные модели малой размерности и численные решения с малой погрешностью.
Литература
1. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушений композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.
2. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. -304 с.
3. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1982. -264 с.
4. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабут-динов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: Физматлит, 2006. - 391 с.
5. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов. - Деп. в ВИНИТИ, 2000, № 2990-В00.
6. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - № 3. - С. 161-171.
7. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных элементов с микронеоднородной структурой // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: тез. докл. XXIII Всерос. конф. (Барнаул, 2013 г.). - Новосибирск: Параллель, 2013. - С. 142-144.
8. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия Алтайского государственного университета. Сер. Математика и механика. - 2014. - № 1/1. - С. 80-83.
9. Матвеев А.Д. Расчет трехмерных композитных балок сложной формы с применением двухсеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. - 2015. - № 8. - С. 92-98.
10. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел сложной формы // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. -2013. - № 1. - С.182 -195.
Literatura
1. Fudzii T, Dzako M. Mehanika razrushenij kompozicionnyh materialov. - M.: Mir, 1982. -232 s.
2. Norn D., Zh. de Friz. Vvedenie v metod konechnyh jelementov. - M.: Mir, 1981. -304 s.
3. Samul' V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti. - M.: Vyssh. shk., 1982. -264 s.
4. Golovanov A.I., Tjuleneva O.N., Shigabutdinov A.F. Metod konechnyh jelementov v statike i dinamike tonkostennyh konstrukcij. - M.: Fizmatlit, 2006. - 391 c.
5. Matveev A.D. Nekotorye podhody proektirovanija uprugih mnogosetoch-nyh konechnyh jelementov. - Dep. v VINITI, 2000, № 2990-V00.
6. Matveev A.D. Mnogosetochnoe modelirovanie kompozitov nereguljarnoj struktury s malym kojefficientom napolnenija // Prikladnaja mehanika i tehnicheskaja fizika. - 2004. -№ 3. - S. 161-171.
7. Matveev A.D. Postroenie slozhnyh mnogosetochnyh jelementov s mikroneodnorodnoj strukturoj // Chislennye metody reshenija zadach teorii uprugosti i plastichnosti: tez. dokl. XXIII Vseros. konf. (Barnaul, 2013 g.). - Novosibirsk: Parallel',
2013. - S. 142-144.
8. Matveev A.D. Postroenie slozhnyh mnogosetochnyh konechnyh jelementov s neodnorodnoj i mikroneodnorodnoj strukturoj // Izvestija Altajskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Matematika i mehanika. -
2014. - № 1/1. - S. 80-83.
9. Matveev A.D. Raschet trehmernyh kompozitnyh balok slozhnoj formy s primeneniem dvuhsetochnyh konechnyh jelementov // Vestnik KrasGAU. - 2015. -№ 8. - S. 92-98.
10. Matveev A.D. Smeshannye diskretnye modeli v analize uprugih trehmer-nyh neodnorodnyh tel slozhnoj formy // Vestnik Permskogo nacional'-nogo issledovatel'skogo politehnicheskogo universiteta. - 2013. - № 1. - S.182 -195.
