CC BY
35
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м XX 198 9
М 6
УДК 629.7.051
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ КРИТЕРИЕВ ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ОБЛАСТИ ВЕРОЯТНЫХ РАЗБРОСОВ ЕГО ХАРАКТЕРИСТИК
В. И. Кобзев., В. Н. Кострикин.., С. Н. Супруненко
Приведена методика оценки возможных изменений эффективности системы управления ЛА вследствие отклонений реальных характеристик Л А (аэродинамических, конструкционных, эксплуатационных) относительно расчетных номиналов. Методика основана на выявлении предельных значений критерия эффективности системы управления на множестве вероятных отклонений характеристик ЛА. Рассматриваются особенности решения этой задачи в случае, когда разброс характеристик подчинен нормальному закону вероятностного распределения, а зависимость критерия эффективности от разбросов может быть смоделирована многомерным полиномом второго порядка.
Высокие требования к качеству и надежности управления полетом ставят вопрос об оценке эффективности разрабатываемой системы управления летательного аппарата (ЛА) при возможных отклонениях его характеристик относительно принимаемых на этапе проектирования расчетных значений. Учитывая, что подобные отклонения происходят под действием множества случайных факторов, можно в пространстве характеристик ЛА выделить область, соответствующую некоторой предельной вероятности возможных разбросов характеристик. Поиск экстремумов критерия эффективности в пределах этой области позволяет установить максимальное или минимальное значение критерия, которое может в принципе достигаться.
При решении этой задачи обычными методами нелинейного программирования часто возникают затруднения и не только вычислительного характера. Поскольку критерии эффективности зависят от определяющих их параметров сложным и опосредованным через динамику ЛА и его систем образом, то выявление экстремумов, как правило сопряжено с проведением больших по объему экспериментов математического и/или стендового моделирования. По этой причине оценка экстремальных сочетаний характеристик ЛА на практике чаще всего выполняется по упрощенным схемам, основанным на тех или иных предположениях (см., например, способ определения наиболее неблагоприятных
отклонений аэродинамических характеристик МВКС «Спейс Шаттл», описанный в [1]). Между тем во многих случаях задача может быть решена более корректно при уменьшенных объемах экспериментальных исследований, если воспользоваться специальными методами оптимизации, разработанными в теории анализа и планирования эксперимента [2]. Основываясь на этих методах можно, в частности, предложить следующий способ решения. Вначале строится математическая модель рассматриваемого критерия эффективности, достаточно хорошо аппроксимирующая истинную его зависимость от характеристик ЛА в области их вероятных разбросов. Далее путем применения соответствующих вычислительных процедур нелинейного программирования определяются экстремумы полученной модели, которые принимаются в качестве оценок экстремумов истинной зависимости.
В данной статье излагаются особенности решения рассматриваемой задачи указанным способом применительно к случаю, когда отклонения характеристик ЛА подчинены нормальному закону вероятностного распределения, а зависимость критерия эффективности от этих параметров может быть аппроксимирована многомерным полиномом второго порядка. Следует отметить, что квадратичная модель более точна и пригодна в более широкой области отклонения параметров по сравнению с линейной моделью, используемой обычно при анализе чувствительности системы управления [3].
1. Постановка задачи. Пусть с является п-мерным вектором случайных нормально-распределенных параметров (отклонений характеристик ЛА), от которых зависит критерий эффективности системы управления /, т. е. имеет место функциональная зависимость / = /(с). В общем случае отклонения характеристик ЛА могут быть коррелированными, поэтому следует ввести в рассмотрение ковариационную матрицу отклонений И=М [сст] (здесь М — символ математического ожидания, т — символ транспонирования), которую будем считать известной. Предполагается, что номинальные значения характеристик ЛА совпадают с их математическими ожиданиями и соответственно М[с}=0.
В п-мерном евклидовом пространстве с ортогональным базисом, координаты точек которого задаются элементами вектора с, выделим область С£с, попадание в которую происходит с заданной вероятностью р, т. е. р = вер (с е С}%).
Поставим следующую задачу: — определить минимум и максимум критерия / (с) в области Ос.
Для решения этой задачи на условный экстремум необходимо прежде всего выявить геометрические особенности области С?с- Учитывая, что закон распределения рассматриваемых случайных величин является нормальным, в качестве геометрического образа области С1с следует принять эллипсоидальную область рассеивания заданной вероятности [4], уравнение которой можно записать в виде ст/?-1 р2.
В записанном выражении параметр р определяет средний радиус эллипсоида. Используя линейное невырожденное преобразование с~ рЯ112х, в котором /?1/2— матричный квадратный корень (обычно нижняя треугольная матрица в разложении Холецкого /? = /?1/2 /?т/2 [4]), можно перейти к некоррелированным случайным величинам — элементам вектора х, имеющим одинаковые дисперсии. В результате такого перехода область 0.% трансформируется в шар единичного радиуса (35 = {л:тл:-< 1}. Очевидно, задачи определения экстремумов функции 1 (с) в области 0? и функции ](с{х)) в области <3? эквивалентны.
4—«Ученые записки» № 6
49
Отметим, что значение параметра р зависит только от р и п. Это видно из следующих преобразований:
р = (2те)—"/2 (det /?)—1/2 J exp ^- ст R-1 cjdc —
Qpc
?г
= (2тг)-и/2 J ехр(---!rxTx)dx = 2-n/2r(n/2)-1 j zn'2~l er^dz,
qP 0
(Г(.) — гамма-функция Эйлера).
Заметим, что р = Вер (z<p2), где z — случайная величина, распределенная по закону %2 с п степенями свободы [4]. Поэтому для вычисления р по заданным р и п можно воспользоваться программой расчета квантилей распределения %2, имеющейся в библиотеках программ ЭВМ по статистике.
2. Построение модели критерия эффективности. Наиболее простой способ получения квадратичной модели для критерия эффективности — это разложение исходной зависимости в ряд Тейлора в окрестности номинальных значений характеристик JIA с удержанием членов только первого и второго порядка малости. Так как получение точных аналитических выражений для производных критерия эффективности по отклонениям характеристик обычно затруднено, то в расчетах приходится употреблять соответствующие разностные аналоги на основе численного дифференцирования.
Метод разложения в ряд Тейлора неприемлем, если отклонения характеристик нельзя считать малыми или если значения критерия эффективности определяются с ошибками. Строить модель в этих случаях целесообразно путем аппроксимации истинной зависимости в рассматриваемой области вероятных отклонений характеристик. При поиске экстремумов критерия эффективности удобнее иметь дело с некоррелированными случайными величинами единичной дисперсии, поэтому искомую квадратичную модель критерия представим в виде функции аргумента х:
J(x) = J0 + gTx + -TxT Их.
В этом выражении /0, g. Н — аналоги постоянной составляющей, градиента и матрицы вторых производных разложения Тейлора.
С учетом симметрии матрицы Я модель критерия можно также
Л
представить в виде/(д:) =/(х)та,где а и f(x)—соответственно вектор неизвестных коэффициентов и вектор базисных функций модели:
а =
■А) > Si > ••• > £п >
111»
/(*) = [!, , ..., хп, X
і >
xi
, h21, , hn (п—і)
x2xlr ..., XnXn-i]\
Квадратичная модель содержит т = -у (я+1) (п + 2) неизвестных коэффициентов, которые могут быть определены по методу наименьших квадратов. Рассмотрим основные положения этого метода [2].
В области 0_х зададим Ы^т узлов аппроксимации коор-
динаты которых в совокупности образуют матрицу плана эксперимен-
та X. Совокупность векторов, полученная вычислением /(х) во всех точках плана, образует матрицу (размером Nxm)
/7=[/(^(1)). ...,ПхЮ), ...,/(*")]*,
которая служит для формирования информационной матрицы Е = /7Т^. Используя преобразование с^к) = р/?1/2 х^К найдем образы точек плана X в области С}с и определим для них значения критерия по ко-
торым сформируем вектор наблюдений
К=[У(с«,>), У(с<*>), /(<?<*>) р.
Значения искомых коэффициентов модели, обеспечивающих минимум среднеквадратичной ошибки аппроксимации в области С)рс, определяются в соответствии с формулой а* = Е~1РУ. При использовании этих коэффициентов значения ошибки модели в точках плана определяются соотношением АУ=У— Ра*, а среднеквадратичная ошибка — соотношением е(а*) =ДУГ ДК. На основании анализа этих ошибок можно судить о пригодности модели. Если измерения критерия /(с) происходят с ошибками, то помимо ошибок неадекватности в модели также будут присутствовать и ошибки измерений. Для снижения влияния таких ошибок следует многократно повторить эксперименты и вычислить усредненные значения I {с) критерия эффективности в точках плана X. Коэффициенты модели затем вычисляются с использованием формулы а* = Е~1РУ, в которой У — [/(£(’>), ..., J{c(■k)), .... 7(с(ЛГ>)1т —
усредненный вектор наблюдений. Для проверки пригодности модели в данном случае могут быть использованы известные статистические критерии.
Значительное повышение точности модели при наличии случайных ошибок в экспериментальных данных можно обеспечить специальным выбором узлов аппроксимации. Соответствующие рекомендации на этот счет предлагаются теорией оптимального планирования эксперимента [2].
К настоящему времени разработано достаточно много типовых планов, обладающих различными полезными свойствами [6]. Для рассматриваемой задачи подходят планы второго порядка на шаре, предназначенные для построения квадратичной модели в сферической области. Обычно априорные сведения о преимущественном расположении экстремумов критерия эффективности в области отсутствуют, поэтому целесообразно использовать такие планы, которые обеспечивают примерно одинаковую точность модели в пределах всей области аппроксимации. При использовании типовых планов необходимо учесть следующие их особенности. Во-первых, точки такого плана расположены преимущественно на поверхности шара или близко к ней, в результате чего информация о поведении исходной зависимости внутри области аппроксимации не используется. Для более равномерного заполнения области аппроксимации матрицу плана X можно составлять из нескольких типовых планов на шарах разного радиуса. Вторая особенность типовых планов — это не всегда достаточное число градаций по значениям отдельных координат. Для устранения такого недостатка рекомендуется повернуть исходную систему координат на некоторый угол, что равнозначно умножению матрицы X на ортогональную матрицу преобразования.
3. Определение экстремумов критерия эффективности. Экстремаль-
ные точки зависимости /(*) в области <3? могут принадлежать либо внутренней части, либо границе этой области. В первом случае экстремальную точку следует определить из условия обращения градиента
Л
функции I (х) в ноль. Во втором случае для отыскания экстремальной точки можно воспользоваться методом множителей Лагранжа [2]. Предварительно сделаем преобразования, упрощающие вывод расчетных формул. Используя разложение Я=^У/)1Л в котором и и О — ортогональная и диагональная матрицы собственных векторов и чисел матрицы Я [5] соответственно. Введем вместо л: новый аргумент у = ит х. Получим:
Лу) = Пх (У)) = Л + Ьту + -у-Уг Пу, Ь = ит g.
Так как и — ортогональная матрица, то при переходе к аргументу у шар единичного радиуса 0% трансформируется в такой же шар единичного радиуса С?у = {_уту1}.
Л
Для вычисления координат экстремума функции I (у) на границе 0.у следует воспользоваться следующим соотношением
№ + х)У* = — Ь,, г=1, п,
определяющим точку экстремума составной функции
Ф(У) = АУ) + Ъ(УГУ- 1),
где К— множитель Лагранжа.
Вначале рассмотрим случай, когда все значения Ьг отличны от нуля. Из приведенного соотношения следует
У*1~ — *=1, ..., п.
Учитывая, что на границе должно выполняться соотношение
угУ = 1, находим
п
/(Х) = 2ад + Х)*=1.
г=1
Для эффективного решения этого уравнения относительно К можно воспользоваться итерационным методом Ньютона. Согласно методу *(*+!> = + дх(А), к = 0, 1, ... — номер итерации и
ДХ(А)= - 1)//'(Х(*)),
/'(Х(й)) = - 2 2^/№+^)3-
/=1
Из вида }(%) следует, что число возможных пересечений /(А,) с уровнем 1 находится в пределах 2-^2п. Причем, эти пересечения располагаются слева и справа от значений К=—с?,-, (1=1,...,я). Можно пока-
зать, что при наличии пересечений итерации Ньютона заведомо к ним сходятся, если начальные точки итераций выбирать в виде
Х(0) = — ^1±\Ь,\, г = 1, , п.
Поэтому, используя все эти начальные точки, следует попытаться определить все решения. Отсутствие сходимости будет свидетельствовать об отсутствии решения для принятой начальной точки, поскольку общее число решений может быть меньше 2п. После того, как найдены все
Л
возможные решения X, для них определяются экстремумы /(г/), из которых отбираются соответствующие абсолютному максимуму и минимуму.
Рассмотрим теперь случай, когда среди элементов вектора Ь имеются нулевые. Пусть, например, Ьи = 0. При этом я составляющая вектора г/* должна удовлетворять условию (<4+Л) У*к =0. Здесь возможны два случая: либо \-Ф—йи и у\ =0, либо Х=—и у*к =5^0. Первое решение является регулярным, а второе решение — особое, которое следует рассматривать в дополнение к решениям нелинейного уравнения относительно %. Значение у*к, соответствующее особому решению, определяется по формуле
/ п N1/2
к-+и- 2 уН •
\ I = 1, (г + А) )
Элементы вектора у* с индексами £=£& вычисляются так же как и в регулярном случае. Особое решение может существовать только при условии неотрицательности подкоренного выражения записанной формулы.
При наличии нескольких нулевых составляющих вектора Ь особыми экстремальными решениями могут быть уже линии, поверхности и т. д. Следует, однако, отметить, что особые случаи возникают главным образом в модельных примерах при специальном подборе исходных данных.
л
После выделения абсолютных экстремумов функции I (у) на границе области <3у необходимо исследовать экстремум функции внутри
Л
С?у. Координаты точки безусловного экстремума функции /(у) определяются по формулам
у* = — 6./^, /= 1, ..., я.
Если у* у и все элементы матрицы /) одного знака, то у* принимается в качестве точки абсолютного минимума или максимума (в зависимости от знака элементов матрицы В).
После определения экстремальной точки у* делается обратный переход к аргументу с в соответствии с введенным преобразованием: с = р/?~’2 £/у*. Определенное суждение о точности полученного с по-
Л
мощью квадратичной модели решения может дать сопоставление /(г/*) со значением истинной зависимости / (с*).
4. Пример. Некоторые вопросы, связанные с практическим применением изложенного метода, рассмотрим на примере исследования эффективности демпферов крена и рыскания системы обеспечения устой-
чивости и управляемости (СУУ) самолета, аэродинамические характеристики которого подвержены случайным разбросам. Для описания бокового движения самолета в этом примере использовались линеаризованные уравнения вида:
Т= ШЛГ>
р = + (1 + с“у)шу + (£■/!/) т 8„,
Шх=ж$+м”*<»х+м;у«у+м1пн+м1чэ, шу = + м/ о», + + м} к + м‘; 8Э.
Здесь у, р — углы крена и скольжения; ах, щ — угловые скорости крена и рыскания; бн, бэ — углы отклонения руля направления и элеронов; (^г —производная аэродинамической боковой силы по параметру (•),
отнесенная к массе самолета и У; — производные аэроди-
намических моментов крена и рыскания по параметру (•), отнесенные к моментам инерции самолета 1Х и 1У; g — гравитационное ускорение; V — скорость полета; точками сверху обозначены производные по времени.
Динамика исполнительного привода моделировалась апериодическими звеньями:
^н = ИнДТ’нв -|- 1), 8Э = ид1(Тэ8 -Ь 1),
где 5 = Та, Тэ — постоянные времени, ин, иэ — демпфирующие
сигналы СУУ. Законы формирования ин, иэ заимствованы из работы [7]:
мн КК ^ф)| ®у/( ^*ф ^ “I- 1)? 0)^,.
Здесь Шф — промежуточная переменная, получаемая фильтрацией а>у, Тф — постоянная времени фильтра, Кьп, Кь9, Кф — передаточные коэффициенты.
Данные по номинальным значениям аэродинамических характеристик так же заимствованы из [7]. Полная информация о численных значениях использованных в расчетах данных приведена в таблице.
В качестве возмущения рассматривалась атмосферная турбулентность, приводящая к дополнительному отклонению набегающего воздушного потока на угол Д|3. Использовалась модель атмосферной турбулентности Драйдена [8] с параметрами: масштаб турбулентности 300 м, среднеквадратичное значение поперечных составляющих ветровых пульсаций 1,2 м/с. В качестве критерия эффективности демпфирования возмущенного движения самолета использовалась масштабированная величина дисперсий угла скольжения Ур = 104 Очевидно, отклонения аэродинамических коэффициентов относительно своих номиналов могут заметно повлиять на величину критерия Ур поэтому практический интерес представляют оценки экстремальных значений этого критерия, дающие пределы возможного изменения эффективности демпфирования. В проведенных расчетах использовалась модель отклонений аэродинамических коэффициентов в виде нормально-распределенных случайных величин, не коррелированных между собой и имеющих среднеквадратичные значения на уровне 10% от номиналов.
Фактор 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Характеристика СО М/, с-1 их >0) и М/, с-1 —3 Мх, с 3 МЬ/, С-2 Л#, с-2 с-1 с-1 Щ, с"3 Му», с-2 Л^э, с 3
Номинал -0,534 -0,416 -2,133 —0,321 -2,441 0,051 —0,187 -1,017 -0,750 —0,342
Продолжение табл.
Фактор 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Характеристика «*• С_1 —(П С У г с-» g|V, с-1 Т3, с 7н> с Уф. с Кф, с ч-с Ч-с
Номинал -0,111 -0,005 -0,021 0,159 0,1 0.1 4,0 1-° 1.0 0,2
Так как рассматриваемые уравнения бокового движения самолета с СУУ линейны, то значение о| при фиксированных аэродинамических коэффициентах оказалось удобно вычислять путем интегрирования квадрата импульсной переходной функции представляющей
собой реакцию самолета с СУУ по углу скольжения на единичный импульс, подаваемый на вход формирующего турбулентные пульсации фильтра [8]. Для определения функции /?р(Л уравнения движения интегрировались численно на интервале времени Г = 250 с, достаточном для затухания переходных процессов после подачи импульса.
С целью имитации влияния ошибок в экспериментальных данных применялся еще ОДИН способ вычисления <з2, основанный на численном моделировании возмущенного движения самолета с формированием случайного процесса Д(3(0 путем пропускания белого шума через соответствующий фильтр [8]. Моделирование выполнялось на том же интервале Т, что и в первом способе вычисления. Но в отличии от первого, в данном случае можно получить только оценку величины а*, а не точное ее значение. Для вычисления оценки использовались формулы
т т
з=-И<р-р)ал, р=-НрЛ-
1 о 1 о
Отличие о3 от ор в рассматриваемом случае, когда р(0 —стационарный случайный процесс, обусловливается конечностью интервала наблюдения Т. При вычислении по различным выборкам процесса Р(0 одной и той же длительности имеет место разброс этих оценок, который имитирует шумы в измерениях критерия. Наглядное представление о возможных разбросах оценки при статистическом моделировании дает рис. 1, на котором отмечены значения Ур в зависимости от номера эксперимента Ь. На рис. 1 показана так же усредненная оцен-
П
ка = —2Л(<>- С целью снижения дальнейших вычислительных затрат
^ г = 1
число анализируемых аэродинамических коэффициентов с разбросом было уменьшено за счет исключения тех из них, которые слабо влияют на критерий эффективности. На рис. 2 показаны диапазоны относительного изменения критерия /р, вычисленные по методу импульсной реакции, путем задания отклонений аэродинамических коэффициентов на уровнях ±5% и ±10% относительно своих номиналов. Из этих данных
следует, что наиболее заметные изменения критерия эффективности вызывают отклонения параметров М*/, Мх, М°э, Му, М°и, с\ (по нумерации, принятой в таблице исходных номиналов — это факторы 1, 3,
5, 8, 9, 11). В дальнейших расчетах эти коэффициенты варьировались, а остальные зафиксированы на уровне своих номиналов.
При построении квадратичной модели критерия /р, являющейся функцией отклонений шести аэродинамических коэффициентов, требуется определить 28 неизвестных коэффициентов модели. Эта задача решалась в двух постановках — без учета возможных шумов в измерениях критерия и с учетом таких шумов. В первом случае измерению были доступны истинные значения критерия, определяемые по методу импульсной реакции. Во втором случае полагалось, что истинные значения критерия неизвестны и вместо них использовались оценки, полученные по результатам численного моделирования случайных процессов, описывающих возмущенное движение самолета. Причем, для повышения достоверности оценок проводилось многократное повторение экспериментов с последующим усреднением результатов. При задании узлов аппроксимации использовалось несколько планов эксперимента [6]: план Бокса — Хантера (53 точки), трехуровневый план Бокса — Бенкена (54 точки), план Хартли (29 точек), равномерный план До-лерта (43 точки).
Процедура отыскания экстремумов критерия эффективности в области рассеивания заданной вероятности р заключалась в следующем. Вначале строилась модель критерия одним из указанных способов с применением того или иного плана. Затем проводился поиск минимума и максимума полученной квадратичной модели в эллипсоидальной области, задаваемой величиной р. В целях сравнительного анализа проводился также поиск истинных экстремальных значений критерия в той же области.
Рассмотрим некоторые результаты, которые следуют из проделанных вычислений. Прежде всего выяснилось, что точность оценок экстремумов критерия эффективности в экспериментах без имитации шумов для всех использованных планов примерно одинакова. При наличии шумов в экспериментальных данных возникает заметная нестабильность результатов. Увеличение числа повторных моделирований позволяет уменьшить эти разбросы. На рис. 3 показаны оценки экстремумов квадратичных моделей критерия, полученных при наличии шумов, с применением разных планов и с последовательным увеличением числа повторов численного моделирования Ь для области рассеивания аэродинамических коэффициентов с р = 0,999. Как видно из графиков, стабилизация результатов достигается уже при Ь~Ь+7. В худшую сторо-
/Г
тах /р р%Ш тспТ.
£Г
Рис. 3. Оценки экстремумов квад ратичных моделей:
□ —план Бокса—Хантера;
Д —план Бокса—Бенкена;
О —план Долерта;
X —план Хантера
ну по разбросам оценок, отличается план Хартли. Данный результат не противоречит известным теоретическим положениям [6], по которым этот несимметричный план по своим статистическим свойствам хуже других рассмотренных планов.
Сопоставление экстремумов моделей с истинными значениями экстремумов критерия (см. рис. 3) показывает, что квадратичные модели дают смещенный результат. Наличие смещения объясняется тем, Рис. 4. Оценки экстремумов критерия и его что моделируемая зависимость
моделей: отличается от квадратичной и,
О—модель, эксперименты с шумами; #—критерий, ______ _ ___
эксперименты с шумами;-—-----модель, экспери- ТЗКИМ ОбрЗЗОМ, ТОЧНО ЗППрОК-
менты без шумов; -------критерий, эксперименты сИМИрОВаТЬ ЭТУ ЗаВИСИМОСТЬ ВО
без шумов;--------истинные экстремумы критерия; » *
......—критерий, модифицированная СУУ, экспери- ВС6И ООЛЗСТИ раССвИВаНИЯ Н6
менты без шумов удается. Данное положение
подтверждается наличием аналогичного смещения и в экспериментах без имитации шумов.
Чтобы повысить точность оценок экстремумов, было решено определять
с помощью моделей только лишь координаты экстремумов, а в качестве искомых минимума и максимума принимать значения истинной зависимости, вычисляемые по найденным координатам. В экспериментах
с имитацией шумов вместо истинных значений критерия при таком подходе используются усредненные по результатам повторных моделирований оценки критерия. Соответствующие результаты расчетов, выполненных для различных вероятностей р, представлены на рис. 4. Эти данные получены с использованием равномерного плана Долерта. Если в экспериментах учитывался шум, то проводилось по 10 повторных моделирований в каждой точке плана. Из приведенных результатов видно, что использование модели только для оценки координат экстремума действительно повышает точность оценок значений самих экстремумов.
Рассмотрим задачу снижения чувствительности критерия Ур к возможным отклонениям аэродинамических характеристик. Один из способов ее решения заключается в снижении величины шах Л путем соответствующей подстройки коэффициентов СУУ. Приближенное решение можно получить следующим образом. Будем для определенности полагать, что допустимые изменения коэффициентов СУУ принадлежат эллипсоидальной области. В этой области для функции шах Ур, зависящей от коэффициентов СУУ, построим квадратичную модель. Затем определим точку минимума модели и примем эту точку за приближенное решение минимаксной задачи. На рис. 4 показан график экстремальных значений критерия в зависимости от вероятности р, полученный оптимизацией СУУ по коэффициентам Кь и /Ср . При решении минимаксной задачи область варьирования коэффициентов задавалась ограничением ( ^/^н)2 + (АКд2 < 0,37)2. а область рассеивания аэродинамических характеристик соответствовала вероятности р = 0,999. Узлы аппроксимации при построении модели функции тахУр(Д/(гн, Д^С8Э)
задавались по равномерным планам. Достигнутое уменьшение величины max Ур и снижение разницы между max Ур и min Ур свидетельствуют о наличии резервов повышения робастности исходной СУУ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gamble J. D., Cooke D. R. е t a 1. The development and application of aerodynamic uncertainties and flight test verification for the Space Shuttle Orbiter. — Space Shuttle Technical Conference, 1985, NASA CP-2342.
2. Хартман К., Ледкий Э., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. — М.: Мир, 1977.
3. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем автоматического управления. — JL: Энергия, 1969.
4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Физматгиз,
1961,
5. Уилкинсон Дж., Р а й н ш К. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра.— М.: Машиностроение, 1976.
'6. Таблицы планов эксперимента для факторных и полиномиальных моделей. (Справочное издание под ред. Налимова В. В.)—М.: Металлургия, 1982.
7. Herrera A., Paduno J., Do win a D. Sensitivity analysis of automatic flight control systems using, singular—value concepts.—J. Guidance, vol. 9, 1986, pp. 621—626.
8. Доброленский Ю. П. Динамика полета в неспокойной атмосфере.— М.: Машиностроение, 1969.
Рукопись поступила 1/XIJ 1988 г.
