Оценка погрешностей определения аэродинамических коэффициентов при обработке результатов эксперимента с вынужденными колебаниями модели самолета в аэродинамической трубе Текст научной статьи по специальности «Физика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ________________

Том XXVI 199 5 №1-2

УДК 629.735.33.018.4:533.6.013.42 533.6.071.088.3

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА С ВЫНУЖДЕННЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ МОДЕЛИ САМОЛЕТА В АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЕ

Ю. А. Виноградов

Проводится исследование погрешностей амплитуд и фаз, получаемых при разложении экспериментальных зависимостей в гармонический ряд с помощью быстрого преобразования Фурье.

Предложены алгоритмы по оценке разброса аэродинамических характеристик, рассчитываемых по данным одной экспериментальной реализации при условии, что ошибки измерения представляют собой дискретный белый шум.

Дано сравнение этих оценок с разбросами аэродинамических характеристик, полученных в результате многократных испытаний в аэродинамической трубе.

Для обработки результатов испытаний моделей самолетов на динамических установках вынужденных колебаний в аэродинамических трубах в настоящее время в основном используется метод гармонического анализа [1]. Определение аэродинамических характеристик моделей самолетов при обработке данных испытаний с помощью гармонического анализа основано на разложении экспериментальных временных зависимостей в ряд Фурье и использовании полученных при этом значений амплитуд и фаз для вычисления аэродинамических сил и моментов по известным соотношениям.

Широкое использование метода гармонического анализа для обработки данных эксперимента требует анализа погрешностей этого метода в зависимости от условий проведения эксперимента, условий обработки данных испытаний и исследования влияния этих погрешностей на точность определения аэродинамических характеристик.

1. Анализ погрешностей измерений суммарных аэродинамических и инерционных сил, моментов и углов отклонений модели. На измеренные значения углов отклонения модели, а также сил и моментов, действующих на модель, как правило, наложены высокочастотные помехи (шумы). Природа этих шумов может быть обусловлена, например, упругими колебаниями державки, тензовесов и элементов конструкции динамической установки, электромагнитными наводками в каналах связи и другими причинами. Точность оценок аэродинамических характеристик при обработке данных эксперимента зависит от интенсивности шумов, от закона распределения шумов и от спектральных характеристик шумов.

Для определения закона распределения шумов были использованы критерии согласия, которые позволяют оценить вероятность того, что полученная выборка не противоречит сделанному предположению о типе закона распределения рассматриваемой случайной величины. Для этого выбирается некоторая величина эе, являющаяся мерой расхождения статистического и теоретического законов распределения, и определяется значение аеЕ, соответствующее условию Р (ее > гее) = е, где е — достаточно малая величина (уровень значимости), значение которой устанавливается в соответствии с существом задачи. Если мера расхождения еед, полученная на опыте, превосходит аеБ, то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предположение о виде закона распределения должно быть отвергнуто (вероятность отвергнуть правильное предположение о виде закона распределения в этом случае не больше е). В противном случае при аг9 <, аге отклонение не считается значимым, т. е. данные эксперимента не противоречат сделанному предположению о типе закона распределения.

Для подтверждения гипотезы о нормальном распределении шумов была проведена обработка данных испытаний модели самолета с крылом большого удлинения в продольном движении в аэродинамической трубе Т-103 ЦАГИ на установке ОВП-Ю2Б.

При вынужденных колебаниях с частотой / = 1,7 Гц информация об изменении нормальной силы и продольного момента, которые измерялись с помощью тензовесов, регистрировалась на ЭВМ в течение 32 периодов колебаний, по 64 точки на каждый период колебаний.

Разность между экспериментальной реализацией и гармоническим рядом, составленным из постоянного члена разложения экспериментальной зависимости в ряд Фурье и первой (несущей) гармоники, рассматривалась как шум, наложенный на экспериментальные данные.

Для определения закона распределения случайных шумов Да(/), ДЛ/г(/), ЛУ(0 , наложенных на экспериментальные реализации, диапазон изменения каждой случайной величины разбивался на некоторое количество интервалов (бинов) и находилось число попаданий т1 (/ = = 1, 2, 3, ..., /) случайной величины в каждый отдельный бин. При этом математическое ожидание и дисперсия шума, наложенного на экспериментальную реализацию, определялись по формулам

/ /

X = £х* Л*’ "*2 = Xх»*2 Л*» ст2 =т2-х2,

/=1 ;=1

где х? — значения середин бинов; р* = — — частота попаданий в

* 1 П

данный бин; п — общее количество точек случайной функции, раскладываемой по бинам.

Для оценки гипотезы о согласии распределения случайной функции с законом нормального распределения был использован критерий

где / — число разрядов (бинов), на которые разбиты все опытные значения случайной величины; п — объем выборки; /Я/ — численность /-го разряда; р1 — вероятность попадания случайной величины в /-й интервал, вычисленная для теоретического закона нормального распределения.

При п -> оо закон распределения Хд независимо от вида закона распределения случайной величины стремится к закону %2 — распределения с к = I - г - 1 степенями свободы, где г — число параметров теоретического закона распределения (в нашем случае нормальный закон распределения содержит два неизвестных параметра: математическое ожидание и дисперсию, т. е. г — 2).

Для вычисления теоретических вероятностей р/ попадания отклонений в интервалы (х/, х/+1) использовалась формула

где ц — левая 1раница /-го интервала относительно математического ожидания х в единицах ст:

затабулирована и имеется во многих справочниках [2].

Для оценки закона распределения шумов, наложенных на изменение угла атаки, задаваемого в процессе эксперимента с помощью гармонического задатчика, продольного момента Мг и нормальной силы Г, была осуществлена их выборка для построения гистограмм. Для

Пирсона (критерий х2), опытное значение которого х2 рассчитывается по формуле

Р{ = Ф0 (ъ+1) - Фо (л),

xi - X

Функция распределения

но

№

0,1

Мгс/й

CLtmO

-0,5738 l_

0,5075 X _l_

.Ш z

Рис. 1. Гистограмма относительных частот случайных шумов продольного момента

этого было произведено разбиение диапазона изменения рассматриваемого шума на 50 граничащих друг с другом промежутков (бинов) и подсчитано количество точек, попадающих в каждый бин.

На основании этих расчетов были получены гистограммы относительных частот р = т/п попадания точек функции в каждый отдельный бин. Для примера на рис. 1 приведена гистограмма относительных частот р для продольного момента Mz. Пунктирной линией показано теоретическое для нормального закона распределение вероятности р. Сравнение этих гистограмм с теоретическими для нормального закона распределения вероятностями pt попадания отклонений в интервалы (х/, */+i) показало, что вид гистограмм выборок достаточно близко описывается функцией нормального распределения.

Для подтверждения гипотезы о согласии распределения шумов, наложенных на изменение угла атаки а, продольного момента Мг и нормальной силы Y, с законом нормального распределения использовался критерий %2. Применение этого критерия показало, что выборки Да(/), AMz(t), AY(t), полученные при проведении эксперимента без

потока и в потоке для углов установки модели а<) = 0, 18е, 40°, не противоречат предположению о том, что закон распределения рассматриваемых случайных величин при уровне значимости, равном 0,05, является нормальным.

2. Влияние интенсивностей шумов и условий эксперимента на оценки аэродинамических характеристик. Точность определения аэродинамических характеристик при обработке данных эксперимента с помощью гармонического анализа зависит от количества обрабатываемых периодов, количества экспериментальных точек на одном периоде вынужденных колебаний и интенсивностей шумов, наложенных на измерения аэродинамических сил и моментов.

Оценка разбросов характеристик может быть осуществлена с помощью многократных испытаний модели на одном и том же режиме и

обработки этих испытаний. Такой подход, по-видимому, позволяет получить наилучшие оценки аэродинамических характеристик и их погрешностей, которые необходимы при исследовании динамики самолета и синтезе автоматизированной системы управления. Вместе с тем проведение многократных испытаний резко увеличивает время работы трубы и, следовательно, энергетические и материальные затраты. В этой связи задача оценки погрешностей определения аэродинамических характеристик по той же единственной экспериментальной реализации, по которой осуществляется оценка самих аэродинамических характеристик, является актуальной.

Для оценки аэродинамических производных, например производных продольного момента, обычно используются следующие формулы:

где Ас/и > А6/п ’ фс/п > Фб/п ~ амплитУДЫ и фазы первых гармоник

продольного момента, измеренного при колебаниях модели в потоке трубы М1С/п и без потока — /п, у“ — фаза угла атаки (систематиче-

ская погрешность), не зависящая от выбора начала отсчета времени и обусловленная только особенностями кинематики установки и схемы подключения измерителя угла атаки, которая определяется перед началом эксперимента, /— частота колебаний модели в Гц, д — скоростной напор, £ — площадь крыла, Ьа — средняя аэродинамическая хорда, V — скорость набегающею потока.

Из формул (1), (2) видно, что аэродинамические производные зависят от амплитуд и фаз, измеренных в эксперименте продольного момента и угла атаки, скоростного напора и скорости набегающего потока.

Если считать ошибки измерения этих параметров независимыми, то для оценки погрешностей определения аэродинамических производных можно воспользоваться следующими формулами [3]:

(1)

(2)

м, .м, м, и,

' 3/и“ ' 2 " 3mz " L ' дт* '

Л“/п Ф“/п, 1<‘

dmz M ' ^

&Pr<

dm*

а (/и“* +m“) = V^»

g/я“

a?

где

drnz

i/ * ^ .Af»

4% ^

'9<z

5ф“

c/n

"c/n

41

9</n

'41

dq

Aa

c/n

/

n2

( Ът*1

і/ * ^ M?

ap$ "c/n

ати“г

аг

crK

(4)

Аналогичным образом могут быть оценены погрешности аэродинамических характеристик (с“ - ©2 с“г) и (с“г + с“).

Для расчета погрешностей аэродинамических характеристик по формулам (3) и (4) необходимо иметь оценки погрешностей (стандартные отклонения) амплитуд и фаз продольного момента и угла атаки:

ст .М* > & лч > Мг > ^„.а > .М7 у ло. > АТ» > >

Л *

лс/п

с/п

"г ’ фа, » ’ „“г ’ ф“ :

»с/п фс/п лб/п ^б/п <Рб/п ф6/п

а также стандартные отклонения скоростного напора и скорости потока. су j/í

Стандартные отклонения амплитуд и фаз продольного момента и угла атаки зависят от интенсивности гауссовского шума и от его спектральных характеристик или корреляционных функций. Примем простейшие предположения о том, что ошибки измерения ДМг представляют собой дискретный белый шум (при не очень большом количестве точек на периоде колебаний). Тогда для оценки ошибок в вычислении амплитуд и фаз можно использовать аналитические соотношения или статистическое моделирование.

Процедура статистического моделирования проводилась следующим образом. На ЭВМ рассчитывалась и запоминалась гармоническая функция у (0 = A sin (2nft + ср) на интервале времени заданного количества колебаний и заданного количества дискретных точек на одном периоде колебаний. Далее с помощью стандартной программы накапливалась последовательность независимых случайных чисел, подчиняющаяся нормальному закону распределения со стандартным отклонением а, величина которого составляла заданное количество процентов от величины амплитуды гармонической функции.

Рассчитанные значения гармонической функции складывались со значениями последовательности независимых случайных чисел, и полученная таким образом «зашумленная» гармоническая функция раскладывалась с помощью быстрого преобразования в ряд Фурье и находилось значение амплитуды и фазы несущей гармоники рассматриваемой гармонической функции. Далее эта процедура многократно повторялась. С использованием рассчитанных значений амплитуд и фаз по 100 реализациям находились их математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение:

- 1 * 1 *

»•=1

=

- А)2,

(5)

1 период

2 периода

_ Таким образом были получены результаты расчетов по оценке А, ф, аА, стф для различного количества точек на один период колебаний в зависимости от заданных интенсивностей гауссовского шума.

В качестве примера на рис. 2 приведены оценки аА, стф для разного количества периодов колебаний и 64 точек на один период колебаний.

Как и следовало ожидать, значения аА и а, линейно зависят от интенсивности шума (стщума) и изменяются обратно пропорционально корню из количества периодов.

На рис. 3 приведены оценки <зА, стф для 32 периодов колебаний и раз-

1 период

2 периода

’шума, %

Рис. 2. Средние квадратические погрешности амплитуды и фазы, рассчитанные для разного количества периодов колебаний в зависимости от интенсивности гауссовского шума

50%

20%

ЕЧ Ш Количестбо точек на 1 период

Рис. 3. Средние квадратические погрешности амплитуды и фазы в зависимости от количества точек на один период колебаний и интенсивности шума

ного количества точек на один период колебаний. Результаты, представленные на рис. 2, 3, позволяют при известных значениях интенсивностей шумов определить средние квадратические отклонения амплитуд и фаз сил и моментов, действующих на модель при проведении эксперимента в аэродинамической трубе. Для оценки интенсивностей шумов, возникающих при проведении эксперимента в аэродинамической трубе, можно воспользоваться разностью между измеренной в эксперименте временной зависимостью изменения угла атаки модели, или силы, или момента, действующего на модель, и несущей гармоникой ряда Фурье.

Частные производные в формулах (3) и (4) определяются путем дифференцирования выражений (1) и (2) по амплитудам и фазам несущих гармоник измеренных значений продольного момента тг, угла атаки, скоростного напора, скорости потока и частоты вынужденных колебаний модели самолета, например:

дт*

4%'" К/„>2Л ’

Ч‘ -ч1*) Г_

Количественные значения фаз и амплитуд несущих гармоник для этих соотношений получаются в результате разложения измеренных экспериментальных зависимостей в ряд Фурье. Отметим, что в формулах (3), (4) не учитываются ошибки в частоте колебаний. Эти ошибки могут быть устранены при обработке результатов эксперимента после его проведения. Кроме того, даже при наличии значительных ошибок в задании частоты колебаний (на практике они могут достигать нескольких процентов) суммарные ошибки в оценке характеристик по формулам (1), (2) оказываются небольшими, поскольку ошибки в оценке амплитуд и фаз в потоке и без потока оказываются одинаковыми и компенсируют друг друга.

Указанный вывод подтверждается математическим моделированием эксперимента на ЭВМ: моделировались вынужденные колебания модели самолета с прямоугольным крылом большого удлинения в продольном канале. Аэродинамические характеристики для расчета подъемной силы и продольного момента как функций времени были взяты в виде

Количественные значения номинальных аэродинамических коэффициентов, входящих в формулы (6), были взяты следующими:

суо = -0,092, = 0,00459,

Су = 8 1/рад, /и“ = -2 1/рад,

с“* =6, m“z=-18.

Истинная частота колебаний модели самолета при проведении математического моделирования отличалась от номинальной, которая была равна / = 1,7 Гц, на 10%. Результаты обработки показали, что аэродинамические коэффициенты при столь большом отличии истинной частоты от номинальной на 10%, которая на практике маловероятна, незначительно отличаются от их номинальных значений. Так,

например, расчетные значения (m™z +/я“) и (с“г +с^) отличаются от

номиналов на 3%, а расчетные значения (/и® - а2 -т“г) и (с“ - ю2 с“*) всего на 0,4%.

3. Результаты обработки данных испытаний модели самолета по оценке аэродинамических коэффициентов и их погрешностей. Испытания модели самолета с крылом большого удлинения методом вынужденных колебаний на установке ОВП-Ю2Б проводились на интервале углов атаки осо = 0 — 44° с дискретностью Дао = 2°, частотой колебаний /= 1,7 Гц, амплитудой 3°. При проведении эксперимента сбор информации по углу атаки, силе и моменту осуществлялся в течение 32 периодов колебаний по 64 точки на один период. На каждом значении ао проводились десятикратные испытания.

Средние квадратические отклонения аэродинамических характеристик при обработке десятикратных испытаний для различного количества точек на один период колебаний приведены на рис. 4. Видно, что точность оценок аэродинамических характеристик заметно улучшается при увеличении количества точек на один период колебаний от

6(т^-шгт^г)) 1¡pa3

0,1 -

Рис. 4. Средние квадратические погрешности аэродинамических характеристик по углу атаки для разного количества точек на один период колебаний

16 до 32 и лишь незначительно улучшается при переходе от 32 к 64 точкам на периоде. Это свидетельствует о том, что при малых интерва-

1

лах времени, меньших — периода, предположение о процессе изменения ошибок как о диофетном белом шуме перестает быть справедливым. На рис. 5 приведены оценки средних квадратических погрешностей аэродинамических характеристик продольного момента /иг, полученные по аналитическим соотношениям (3), (4) по одной экспериментальной реализации. Для сравнения на этих рисунках пунктирными линиями приведены оценки средних квадратических погрешностей, полученные в результате обработки многократных испытаний. Из рисунка видно, что аналитические оценки погрешностей больше статистических оценок, полученных по многократным испытаниям. Это отличие также связано с тем, что рассчитанные величины интенсивностей шумов, основанные на гипотезе о дискретном белом шуме, оказываются завышенными. В действительности в экспериментальных реализациях заметно наличие высокочастотных гармонических шумов, вызванных упругими колебаниями модели на державке и тензовесах. В случае обрабоки экспериментальных зависимостей методом гармонического анализа эти высокочастотные составляющие шумов фильтруются и не оказывают существенного влияния на оценки аэродинамических характеристик.

6(т%-а»2и^, 1/рад

0,1

10°

20°

30°

40° ос.

----- оценка

-----многократные испытания

і______________________і

о

10°

20

30

40° ос

Рис. 5. Сравнение средних квадратических погрешностей аэродинамических. характеристик, полученных при обработке многократных испытаний, с погрешностями, полученными по аналитическим соотношениям по одной экспериментальной реализации

Для уменьшения роли высокочастотных гармонических помех целесообразно отфильтровать их из экспериментальных реализаций, что позволит, по-видимому, приблизить значения расчетных средних квадратических отклонений аэродинамических характеристик к статистическим оценкам, полученным по многократным испытаниям.

Для фильтрации экспериментальных данных могут быть использованы цифровые фильтры низких и высоких частот, полосопропускающие и заграждающие фильтры. Однако использование сложных

фильтров требует хорошего знания частотного спектра полезного сигнала и паразитных шумов. Поскольку эта задача является сложной, то для фильтрации экспериментальных данных значительно проще использовать апериодический фильтр вида — - -- .

1 р +1

Анализ экспериментальных переходных процессов показывает, что частота паразитных шумов, обусловленная упругими колебаниями модели, и частота несущей гармоники отличаются приблизительно на порядок. Из этого условия можно выбрать постоянную времени фильтра. Получающееся искажение амплитуды и сдвиг фазы при пропускании экспериментальной реализации через апериодический фильтр могут быть непосредственно учтены в формулах (1) и (2).

Аналогичным образом по одной экспериментальной реализации могут быть получены погрешности оценок аэродинамических характеристик и для других сил и моментов: су, cz, тх, ту.

ЛИТЕРАТУРА

1. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.—

М.: Мир.— 1982 / Перевод с английского.

2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике.— М.: Наука,— 1986.

3. Тейлор Дж.. Введение в теорию ошибок.— М.: Мир.—1985 / Перевод с английского.

Рукопись поступила З/Ш 1994 г.