Двухсеточное моделирование локально армированных трехмерных упругих тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 АД. Матвеев

ДВУХСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНО АРМИРОВАННЫХ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

Предлагается двухсеточное моделирование локально армированных трехмерных упругих тел, которое сводится к построению двухсеточных дискретных моделей. Двухсеточная модель трехмерного тела проектируется на основе его базовой дискретной модели, построенной по микроподходу, и состоит из двухсеточных конечных элементов. Достоинства предлагаемого моделирования заключаются в том, что размерность двухсеточных моделей значительно меньше размерностей базовых моделей и поэтому реализация метода конечных элементов для двухсеточных моделей требует меньше времени счета и памяти ЭВМ, чем для базовых.

Введение. Локальное армирование однородных изотропных трехмерных упругих тел связано с повышением их жесткостных характеристик (т.е. прочностных свойств) и проводится в тех областях тела, в которых возникают большие напряжения. Локальное армирование трехмерного тела существенно усложняет исследование его напряженного деформируемого состояния, так как в этом случае это тело является трехмерным композитом с малым коэффициентом наполнения. Для анализа композитов применяются микро- и макроподходы [1]. Как известно, в макроподходе используются гипотезы, накладывающие определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений, что порождает неустранимую погрешность в решениях. Кроме того, с помощью макроподхода затруднительно исследовать деформирование трехмерных композитов с малым коэффициентом наполнения. Уравнения микроподхода точно описывают упругое деформирование композитов. Однако дискретные модели (базовые модели) локально армированных трехмерных тел, построенные по микроподходу, имеют высокую размерность [1].

В данной работе рассматривается двухсеточное моделирование, которое предлагается при конечноэлементном анализе трехмерных упругих тел, имеющих локальные композитные включения регулярной структуры с малым коэффициентом наполнения. Предлагаемое моделирование сводится к построению на базовой модели композита двухсеточной дискретной модели. Эта модель состоит из однородных и композитных двухсеточных конечных элементов (ДвКЭ) [2, 3]. При построении ДвКЭ используем две вложенные узловые сетки: мелкую и крупную. Область ДвКЭ представляем базовым разбиением, которое порождает мелкую узловую сетку и учитывает композитную структуру ДвКЭ, если он является композитным. На аппроксимациях мелкой сетки определяем потенциальную энергию ДвКЭ. С помощью лагранжевых аппроксимаций, построенных на крупной сетке, выражение потенциальной энергии ДвКЭ представляем через узловые параметры метода конечных элементов (МКЭ) крупной узловой сетки. Затем из условия минимизации потенциальной энергии определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ.

Достоинства двухсеточного моделирования состоят в следующем. Во-первых, двухсеточная модель учитывает по микроподходу локальные композитные структуры в трехмерном теле, во-вторых, размерность двухсеточной модели существенно меньше размерности базовой, и поэтому реализация МКЭ для двухсеточной модели требует меньше времени счета и памяти ЭВМ, чем для базовой. Приведен пример расчета.

1. Построение двухсеточных трехмерных конечных элементов. Основные положения процедуры построения ДвКЭ рассмотрим на примере композитного ДвКЭ формы прямоугольного параллелепипеда размерами ахЬхс (рис. 1), занимающего в декартовой системе координат хуг область Уе .

Рис. 1. Разбиение области Уе на КЭ V ^: узлы крупной сетки отмечены точками

Пусть ДвКЭ состоит из изотропных однородных тел М/ (/=1,..., Мо - общее число тел М). Перемещения, деформации и напряжения тела М/ удовлетворяют соотношениям Гука и Коши [4] и при этом предполагается наличие идеальных связей между этими телами. Вначале область ДвКЭ V представляем мелким

(базовым) разбиением на КЭ Vh первого порядка формы прямоугольного параллелепипеда размерами

к х Н хк , где /'=1,...; М - общее число элементов V*1. Элемент V*1 имеет 8 узлов, в каждом узле х у г ] ]

неизвестными МКЭ есть значения перемещений и, V, w. Базовое разбиение ДвКЭ учитывает его композит-

ут

ную структуру и порождает мелкую узловую сетку п размерности т х т х т (с шагами

Н^хН^хН ). На рисунке 1 показано разбиение V™, где

Ь =к =к =к т = 19 т =10 т =22■ На сетке V7й определяем крупную ортогональную уз-

х у г ’ 1 ’ 2 7 3 П

Vм

ловую сетку Уп размерности п хп хп с шагами Н ,Н и Н (сетка Уп вложена в ^ ). На

Н 1 2, 3 х у % Н

рисунке 1 узлы крупной сетки отмечены точками, Н =Н =Н =3к, п =7, п =4, п =8 . По-

х у г 1 2 3

тенциальную энергию П ДвКЭ представим в матричной форме

е

м і

пе= I ф?/[К;]{?;}-{<7/{^}),

7 = 1

(1)

где [ К ^ ] - матрица жесткости;

(Р}, } - векторы узловых сил и узловых неизвестных элемента V ^;

Т - транспонирование.

С помощью полиномов Лагранжа [5] на крупной сетке Vй определяем аппроксимации, которые обо-

н

значим через и , V , w :

н н н

п п п 1 2 3

и = І І I Ы-ъ.и-^

н гж гж

І = 1 у = 1 £ = 1

п п п 1 2 3

V = X І I N. V

н гж гж

І = 1 у = 1 £ = 1

н

і = 1 у = 1 к = 1

і]к іук'

(2)

т" ^ п

где и , , V , , w , - искомые значения функций и , V , w в узле (і, і, к) сетки V ; і, І, к -

і]к і]к і]к ^ 4 н ’ н ’ н 7 ' 1 1 н 1

целочисленные координаты системы координат і]к, введенной для узлов крупной сетки (рис. 1);

N.., — N. (х,у, г) - базисные функции узла (/,_/, к) сетки Уп, N. — Ь. (х)Ь . {у)Ь (г), іу/с ^ ^ ^

А<Х>= п

х — х

а

л _^ .Х -X а = \,аФ г / а

ьк(--)= п

2-2

а

х,,у , 2 - координаты узла (і, і,к) сетки Уп в системе координат хуі. і у к н

Каждой тройке целых чисел /, у к узла (/, у к) сетки ¥п определим единственное целое число (3 и

н

введем обозначения: N „= N , , аип — и , , ал’п — V , , <7^ = м? , ,

Р Ф Р Ф Р Ф Р Ф

где /3 = 1. Тогда выражения (2) примут вид

О’ О

п п

% = 2 V*’ Ун = ^ V*’

Р = \ Считаем, что

/? = 1

^ = г V?-

/?=і

(3)

(4)

где 2 - /-й узел мелкой сетки; и , V , ^ - аппроксимации перемещений ДвКЭ, построенные на

г п п п

Используя (3), (4), значения перемещений и , V , wI в узлах элемента Vп представим в виде

п п п ]

п

п

п

п п п

«*(**) = 2 ”А(^)= X №к(^= I <5>

/? = 1 /? = 1 /? = 1

где 2 - к-й узел конечного элемента Vп; к=1,...,8. к ]

Обозначим {д,} - вектор узловых параметров МКЭ крупной сетки Vй. Так как

I н

и (2 ), V (2 ), ж (2 ) есть компоненты вектора {д .}, то равенства (5) запишем в матричной

п к п к п к ]

форме

{?Д = К-]Ю> (6)

7 ] и

где {а } = {д“. дм ... ау ... ам> }Т, \А 1 - прямоугольная матрица.

'■''я-’ и 1п 1п 1п ’ ь 7

О 0 0 7

Подставляем (6) в выражение (1) и из условия ЭП / <5{д } = 0 получаем уравнение МКЭ [^н]{^я} = {^я}.где

м м

[Кн}= X 1ЛАТ[К ][А ], {^ }= £ [А]Т{Р\. (7)

Н 7 7 7 Н 7 7

7=1 7=1

[^ ] - матрица жесткости и {Р } - вектор узловых сил ДвКЭ. Отметим, что при построении данн н

Т" л Т" т п

ного КЭ используются две вложенные узловые сетки: мелкая V и крупная V . Дискретную модель тела, состоящую из ДвКЭ, будем называть двухсеточной.

Замечание 1. Обозначим через и^^ перемещения базовой модели тела. Пусть

\\и^-и^\\< 5^, || 1^0 -1^0 ||< <? , где м0’ ^ - точное решение. Пусть

Ъ Ъ « -г-

\\Uq-u 11 < , 11 г^0 — V 11 < , где и , V - перемещения двухсеточнои модели. Тогда

|| - г/11|< 8, || у0 -V*11|< 8 , где 8 — 8^ + 8^. Таким образом, двухсеточные модели порожда-

ют два вида погрешностей: 8 , 8^. Погрешность 8^ определяется базовым разбиением, и факторы (порядок КЭ, их размеры и т.д.), влияющие на эту погрешность, рассмотрены и изучены в теории МКЭ [6]. Базовое разбиение строим такое мелкое, что можно принять 8^ =0. Тогда 8 = 8^. В этом случае тестирование

ДвКЭ сводится к определению погрешности 8'. Расчеты показывают, что наибольшее изменение 8 достигается при совместном изменении структур (шагов) мелкой и крупных сеток.

2. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим в декартовой системе координат хуг локально армированное тело V формы прямоугольного параллелепипеда размерами 18/гх27/гх63/г (рис. 2). При 1=0 и=1/=и/=0, на рисунке 2 граница крепления тела отмечена штриховкой.

Тело состоит из трех типовых ДвКЭ VI, Уг и Vз размерами ахЬхс, где

а = 18/2, Ь = 9/2, с = 21/2 (рис. 1). Элемент VI - изотропный однородный, ДвКЭ Уг - армирован одно-

направленными жесткими волокнами, которые параллельны оси г и имеют прямоугольное сечение размерами 2/г х /г (2/2 в направлении оси х). При этом волокна расположены друг от друга в направлении оси х на расстоянии 2И, оси у - 3Ь. На рисунке 3 показано сечение тела V в плоскости г=10Ь, на котором се-

чения волокон элементов V2 отмечены треугольниками. ДвКЭ Vз - трехслойный, жесткие слои имеют толщину Л (на рис. 2 толщины жестких слоев отмечены штриховкой), средний слой - 7Л.

Рис. 3. Сечение тела V при і = 10Л

На рисунке 2 показано разбиение тела V на девять ДвКЭ: 6 элементов VI, 2 элемента V2 и один Vз. На рисунке 2 волокна отмечены жирными линиями. Базовое разбиение ДвКЭ-та V/ (і = 1, 2, 3) состоит из КЭ

V^ первого порядка формы куба со стороной Л (см. рис. 1) и учитывает структуру ДвКЭ, если он является композитным. Узлы крупной сетки ДвКЭ Уе на рисунке 1 отмечены точками. Коэффициент наполнения

композита V равен 0,066. Базовая модель тела V состоит из КЭ V^ и порождает ортогональную сетку V^

размерами 19x28x64, для узлов которой введена целочисленная система координат цк (см. рис. 2). В узлах с целочисленными координатами (і, 28, к) композит V нагружен силами Ру =7,15, где /=4, 7, 10, к=52,

55, 58 (на рис. 2 показаны силы Ру). Модуль Юнга связующего материала равен 1, жестких слоев и волокон равен 10, коэффициент Пуассона для всей области тела V равен 0,3, Л=0,5.

Анализ результатов показывает, что максимальное значение перемещений (и^, ^) двухсеточной модели тела V отличается от перемещений (и , V , Ж ) базовой модели на 3,6% (табл. 1).

Таблица 1

Перемещения (/ = 28)

/ / к 10 28 37 46 55 64 и, V, ж

-0,251 4,726 10,031 16,210 17,945 18,949 и0

-1,078 2,709 7,977 13,978 15,883 16,696 ип

А 11,067 52,866 87,114 128,640 172,022 204,462

1 8,922 47,705 81,580 122,454 165,235 196,910 vh

-9,689 -30,887 -42,794 -49,835 -50,787 -50,592 Ж0

-9,766 -30,380 -42,117 -48,876 -49,911 -49,683

5,039 13,039 15,948 17,259 18,510 19,038 и0

4,249 10,819 13,781 15,039 16,298 16,791 ип

7,849 40,931 69,415 104,637 141,273 176,588

19 6,814 38,655 66,683 101,352 137,255 172,103 vh

-10,914 -32,886 -44,773 -51,214 -51,869 -51,742 Ж0

-10,746 -32,292 -44,062 -50,236 -50,960 -50,840

Таблица 2

Напряжения (у = 0,5Л)

I / х 0,5Л 4,5Л 8,5Л 12,5Л 16,5Л 17,5Л <7

0,5Л 21,545 23,366 20,318 20,758 19,515 20,446 18,633 21,402 18,818 21,546 25,539 26,171

3,5Л 20,199 21,040 21,660 21,565 21,811 21,559 22,070 21,992 23,567 23,946 22,753 23,090 ^0 о*

6,5Л 18,842 18,739 20,285 20,397 20,656 20,509 21,047 21,009 21,522 20,949 20,669 20,271 ^0

9,5Л 17,848 18,163 18,956 19,160 19,382 19,690 19,590 19,817 19,531 19,530 19,271 19,540

14,5Л 15,864 15,744 16,727 16,769 17,097 17,190 17,040 17,215 16,506 16,670 16,742 16,599 °о

Максимальное значение эквивалентных напряжений <7^ двухсеточной модели отличаются от напряжений <т0 базовой на 2,5% (табл. 2). Напряжения вычисляем в центре тяжести КЭ согласно четвертой теории прочности [7].

Базовая модель тела V содержит 100548 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 1686, двухсеточная модель имеет 4410 неизвестных, ее лента СУ МКЭ шириной 1662 занимает в 22,3 раза меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. Время реализации МКЭ для двухсеточной модели (3 ч 15 мин) в 4 раза меньше времени решения задачи для базовой модели (13 ч 37 мин).

Литература

1. Фудзии, Т. Механика разрушения композиционных материалов / Т. Фудзии, М. Дзако. - М.: Мир, 1982.

2. Матвеев, А.Д. Построение упругих многосеточных конечных элементов. Анализ композитов с учетом их структуры / А.Д. Матвеев; КГУ. - Красноярск, 1998. - 80 с. // Деп. в ВИНИТИ № 3219-В98.

3. Матвеев, А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов / А.Д. Матвеев; Ин-т вычислит. моделирования СО РАН. - Красноярск, 2000. - 30 с. // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00.

4. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1970.

5. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз. - М.: Мир, 1981.

6. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. - М.: Мир, 1977.

7. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - Киев: Наук. думка, 1975.

УДК 539.43:621.822.0 В.А. Меновщиков, Н.Г. Полюшкин, В.М. Ярлыков

МЕХАНИЗМ КОНТАКТНОГО РАЗРУШЕНИЯ СТАЛЕЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

В статье приведены результаты статических исследований тел качения цилиндрической формы при соотношениях % > 3 ё < 3. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами других исследователей контактного взаимодействия при статических испытаниях.

Большинство современных машин и механических приборов имеет узлы трения, в которых передача рабочих усилий между деталями осуществляется с помощью локального контакта рабочих поверхностей оборудования, работающего в режиме статического или динамического нагружения, качения, качения со скольжением или качания.

Изучению явлений, возникающих вблизи и в зоне локального силового контакта деталей, посвящено много исследований, рассматривающих эти явления в физическом и механическом аспектах [1-3]. Однако необходимо отметить, что недостаточно изучено влияние механических и термических способов поверхностного упрочнения деталей на их усталостную контактную прочность. Еще более неясным становится этот вопрос при сложном чередовании напряжений на протяжении каждого цикла нагружения во время качания под нагрузкой. Характерный вид разрушения элементов подшипника при качательном движении под нагрузкой показан на рисунке 1.

Постановка задачи. Проблема повышения надежности и долговечности опор качения требует всестороннего изучения явлений, протекающих на контакте качения, и факторов, обусловливающих усталостные процессы. Зарождение и развитие различных форм локальной неоднородности кристаллических материалов, приводящей в итоге к их разрушению, тесно связаны с особенностями поведения поверхностных слоев в процессе пластического деформирования.

Окончательно не решен вопрос и о природе аномального поведения поверхностных слоев, хотя большинство исследователей связывают особенности пластического течения в приповерхностных слоях с повышенной концентрацией гомогенных и гетерогенных источников и особенностями генерирования ими дислокаций [7]. Однако аномальное поведение поверхностных слоев наблюдается и у технических металлов, и сплавов в обычных атмосферных условиях. При определенном сочетании механической и термической обработки механические свойства поверхностного слоя ниже, чем свойства материала в объеме [5].

Величина остаточной деформации определяется как максимальная глубина вмятины, измеряемая от первоначального уровня поверхности до наиболее глубокой точки дна вмятины.