Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел сложной формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

2013 Механика № 1

УДК 539.3

А.Д. Матвеев

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия

СМЕШАННЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ В АНАЛИЗЕ УПРУГИХ ТРЕХМЕРНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Предложена процедура построения смешанных дискретных моделей для анализа напряженного состояния трехмерных упругих тел, конструкций сложной формы, имеющих неоднородную (композитную) структуру. Смешанные модели состоят из однородных односеточных трехмерных конечных элементов (КЭ) первого порядка формы куба и двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) неоднородной структуры формы прямоугольного параллелепипеда, т. е. состоят из КЭ различной сеточной структуры. В окрестности крепления тела или сложной формы границы используем мелкое разбиение, состоящее из односеточных КЭ и учитывающее неоднородную структуру и сложную форму тела, в остальной части тела - крупное, представленное ДвКЭ. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью связующих КЭ, построенных на основе ДвКЭ. Для построения ДвКЭ используем две вложенные сетки: мелкую и крупную. Область ДвКЭ представляем базовым (мелким) разбиением на КЭ первого порядка, которое учитывает его неоднородную структуру и порождает мелкую сетку. На базовом разбиении определяем в матричной форме функционал полной потенциальной энергии ДвКЭ, который (с помощью аппроксимаций, построенных на крупной сетке) проецируем на крупную сетку. Из условия минимизации полученного функционала по узловым перемещениям крупной сетки находим формулы для вычисления матрицы жесткости и вектора узловых сил ДвКЭ. Достоинства ДвКЭ состоят в том, что с помощью базового (мелкого) разбиения учитывается неоднородная структура ДвКЭ, они образуют дискретные модели малой размерности и порождают решения с заданной погрешностью. Погрешность решения варьируется с помощью соотношения шагов мелкой и крупной сеток ДвКЭ. Достоинства смешанных дискретных моделей состоят в том, что они имеют малую размерность, учитывают сложную форму тел, неоднородную структуру и порождают решения с заданной погрешностью. Приведен пример расчета.

Ключевые слова: трехмерные тела неоднородной структуры, композиты, упругость, двухсеточные конечные элементы, метод конечных элементов, смешанные дискретные модели.

A.D. Matveev

Institute of computational modeling of SB RAS,

Krasnoyarsk, Russian Federation

COMBINED DISCRETE MODELES IN THE THREE-DIMENSIONAL ELASTIC INHOMOGENEOUS BODIES ANALYSIS OF COMPLEX SHAPE

Construction procedure of combined discrete models for the stress state of three-dimensional elastic bodies, complex shape design having an inhomogeneous structure to be analyzed has been suggested. Combined models are composed of first-order homogeneous single grid three dimensional finite elements (FE) of cube shape and inhomogeneous (composite) double grid finite elements (DgFE) of rectangular parallelepiped shape. In the vicinity of the body fixing or complex boundary, single grid FE are used, DgFE are for the rest of the body. Construction procedure of DgFE has been shown. To construct DgFE, two nested grids, both fine and coarse ones are used. Area of the DgFE is a basic (fine) descritization into FE of the first order taking into account its inhomogeneous structure and generating the fine grid. On a basic descritization the total potential energy functional of DgFE (using the approximations constructed on a coarse grid) is given in matrix form projected on a coarse grid. Formulas to calculate the stiffness matrix and the nodal forces vector of DgFE are obtained by minimization condition of the functional obtained by nodal displacement of coarse grid. DgFE characteristics are that the inhomogeneous structure is taken into consideration by using the base fine descritization, discrete models of small dimension are formed and the solutions with a specified error generated. Error of the solution varies with ratio steps of coarse and fine grids of DgFE. Advantages of combined discrete models are that they have a small dimension, take into account a complex shape bodies, inhomogeneous structure and generate solutions with a specified error. The example of calculation has been demonstrated.

Keywords: three-dimensional bodies of inhomogeneous structures, composites, elasticity, double grid finite elements, finite element technique, and combined discrete models.

Введение

Как известно [1], при анализе трехмерных тел неоднородной (композитной) структуры широко используют микро- и макроподходы. В основе макроподхода лежат гипотезы, накладывающие определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений тела, что порождает неустранимую погрешность в решениях. Кроме того, возникают трудности при реализации макроподхода в случае исследования трехмерных неоднородных, композитных тел сложной формы, особенно с малым коэффициентом наполнения неоднородностью. Это связано с тем, что в окрестности границы крепления тела или границы сложной формы гипотезы не выполняются, т.е. в окрестности данных границ тела реализуется трехмерное напряженное со-

стояние. Микроподход дает возможность точно описывать поведение трехмерных композитных (неоднородных) тел сложной формы с любым коэффициентом наполнения неоднородностью. Однако конечноэлементный анализ таких тел с учетом их структуры сводится к построению базовых дискретных моделей очень высокого порядка, что создает проблемы при реализации метода конечных элементов (МКЭ) [2, 3, 4]. Базовые дискретные модели трехмерных тел, имеющих неоднородную структуру, состоят из однородных односеточных трехмерных КЭ первого порядка формы куба [2, 3]. Базовые разбиения учитывают неоднородные структуры и сложную форму тел и при этом порождают решения со сколь угодно малой погрешностью.

В данной работе предлагается совместное применение одно- и двухсеточного моделирования трехмерных упругих тел неоднородной структуры и сложной формы. Такое моделирование порождает смешанные дискретные модели, которые состоят из КЭ различной сеточной структуры: односеточных и двухсеточных КЭ. Подобласть тела, которая включает границу сложной формы или крепления тела, представляем базовым (мелким) разбиением, которое состоит из однородных односеточных КЭ первого порядка формы куба и учитывает неоднородную структуру и сложную форму тела, а остальную часть тела покрываем крупным разбиением на ДвКЭ неоднородной (композитной) структуры формы прямоугольного параллелепипеда. Мелкое и крупное разбиения склеиваем с помощью связующих ДвКЭ и в результате получаем смешанную дискретную модель, размерность которой меньше размерности базовой.

Для построения ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда используем две вложенные трехмерные узловые сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена базовым (мелким) разбиением ДвКЭ, которое состоит из однородных односеточных КЭ первого порядка формы куба и учитывает неоднородную структуру данного ДвКЭ. Построение ДвКЭ сводится к исключению параметров МКЭ в узлах мелкой сетки (которые не совпадают с узлами крупной сетки) с помощью аппроксимирующих функций перемещений ы,у, w, построенных на крупной сетке, т.е. узловые перемещения мелкой сетки выражаются через узловые перемещения крупной сетки. Общее число узлов крупной сетки многократно меньше общего числа узлов мелкой, поэтому размерность ДвКЭ многократно меньше размерности его ба-

зового разбиения. Существуют два типа ДвКЭ [5]. У ДвКЭ первого типа [5, 6] крупные сетки определяются только на границе его базового разбиения. Крупная сетка ДвКЭ второго типа определяется на всей его области. Изложены процедуры построения ДвКЭ второго типа и связующих ДвКЭ. Недостаток процедуры построения ДвКЭ первого типа состоит в том, что она содержит операцию вычисления обратной матрицы высокой размерности [5, 6].

Приведен пример расчета трехмерного тела сложной формы, имеющего неоднородную структуру.

1. Процедура построения двухсеточных конечных элементов

Изложение данной процедуры проведем для трехмерного ДвКЭ (второго типа) неоднородной структуры формы прямоугольного параллелепипеда размерами а х Ь х с, для рис. 1 имеем а = 12Ъ, Ь = с = 8Ъ. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши [7]. Область ДвКЭ представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных КЭ У1" первого порядка формы куба со стороной Ъ [2], параметрами МКЭ которых являются значения перемещений и,V,w в узлах КЭ У^ , у = 1,...,М; М - общее число КЭ У^ .

На рис. 1 показано базовое (мелкое) разбиение ДвКЭ на КЭ У^.

Базовое разбиение ДвКЭ учитывает его неоднородную (композитную) структуру и порождает мелкую равномерную узловую сетку УЦ размерностью т1 х т2 х т3 с шагом Ъ по осям Ох, Оу, 01. Для рис. 1 имеем т1 =13, т2 = т3 = 9. На мелкой сетке УЦ определяем крупную трехмерную узловую сетку УН размерности п1 х п2 х п3 с шагами: Н1 по оси Ох, Н2 по оси Оу и Н3 по оси 01. Сетка УН вложена в мелкую сетку УЦ, при этом имеем: Н1 = к1Ъ, Н2 = к2Ъ, Н3 = к3Ъ, где к1, к2, к3 - целые,

не менее 2. На рис. 1 узлы крупной сетки отмечены точками, Н1 = 3Ъ, Н2 = Н3 = 2Ъ, п1 = п2 = п3 = 5, к1 = 3, к2 = к3 = 2. Полную потенциальную энергию Пе ДвКЭ представим в матричном виде [8]:

М 1л \

п.=1 (2 qT к qTpJ )> (1)

где [К] ] - матрица жесткости; Pj ,qj - векторы узловых сил и неизвестных элемента УЪ ; Т - транспонирование.

Рис. 1. Мелкая и крупная сетки ДвКЭ

С помощью полиномов Лагранжа [8] на крупной сетке УН определяем аппроксимирующие функции для перемещений и, V, w ДвКЭ, которые соответственно обозначим через иН, vH, ^Н и представим в форме

П П П3 П1 П2 П3 п П2 П3

иН=ХХХмтит, ^, щ=ХХХмук™ук, (2) ¿=1 /=1 к=1 ¿=1 /=1 к=1 1-1 /=1 к=1

где ик, V/, н^.к - искомые значения функций иН, vH, wH в узле ( ¿, /, к)

сетки УНП; ¿, /, к - координаты целочисленной системы координат ¿/к,

введенной для узлов крупной сетки (см. рис. 1); N/к = N/]к(х,у, 1) - базисная функция узла (¿, /, к) сетки У^, ¿=1,...,п1, / = 1,...,п2, к=1,...,п3,

Nк = Ц(х) Ц(у) ьк(1),

■ -9 п

ц (х) = П — > Ц (у) = П ^. ц (1) = П — . (3)

а=1,а*г'хг ха а=1,а* /у/ уа а=1,афк1к

(х,уу, 2к) - координаты узла (/,у, к) сетки УЩ в системе координат Охух.

Тройке целых чисел ¡, у, к узла (¡,у,к) крупной сетки УЩ определим целое число р и введем следующие обозначения: = Ыуук,

«1 = иук, А = Уук, «1 = Щк’ где Р=1’-’по; п0 = п1п2П3- Тогда выражения (2) примут вид

п0 п0 п0

«н =ЕNА, ^ =£ЫА, Щн =ЕN. (4)

Р=1 Р=1 Р=1

Обозначим через qн = {««q«о,«IЧ10, «1<}Т вектор узловых параметров МКЭ крупной сетки УЩ, т. е. вектор узловых неизвестных ДвКЭ. Используя (4), компоненты вектора qj узловых неизвестных КЭ Уук выражаем через компоненты вектора qH , в результате получим равенство

qi = [ А ] qн, (5)

где [Ау ] - прямоугольная матрица, у = 1,..., М.

Подставляя (5) в выражение (1), из условия ЭП£ = 0 получа-

ем уравнение [Кн ] qH = FH,

М М

[Кн] = £[Ау]Т[Ку][Ау], Рн =2[Ау]Т^ (6)

У=1 у=1

где [Кн ], FH - матрица жесткости и вектор узловых сил трехмерного

ДвКЭ (второго типа) формы прямоугольной призмы, который обозна-

чим через У А , е - порядковый номер.

Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки ДвКЭ, с помощью формулы (5) проецируется на мелкую сетку базового разбиения ДвКЭ, что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ базового разбиения ДвКЭ, следовательно, определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры ДвКЭ.

Достоинства двухсеточных конечных элементов

• С помощью базового (мелкого) разбиения ДвКЭ учитывается его неоднородная и микронеоднородная структура.

• ДвКЭ порождают двухсеточные дискретные модели, общее число узловых неизвестных которых меньше общего числа неизвестных базовых моделей.

• ДвКЭ порождают решения, которые отличаются от решений, отвечающих базовым моделям, на заданную величину.

• С помощью варьирования соотношений шагов мелкой и крупной вложенных сеток ДвКЭ регулируется погрешность решений, построенных для двухсеточных дискретных моделей.

• Напряжения могут быть определены в любом компоненте неоднородной, микронеоднородной структуры ДвКЭ.

• Процедура построения ДвКЭ базируется на известных алгоритмах МКЭ и поэтому удобно реализуется на ЭВМ. Реализация МКЭ для двухсеточных дискретных моделей требует меньше ресурсов ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.

Расчеты показывают [5], что ДвКЭ типа У/ (см. рис. 1) эффективны при анализе трехмерных тел, которые армированы ортогональными регулярными решетками волокон и область которых представляется ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда.

2. Процедура построения связующих двухсеточных конечных элементов

При совместном применении одно- и двухсеточного моделирования тела неоднородной структуры подобласть У1 тела, которая включает границу крепления и границу сложной формы, представляем мелким разбиением, которое состоит из однородных односеточных КЭ первого порядка, а остальную часть тела (область У0) - покрываем

крупным разбиением на ДвКЭ неоднородной структуры, У = У1+У0; У -область тела. Мелкое разбиение области У1 учитывает неоднородную

структуру и сложную форму тела. В результате получаем смешанную дискретную модель тела, состоящую из КЭ различной структуры. В смешанной дискретной модели тела связь мелкого разбиения области У с крупным разбиением области У0 осуществляется с помощью

связующих ДвКЭ, которые обозначим через У* (а - порядковый номер КЭ у: ).

Рассмотрим процедуру построения ДвКЭ У*. Пусть разбиение области У1 состоит из однородных односеточных КЭ Уун первого порядка формы куба со стороной И, т. е. область У1 представляем КЭ базовой модели тела. Связующий ДвКЭ У* строим на основе ДвКЭ У/, т. е. ДвКЭ У* имеет такие же мелкую и крупную сетки, как и ДвКЭ У А . Пусть связующий ДвКЭ У^ по границе 5а, которая лежит в плоскости уОх (рис. 2), соприкасается с областью У1. На рис. 2 при х >12И показано разбиение тела на ДвКЭ У* и У/. Отметим, что на границе £а сетка разбиения области У1 содержит узлы крупной сетки УЩ ДвКЭ У*. Полную потенциальную энергию П* ДвКЭ У* представим в виде

= 2( Д; )Т [ КИ ] д (Д; )Т p;■, (7)

где [К1 ] - матрица жесткости базового разбиения УИ ДвКЭ У*; PИa -вектор узловых сил и А\ - вектор узловых неизвестных разбиения УИ. Вектор А\ имеет следующую структуру:

А« = {А« ,qн, А“ }Т, (8)

Ап ~ чу тгт

1 - вектор значении перемещении тех узлов мелкой сетки УИт ДвКЭ У, которые лежат на границе £а и не совпадают с узлами

чу ТТ'П АН:

крупной сетки Ун ; А^ - вектор значении перемещении остальных узлов сетки УИИ, не совпадающих с узлами крупной сетки УЩ ; qн - вектор узловых неизвестных крупной сетки.

Используя (4), между векторами А“ и qн установим связь:

^ = [па ] qн, (9)

где [Оа ] - прямоугольная матрица.

Рис. 2. Расчетная схема тела

С помощью (8), (9) построим равенство

д» = [В ] Чн,

(10)

здесь

[В ] =

[Еі] 0 ' 0 [Ег] 0 [Я ]

[Е1 ],[Е2] - булевы матрицы,

Чн - вектор узловых неизвестных связующего ДвКЭ V*, который граничит с областью V (см. рис. 2).

Применяя (10) в (7), из условия ЭЩ / д Чн = 0 получаем формулы для вычисления матрицы жесткости [Ка ] = [Ба ]Т [К% ][Ба ] и вектора узловых сил ^ = [Ба ]Т Рйа ДвКЭ V*. Итак, ДвКЭ V* связывают мелкое разбиение области V с крупным разбиением области V0. В этом случае параметры МКЭ узлов мелкой сетки границы 5а, не совпадающие с узлами крупной сетки VH (т. е. компоненты вектора А^), не исключаются и, следовательно, являются узловыми неизвестными связующего ДвКЭ V*.

Замечание 2. Обозначим: ио - вектор функций перемещений базовой дискретной модели трехмерного тела (имеющего неоднородную

структуру), которая состоит из однородных односеточных КЭ V1' первого порядка формы куба со стороной к. Пусть || и - ио ||<51, где и -точное решение. Пусть || ио —и, ||<5 , где и, - вектор функций перемещений смешанной дискретной модели данного тела, т. е. состоящей из однородных односеточных КЭ V1" И двухсеточных КЭ Veq И Vа неоднородной структуры формы прямоугольного параллелепипеда. Тогда имеем ||и - и, ||<50, где 50 =51 +5 . Погрешность 51 определяется параметрами базового разбиения тела. Факторы, влияющие на эту погрешность, изучены в теории МКЭ [9, 10]. Расчеты показывают, что погрешность 5 зависит от характерных геометрических размеров подобласти тела, которая представлена односеточными КЭ первого порядка, и от соотношения шагов мелкой и крупной вложенных сеток ДвКЭ Veq.

Достоинства смешанных дискретных моделей

• Размерности смешанных дискретных моделей трехмерных тел меньше размерностей базовых моделей.

• Смешанные дискретные модели учитывают неоднородную структуру и сложную форму трехмерных тел.

• Напряжения могут быть определены в любом компоненте неоднородной структуры смешанной дискретной модели трехмерного тела.

• Смешанные дискретные модели трехмерных тел порождают решения, отличающиеся от решений базовых дискретных моделей, на заданную величину.

• Реализация МКЭ для смешанных дискретных моделей трехмерных тел требует меньше ресурсов ЭВМ и временных затрат, чем для базовых моделей.

3. Результаты численных экспериментов

Рассмотрим в декартовой системе координат Оху1 модельную задачу упругости для трехмерного упругого тела неоднородной структуры, которое имеет сложную форму (см. рис. 2). При х = 0 тело закреплено, т.е. имеем и = V = w=0. Граница крепления на рис. 2 показана штриховкой. Тело армировано ортогональной решеткой волокон с поперечным сечением 2кх 2к внутри области и 2к х к, к х к на границе. Расстояние между волокнами по оси Ох равно 10к, по осям Оу, О1 - 6к,

т.е. волокна с поперечным сечением кх к являются ребрами ДвКЭ V* и V/. Максимальное число волокон, параллельных оси Ox, равно 4, параллельных осям Oy, Oz, - 7. Базовая модель тела, состоящая из однородных односеточных КЭ V1" первого порядка формы куба со стороной к [2], учитывает его неоднородную структуру, сложную форму и порождает мелкую сетку Vк. Для узлов сетки Vк введена целочисленная система координат /к; для рис. 2 имеем п1 = 73, п2 = п3 = 25. Тело нагружено силами Ру =1,25 кг, которые приложены в узлах сетки

Vк с целочисленными координатами (г, 25, к), где г =25, 37, 49, 61; к = 1, 9, 17. Модуль Юнга волокон равен 105 кг/см2, связующего материала - 104 кг/см2, коэффициент Пуассона для всей области тела равен 0,3; к = 0,5 см. Левый торец тела имеет вырезы: вертикальный -размерами 8кх24кх14к и горизонтальный - размерами 5кх16кх5к, которые порождают границу сложной формы. В связи с этим при построении смешанной дискретной модели для данного тела в области V (см. рис. 2), т. е. при 0 < х <12к, используем мелкое (базовое) разбиение, состоящее из однородных односеточных КЭ V/1 первого порядка формы куба со стороной к. Остальная часть тела, т.е. при 12к < х < 72к, представлена крупным разбиением на ДвКЭ Veq и связующие ДвКЭ

V*, размерами 12кх8кх8к (см. рис. 1), е = 1,..., 30, а=1,...,9. На рис. 2 показано разбиение тела на ДвКЭ V/ и V:.

Результаты расчетов представлены в табл. 1, 2. Анализ результатов показывает, что максимальное значение перемещений vк смешанной дискретной модели тела отличается от перемещений V,, базовой модели на 1,8 % (в табл. 1 максимальные значения перемещений vк, V,,

выделены жирным шрифтом).

Эквивалентные напряжения стк смешанной дискретной модели

тела и ст0 - базовой модели вычисляем в центре тяжести КЭ V/ по четвертой теории прочности. Максимальное значение напряжения стк отличается от напряжения ст0 на 0,1 % (в табл. 2 максимальные значения напряжений ст0, стк выделены жирным шрифтом).

Таблица 1

Узловые перемещения (/ = 25; v0,х10 4 см)

к \ г 13 25 37 49 61 73 ^, VI,

10,055 23,618 37,157 51,212 65,113 77,194 Vo

1 10,088 23,037 36,263 49,993 63,584 75,734 Vh

9,238 21,397 34,511 48,277 62,040 74,914 Vo

9 9,199 21,021 33,857 47,320 60,792 73,547 Vк

8,177 19,919 33,350 46,893 60,562 72,642 Vo

17 8,156 19,537 32,616 45,885 59,263 71,410 Vк

Т аблица 2

Эквивалентные напряжения ( ст0, стк кг/см2)

у z \ х 0,5к 1,5к 3,5к 4,5к 6,5к 16,5к о

10,978 16,071 14,423 13,589 12,108 6,413 ©0

0,5к 10,958 16,054 14,426 13,602 12,141 6,652 Ък

5,543 1,952 1,725 1,561 1,280 0,668 ©0

1,5к 5,541 1,949 1,721 1,557 1,276 0,690 Ок

0,5к 3,872 2,355 1,998 1,793 1,348 0,548 ©0

3,5к 3,867 2,351 1,990 1,784 1,338 0,651 Ък

4,811 2,445 2,012 1,903 1,878 0,481 00

4,5к 4,812 2,442 2,003 1,890 1,855 0,568 Ок

Базовая модель тела содержит 114282 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 1956. Смешанная дискретная модель тела имеет 24834 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 3567 и занимает в 2,5 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. Время реализации МКЭ для смешанной дискретной модели тела в 2,3 раза меньше, чем для базовой модели.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00053).

Библиографический список

1. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. - М.: Мир, 1982. - 232 с.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 541 с.

3. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М: Мир, 1984. - 430 с.

4. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М: Мир, 1976. - 464 с.

5. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2000. - 30 с.

6. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. -2004. - № 3. - С. 161-171.

7. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.

8. Норри Д., де-Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. -М.: Мир, 1981. - 304 с.

9. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. - М: Мир, 1977. - 351 с.

10. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. - М.: Мир, 1985. - 591 с.

References

1. Fudzi T., Dzako M. Mechanika razrushenija kompozisionych materia-lov [Fracture mechanics of composite materials]. Moscow: Mir, 1982. 232 p.

2. Zenkevych O. Metod konechnykh elementov v technike [The finite element method in engineering]. Moscow: Mir, 1975. 541 p.

3. Gallagher R. Metod konechnykh elementov. Osnovy [The finite element method. Fundamentals]. Moscow: Mir, 1984. 430 p.

4. Oden J. Konechnye elementy nelineynoy mechaniki splochnykh sred [Finite elements of nonlinear continua]. Moscow: Mir, 1976. 464 p.

5. Matveev A.D. Nekotorye podkhody proektirovania uprugikh mnogosetochnykh konechnykh elementov [Some approaches of designing elastic multigrid finite elements]. VINITI Proceedings № 2990-B00. Institut vychislitelnogo modelirovanija Sibirskogo otdelenija Rossijskoy akademii nauk, Krasnoyarsk, 2000, 30 p.

6. Matveev A.D. Mnogosetochnoe modelirovanie kompozitov neregu-larnoi struktury s malym koefitsientom nopolnenia [Multigrid modeling of

composites of irregular structure with a small filling ratio]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskayafizika, 2004, no. 3, pp. 161-171.

7. Samul V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow: Vysshaya shkola, 1982. 264 p.

8. Norrie D., de Vries J. Vedenie v metod konechnykh elementov [An Introduction to Finite Element Analysis]. Moscow: Mir, 1981. 304 p.

9. Strang G., Fix G.J. Teoriy metoda konechnykh elementov [An analysis of the finite element method]. Moscow: Mir, 1977. 351 p.

10. Rektorys K. Variacionnye metody v matematicheskoy fizike i technike [Variational methods in mathematics physics and engineering]. Moscow: Mir, 1985. 591 p.

Об авторе

Матвеев Александр Данилович (Красноярск, Россия) - кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН (660036, г. Красноярск - 36, Академгородок, 50/44, e-mail: mtv@icm.krasn.ru).

About the author

Matveev Alexsandr Danilovich (Krasnoyarsk, Russian Federation) - Ph. D. in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher, Federal State Institution of Science ICM SB RAS (50/44, Akademgorodok, 660036, Krasnoyarsk, Russian Federation, e-mail: mtv@icm.krasn.ru).

Получено 7.02.2013