CC BY
23
УДК 539.3 А.Д. Матвеев
МЕТОД МНОГОСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯ И ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ
A.D Matveev
METHOD OF MULTIGRID FINITE ELEMENTS OF THE COMPOSITE ROTATIONAL AND BI-CURVED
SHELL CALCULATIONS
Матвеев А.Д. - канд. физ.-мат. наук, доц., ст. науч. сотр. Института вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск. E-mail: mtv241@mail.ru
Для расчета трехмерного напряженного состояния упругих композитных оболочек вращения и двоякой кривизны при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ), который реализуется на основе алгоритмов метода конечных элементов (МКЭ) с применением трехмерных однородных и композитных криволинейных многосеточных конечных элементов (МнКЭ). При построении МнКЭ (без увеличения их размерности) можно использовать сколь угодно мелкие (базовые) разбиения оболочек, которые позволяют в МнКЭ сколь угодно точно учитывать сложную неоднородную структуру и описывать напряженное состояние уравнениями трехмерной задачи теории упругости. При построении n-сеточного конечного элемента (КЭ) используем n вложенных сеток. Мелкая сетка порождена базовым разбиением МнКЭ, остальные n - 1 крупные сетки применяем для понижения размерности МнКЭ. В ММКЭ используются однородные и неоднородные МнКЭ и системы вложенных сеток, что расширяет область его применения. В МКЭ применяются однородные односеточные КЭ. Так как при построении n-сеточного КЭ используется не одна, а n вложенных сеток, n > 2, то ММКЭ является обобщением МКЭ, т. е. МКЭ - частный случай ММКЭ. Предложен метод образующих КЭ для проектирования трехмерных МнКЭ сложной формы в локальных декартовых системах координат. Метод базируется на том, что область трехмерного МнКЭ получается путем поворота плоского односеточного (образующего) КЭ сложной формы вокруг некоторой оси на малый угол или параллельным перемещением образующего КЭ вдоль заданной прямой на заданное расстояние. При построении МнКЭ используются полиномы Лагранжа. Такой подход позволяет проектировать трехмерные МнКЭ для расчета композитных оболочек вращения (двоякой кривизны) и конструкций, один характерный размер которых значительно больше других. Оболочки двоякой кривизны представляются совокупностью оболочек вращения. Предлагаемые МнКЭ эффективны в расчетах круглых композитных пластин, дисков, колец и валов. Рассмотрены трехмерные МнКЭ, которые могут эффективно применяться при расчете крыльев, фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей, ракет и пролетных строений мостов. МнКЭ порождают дискретные модели малой размерности и решения c малой погрешностью.
Matveev A.D. - Cand. Phys.-Math. Sci., Assoc. Prof., Senior Staff Scientist, Institute of Computing Modeling, SB RAS, Krasnoyarsk. E-mail: mtv241@mail.ru
Ключевые слова: упругость, композиты, многосеточные конечные элементы, образующие КЭ, оболочки вращения и двоякой кривизны, круглые пластины, диски, кольца и валы.
To calculate the stress-strain state of elastic three-dimensional rotational and bi-curved shells of inhomogeneous structure, irregular shape and static loading, multigrid finite element method (MFEM) represented on the basis of finite element method (FEM) algorithms using three-dimensional (homogeneous) composite curvilinear multigrid finite elements (MFE) was proposed. At creation ot MFE (without increase in their dimension) it is possible to use as much as small (basic) splittings covers allowing to consider as much as precisely in MFE difficult non-uniform structure and to describe the tension the equations of a three-dimensional task of the theory of elasticity. As at creation of n-net final element (FE) n of enclosed grids is used. Small grid is generated by MFE basic splitting others n- 1 large grids are used to decrease MFE dimension. In MFEM uniform and non-uniform MFE and systems of enclosed grids that expands the area of its application are used. In FEM uniform one-net FE are applied. As at creation of n-net FE not one, but n of enclosed grids n > 2 are used, MFEM is generalization of MFE, i.e. MFE is a special case of MFEM. The method of forming FE for the design of three-dimensional MFE of difficult form in local Cartesian systems of coordinates is offered. The method is based on the area of three-dimensional MFE turns out by turn of flat one-net (forming) FE of difficult form round some axis on a small corner or parallel movement forming FE along the set straight line. At creation of MFE Lagrangian polynomials are used. Such approach allows to project three-dimensional MFE for calculation of composite covers of rotation (double curvature) and designs, one characteristic size of which is much more others. The covers of double curvature are represented by the set of covers of rotation. Offered MFE are effective in calculation of round composite plates, disks, rings and shaft. Three-dimensional MFE which can effectively be applied at calculation of wings, fuselages of planes and frames of the ships, rockets and flying structures of bridges are considered. MFE generate discrete models of small dimension and the decision with small error.
Keywords: elasticity, composites, multigrid final elements forming FE, covers of rotation and double curvature, round plates, disks, rings and shafts.
Введение. При анализе напряженного состояния композитных оболочек вращения и двоякой кривизны сложной формы широко используют микро- и макроподходы. Реализация макроподхода для композитных оболочек регулярной структуры сводится к проблеме нахождения эффективных модулей упругости, которая особенно трудно решаема для композитов нерегулярной структуры. Расчет композитных оболочек вращения и двоякой кривизны по МКЭ [1] с применением уравнений трехмерной задачи теории упругости [2] приводит к построению базовых дискретных моделей высокой размерности, порядка
8 10
10 ^ 10 . Ширина ленты системы уравнений МКЭ для
таких базовых моделей равна 105 ^ 106. Применение в этом случае программ расчета АМЭУЭ, МАЭТРДИ и других затруднительно. В основе построения приближенных теорий деформирования упругих композитных оболочек лежат гипотезы [3, 4], которые порождают решения с неустранимой погрешностью.
В данной статье показан расчет трехмерных линейно упругих композитных (однородных) оболочек вращения и двоякой кривизны с различными коэффициентами наполнения с помощью ММКЭ, который базируется на алгоритмах МКЭ с применением МнКЭ. Изложен метод построения в локальных декартовых системах координат трехмерных МнКЭ сложной формы с применением образующих односеточных КЭ сложной формы. Изложенный метод отличается от известных подходов построения МнКЭ [5-8]. Предлагаемые МнКЭ эффективны в расчетах композитных и однородных круглых пластин, дисков, колец и валов. Рассмотрены процедуры построения МнКЭ, которые применяются для расчета крыльев, фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей и ракет при произвольных статических нагрузках. МнКЭ порождают дискретные модели малой размерности и численные решения с малой погрешностью. Приведен пример расчета.
Цель исследования: анализ напряженного состояния упругих трехмерных композитных оболочек вращения и двоякой кривизны сложной формы с различными коэффициентами наполнения при статическом нагружении.
Методы исследования. В данном исследовании для анализа напряженного состояния упругих трехмерных композитных оболочек вращения (двоякой кривизны) предложен ММКЭ [9-13], краткая суть которого состоит в следующем. Предлагаемый метод реализуется на основе алгоритмов МКЭ с применением трехмерных однородных и композитных МнКЭ. Отличия МнКЭ от существующих КЭ состоят в том, что в МнКЭ учитывается (в рамках микроподхода) неоднородная, микронеоднородная структура и напряженное состояние описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости (в декартовой системе координат) без введения дополнительных упрощающих гипотез. При построении МнКЭ используем функции перемещений в виде степенных и лагранжевых полиномов различных порядков, записанные в локальных декартовых и криволинейных системах координат. Предлагаемые МнКЭ образуются путем поворота плоского КЭ вокруг оси оболочки на угол, отвечающий дискретизации оболочки. МнКЭ в оболочках:
• учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру;
• описывают трехмерное напряженное состояние;
• образуют многосеточные дискретные модели,
размерности которых в 102 -105 раз меньше размерностей базовых моделей;
• порождают решения с малой погрешностью.
Достоинства и отличия ММКЭ от МКЭ
1. ММКЭ сколь угодно точно учитывает неоднородную структуру и описывает трехмерное напряженное состояние тел, чем МКЭ. В ММКЭ можно применять сколь угодно мелкие базовые разбиения тел, что позволяет сколь угодно точно учитывать их сложную форму, неоднородную структуру и описывать трехмерное напряженное состояние упругих тел (без увеличения размерностей МнКЭ). В МКЭ невозможно использовать сколь угодно мелкие разбиения тел, так как ресурсы ЭВМ ограничены, т. е. ММКЭ в этом смысле более эффективный метод, чем МКЭ.
2. ММКЭ является более практичным методом,
чем МКЭ. Реализация ММКЭ требует в 103 -106 раз меньше объема памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых моделей, т. е. ММКЭ более экономичный, чем МКЭ.
3. В ММКЭ используются однородные и неоднородные МнКЭ и системы вложенных сеток, что расширяет область применения и повышает эффективность ММКЭ. В МКЭ применяются только однородные односеточные КЭ. Кроме того, следует отметить следующее. При решении статических задач упругости всегда вместо МКЭ можно применять ММКЭ, так как вместо од-носеточных КЭ всегда можно использовать МнКЭ. Поскольку при построении п-сеточного КЭ используется не одна, а п вложенных сеток, п > 2, то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т. е. МКЭ отражает частный случай ММКЭ.
Результаты исследований
1. Однородные криволинейные односеточные КЭ.
Рассмотрим кратко процедуру построения криволинейных однородных односеточных КЭ (более подробно в [5, 7]), которые образуют базовую дискретную модель
оболочки, на примере односеточного КЭ (1сКЭ) Уе 1-го порядка с характерными размерами Иех х Иеу х ИХ (8 узлов). 1сКЭ У расположен в локальной декартовой системе координат ух 1Х (рис. 1). Для 1сКЭ Уе введены обозначения: 2Х0\У1 - геометрическая плоскость симметрии; ей - ось оболочки; ЯХ (ЯХ) - радиус кривизны нижней (верхней) поверхности; ИХ - толщина; ^
- длина; ИХ - ширина; ИХ =аеЯХ, ае - угол раствора.
Рис. 1. Односеточный КЭ V
Форма 1сКЭ V есть прямая призма высотой Иу.
Деформирование 1сКЭ Ve описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости [2], записанных в локальной декартовой системе координат Охх^ух(см. рис. 1). При построении аппроксимирующих функций перемещений для 1сКЭ V используем полином вида
р(х, у, ^)=а + ах+ау++ аху + ах^ + аул + ахул (1)
Используя полином (1), матрицу жесткости [К1] и
вектор узловых сил Ре1 1сКЭ Уе определяем по формулам [1]
К] = | [Ву ]Т [Бу ][Ву ]ау ,
Ve
Ру1 = | N ] + | [Ке ]Т ЧусК , (2)
Уу ^ у
где [В ], [Б ] - матрицы дифференцирования и модулей упругости 1сКЭ V; ^ > Че - векторы объемных и поверхностных сил 1сКЭ Уе; [N ] - матрица функций формы; Уe, £е - область и поверхность 1сКЭ Уe.
Отметим, что криволинейная форма 1сКЭ Уе учитывается при определении аппроксимирующих функций перемещений и при вычислении интегралов (2). На криволинейных границах 1сКЭ Уe (см. рис. 1) непрерывность
перемещений нарушается. Однако, как известно, выполнение непрерывности перемещений на границах криволинейных 1сКЭ не является необходимым условием для сходимости численных решений к точным. Тестовые расчеты показывают, что при уменьшении характерных размеров криволинейных однородных 1сКЭ Уe численные решения сходятся к точным. Процедуры построения од-
нородных криволинейных 1сКЭ 2-го и 3-го порядка, геометрически подобных 1сКЭ V (см. рис. 1), аналогичны
процедуре п. 1.
2. Метод образующих конечных элементов 2.1. Композитные двухсеточные КЭ оболочек вращения. Кратко рассмотрим предлагаемый метод построения композитных двухсеточных КЭ (2сКЭ) оболочек вращения (двоякой кривизны) на примере упругого криволинейного 2сКЭ Ус (рис. 2). Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ Ус связи идеальны. Область 2сКЭ Ус представляем базовым разбиением , которое состоит из однородных 1сКЭ Уе 1-го порядка (см. рис. 1), е = 1,...,М; где М - общее число 1сКЭ, учитывает его неоднородную структуру и порождает мелкую сетку Ис. На сетке Ис определяем крупную
криволинейную сетку Нс 2сКЭ Ус , узлы которой отмечены точками (36 узлов, рис. 2). Функции перемещений, напряжений и деформаций однородного 1сКЭ Уе удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающим трехмерной задаче теории упругости [2] и записанным в
локальной декартовой системе координат О^У^ (см. рис. 1), т. е. во всей области 1сКЭ Уе, следовательно, и в 2сКЭ Ус реализуется трехмерное напряженное состояние. Область 2сКЭ образуется путем поворота плоского 1сКЭ сложной формы, который будем называть образующим КЭ, вокруг оси оболочки на угол, отвечающий разбиению оболочки на 2сКЭ. Угол поворота образующего КЭ будем называть углом раствора 2сКЭ. Образующий 1сКЭ имеет форму криволинейного многоугольника (прямоугольника, треугольника), узлы которого есть узлы крупной сетки 2сКЭ. Таким образом, узлы всякого поперечного сечения крупной сетки являются узлами образующего 1сКЭ.
Рис. 2. Оболочечный 2сКЭ V
а
На рисунке 2 обозначено: а0 - угол раствора 2сКЭ
У а; са- ось оболочки. Радиусы Я\, К^ (^, К4) описывают нижние (верхние) границы боковых поверхностей 2сКЭ Уа . Для 2сКЭ У введем две локальные системы координат: декартовую Оху2 и криволинейную О%цС, как показано на рисунках 2, 3. Начало координат этих систем совпадают и находятся в узле О крупной сетки На. Плоскость ОцС проходит через ось са
оболочки. Отметим, что образующий 1сКЭ лежит в плоскости ОцС (рис. 3). Ось Оц проходит по нижней
границе образующего 1сКЭ (рис. 2, 3), ось О% проходит по нижней границе боковой поверхности 2сКЭ, описанной радиусом Я\, ось ОС является продолжением радиуса Ос вращения начала координат системы О%цС (т. е. узла О сетки На) (рис. 2). Ось Оу расположена в плоскости ОцС , причем Оу ^ ОС. Ось Ох перпендикулярна биссектрисе угла а0 раствора 2сКЭ Уа , т. е. проходит через крайние узлы (через узлы О, g) крупной сетки На, лежащих на оси (рис.
2). Так как плоскость ОцС перпендикулярна плоскости О%С, то Ох ± Оу . Для узлов крупной сетки На введем криволинейную целочисленную систему координат Оук (рис. 2, 3), где у, к = 1,.. .,4, г = 1,... ,3 . Ось Ог совпадает с осью . Оси О]] , Ок совпадают со смежными сторонами 1сКЭ , как показано на рисунках 2, 3. Для узла р имеем г = 2, у,к = 1. При малых углах а0 для точки М(х, у, 2) 2сКЭ Уа принимаем
х = 4, 2 = С ■
(3)
При построении базисных функций перемещений для узлов крупной сетки На используем полиномы Ла-
гранжа Ц (х) и интерполяционный полином р (у, С),
с помощью которого определяем аппроксимируются функции перемещений образующего КЭ. Полином
Ра (у, С) для 1сКЭ У а 3-го порядка имеет вид
л-3 3 ^ 3 «-3
+ адуС + аюу С + аиу + а^ ■
2
2
2
2
Ра (у,С) = а1 + а2 у + а3С + а4 уС+ а5 у + а6С + а7 уС+ а8 уС +
Рис. 3. Образующий 1сКЭ У^
Базисную функцию у/^ (х, у,С) для узла г, у, к крупной сетки На 2сКЭ Уа представляем в форме
Уук (х, у, С) = ( у,С)Ц (х),
(5)
где Ыук(у, С) - базисные функции 1сКЭ У^ ; которые отвечают полиному Ра (у, С) вида (4), у, к = 1,...,4; Ц (х) - полином Лагранжа 2-го порядка, имеющий для точки М вид
Цг(х) = П(х"хр)/(хг "хР),
Р=1, Р*г
(6)
где г = 1,...,3, хр (х1) - координата узла р (узла '
), лежащего на оси (рис. 2).
Отметим, что при построении аппроксимирующих функций перемещений для образующих 1сКЭ можно использовать степенные и лагранжевые полиномы различных порядков, представленные в локальной декартовой системе координат ОуС (рис. 3). В силу малости угла
а0 раствора 2сКЭ Уа с учетом (3) имеем
х = % = «К1, х,. = % = цК, хр =%р = арК, г = 1,...,3, (7)
где а - угол раствора (точки М) плоскости, которая проходит через ось са и включает точку М; а (ц)
- угол раствора узла р (узла г ), лежащего на оси (рис. 2).
Учитывая представления (7) в формулах (5), (6), получаем
Ук (а, у, С) = Хук (у, С)Ц (а),
(8)
где
Ц (а) = П
а-а,
а - а,
■, г = 1,...,3 ■ (9)
Р=1,р*г аг
при Уук (а, у,С) = Ц (а)Ц (у)Цк (С) получаем частный случай, описанный в [7]. Для каждого узла г, у, к сетки На определим целое число р> 1, введем обозначение Nр = , р = 1,...,36 , и функции
перемещений иа, Уа, ^а 2сКЭ Уа представим в виде
36
36
36
иа = £ , Уа = XУр, ™а = £ N
3=1
3=1
3=1
р
(10)
где Nр, ир, ур, Wр - базисная функция и перемещения Р -го узла сетки На ■
Функционал полной потенциальной энергии П базового разбиения К 2сКЭ Уа, состоящего из
1сКЭ У (см. рис. 1), запишем в виде
М
П а =£ (" бГ [ Ке ] б е - бГ Ре ),
е=1 2
(11)
где [Ке ], Р, б - матрица жесткости, векторы узловых сил и перемещений 1 сКЭ Уе, представленные в локальной декартовой системе координат Оху2 2сКЭ Уа (рис. 2).
3
Используя (10), вектор узловых перемещений 5е КЭ Уе выражаем через вектор узловых перемещений 5^ крупной сетки Н^ 2сКЭ Ус :
5 у = [ Ас ]5 с, (12)
где [Аус ] - прямоугольная матрица, у = \,...М.
Подставляя (12) в (11) и выполняя принцип минимума полной потенциальной энергии для 2сКЭ Ус, т. е.
8Па (5 а )/ 85 с = 0, получаем соотношение
[Кс1 ]5^ = ^, отвечающее равновесному состоянию
2сКЭ Ус, где
М
[К с ] = £[ Аус ]Т [ К у ][ Аус ],
e=i
м
F = £[A f P.,
у=\
где [Ка ] - матрица жесткости; ^ - вектор узловых сил 2сКЭ Ус.
Отметим, что функции (10) используются только для понижения размерности функционала (11), крупная
сетка Н^ определяет размерность 2сКЭ Ус, которая меньше размерности базового разбиения ^ .
Замечание. В силу (12) размерность вектора 5^
(т. е. размерность 2сКЭ Ус) не зависит от М - общего
числа КЭ V, из которых состоит область 2сКЭ Ус. Следовательно, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения ^ . Такие мелкие разбиения позволяют сколь угодно точно учитывать сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру, сложный характер закрепления и нагружения и описывать трехмерное напряженное состояние 2сКЭ Уй без увеличения его размерности.
Используя 2сКЭ, по известным процедурам строим 3-( п )-сеточные КЭ [6, 7]. При расчете оболочек вращения сложной формы, прямых круговых конических и цилиндрических оболочек постоянной толщины целесообразно при построении криволинейных 2сКЭ в качестве образующих КЭ соответственно использовать 1сКЭ формы (криволинейного) треугольника (рис. 4, а), параллелограмма (рис. 4, б) и прямоугольника (рис. 4, в) 1 -го, 2-го и 3-го порядка.
б
Рис. 4. Образующие 1сКЭ
а
в
На рисунке 4, б показан образующий 1сКЭ, применяемый для расчета конических оболочек с углом 2 / при вершине. При построении функций перемещений для образующих 1сКЭ, показанных на рисунках 4, б, в, используется полином вида (4), для 1сКЭ, представленного на рисунке 4, а, - полином вида
Pa (У, О = a + a2У + asC + a4уС +
+a5 y + a£ + a7 y С + a УС + a9 У С ■
(12)
2.2. Двухсеточные композитные КЭ оболочек двоякой кривизны. Рассмотрим композитные оболочки двоякой положительной гауссовой кривизны, прямоугольные в плане, срединные поверхности которых образуются путем параллельного перемещения кривой кругового, параболического или эллиптического очертания по другой
кривой. Рассмотрим тонкую композитную оболочку Уп,
ч
срединная поверхность Б которой образована ортого-
нальными кривыми ¡1, ¡2. На рисунке 5 обозначено: n - нормаль к поверхности S; R, R2 - радиусы кривых ¡1, ¡2, Ri, R2 = const ; - угол раствора кривой ¡1 . Разбиваем кривую ¡2 на элементарные дуги dst, i = 1,...,n . Через середину дуги dst (через точку p), i = 1,...,n , проводим кривую ¡i е S, которую обозначим ¡). Определим окружность Gt радиуса Ri, которая включает кривую ¡). Ось cd дуги dsf проходит через центр o окружности G и перпендикулярна ее плоскости Qi, QM Qi+1, i = 1,...,n -1 (рис. 6).
Поворачивая дуги ds,---,dsn вокруг соответственно осей cxdx,...,cndn на угол раствора ах кривой ¡1,
получаем поверхность X , которая приближенно пред-
ч
ставляет поверхность X, причем при ^ 0, (при п ^ да ) имеем X ^ X, г = 1,...,п ■
Область оболочки Уп приближенно представляем
ч
оболочками вращения у. размерами х I1 х И, где И - толщина оболочки У ; са - ось оболочки У?г, г = 1,...,п . Пусть дискретная модель оболочки У?г состоит из 2сКЭ Уа, а = 1,...,N . По толщине оболочки используем один 2сКЭ VI. Образующий 1сКЭ УаЬ тол-
щиной И имеет 12 узлов крупной сетки 2сКЭ у. (рис. 7).
Область 2сКЭ У'а получается путем поворота вокруг оси
сД1 образующего 1сКЭ У^ на угол раствора а. 2сКЭ.
Для аппроксимации перемещений 1сКЭ У^ используем
полином (4). Матрица жесткости и вектор узловых сил
2сКЭ Vг определяются по процедурам п. 2.1. Отметим,
однородные МнКЭ проектируются по процедурам пп. 2.1, 2.2 и очень эффективны в расчетах однородных оболочек вращения и двоякой кривизны.
Рис. 5. Кривые ¡1, ¡2
Рис. 7. Образующий 1сКЭ У
2.3. Трехмерные МнКЭ круглых колец, пластин и толстых композитных (однородных) пластин, дисков с
дисков. Процедуры, изложенные в пп. 1, 2.1, 2.2, исполь- круглым центральным отверстием, колец со сложным
зуются при проектировании трехмерных криволинейных поперечным сечением, валов с кольцевым поперечным
МнКЭ, которые эффективны при расчете круглых тонких, сечением, которые имеют произвольное нагружение.
В случае расчета сплошной круглой пластины (сплошного диска, вала) в центре дискретной модели пластины (диска, вала) используем 2сКЭ формы прямой призмы, в основании которых лежат криволинейные многоугольники. На рисунке 8 в основании 2сКЭ УЧ лежит
криволинейный треугольный КЭ Уп 2-го порядка, узлы
ч
крупной сетки 2сКЭ УЧ отмечены точками, ой - ось 2сКЭ У ч (ось пластины, диска, вала). Образующий КЭ
У для 2сКЭ УЧ показан на рисунке 9, который получается путем поворота стороны ОА КЭ У вокруг оси
ч
Оу на угол а0, где а0 - угол раствора 2сКЭ У^. Область 2сКЭ У ч образуется путем параллельного перемещения КЭ У вдоль оси Оу на расстояние ос (рис. 8, 9).
Рис. 9. Образующий КЭ У
При построении функций перемещений для КЭ Уп
ч
используем полином Р2(х,г) вида
Р2 (х, г) = а + а2х + а3г + а4хг + а5х2 + а6г2 . (13)
Базисные функции перемещений, построенные для узлов крупной сетки 2сКЭ У^, представляем в виде
¥г] (х, у, г) = N (х, (у), (14)
где N (х,2) - базисные функции КЭ У , т. е. полинома (13), г = 1,...,6; ^(у) - полиномы Лагранжа 1-го порядка, ] = 1,2.
Соотношения для 2сКЭ У ч определяем с помощью
процедур п. 2.1, 2.2 и работ [5, 7].
2.4. Расчет крыльев, фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей и ракет с применением трехмерных МнКЭ. Рассмотрим расчет крыла самолета, оболочка которого подкреплена продольными лонжеронами (стенками) и стержнями (стрингерами, балками) (рис. 10). Крыло имеет 6 стержней (стрингеров, балок), положение ко-
торых на рисунке 10 отмечены точками, и две стенки. Дискретная модель крыла состоит из трехмерных 2сКЭ (МнКЭ), которыми представляем продольные стенки, стержни (балки) и оболочку крыла (постоянной толщины И). Области 2сКЭ получаются путем параллельного перемещения образующих 1сКЭ (расположенных в плоскостях, параллельных плоскости Ох2) вдоль оси Оу на заданное расстояние (см. рис. 10). Базисные функции перемещений, построенные для узлов крупной сетки 2сКЭ, представляем в виде
муле (15) для 2сКЭ Уе0 базисные функции N (х, 2), г = 1,...Д2, у = 1,2, отвечают полиному
Р (х, 2) = а + а2х + аъ2 + а4х2 +
2 2 2 2 + а5х + а62 + а-,х 2 + ах +
¥ц (х y, 2) = Кг(x, 2)Ц(у),
(15)
где N (х, 2) - базисные функции образующего 1сКЭ, г = 1,...,т; т - количество узлов (крупной сетки 2сКЭ) образующего 1сКЭ; Ц (у) - полиномы Лагранжа, 7 = 1,...,п.
На рисунке 11 показаны: криволинейный образующий 1сКЭ V толщиной И для 2сКЭ У^ (длиной а) оболочки крыла, и криволинейный прямоугольный образующий 1сКЭ V сечением а х Ь для 2сКЭ УЬ формы
балки длиной а (рис. 12). Узлы крупных сеток 2сКЭ Уе0 и У Ь на рисунке 12 отмечены точками. 1сКЭ У0 имеет 12 узлов крупной сетки 2сКЭ, 1сКЭ V - 4 узла. В фор-
адхг + а10х г + а11х + а122 , для 2сКЭ Уа -
базисные функции N (х, 2), г = 1,...,4, у = 1,2, отвечают полиному
Р (х, 2) = а + а2х + а32 + а4х2. Стенки крыла
представляются 2сКЭ V^ формы прямоугольного параллелепипеда [9, 11]. Базисные функции для узлов крупной сетки 2сКЭ У^ целесообразно использовать в виде произведения полиномов Лагранжа, т. е. Уук (х, у, 2) = Ц (х)Ц (у)Ц (2) или в форме (15).
Для расчета трехмерного напряженного состояния фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей и ракет, подкрепленных продольными и поперечными вертикальными стенками, балками, горизонтальными перекрытиями (палубой) 2сКЭ (МнКЭ) проектируются с применением образующих 1сКЭ по процедурам пп. 2.1, 2.3, 2.4. Для 2сКЭ (МнКЭ) большой длины <3 в формуле (15) целесообразно использовать полиномы Лагранжа высокого порядка, что позволяет строить решения с малой погрешностью.
Рис. 10. Силовые элементы крыла
Рис. 11. Образующие 1сКЭ У0, Уь
Рис. 12. 2сКЭ Уе°, УЬ
3. Верификация МнКЭ оболочечного типа. Верификация предлагаемых трехмерных криволинейных МнКЭ проводится с помощью известного численного метода [1, 7]. Тестовые расчеты сводятся к решению осесиммет-ричных трехмерных задач теории упругости [14], сформулированных для оболочек вращения, круглых пластин, валов и колец с применением новых МнКЭ. Следует отметить следующее. Упругие трехмерные криволинейные МнКЭ проектируются с применением известных степенных и лагранжевых полиномов (которые широко применяются в МКЭ и обеспечивают сходимость приближенных решений к точным решениям), уравнений трехмерной задачи теории упругости [2]. При этом выполняется принцип минимума полной потенциальной энергии для каждого МнКЭ и для многосеточной дискретной модели оболочки вращения (оболочки двоякой кривизны, круглой пластины, диска, вала). Это обеспечивает сходимость приближенных решений (полученных при уменьшении размеров МнКЭ) к точному решению, что подтверждается тестовыми расчетами и верификацией МнКЭ [7].
4. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим в декартовой системе координат Охуг модельную задачу для композитной цилиндрической оболочки У постоянной толщины при локальном нагруже-нии (рис. 13). Левый торец оболочки жестко закреплен, т. е. при у = 0 имеем и = V = w = 0. Внутренний
радиус оболочки равен 5,4; внешний - 8,4; толщина к = 3; длина Ь = 54. Оболочка армирована продольными непрерывными волокнами. Связи между компонентами неоднородной структуры оболочки идеальные. Модуль Юнга связующего материала равен 1, волокна - 10, коэффициент Пуассона - 0,3. Базовая дискретная модель
И0 оболочки У, состоящая из однородных 1сКЭ Уе 1-
го порядка с характерными размерами кех х кеу х ке2 (см. рис. 1), порождает мелкую криволинейную сетку размерности 43 х 109 х 7, которая равномерна по оси Оу , по круговой координате (при постоянном радиусе) и по толщине оболочки.
Регулярная ячейка сечения оболочки, покрытая мелкой сеткой, с характерными размерами 6кех х бк^, показана на рисунке 14, сечения волокон заштрихованы (4 волокна). На внешней поверхности Б (с углом раствора а = 2п /7) в узлах мелкой сетки с координатами: I = 1,3,5,7, у = 1,7,13,...Д09, к = 7, действуют вертикальные силы р = 0,05 . Область Б симметрична относительно плоскости Оу2, на рисунке 13 поверхность Б заштрихована. В расчетах используем половину области оболочки, х > 0.
Рис. 14. Регулярная ячейка сечения
Двухсеточная дискретная модель оболочки состоит из 2сКЭ УЩ1 с характерными размерами 6ИГ х 6Иеу х 6ИГ. 2сКЭ УЩ имеют мелкие криволинейные сетки размерности 7 х 7 х 7. Модель имеет по длине оболочки 18 КЭ УЩ , по толщине - 1, по дуговой координате - 7. Итак, модель состоит из 126 оболочечных 2сКЭ УЩ , п = 1,...Д26. Образующим КЭ для 2сКЭ Упа является квадратный КЭ 3-го порядка со стороной, равной 3 . В формуле (8) Ц ( а) есть поли-
1.
ном Лагранжа 3-го порядка, а,- = а0 (г — 1) / 3, . г = 1,...,4, где а0 - угол раствора 2сКЭ Уп1, 2
а0 =ж/7 (см. п. 2).
Результаты расчетов оболочки У0 показывают, что
максимальное перемещение - 31,084 (эквивалентное напряжение - 2,722) двухсеточной дискретной модели отличается от максимального перемещения -29,738 (эквивалентного напряжения - 2,824) базовой модели И0 на 4,33 % (на 3,75 %). Размерность базовой модели И0 равна 96012, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 916. Двухсеточная модель имеет 9216 узловых неизвестных (т. е. в 10,4
раза меньше неизвестных модели И0), ширина ленты
СУ МКЭ равна 559. Реализация МКЭ для двухсеточной
модели требует в 17 раз меньше памяти ЭВМ, чем
для базовой. Эквивалентные напряжения определяем по 4-й теории прочности.
Заключение. В данной статье для расчета композитных оболочек вращения и двоякой кривизны (круговых колец, пластин, дисков и валов, крыльев и фюзеляжей самолетов, корпусов ракет и кораблей) сложной формы
при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов, который базируется на алгоритмах метода конечных элементов в форме метода Ритца с применением многосеточных конечных элементов. Достоинства многосеточных конечных элементов состоят в том, что они сколь угодно точно учитывают сложную форму тел, неоднородную и микронеоднородную структуру, описывают трехмерное напряженное состояние (без увеличения размерностей многосеточных конечных элементов), образуют многосеточные дискретные модели малой размерности и порождают приближенные решения с малой погрешностью.
Литература
3.
4.
5.
7.
Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1982. - 264 с. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 2008. -430 с.
Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -420 с.
Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Одно- и двухсеточные криволинейные элементы трехмерных цилиндрических панелей и оболочек // Изв. АлтГУ. 2014. Сер. «Математика и механика». - 2014. - №1/1. - С. 84-89. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Многосеточные ла-гранжевые криволинейные элементы в трехмерном анализе композитных цилиндрических панелей и оболочек // Вестн. КрасГАУ. - 2015. - № 2. - С. 75-85. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы оболочечного типа // Изв. АлтГУ. Сер. «Физико-математические науки». - 2017. - № 4/1. - С. 120-125. Матвеев А.Д. Расчет тонких пластин и оболочек с применением многосеточных конечных элементов со свободными границами // Вестн. КрасГАУ. - 2014. -№ 3. - С. 44-47.
9. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. «Физ.-матем. науки». - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 530-543.
10. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. V. 158, № 1. Art. 012067, P. 1-9.
11. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестн. КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
12. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок сложной формы // Вестн. КрасГАУ. - 2017. - № 11. -С. 131-140.
13. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов // Вестн. КрасГАУ. - 2018. - № 2. - С. 90103.
14. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. - 542 с.
Literatura
1. Norri D., Zh. de Friz. Vvedenie v metod konechnyh jelementov. - M.: Mir, 1981. - 304 s.
2. Samul' V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti. - M.: Vyssh. shk., 1982. - 264 s.
3. Alfutov N.A., Zinov'ev P.A., Popov B.G. Raschet mnog-oslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materi-alov. - M.: Mashinostroenie, 2008. - 430 s.
4. Golushko S.K., Nemirovskij Ju.V. Prjamye i obratnye zadachi mehaniki uprugih kompozitnyh plastin i ob-olochek vrashhenija. - M.: FIZMATLIT, 2008. - 420 s.
5. Matveev A.D., Grishanov A.N. Odno- i dvuhsetochnye
krivolinejnye jelementy trehmernyh cilindricheskih pan-elej i obolochek // Izv. AltGU. Ser. «Matematika i me-hanika». - 2014. - №1/1. - S. 84-89.
6. Matveev A.D., Grishanov A.N. Mnogosetochnye lagran-zhevye krivolinejnye jelementy v trehmernom analize kompozitnyh cilindricheskih panelej i obolochek // Vestn. KrasGAU. - 2015. - № 2. - S. 75-85.
7. Matveev A.D., Grishanov A.N. Trehmernye kompozitnye mnogosetochnye konechnye jelementy obolochechnogo tipa // Izv. AltGU. Ser. «Fiziko-matematicheskie nauki». - 2017. - №4/1. - S. 120125.
8. Matveev A.D. Raschet tonkih plastin i obolochek s primeneniem mnogosetoch-nyh konechnyh jelementov so svobodnymi granicami // Vestn. KrasGAU. - 2014. -№ 3. - S. 44-47.
9. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jele-mentov v raschetah trehmer-nyh odnorodnyh i kompozitnyh tel // Uchen. zap. Kazan. un-ta. Ser. «Fiz.-matem. nauki». - 2016. - T. 158, kn. 4. - S. 530-543.
10. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. V. 158, № 1. Art. 012067, P. 1-9.
11. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jele-mentov v raschetah kompozitnyh plastin i balok // Vestn. KrasGAU. - 2016. - № 12. - S. 93-100.
12. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jele-mentov v raschetah kompozitnyh plastin i balok slozhnoj formy // Vestn. KrasGAU. - 2017. - № 11. -S. 131 -140.
13. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jelementov // Vestn. KrasGAU. - 2018. - № 2. - S. 90-103.
14. Zenkevich O. Metod konechnyh jelementov v tehnike. -M.: Mir, 1975. - 542 s.
