CC BY
32
3. Бастрон А.В., Гайдаш Г.В. Эффективное использование солнечной энергии в системах тепло- и электроснабжения сельских усадебных домов и ЛПХ // Вестн. ИрГСХА. - 2015. - № 67. - С. 92-100.
4. Использование солнечных фотоэлектрических станций для автономных систем электроснабжения кре-стьянско-фермерских хозяйств / А.В. Чебодаев, А.В. Бастрон, В.Н. Урсегов [и др.] // Энерго- и ресурсосбережение - XXI век: мат-лы XII междунар. науч.-практ. интернет-конференции. - Красноярск, 2016. -С. 204-210.
5. Урсегов В.Н., Бастрон А.В., Андрюхов С.К. Разработка и испытание автономного устройства для добычи яда пчел // Вестн. ИрГСХА. - 2014. - № 65. -С. 96-101.
6. АО «Телеком-СТВ»: сайт. - URL: http://www.telstv.ru/ (дата обращения: 5.04.2018).
7. Hevelsolar: сайт. - URL: http://www.hevelsolar.com/ (дата обращения: 5.04.2018).
8. АО «Рязанский завод металлокерамических приборов» (РЗМКП): сайт: - URL: http://www.rmcip.ru/about/ (дата обращения: 5.04.2018).
9. ОАО «Сатурн»: сайт. - URL: http://saturn-kuban.ru/ (дата обращения: 5.04.2018)
10. АО «НПП «Квант»: сайт. - URL: http://npp-kvant.ru/ (дата обращения: 5.04.2018)
11. ООО «Витасвет»: сайт. - URL: http://www.vitasvet.ru/ (дата обращения: 5.04.2018).
12. АО «Термотрон-завод»: сайт. - URL: http://www.vitasvet.ru/ (дата обращения: 5.04.2018).
13. Sdelayremont.ru: сайт. - URL: http://cdelayremont.ru/ obzor-solnechnyh-panelej-rossijskogo-proizvodstva (дата обращения: 5.04.2018).
14. INGSVD.ru: сайт: - URL: http://ingsvd.ru/main/polza/ 1304-solnechnye-elektrostancii-na-geterostrukturnyh-modulyah.html (дата обращения: 5.04.2018).
УДК 539.3
Матвеев А.Д. - канд. физ.-мат. наук, доц., ст. науч. сотр. Института вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск. E-mail: mtv241@mail.ru
Расчеты по методу конечных элементов (МКЭ) трехмерного напряженного состояния композитных и однородных оболочек вращения, цилиндрических оболо-
Literatura
1. Solarbat: sajt. - URL: https://solarbat.info/ (data obrashhenija: 6.04.2018).
2. Oficial'nye setevye resursy Prezidenta Rossii]: sajt. -URL: http://www.kremlin.ru/events/president/news/ 51142 (data obrashhenija: 6.04.2018).
3. Bastron A.V., Gajdash G.V. Jeffektivnoe ispol'zovanie solnechnoj jenergii v sistemah teplo- i jelektrosnabzhenija sel'skih usadebnyh domov i LPH // Vestn. IrGSHA. - 2015. - № 67. - S. 92-100.
4. Ispol'zovanie solnechnyh fotojelektricheskih stancij dlja avtonomnyh sistem jelektrosnabzhenija krest'jansko-fermerskih hozjajstv / A.V. Chebodaev, A.V. Bastron, V.N. Ursegov [i dr.] // Jenergo- i resursosberezhenie -XXI vek: mat-ly XII mezhdunar. nauch.-prakt. internet-konferencii. - Krasnojarsk, 2016. - S. 204-210.
5. Ursegov V.N., Bastron A.V., Andrjuhov S.K. Razrabotka i ispytanie avtonomnogo ustrojstva dlja dobychi jada pchel // Vestn. IrGSHA. - 2014. - № 65. - S. 96-101.
6. AO «Telekom-STV»: sajt. - URL: http://www.telstv.ru/ (data obrashhenija: 5.04.2018).
7. Hevelsolar: sajt. - URL: http://www.hevelsolar.com/ (data obrashhenija: 5.04.2018).
8. AO «Rjazanskij zavod metallokeramicheskih priborov» (RZMKP): sajt: - URL: http://www.rmcip.ru/about/ (data obrashhenija: 5.04.2018).
9. OAO «Saturn»: sajt. - URL: http://saturn-kuban.ru/ (data obrashhenija: 5.04.2018)
10. AO «NPP «Kvant»: sajt. - URL: http://npp-kvant.ru/ (data obrashhenija: 5.04.2018)
11. OOO «Vitasvet»: sajt. - URL: http://www.vitasvet.ru/ (data obrashhenija: 5.04.2018).
12. AO «Termotron-zavod»: sajt. - URL: http://www.vitasvet.ru/ (data obrashhenija: 5.04.2018).
13. Sdelayremont.ru: sajt. - URL: http://cdelayremont.ru/ obzor-solnechnyh-panelej-rossijskogo-proizvodstva (data obrashhenija: 5.04.2018).
14. INGSVD.ru: sajt: - URL: http://ingsvd.ru/main/polza/ 1304-solnechnye-elektrostancii-na-geterostrukturnyh-modulyah.html (data obrashhenija: 5.04.2018).
А.Д. Матвеев
A.D. Matveev
Matveev A.D. - Cand. Phys.-Math. Sci., Assoc. Prof., Senior Staff Scientist, Institute of Computing Modeling, SB RAS, Krasnoyarsk. E-mail: mtv241@mail.ru
чек и конструкций больших размеров сводятся к построению дискретных моделей высокой размерности. Для понижения размерности дискретных моделей эф-
МЕТОД ОБРАЗУЮЩИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ THE METHOD OF FORMING FINITE ELEMENTS
фективно используются многосеточные конечные элементы (МнКЭ). При построении композитного МнКЭ используется система вложенных сеток. Мелкая сетка порождена базовым разбиением МнКЭ, которое сколь угодно точно учитывает его неоднородную структуру и форму (без увеличения размерности МнКЭ). На крупных сетках по МКЭ определяются функции перемещений, которые применяются для понижения размерности базового разбиения, что позволяет проектировать МнКЭ малой размерности. Функции перемещений и напряженное состояние в МнКЭ, которое описывается уравнениями трехмерной теории упругости, представляются в локальных декартовых системах координат. В этом случае МнКЭ оболочечного типа не имеют перемещений как жесткого целого. В данной работе предложен метод образующих конечных элементов (КЭ) для построения упругих трехмерных композитных (однородных) МнКЭ двух типов. Криволинейные МнКЭ 1-го типа получаются путем поворота заданного плоского образующего КЭ вокруг заданной оси на заданный угол, МнКЭ 2-го типа - путем параллельного перемещения образующего КЭ в заданном направлении на заданное расстояние. Такой подход позволяет проектировать МнКЭ, один характерный размер которых значительно больше (меньше) других. МнКЭ 1-го и 2-го типа применяются при расчете композитных оболочек вращения, колец, круглых пластин, дисков, валов, цилиндрических оболочек с переменным радиусом кривизны, пластин и балок сложной формы. Предложены МнКЭ 1-го и 2-го типа для расчета трехмерного напряженного состояния основных силовых элементов крыльев и фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей, подводных лодок и ракет, гофрированных пластин и оболочек. Рассмотрена процедура построения криволинейных МнКЭ с помощью суперэлементов с внутренними узлами, применение которых приводит к уменьшению погрешности решений. Предлагаемые МнКЭ порождают дискретные модели малой размерности. Предложены верхние оценки погрешностей приближенных решений.
Ключевые слова: упругость, композиты, многосеточные конечные элементы, балки, пластины, кольца, валы, оболочки вращения и цилиндрические оболочки.
Calculations by Finite Element Method (FEM) of the three-dimensional strained state of large-sized structures (wings and fuselages of aircraft, marine hulls, submarines and rockets) reduce to the construction of discrete models of very high dimension. To reduce the dimensionality of discrete models, three-dimensional multigrid finite elements (MgFE) are used. When constructing a composite MgFE, a nested grid system is used. A fine grid is generated by a basic partitioning of the MgFE that arbitrarily closely takes into account its heterogeneous structure and shape (without increasing the dimension of the MgFE). On large grids the functions of movements applied to the decrease of dimension of basic splitting allowing to project MgFE of small dimension are determined by FEM. The MgFE displacement functions and stress state described by the equations of the three-dimensional elasticity problem are represented in local Cartesian coordinate systems. In this case MgFE of cover type has no movements as rigid whole. In the study the method of the forming final elements (FE) for creation of elastic three-dimensional composite (uniform) MgFE of two types is offered. Curvilinear type 1 MgFE are obtained by turning a giv-
en plane forming FE around a given axis at a given angle, type 2 MgFE - by parallel moving forming FE in a given direction for a given distance. This approach allows projecting the design of MgFE which size is significantly larger (smaller) than others'. MgFE of the 1st and 2nd type are applied at calculation of composite covers of rotation, rings, round plates, disks, shaft, cylindrical covers with a variable radius of curvature, plates and beams of difficult form. The 1st and 2nd type MgFE are proposed for calculating three-dimensional stress state of the main power elements of the wings and fuselage of aircraft, ship hulls, submarines and missiles, corrugated plates and shells. The procedure of constructing the first and second type MgFE used to calculate the three-dimensional stress state of the primary structural members of the wings and aircraft fuselages, marine hulls, submarines and missiles (stringers, frames, spars, bulkheads, floor, deck and shells of various shapes) is considered. Proposed MgFE generate small dimensional discrete models. Upper errors of approximate soiutions are proposed.
Keywords: elasticity, composites, multigrid final elements, beams, plates rings, shafts, covers of rotation and cylindrical covers.
Введение. Анализ напряженного состояния композитных оболочек вращения и цилиндрических оболочек по методу конечных элементов (МКЭ) [1] с применением уравнений трехмерной задачи теории упругости [2] приводит к построению базовых дискретных моделей высокой размерности. В основе построения приближенных (технических) теорий деформирования упругих композитных оболочек лежат гипотезы [3, 4], которые порождают решения с неустранимой погрешностью. Расчет конструкций больших размеров с применением технических теорий также сводится к построению дискретных моделей высокой размерности. Для понижения размерности таких моделей используются многосеточные конечные элементы (МнКЭ) [5-8], которые лежат в основе метода многосеточных конечных элементов [9-14].
В данной работе для проектирования трехмерных МнКЭ сложной формы и больших размеров предложен метод образующих конечных элементов (КЭ), который отличается от известных подходов построения МнКЭ [58]. Согласно методу, область МнКЭ получается путем заданного перемещения в трехмерном пространстве плоского односеточного КЭ (1сКЭ) заданной формы и порядка, который будем называть образующим 1сКЭ. Предложенный метод позволяет проектировать МнКЭ двух типов. МнКЭ 1-го типа получаются путем поворота образующего 1сКЭ вокруг заданной оси на заданный угол, МнКЭ 2-го типа - путем параллельного перемещения образующего КЭ вдоль заданной прямой, перпендикулярной к плоскости образующего КЭ (любая точка образующего КЭ перемещается по прямой, параллельно заданной) на заданное расстояние. Узлы образующего 1сКЭ являются узлами крупной сетки МнКЭ, причем узлы всякого поперечного сечения крупной сетки МнКЭ являются узлами образующего 1сКЭ. Такой подход упрощает процедуру построения функций перемещений на крупных сетках МнКЭ сложной формы, в которой используются степенные и (по направлению движения образующего КЭ) лагранжевые полиномы. Предлагаемый метод позволяет проектировать МнКЭ, один характерный размер которых значительно больше (меньше) других.
Криволинейные МнКЭ 1-го и 2-го типа применяются для расчета трехмерного напряженного состояния композитных оболочек вращения [13, 14], круглых пластин [14], дисков, колец, валов, цилиндрических оболочек с переменным радиусом кривизны, пластин, прямолинейных и криволинейных балок сложного поперечного сечения. Кратко изложены процедуры построения МнКЭ 1-го и 2-го типа для расчета трехмерного напряженного состояния основных силовых элементов крыльев и фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей, подводных лодок и ракет. Рассмотрено проектирование криволинейных МнКЭ с помощью суперэлементов с внутренними узлами, применение которых приводит к уменьшению погрешности решений.
Цель исследований. Разработка процедур построения упругих трехмерных композитных (однородных) многосеточных конечных элементов сложной формы и больших размеров.
Методы и результаты исследований. В данной работе для построения упругих трехмерных композитных МнКЭ предлагается метод образующих КЭ. Согласно предложенному методу, область трехмерного МнКЭ получается путем соответствующего перемещения в трехмерном пространстве плоского образующего КЭ заданной
формы и порядка. При построении МнКЭ используются степенные и лагранжевые полиномы и уравнения трехмерной задачи теории упругости, представленные в локальных декартовых системах координат. Предлагаемые МнКЭ эффективны при расчете композитных оболочек вращения, цилиндрических оболочек, балок и пластин сложной формы при произвольном статическом нагружении.
1. Метод образующих конечных элементов 1.1. Композитные трехмерные двухсеточные КЭ 1-го типа. Оболочки вращения. Рассмотрим построение трехмерных композитных двухсеточных КЭ (2сКЭ) 1-го типа на примере расчета упругой композитной оболочки вращения V постоянной толщины И . Отметим,
что срединная поверхность оболочки V получается в результате вращения плоской кривой ар (образующей кривой) относительно оси (оболочки), лежащей в плоскости этой кривой. Область оболочки V представляем
трехмерными 2сКЭ V (рис. 1), где -1 /т1, т1 -
задано, I - длина образующей кривой ар, cd - ось оболочки. По толщине оболочки используем один 2сКЭ.
Рис. 1. Оболочечный 2сКЭ V,
Я,
Га Ь ■к
/С/ ^О» | 1 1
1
1
Л: 1 —/ 1 — Г 1 1
О у
а V2 ' 1
Рис. 2. Образующий 1сКЭ Va Область 2сКЭ V образуется путем поворота обра- cd оболочки на угол а0, отвечающий разбиению обо-зующего 1сКЭ V¿ сложной формы (рис. 2) вокруг оси лочки на 2сКЭ, — 2ж /т2, т2 - задано. Узлы об-
разующего 1сКЭ Уа 3-го порядка отмечены точками. Угол а0 будем называть углом раствора 2сКЭ У ■ На рисунке 1 радиусы ^ , Я3 (Я2, Я4) описывают нижние (верхние) границы боковых поверхностей 2сКЭ У ■ Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ V связи идеальны. Область 2сКЭ У представляем базовым разбиением Яа , которое состоит из (базовых) однородных криволинейных 1сКЭ У 1-го порядка (подробно в [5]). Разбиение учитывает неоднородную структуру, сложную форму 2сКЭ У и порождает мелкую сетку Иа , е = 1,...М, где м- общее число 1сКЭ у ■ На мелкой сетке ^ определяем крупную сетку
Нё 2сКЭ У, узлы которой на рисунке 1 отмечены
точками (36 узлов). Отметим, что в общем случае некоторые узлы крупных сеток МнКЭ могут не совпадать с узлами мелких сеток. Функции перемещений, напряжений и
деформаций 1сКЭ Уе удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, которые отвечают трехмерной теории упругости [2] и записаны в локальной декартовой системе
координат 1сКЭ У, т.е. во всей области 1сКЭ У, следовательно, и в области 2сКЭ Уа реализуется трехмерное
напряженное состояние. Узлы образующего 1сКЭ являются узлами крупной сетки 2сКЭ. Значит, узлы всякого поперечного сечения крупной сетки 2сКЭ являются узлами образующего 1сКЭ. Для 2сКЭ Уа введем две локальные системы координат: декартовую 0ху2 и криволинейную 0%г]С , как показано на рисунках 1, 2. Начало координат этих систем совпадает и находится в узле 0 крупной сетки Нё. Плоскость 0г;£ проходит через ось
са оболочки. Отметим, что образующий 1сКЭ лежит в плоскости (см. рис. 2). Ось 0~ц проходит по
нижней границе образующего 1сКЭ У^, ось 0% - по нижней границе боковой поверхности 2сКЭ, описанной радиусом ^ , ось 0£ является продолжением радиуса
0с вращения начала системы координат 0%т]£ (т.е. узла 0 сетки Нd) (см. рис. 1). Ось 0у расположена в плоскости 0г/£, причем, 0у ^ 0С . Ось 0х перпендикулярна биссектрисе угла а0 раствора 2сКЭ У, т.е. проходит через крайние узлы (через узлы 0, g) крупной сетки Нd, лежащие на оси 0% (см. рис. 1). Так как плоскость 0г}£ перпендикулярна плоскости
0%С, то 0х ± 0у. Для узлов крупной сетки Нё введем криволинейную целочисленную систему координат 0ук (см. рис. 1, 2), где у,к = 1,...,4,
1 = 1,...3. Ось 01 совпадает с осью 0%. Оси Су ,
0к совпадают со смежными сторонами 1сКЭ У(см.
рис. 2). Для узла р имеем 1 = 2, у,к = 1. При
малых углах а0 считаем
х = %, 2 = С ■
(1)
Полином Р (у, С) для 1сКЭ Уа 3-го порядка (см. рис. 2), представленный в локальной декартовой системе координат 0у£ , имеет вид
р (У,С) = а1 + °2У + (2)
+ аъС + «4 уС + а5у2 + а6С2 + а7уС + а8 уС +
+ а9уС + аюу3 С + апу3 + «12С ■
Базисную функцию ^ (х, у, С) для узла (с целочисленными координатами) 1,у,к крупной сетки Нё 2сКЭ Уа определяем в форме
щ1]к (х,у,С = И]к(у,С)Ц(х), (3)
где N^ (у,С) - базисная функция узла у, к образующего 1сКЭ у« (см. рис. 2), отвечающая полиному
Р(у,С) вида (2), у,к = 1,...,4, Ц(х) - полином Лагранжа 2-го порядка
3
Ц(х) = П(х - хр)/(х - хр) , (4)
р=1, р
где 1 = 1,...3, хр - координата узла р крупной сетки
На, лежащего на оси 0% (рис. 1)
Таким образом, базисные функции 2сКЭ 1-го типа представляются степенными полиномами, которые являются функциями формы образующего КЭ, и полиномами Лагранжа в направлении вращения образующего КЭ вокруг заданной оси (оболочки) ■ В силу малости угла а0
раствора 2сКЭ Уа (см. рис. 1) с учетом (1) имеем
х = % = аЯ{, х =% = а
хр =%р =арЯ1; 1, р = 1,...3,
(5)
где а - угол раствора точки %; а - угол раствора
узла р крупной сетки 2сКЭ У, лежащего на оси 0% (см. рис. 1)
Учитывая представления (5) в формулах (3), (4), получаем
где [К ] - £ А Г [К. ]А ], Г = £[А ]T Ре ,
e=l е=1
здесь [К ] - матрица жесткости; ^ - вектор узловых
сил 2сКЭ V".
Отметим, что функции (8) используются только для понижения размерности функционала (9), крупная сетка
Н" определяет размерность 2сКЭ V", размерность сетки Н" меньше размерности мелкой сетки Ил базового разбиения Я.
Замечание 1. В силу (10) размерность вектора (т.е размерность 2сКЭ V) не зависит от м - общего
числа КЭ Уе, из которых состоит область 2сКЭ V". Следовательно, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения Я" , которые позволяют сколь угодно точно учитывать сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру 2сКЭ , сложный характер его
закрепления и нагружения и сколь угодно точно описывать трехмерное напряженное состояние в области 2сКЭ
(важно отметить, что без увеличения размерности
2сКЭ V*). Измельчение базовых разбиений МнКЭ приводит к уменьшению погрешности решений.
Пусть образующий КЭ не имеет внутренних узлов
(например, 1сКЭ ^, рис. 2). Тогда на базовом разбиении Я" 2сКЭ V" с помощью метода конденсации строим суперэлемент О [1, 5]. Полную потенциальную энергию 2сКЭ V выражаем через суперэлемент О, т.е. матрицу жесткости и вектор узловых сил 2сКЭ V" определяем с помощью суперэлемента Оё. Расчеты показывают, что применение 2сКЭ, построенных с помощью суперэлементов, приводит к уменьшению погрешности решений. Если 2сКЭ порождают дискретные модели высокой размерности, то следует использовать (трехсеточ-ные КЭ) 3сКЭ (четырехсеточные КЭ) 4сКЭ и т.д. Отметим, что при построении 3сКЭ используются два образующих КЭ V и V. Образующий КЭ Уx применяется при построении 2сКЭ, КЭ V - при построении 3сКЭ. Отметим, что узлы образующего КЭ V являются узлами крупной сетки 3сКЭ. Итак, при проектировании п -сеточного КЭ
используются п — 1 образующих КЭ, причем узлы п — 1 образующего КЭ являются узлами крупной сетки п -сеточного КЭ.
1.2. Композитные трехмерные двухсеточные КЭ 2-го типа. Прямолинейные балки сложной формы. Цилиндрические оболочки. Рассмотрим процедуру построения трехмерных композитных 2сКЭ 2-го типа на
примере 2сКЭ V (рис. 3), который представляет прямолинейную балку со сложным поперечным сечением, рас-
м
^ (а, у,С) = Ы]к (у,ОЦ (а),
(6)
где
Ц (а) = П
а—а
р , г = 1,...3. (7)
р=1, р а а р
При Щ]к (а У,С) = Ц (а)Ь] (у)Ц (С) получаем случай, описанный в [6, 7].
Для каждого узла г,},к сетки Н" определим целое Р> 1, введем обозначение Ыр = ^, Р = 1,.. .,36 . Функции перемещений , , 2сКЭ V представим в виде
36
36
36
=£ Ырир, ъ = £ ур, № = £ N , (8)
р=1 р=1 р=1
где Nр, ир, Ур, №р - базисная функция и перемещения Р -го узла сетки Н".
Функционал полной потенциальной энергии Пё базового разбиения Я 2сКЭ V запишем в матричной форме
м 1
П =£ (т 8Т [К ] 8е — 8Т Ре ), (9)
=1 2
где [Ке ], Ре, 8е - матрица жесткости, векторы узловых сил и перемещений 1сКЭ Уe, представленные в локальной декартовой системе координат 0ху2 2сКЭ V .
Используя (8), вектор узловых перемещений 8 КЭ V выражаем через вектор узловых перемещений 8^ крупной сетки Н" 2сКЭ V", т.е. определяем равенство
8е = [Ае! ]8" ,
(10)
где [Айе ] - прямоугольная матрица, е = 1,...,М.
Подставляя (10) в (9) и выполняя принцип минимума полной потенциальной энергии для 2сКЭ V, т.е.
дПё (8)/ = 0 , получаем соотношение
[К ]8" = Г,
е
положенную в декартовой системе координат 0ху2 ■ 1сКЭ У 1-го порядка, е = 1,...М; М- общее число Балка имеет продольное отверстие, сечение которого на
рисунке 3 заштриховано. Считаем, что между компонен- 1сКЭ Уе. Во всей области 1сКЭ Уе, следовательно и в
тами неоднородной структуры 2сКЭ Ур связи идеальны. 2сКЭ У , реализуется трехмерное напряженное состоя-
Область 2сКЭ У представляем базовым разбиением ние (см. п. 11).
Я , которое состоит из однородных криволинейных
Рис. 3. 2сКЭ Ур балочного типа
Рис. 4. Образующий 1сКЭ у«
Разбиение Я учитывает неоднородную структуру и
сложную форму 2сКЭ У^ и порождает мелкую сетку Нр , на которой определяем крупную криволинейную сетку 2сКЭ У , узлы которой отмечены точками (48 узлов, рис. 3). Область 2сКЭ образуется путем параллельного перемещения плоского образующего 1сКЭ Уа (рис. 4) сложной формы с отверстием (сечение которого заштриховано) вдоль оси 0у на заданное расстояние а (точка 0 области 1сКЭ у« перемещается по оси 0у на
расстояние
а )■ Узлы 1сКЭ У а 3-го
порядка являются
узлами крупной сетки Н (отмечены точками, 12 узлов). Для узлов крупной сетки 2сКЭ У введена целочисленная криволинейная система координат 0ук ■ Оси 01, 0к направлены по смежным сторонам 1сКЭ у« (рис. 4), ось 0] по оси 0у (рис. 3), 1,у,к = 1,...,4 ■ Базисную функцию Щ (х, у, 2) для узла (с целочисленными координатами) 1, у, к крупной сетки Н 2сКЭ У 2-го типа определяем в виде
Щук (х, у, 2) = N (х, (у), (11)
где Nk(х, 2) - базисная функция узла 1, к образующего 1сКЭ V^ (рис. 4), отвечающая полиному
Р(х, 2) = а + а2х + + аАх2 + а5х2 +
7 2 2
+ а6г + ах г + а8хг + (12)
3 3 3 3
+ а9х? + а^х 2 + а^х + ,
1, к = 1,...,4, Ц (у) - полином Лагранжа 3-го порядка, имеющий вид
4
Ц (у) = П (у - Ур )/(у - Ур),
р=1, р
где у = 1, ...,4, ур - координата узла р крупной сетки , лежащего на оси 0у (рис. 3)
Итак, базисные функции ^ (х, у, г) 2сКЭ 2-го типа представляются степенными полиномами, которые являются функциями формы Ык(х,2) образующего КЭ и полиномами Лагранжа ц (у) в направлении (оси
0у , рис. 3) поступательного прямолинейного движения образующего КЭ. Отметим, что вместо полиномов Ла-гранжа Ц (у) , ] = 1,...,п можно использовать базисные функции N ■ (у), которые отвечают степенному полиному Рп (у) вида
Рп (у) = ао + а,у + а2у2 +... + апуп, где а, = сот1. Основные соотношения для 2сКЭ V определяются по
процедурам п. 1.1.
Замечание 2. Предложенный метод позволяет проектировать 2сКЭ (МнКЭ) сложной формы, у которых один характерный размер (в направлении 0у ) значительно больше или меньше других. В направлении (оси 0у ) большого характерного размера 2сКЭ целесообразно использовать высокий порядок аппроксимации перемещений (т.е. высокий порядок полинома Лагранжа Ц (у)),
что позволяет строить решения с малой погрешностью. Отметим, что изложенные подходы применимы для построения и односеточных КЭ.
л
Отметим, что срединная поверхность цилиндрической оболочки образуется прямой линией АВ, которая движется параллельно самой себе по произвольной кривой
При расчете цилиндрической оболочки (с переменным радиусом кривизны) образующий КЭ (рис. 4) лежит в плоскости ее поперечного сечения и описывает геометрию сечения, ось Оу (рис. 3) параллельна прямой, которая является образующей срединной поверхности оболочки.
2. Расчет основных силовых элементов крыльев и фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей, подводных лодок и ракет
Рассмотрим расчет трехмерного напряженного состояния крыльев и фюзеляжей самолетов, корпусов кораблей, подводных лодок и ракет с применением 2сКЭ (МнКЭ) 1-го и 2-го типа. Основными силовыми элементами таких конструкций являются композитные и однородные оболочки вращения и цилиндрические оболочки с переменным радиусом кривизны, прямолинейные и криволинейные балки (стрингеры, шпангоуты) со сложным поперечным сечением, продольные и поперечные стенки сложной формы (лонжероны, нервюры, переборки) и пластины различной толщины (пол самолета, палуба корабля).
2.1. Расчет крыла самолета. Пусть крыло самолета, расположенное в глобальной декартовой системе
координат 0ХИ, имеет две продольные вертикальные стенки (два лонжерона 11, 12), шесть продольных балок (стрингеров) и цилиндрическую оболочку сложной формы. На рисунке 5 схематично показаны силовые элементы крыла, расположение и сечения балок (стрингеров) отмечены точками.
п
Ц, АВ | | СБ , АВ = СО (на рис. 5 ц - замкнутая кривая), ось Оу параллельна образующей прямой АВ. В общем случае цилиндрические оболочки относятся к обо-
Вестник. КрасГАУ. 2018. № 6
лочкам одинарной переменной кривизны. Дискретная модель крыла состоит из трехмерных 2сКЭ 2-го типа,
которыми представляем продольные стенки толщиной И, балки и оболочку крыла (постоянной толщины h1)■ Образующий 1сКЭ У0 толщиной h1 (рис. 6) для 2сКЭ У°
длиной а (рис. 7) (который представляет оболочку крыла), имеет 12 узлов (которые являются узлами крупной
сетки 2сКЭ У°), отмеченные точками. Образующий 1сКЭ
Уь (формы криволинейного прямоугольника размерами
а х Ь , рис. 6) для 2сКЭ Уа длиной а (рис. 7) (который представляет продольную балку), имеет 4 узла (которые являются узлами крупной сетки 2сКЭ Уа), отмеченные
получаются путем параллельного перемещения образующих 1сКЭ У , У (см. рис. 6) вдоль оси 0у на заданное расстояние а ■ Каждая точка образующих 1сКЭ У , У движется по прямой, параллельной оси 0у ■ Размер а значительно больше других размеров 2сКЭ У0, УЬ ■ 2сКЭ Уе° имеет 60 узлов 2сКЭ УЬ - 20 узлов (рис. 7) Обозначим: NI (х, 2) - функция формы I-го
узла образующего 1 сКЭ У0 , которая отвечает полиному вида (12), представленного в локальной декартовой системе координат 0ху2 (рис. 7), т.е. 0х2 (рис. 6),
1 = 1,...Д2 ■ Пусть узлы р^,..., р5 крупной сетки 2сКЭ
точками. Узлы крупных сеток 2сКЭ Уе и 2сКЭ уа на у0 лежат на прямой, параллельной оси 0у (рис. 7) рисунке 7 отмечены точками. Области 2сКЭ У°, Уа
Рис. 7. 2сКЭ У„° оболочечного типа, 2сКЭ УЬ балочного типа
Введем полиномы Лагранжа Ц (у) 4-го порядка, имеющие вид
5
Ц (у) = П (у - Ур )/(Уу - Ур),
р=1, р
где у ■ - координата узла р ., у = 1,...,5 ■
Для пары чисел 1, у , где I = 1,...Д2, у = 1,...,5, определим целое ¡3 > 1, (3 = 1,... ,60 ■ Базисную функцию Щр (х, у, 2) для узла ( крупной сетки 2сКЭ Уе0 ищем в виде
Щр (х, у, 2) = NI (х, 2)1} (у), (13)
где 1 = 1,...,«!, у = 1,...,и2, ( = пхп2- общее число узлов крупной сетки 2сКЭ, для рисунка 7 имеем « = 12,
« = 5, ( = 60 ■
В формуле (13) базисные функции Щр 2сКЭ 2-го типа представляются функциями формы N (х, 2) образующего КЭ и в направлении движения образующего КЭ, т.е. по оси 0у , полиномами Лагранжа Ц (у) ■ Для 2сКЭ УЬ (см. рис. 7) базисные функции щ (х,у,2) определяем по формуле (13), где « = 4, щ = 5 , ( = 20, N(х,2) -базисная функция 1 -го узла 1сКЭ Уъ, которая отвечает полиному р (х, 2) = а + а2х + а32 + аАх2, представленному в локальной декартовой системе координат 0ху2 (рис. 7), т.е. 0х2 (см. рис. 6)^ Продольные стенки
крыла представляем 2сКЭ V/ формы прямоугольного
параллелепипеда. Область 2сКЭ У^ (рис. 8) получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ У3 (рис. 9) вдоль оси 0х на расстояние И ■
Размеры в, Н 2сКЭ У^ значительно больше И
£
(толщины стенки). 2сКЭ V имеет 36 узлов.
Рис. 8. 2сКЭ V (стенки крыла)
Рис. 9. Образующий 1сКЭ У8
Базисную функцию Щр (х, у, г) для узла Р крупной сетки 2сКЭ Уг8 представим в виде (в направлении
движения образующего КЭ, т.е. по оси Ох используем полиномы Лагранжа)
Щр( х y, г) = Ы,(y, г)Ь} (х),
(14)
где I = 1,...Д2, ] = 1,...3, ¡ = 1,...36, Ь}(х) -полиномы Лагранжа 2-го порядка, которые определяются для узлов крупной сетки 2сКЭ Уг8, лежащих на оси Ох (см. рис. 8), (у, г) - функция формы /-го узла образующего 1сКЭ V, которая отвечает полиному
Р (у, г) = а + а2у + аз2+а у + аъУ2 +
2 2 2 + а6г + а7у г + а^уг +
з , з , з , 3 + а9уг + аюу г + апу + а12г ,
записанному в локальной декартовой системе координат Охуг (см. рис. 8), т.е. Оуг (рис. 9).
2.2. Расчет корпуса корабля. Пусть фрагмент корпуса корабля (симметричный относительно плоскости Оуг , Охуг - декартовая система координат) имеет пять продольных балок ^, четыре криволинейных балки (шпангоута) /2, продольную стенку в, пластину (палубу)
8 и поперечную стенку (переборку) А (рис. 10). Продольные стенки типа в , балки ^ и оболочка корпуса корабля представляются 2сКЭ (МнКЭ), построение которых рассмотрено в п. 2.1. Рассмотрим поперечную криволинейную балку (шпангоут) /2 корабля (рис. 10). Область
2сКЭ V^ (рис. 11), который аппроксимирует балку /2, получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ (рис. 12) вдоль оси Оу на расстояние й, й - ширина балки.
Размеры поперечного сечения балки И х й, где И -
высота (толщина) балки, отвечают дуге й$ (рис. 11). Поперечная балка может иметь переменную толщину.
Крупная сетка 2сКЭ V" имеет 24 узла.
Рис. 10. Схема силовых элементов корпуса корабля
Рис. 11. 2сКЭ Уга типа шпангоут
Рис. 12. Образующий 1сКЭ Уь
Базисную функцию Щр (х, у, 2) для узла Р крупной лов. Базисную функцию Щр (х, у, 2) для узла ¡3 круп-
сетки 2сКЭ V^ определяем в формуле (13), где п = 12, П = 2, Р = 24, N (х, 2) -- функция формы /-го узла образующего 1сКЭ ^, которая отвечает полиному вида (12), записанного в локальной декартовой системе координат 0ху2 (см. рис. 11), т.е. 0x2 (рис. 12), Ь] (у) - полиномы Лагранжа 1-го порядка. Стенку А представляем 2сКЭ различной формы. Размеры стенки А в направлении осей 0х, 02 значительно больше размера в направлении оси Оу . Область 2сКЭ ^ (рис. 13) получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ V (рис. 14) вдоль оси Оу на расстояние И, И
- толщина стенки. Крупная сетка 2сКЭ ^ имеет 27 уз-
ной сетки 2сКЭ V представляем в форме (13), где П = 9, п = 3, Р = 27, N (х, 2) - функция формы I -го узла 1сКЭ V , которая отвечает полиному Р (х, 2), вида
Р (х, 2) = а + а2х + а32 + ах + аъх2 +
2 2 2 2 2 + а62 + ах 2 + ах + ^х 2 ,
представленного в локальной системе координат 0ху2 (рис. 13), т.е. 0х2 (рис. 14), £ . (у) - полиномы Лагран-жа 2-го порядка.
Рис. 13. 2сКЭ VI (стенки А) Vg
Рис. 14. Образующий 1сКЭ
Поперечные стенки типа А состоят из криволинейных 2сКЭ УЬ и 2сКЭ формы прямоугольного параллелепипеда (типа 2сКЭ Уг8, см. рис. 8). Характерные размеры В, Н криволинейного 2сКЭ У^ (см. рис. 13) и 2сКЭ
V8 значительно больше размера И . Отметим, что базовые разбиения криволинейных 2сКЭ могут быть сколь угодно мелкими, т.е. могут сколь угодно точно учитывать их сложную форму. Если 2сКЭ порождают дискретные модели высокой размерности, то следует использовать (трехсеточные) 3сКЭ или (четырехсеточные) 4сКЭ и т.д.
При расчете трехмерного напряженного состояния фюзеляжей самолетов, корпусов подводных лодок и ракет, подкрепленных продольными и поперечными стенками, балками и пластинами, можно использовать 2сКЭ, которые проектируются с применением образующих 1сКЭ по процедурам п. 1, 2.
3. Расчет гофрированных пластин и оболочек. Рассмотрим расчет трехмерного напряженного состояния
гофрированных пластин и продольно-гофрированных
цилиндрических оболочек толщиной И с применением трехмерных МнКЭ 1-го и 2-го типа. Для расчета гофрированной пластины (рис. 15) используются МнКЭ 2-го типа.
Дуга Оа представляется элементарными дугами , = / N, - длина дуги Оа, N - задано. Для 2сКЭ У^ волнообразной пластины (см. рис. 15) образующий 1сКЭ Уш 3-го порядка показан на рисунке 16,
узлы 1сКЭ Уш отмечены точками,
Охг
локальная
система координат.
Для пластины с профилем гофра (рис. 17) используются тонкостенные 2сКЭ 2-го типа формы прямоугольного параллелепипеда. На рисунке 18 показана схема продольно-гофрированной (волнообразной) цилиндрической оболочки.
Рис. 15. Схема гофрированной пластины
Рис. 16. Образующий КЭ У
ш
Рис. 17. Профиль гофра пластины
Рис. 18. Схема гофрированной оболочки
При расчете такой оболочки используются 2сКЭ 2-го ти- смотрим криволинейные МнКЭ 1-го типа. Пусть образую-
па, которым отвечают образующие КЭ типа ^ (рис. 16). щий 1сКЭ V 3-го порядка для 2сКЭ V оболочечного
4. Применение суперэлементов с внутренними типа (см. рис. 1) имеет четыре внутренних узла (рис. 19). узлами при построении криволинейных МнКЭ. Рас-
Рис. 19. Образующий 1сКЭ Ух
В этом случае крупная сетка 2сКЭ Vd имеет четыре внутренних узла. Вектор 5 И узловых перемещений мелкой сетки И базового разбиения 2сКЭ Vd представим в виде 5Л = (5^, 50 }Т, где 5 (5 0) - вектор перемещений граничных (внутренних) узлов сетки И .
Пусть 5 = (5а , 5д }Т, где 5В - вектор перемещений тех узлов мелкой сетки И , которые совпадают с внутренними узлами крупной сетки Нс1 2сКЭ Vd,
Нй С Ий, - вектор остальных перемещений внутренних узлов сетки И . Выражаем узловые перемещения вектора 5Л через перемещения вектора 55, где 5^ = (5 , 5В }Т , т.е. строим равенство 5А = [С]5Х ,
где [С ] - прямоугольная матрица. В результате получаем суперэлемент с внутренними узлами (которые являются внутренними узлами крупной сетки Н ). Расчеты показывают, что применение криволинейных 2сКЭ, постро-
енных с помощью суперэлементов с внутренними узлами, приводит к уменьшению погрешности решений.
5. Верхние оценки погрешностей приближенных решений. Нетрудно показать, что
б: =
ко -: | <с„=т\:+р -: \
:
:
п+р
5: = \ао-а°\ ^ с*= т К+р -*°п|, (15)
С
С
п+р
где :п (&п) - максимальное перемещение (эквивалентное напряжение) дискретной модели Яп упругого тела, которая состоит из т-сеточных КЭ заданного типа, т - целое, т > 2, п =!,...,N; т,N - заданы, :0,
_ п _п а
С0 - точные решения для :0, а0; Си , С - верх-
с1: ост
ние оценки для погрешностей оп , оп , р - целое, задано, р > 2.
В (15) вместо :+р, С+р можно соответственно
п+р
использовать :
N + р N+р
0
, Со
Параметры р и N определяются для заданных типов МнКЭ и заданного закона измельчения тела на МнКЭ с помощью тестовых расчетов. Для мелких разбиений можно принять p = 3 + 5 . Отметим, что CW , СС
- приближенные оценки. Однако, с увеличением p и N (т.е. при измельчении разбиения тела на МнКЭ), оценки
СМ а СС ,
п , С стремятся к погрешностям оп , оп (в этом
случае р ^ , р при N ), что
важно при построении приближенных решений с заданной малой погрешностью [15].
Замечание 3. Для композитов регулярной структуры больших размеров целесообразно использовать фиктивные модули упругости, которые определяются с помощью ^-соотношений. Для трехмерных композитов ^-соотношения представлены в работе [16], для двумерных композитов - в [17-19].
Замечание 4. Упругие МнКЭ проектируются с применением известных степенных и лагранжевых полиномов и уравнений трехмерной задачи теории упругости. Геометрические формы МнКЭ подобны формам известных 1сКЭ. При этом выполняется принцип минимума полной потенциальной энергии для каждого МнКЭ и для всей многосеточной дискретной модели тела. Это обеспечивает сходимость приближенных решений (при уменьшении размеров МнКЭ) к точным решениям, что подтверждается тестовыми расчетами и верификацией криволинейных МнКЭ [7].
Заключение. В данной работе предложен метод образующих конечных элементов для построения трехмерных композитных и однородных МнКЭ сложной формы с целью расчета композитных оболочек вращения и цилиндрических оболочек, и конструкций, у которых один характерный размер значительно больше (меньше) других размеров. Достоинства МнКЭ состоят в том, что они сколь угодно точно учитывают сложную форму конструкций, неоднородную структуру и описывают трехмерное напряженное состояние (без увеличения размерностей МнКЭ), образуют дискретные модели малой размерности.
Литература
1. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - 304 с.
2. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высш. шк., 1982. - 264 с.
3. Алфутов Н.А., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. - М.: Машиностроение, 2008. - 430 с.
4. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -420 с.
5. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Одно- и двухсеточные криволинейные элементы трехмерных цилиндрических панелей и оболочек // Известия АлтГУ. Сер. Математика и механика. - 2014. - №1/1. - С. 84-89.
6. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Многосеточные ла-гранжевые криволинейные элементы в трехмерном анализе композитных цилиндрических панелей и оболочек // Вестн. КрасГАУ. - 2015. - № 2. - С. 75-85.
7. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы оболо-чечного типа // Известия АлтГУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - № 4. - С. 120-125.
8. Матвеев А.Д. Расчет тонких пластин и оболочек с применением многосеточных конечных элементов со свободными границами // Вестн. КрасГАУ. - 2014. - № 3. - С. 44-47.
9. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2016. - Т. 158, Кн. 4. - С. 530-543.
10. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. -V. 158. - № 1. - Art. 012067. - P. 1-9.
11. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестн. КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
12. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок сложной формы // Вестн. КрасГАУ. - 2017. - № 11. -С. 131 -140.
13. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов // Вестн. КрасГАУ. - 2018. - № 2. - С. 90103.
14. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных оболочек вращения и двоякой кривизны // Вестн. КрасГАУ. - 2018. -№ 3. - С. 126-137.
15. Матвеев А.Д. Расчет упругих конструкций с применением скорректированных условий прочности // Изв. АлтГУ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2017. - № 4. -С. 116-119.
16. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов на основе жесткост-ных соотношений однородных конечных элементов // Вестн. КрасГАУ. - 2008. - № 5. - С. 34-47.
17. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости композитов сложной структуры с отверстиями // Вестн. КрасГАУ. - 2006. - № 5. - С. 212222.
18. Матвеев А.Д. Совместное применение микро- и макроподходов в дискретном анализе двумерных композитов с малым коэффициентом наполнения // Численные методы решения задач упругости и пластичности: тр. XXI Всерос. конф. - Новосибирск: Параллель, 2009. - С. 158-167.
19. Матвеев А.Д. Взаимно однозначная связь между упругими и жесткостными коэффициентами однородных конечных элементов // Математические модели и методы их исследования: тр. Междунар. конф. - Красноярск, 2001. - Т. 2. - С. 90-93.
Literatura
1. Norri D., de Friz Zh. Vvedenie v metod konechnyh jelementov. - M.: Mir, 1981. - 304 s.
2. Samul' V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti. - M.: Vyssh. shk., 1982. - 264 s.
3. Alfutov N.A., Zinov'ev P.A., Popov B.G. Raschet mnogoslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materialov. - M.: Mashinostroenie, 2008. - 430 s.
4. Golushko S.K., Nemirovskij Ju.V. Prjamye i obratnye zadachi mehaniki uprugih kompozitnyh plastin i obolochek vrashhenija. - M.: FIZMATLIT, 2008. -420 s.
5. Matveev A.D., Grishanov A.N. Odno- i dvuhsetochnye krivolinejnye jelementy trehmernyh cilindricheskih panelej i obolochek // Izvestija AltGU. Ser. Matematika i mehanika. - 2014. - №1/1. - S. 84-89.
6. Matveev A.D., Grishanov A.N. Mnogosetochnye lagranzhevye krivolinejnye jelementy v trehmernom analize kompozitnyh cilindricheskih panelej i obolochek // Vestn. KrasGAU. - 2015. - № 2. - S. 75-85.
7. Matveev A.D., Grishanov A.N. Trehmernye kompozitnye mnogosetochnye konechnye jelementy obolochechnogo tipa // Izvestija AltGU. Ser. Fiz.-mat. nauki. - 2017. - № 4. - S. 120-125.
8. Matveev A.D. Raschet tonkih plastin i obolochek s primeneniem mnogosetochnyh konechnyh jelementov so svobodnymi granicami // Vestn. KrasGAU. - 2014. -№ 3. - S. 44-47.
9. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jelementov v raschetah trehmernyh odnorodnyh i kompozitnyh tel // Uchen. zap. Kazan. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki. - 2016. - T. 158, Kn. 4. - S. 530-543.
10. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. -V. 158. - № 1. - Art. 012067. - P. 1-9.
11. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jelementov v raschetah kompozitnyh plastin i balok // Vestn. KrasGAU. - 2016. - № 12. - S. 93-100.
12. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jelementov v raschetah kompozitnyh plastin i balok slozhnoj formy // Vestn. KrasGAU. - 2017. - № 11. -S. 131-140.
13. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jelementov // Vestn. KrasGAU. - 2018. - № 2. - S. 90103.
14. Matveev A.D. Metod mnogosetochnyh konechnyh jelementov v raschetah kompozitnyh obolochek vrashhenija i dvojakoj krivizny // Vestn. KrasGAU. -2018. - № 3. - S. 126-137.
15. Matveev A.D. Raschet uprugih konstrukcij s primeneniem skorrektirovannyh uslovij prochnosti // Izv. AltGU. Ser. Fiz.-mat. nauki. - 2017. - № 4. - S. 116119.
16. Matveev A.D. Opredelenie fiktivnyh modulej uprugosti dlja trehmernyh kompozitov na osnove zhestkostnyh sootnoshenij odnorodnyh konechnyh jelementov // Vestn. KrasGAU. - 2008. - № 5. - S. 34-47.
17. Matveev A.D. Opredelenie fiktivnyh modulej uprugosti kompozitov slozhnoj struktury s otverstijami // Vestn. KrasGAU. - 2006. - № 5. - S. 212-222.
18. Matveev A.D. Sovmestnoe primenenie mikro- i makropodhodov v diskretnom analize dvumernyh kompozitov s malym kojefficientom napolnenija // Chis-lennye metody reshenija zadach uprugosti i plastichnosti: tr. XXI Vseros. konf. - Novosibirsk: Parallel', 2009. - S. 158-167.
19. Matveev A.D. Vzaimno odnoznachnaja svjaz' mezhdu uprugimi i zhestkostnymi kojefficientami odnorodnyh konechnyh jelementov // Matematicheskie modeli i metody ih issledovanija: tr. Mezhdunar. konf. -Krasnojarsk, 2001. - T. 2. - S. 90-93.
УДК 621.321 П.П. Долгих, Г.Н. Хусенов
ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОБЛУЧЕНИЯ НА УРОЖАЙНОСТЬ И КАЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
САЛАТА СОРТОВ КРИЛДА И АУВОНА
P.P. Dolgikh, G.N. Khusenov
THE INFLUENCE OF RADIATION PARAMETERS ON THE PRODUCTIVITYAND QUALITATIVE CHARACTERISTICS OF SALAD OF KRILDA AND AUVONA VARIETIES
Долгих П.П. - канд. техн. наук, доц. каф. системоэнерге-тики Красноярского государственного аграрного университета, г. Красноярск. E-mail: dpp10@yandex.ru Хусенов Г.Н. - асп. каф. системоэнергетики Красноярского государственного аграрного университета, г. Красноярск. E-mail: dpp10@yandex.ru
Для получения качественной овощной продукции в технологическом процессе овощеводства защищенного грунта применяют светодиодные облучательные ус-
Dolgikh P.P. - Cand. Techn. Sci., Assoc. Prof., Chair of Systems of Energetics, Krasnoyarsk State Agrarian University, Krasnoyarsk. E-mail: dpp@rambler.ru Khusenov G.N. - Post-Graduate Student, Chair of Systems of Energetics, Krasnoyarsk State Agrarian University, Krasnoyarsk. E-mail: dpp10@yandex.ru
тановки, эффективность которых не вызывает сомнения. Установлено, что для управления продукционным процессом необходимо формировать спектр фитоизлу-
