CC BY
73
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ_________________
Том XXVI 199 5 №1-2
УДК 629.735.33.015.017,26/.27
ВЫБОР ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЕМПФИРОВАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Ю. А. Виноградов, В. А. Ярошевский
Предлагается новая форма представления аэродинамических характеристик демпфирования, которая облегчает использование экспериментальных данных, полученных в аэродинамической трубе, в расчетных исследованиях. Показана возможность получения этих характеристик по результатам испытаний модели летательного аппарата в аэродинамической трубе методом вращения.
Сопоставление вращательных аэродинамических производных, полученных методом вращения, с аналогичными производными, полученными методом вынужденных колебаний, указывает на их хорошее совпадение при малых углах атаки.
1. Формальная трактовка сил и моментов Магнуса. Силы и моменты, действующие на летательный аппарат, совершающий полет в неподвижной воздушной среде, можно представить в виде
л-ааН, (1)
где безразмерные коэффициенты С/ и т1 относятся к выбранной системе осей. Здесь для простоты принята одна и та же характерная длина /. Эти коэффициенты принято считать зависящими от некоторой совокупности безразмерных параметров, включая'числа Маха М, Рейнольдса Ле, углы атаки и скольжения аир, безразмерные угловые скорости
аппарата юх = со у, шг. В действительности указанные коэффи-
циенты зависят от всей предыстории движения аппарата, что в первом приближении учитывается введением зависимости аэродинамических
, , _ с/а I ёа ёй
коэффициентов от безразмерных производных — = -— и —.
ёх УсИ ёт
Значения a j,
dx
и — будем считать малыми, поэтому при ах
фиксированных МиЛеи при произвольных значениях аир выражение для коэффициента т1 запишем в виде
3 _
Щ ~ Ща (а, Р) + ^ (а> Р)®У +
1=1
Лх .
(2)
+mj
dx
(а, P)-j- + mfx (а, р)
dx
Ф
dx
и
da
dx
ИЛИ
dp
л
имеют один и тот же
Производные mi 1
порядок и поэтому должны учитываться при исследовании возмущенного углового движения аппарата. Однако при этом нужно с достаточной аккуратностью трактовать смысл указанных производных.
В качестве простейшего примера рассмотрим случай, когда летательный аппарат представляет собой идеальное тело вращения, которое в процессе полета в неподвижной воздушной среде сохраняет неизменной ориентацию оси симметрии и вращается около этой оси с постоянной угловой скоростью сох. При этом вектор скорости V является постоянным, а угол между осью тела и вектором скорости составляет 8. Обозначим связанную с телом систему осей через Oxyz, а систему осей, связанную с плоскостью угла атаки, через Oxyz (рис. 1). Если считать, что в начальный момент времени t = 0 оси Оу и Oz совпадают с осями Оу и Oz, то справедливы соотношения
ту = тр cos v|/ -ь sin ц/. mz = cos vy - m^ sin vj/,
Рис. 1. Скоростная и связанная системы координат
(3)
где
ц> = со* t, tga = tg5 • cos со x t, sin p = sin 5 • sin со x t.
В данном случае, очевидно,
іяг=іяг(5), тх = m“*(5) •©х, niy = т?х (5) ■ а>>
где /?ij(5) является статической моментной характеристикой тела вращения, а производные т^х (8) и п£х (5) определяются вязкостью сре-
X у
ды и исчезают при отсутствии вязкости (Re -» <»). Функции т^(5) и 1я“* (8) являются четными, а функция т(8) является нечетной, т. е.
X у
т?х (8) = -тм5 при малых 8, где Щд является коэффициентом момента Магнуса, который исчезает при отсутствии вязкости. В итоге в данном случае приращение аэродинамического момента mz к статическому моменту mZci, определяемое влиянием вращения тела, описывается
формулой
Amz = -т?х (8) и,,, sin ц/ « Щд ах 8 sin у « Щд ах р (5)
(так как 8 sin vy = р при малых 8). В то же время традиционно исполь-
зуемая для тел вращения формула
- — da.
Amz=m®zaz+m^ ■- + тм-?>а>х (6)
_ п da а—
в данном случае при со. = 0, — = -рсох приводит к выражению
dx
Amz =
«М - mt
откуда следует, что
йа
Щл = ю* +«м. (7)
Поэтому коэффициент тм в традиционно используемой формуле (6) отнюдь не соответствует моменту Магнуса и не исчезает при от-
ёа
сутствии вязкости, поскольку /иА * 0 даже при отсутствии вязкости.
Отметим, что на описанные выше противоречия указывалось ранее в работе [1].
2. Новая форма записи коэффициентов. Представляется более удобным записать коэффициенты т1 (и с/) в несколько иной форме. Очевидно, что каждый из моментов М1 зависит, в первую очередь, от величины скорости (V) и ориентации аппарата относительно этого вектора (а, р), что полностью определяет статический коэффициент щ (а, р).
Во вторую очередь, коэффициент /и, зависит от проекций вектора угловой скорости аппарата на связанные оси и производной вектора ско-
dV „ „ _ ^7
рости ----- в неподвижной воздушной среде. Вектор производной -----------
dt dl
удобно представить в виде проекций на оси скоростной системы координат Оха уа где ось Оха совпадает с направлением вектора скорости V, ось Оуа лежит в плоскости симметрии аппарата, ось дополняет указанные оси до правой тройки:
йУ ёУ - гТ
—— = ——ех„ + О х V -
сН Л а йУ
-----ег +
<Н 0
(IV
—г~ех
Л а
ха еУа ега
0 ПУа пгв
У 0 0
вУа ~УС1Уа е*в
(8)
Здесь П — вектор угловой скорости вращения вектора скорости V относительно неподвижной воздушной среды, еХа , вуа , е1а — единич-
ные орты. Влиянием производной от модуля скорости
йУ
ж
обычно
пренебрегается, за исключением тех случаев, когда рассматриваются летательные аппараты типа дирижаблей, у которых заметное влияние имеют присоединенные массы и моменты инерции.
Более существенное влияние на аэродинамические характеристики (особенно моментные характеристики) могут оказать угловые скорости
0.Уа и определяемые суммами проекций аэродинамических сил,
силы тяги и гравитационных сил на осях 0Уа и 01а :
а
Уа
= Сга^ | /^шрсов^ + о-з)
тУ
тУ
тУ ’
о _ сУа & , ^зш(а + а.3) вУа г° тУ тУ тУ ’
(9)
где
сга - сх совасовр + су втавтр + сг соБр, сУа = Су сова - сх вта,
а3 — угол «заклинения» тяги величиной Р относительно оси х, Суа и — проекции силы тяжести на осях уа и 1а, зависящие от
углов крена, рыскания и тангажа. Очевидно, что в описанной выше ситуации с вращением осесимметричного тела относительно оси х при постоянном векторе скорости V это влияние не проявляется (ПУа = С11а = 0), так же как и при проведении Любых экспериментов в
аэродинамической трубе с моделью, имеющей неподвижный центр масс.
В итоге коэффициенты С/ и /И/ могут быть представлены в виде функций от а, р, тх, ®у,<йг:
_ / _ О, /
П. =-^~,
Уа V а V
, й7 I йУ
и, если это необходимо, -----= —- ——. В случаях, когда относительная
ат у ™
плотность велика (дирижабль), можно было бы учесть и производ-т
ные
с/со.
и
-, что эквивалентно учету матрицы
ёх у2 Л ’ йх 6.x
присоединенных моментов инерции.
Попытаемся сопоставить традиционную и предлагаемую форму представления аэродинамических коэффициентов, рассматривая для примера случай полета с немалыми углами атаки и малыми углами скольжения, когда справедливы соотношения
« <вг - роох сова + рЮу вша - С11а ,
скх <1х
</Р _ _ . тг
— « со V сова + со V вта - £2Г . йх у х Уа
(10)
Запишем приращения коэффициентов аэродинамических моментов Атх, Ату, Атг к статическим коэффициентам в традиционной и предлагаемой форме. В последнем случае производные указанных коэффициентов отметим тильдой:
- - —и
Атх « /и“* (а) со* + т?у (а)юу + т£х (а) — =
с1х
* /й“* (а)соЛ +тху (а) со у + тхУа (а)Пуа,
- - & иа
А ту * Шух (а)©* + т*у (а)соу + /и* (а)^ «
* (а)йх + туу (а)ау + т^Уа (а)ПУа,
- — И -
Атг а т“г (а)в)£ + тр (а)-^- + /и^“* (а)Рсох -*
+ п?™у (а) р<ю у « /я“г (а) со г + гп£1а (а) 0.1а + + пРтх (а)Рюх + (а)Рюу.
(П)
Соотношения (10) и (11) позволяют выразить новые производные аэродинамических коэффициентов через старые:
- со V СО V /4. •
да„* = да * + да“т вша,
*,:к
ар
•гСОи 09 и /4.
тх,у =/”х,у+<уС08а’
= -дал
"*Х,у АС,? ’
йа.
т~*- = т~1 + ,
с/а
даЦ)10* = да^“х -совада_л , гг г
_ _ т[аУ = т[шУ + вша да* ,
.п.
да.
'г0
= -да
Ах
Л
В чем можно усмотреть преимущество новой формы представления моментов?
1. При испытаниях в трубе модели с закрепленным центром масс определяются именно комбинации («комплексы») производных, записанные в правой части соотношений (12), которые при использовании новой формы записи могут непосредственно быть использованы в уравнениях движения. При старой форме записи необходимо вводить какие-либо гипотезы для разделения комбинации производных, на-
Да _
пример производных да“г и даА . Определить производные пи1 можно лишь при проведении очень сложных экспериментов. В плоском случае такой эксперимент должен предусматривать обращение модели в воздушной среде по окружности сдостоянной скоростью.
2. Производные вида пг1а и , которые не могут быть опреде-
К.
лены при традиционных испытаниях модели в трубе, в большинстве случаев не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на характеристики устойчивости, и ими можно пренебречь. На примере плоского движения нетрудно убедиться, что учет этих производных приводит лишь к незначительному изменению статической устойчивости движения. Действительно, если пренебречь влиянием гравитационных сил и силы тяги во втором уравнении (9) и рассмотреть возмущенное движение ЛА с малыми углами атаки, то
а -ага СУаЯ& 03 г ^
да. = да, а + да, • а- _ а + да, г =
г г г даК2 г V
^ а - а ~а>» М./
и х ж а Г' —_____ П х т * —-—
да“ + да а с* — а + да г *■ г Уа 2т) *
Поэтому учет производной т^а эквивалентен приращению производной статического продольного момента т° на величину
Л< = с“ ^ (13)
гЭкв I уа 2т
и не влияет на демпфирование возмущенного движения. Приращение (13) может оказаться существенным лишь для ЛА типа дирижабля.
3. Производная т^°х, которая, как отмечалось выше, в случае тела
вращения исчезает при исчезновении вязкости, в более полной мере соответствует представлению о моменте Магнуса, чем производная пР™х . Так, в [1] отмечается, что при испытаниях в трубе модели конуса с полууглом раствора 10е величина, пропорциональная производной т^а>х, оказалась исчезающе малой.
4. При необходимости исследования движения тела с произволь-
ными углами атаки и скольжения (например, в случае входа в атмосферу неориентированного тела [2]) использовать производную
Да
тр (а, |3) неудобно, поскольку
= ©г - сох сойо^р + со у вша 1§р + (...),
т. е. ^->±оо при р -» ± Вероятно, в этом случае следовало бы
ш 2
йа.
с<ир —
использовать производную типа °х, в то время как при использовании производной т^-а особенностей не возникает.
3. Учет движения воздушной среды. Более сложная картина возникает при анализе движения летательного аппарата в подвижной воздушной среде, например в условиях атмосферной турбулентности. Ограничимся рассмотрением плоского движения и представим себе летательный аппарат, движущийся в горизонтальном направлении с постоянным углом тангажа в поле возрастающего вертикального потока (рис. 2), при этом — = > 0. Если формально исполь-
йЬ
( И'Л
зовать традиционное выражение тг = /и“ I а +— I + Атг, где Атг =
_ йа.
0) 7 — с1(х л * /Ут ^ л
= т 1 ©- + тг* — , то с учетом сог = 0 получим Ат* = т?х — < 0, по-1 1 ах дх
йа
скольку при малых углах атаки почти всегда тр < О (см., например, [3]). В то же время очевидно, что в условиях, когда передняя часть (например, крыло самолета) находится под ббльшим местным
Рис. 2. Движение самолета в поле возрастающего вертикального потока
углом атаки, чем задняя часть (горизонтальное оперение), следует ожидать появления кабрирующего момента Дтг > 0. Это противоречие, конечно, объясняется тем фактом, что приращение момента определяется не угловой скоростью тела в инерциальном пространстве, а угловой скоростью тела относительно неподвижной воздушной среды. Легко видеть, что рассматриваемый случай можно трактовать как прямолинейный полет в поле воздушной среды, вращающейся с угловой
скоростью О = ——- > 0 относительно центра, расположенного на тра-аЬ
ектории (см. рис. 2). Соответственно, угловая скорость тела относительно среды составляет (-П). При этом угловая скорость вращения вектора скорости тела относительно среды (П*в) составляет (-2П),
поскольку сам вектор воздушной скорости (относительно среды) вращается относительно продольной оси тела с угловой скоростью (-Я). Действительно, пусть тело проходит центр вращения при / = /„. Тоща IV= 0 при / = СМЬ = ПУШпри / = /, + Л. Угол поворота вектора
воздушной скорости за время Л составляет
-Ж(*. + Л) + Ж(/,)
«-ОЛ-,
а угловая скорость составляет (-О).
Из сказанного следует, что в условиях изменения скорости среды,
нормальной к направлению полета | —— * 0
соответствующее при-
ращение коэффициента Д/яг составляет
Ьм,
V {Ц
Да ______________
Если учесть, что /й“г = /я“г + т,
Дх
т
= -т.
Да
Дх
(14)
то в традицион-
ных обозначениях то же приращение может быть выражено в виде
( во.''
шг =
-т.
■ т
л
V (И
(15)
Появление слагаемого I - т“г
(-”'0 1
противоречие, обсуждавшееся выше (Дтг < 0 при
данном выражении с/Ж
устраняет
> 0). Если оце-
нить роль второго слагаемого в выражении (14) или (15) при анализе возмущенного движения, то следует учесть, что в моделях Драйдена
или Кармана отношение характерных значений W и
dW
dL
имеет поря-
док масштаба турбулентности X,, поэтому отношение приращений моментов, обусловленных значениями IV и имеет порядок —. Для
dL I
случая полета не очень большого самолета на не очень малой высоте
последнее отношение велико, и влиянием производной
dL ’
по-
видимому, можно пренебречь. Однако на этапе взлета или посадки (малая высота) значение X, уменьшается до 20 — 30 м, тогда роль про-
„ dW „ . ,
изводнои —— может оказаться весомой (особенно при малом запасе dL
статической устойчивости). Наконец, для летательных аппаратов большого размера типа дирижаблей эта роль может оказаться определяющей.
4. Представление характеристик демпфирования, -полученных при испытаниях в аэродинамической трубе. Сопоставление результатов, полученных методом вынужденных колебаний и методом вращений. Выше
уже говорилось о том, что при испытаниях подвижных моделей в аэродинамической трубе, когда центр масс, как правило, не совершает колебаний, значения Пу и £iZa равны нулю,
и поэтому измеряемые производные являются комбинациями значений
'* <• СО* у
<■ П Ж AV
- СО
mz
- СО*
птх,у
Рис. 3. Производные момента рыскания:
- номинальное значение,
-------границы трубки разброса
оооооо метод вращений
метод колебаний
Так, например, на рис. 3, 4 представлены результаты испытаний модели самолета в трубе, выполненные Г. И. Столяровым, В. П. Мамро-вым с использованием метода вынужденных колебаний малой амплитуды. Эти результаты позволяют непосредственно определить зависимость от а производных
- - “у -<5д л,юУ
У ’ У ’ х ,тх И
трубки разбросов этих производных.
cos a.
Для определения зависимостей боковых характеристик rrP , mj* „
*)/ *)/
и т®*? от угла атаки можно использовать метод вращений. В этом *»/
случае предусматривается сочетание прецессионного движения модели относительно вектора скорости с малым нутационным движением: ось вращения наклонена к вектору скорости на малый угол є. Экспериментальные исследования модели того же самолета методом вращений были проведены Ю. А. Виноградовым, М. Г. Гоманом, А. Н. Храбро-вым и Н. Н. Долженко.
Представим вначале коэффициент тх в традиционной форме:
тх - тх0 (“о) + тх (“о) Аа + тх (ао)|г“ + тх (ао)Р +
+ ml(a0)^p + m*x (а0)^ах+т*у (а0)^(йу + (16)
+ /«“*“ (aoJ^co* Да + /я“ув (а0) Да>
где значение Да = а - ао мало. Здесь в соответствии с установившейся практикой представления аэродинамических характеристик самолета
безразмерная угловая скорость шг принята пропорциональной средней аэродинамической хорде Ьа, а безразмерные угловые скорости ох, а у — полуразмаху крыла 1/2. Учет первых трех слагаемых в правой части (16) позволит, как будет показано ниже, оценить' точность результатов. В обычных условиях полета у летательного аппарата с плоскостью симметрии эти слагаемые отсутствуют (если не затрагивать режимов возникновения явления «wing rock»).
Для определения искомых производных измерялись значения тх при вращении модели с постоянной угловой скоростью влево и вправо. Вектор угловой скорости составлял с вектором скорости потока угол е = 2,25', а полуугол конуса, вдоль образующей которого происходило вращение, варьировался от 0 до 55*. При этом если ограничиться небольшими углами атаки, то в процессе вращения модели вправо углы атаки, скольжения и их производные изменялись по следующим законам:
а при вращении модели влево углы атаки и скольжения изменялись по законам:
где ао — установочное значение угла атаки, со = 2цГ — круговая частота, /— частота вращения модели в Гц.
В результате при данном ао коэффициент тх в процессе вращения модели изменяется по закону:
где первые знаки относятся к правому вращению, а вторые знаки — к левому вращению.
Разлагая экспериментальные записи в ряды Фурье или используя метод наименьших квадратов, можно в итоге получить зависимости от угла атаки следующих характеристик:
при этом
а = ад + Аа = ао + є cosco/, а = -sco sin со/ = -соДр Р = Др = є sin со/, р = ею cos со/ = со Да, со* = со cos ад, со у = -со sinao,
(17)
при этом
а = ад + є COS со/, а =-єсо sinco/= соДР, Р = — є sin со/, р = -єсо cosco/ = -соДа, со * = -со cosao, (Dj, = со sinao,
(18)
+
є cosco/ +
(19)
’ а
и а)Уа «»vu •
тУ+т х cosa -ту srna,
(О v (Ov •
т%х cosa - тху sin а.
При этом определить по отдельности характеристики бокового демпфирования т% (а), тхх (а) и тху (а) не удается (то же относится к
характеристикам (а), (а) и т*у (а)). Если использовать предла-
гаемую форму записи, то две последние характеристики из (20) запишем в виде
тхх сова - ШуХ віпа = тхх сова - тху віпа = ф(а),
/я£ + /и“х“ сова - тУа віпа = сова - т*уа віпа = \|/(а).
XX X X X
Обозначив от“* (а) = /(а), т^у (а) = #(а), перепишем эти соотноше-
(21)
х v / j \ х.
ния в виде
/(a)cosa - g(a)sina = ф(а), /'(a)cosa - g'(a)sina = ч/(а),
откуда следует, что
/ (a) = [vj/ (а) - ф' (a)] sin а + ф (a) cos а, 1 g( а) = [vy(a) - ф'(a)] cos а - ф (a) sin а.]
(22)
Аналогичным образом могут быть получены раздельно также производные ТПуХ И ТПуУ .
Для того чтобы раздельно определить производные /й“*(ао),
ш^“х(а0), Я?*’ (а0), при испытаниях по методу вращений необходимо модель самолета устанавливать не только на угол атаки а = ао, но также на некоторый малый угол скольжения р = Ро- В этом случае безразмерные угловые скорости при правом вращении модели составляют:
- / - / . - Ъа
= 27ЮС08а°’ = "гг®8111000’
а углы атаки и скольжения изменяются по законам:
a = a<) + є coscof = <xq + Aa, p = P0 + є sin oo f = Ро + Ap-
Разложим в ряд Тейлора приращение коэффициента продольного момента, пропорциональное угловым скоростям:
. Дтяг = /я“г (а)юг + т^°х (а)рйх + т^>у (а)Р<0}, ,
по углу атаки в окрестности а = ао, Р = Ро и аналогично предыдущему, удерживая нулевую и первую гармоники, получаем
+ т\*х (а0)со8а0 - пР*у (а0)8та0 ^ (ао)^у2- + "г1<°ха (а0)со8а0 - пР*уа (а0)8та0
оаРо +
X Ро ——сое соею/ + и IV
тг
(а0)созао - п?<ау (ао^тао^-т^-юевтсо* = г J 2К
(23)
= ф(ао)-2^юРо + Ч/(а0)-^соР0есо8со/ + х(ао):^сое8тсо/.
Далее, обозначив функции /й“г (а)^у2-, т^х (а), т®<йу (а) через А (а), / (а) и g (а), получим для их определения три зависимости:
Ф = А + / сова - £ вша, V)/ = А' + /'сова - я'вта, Х = /сова-^вта,
(24)
из которых следует, что
Л = ф-х,
/ = (у - ф')зта + ^сова,
# = (у - ф')со8ос - хеша.
(25)
В качестве примера определения производных т“* (а) и т у (а) по данным испытаний модели самолета методом вращений воспользуемся экспериментальными зависимостями ф(а) = сова -
и у (а) = /й“*а сова - т*хуа зта, которые представлены на рис. 5 а, б. Рассчитанное значение производной ф' (а) показано на рис. 5, в. Значения производных тхх (а) и /й“у (а), рассчитанные с использованием соотношений (22), представлены кружками на рис. 4.
Для определения производных туХ (а) и ШуУ (а) использовались экспериментальные зависимости ф(а) = т®* сова - т^у вша и
Рис. 5. Комбинации производных момента крена, полученные методом вращений
у (а) = /й“*а сова - туу(х віпа, которые представлены на рис. 6, а, б. Значение производной ф' (а) представлено на рис. 6, в. Значения производных гНуХ (а) и т™у (а) показаны кружками на рис. 3. Из рис. 3, 4
видно, что производные /я“* , т*у , т™х, т*у , полученные указанным
х х у у
Рис. 6. Комбинации производных момента рыскания, полученные методом вращений
способом при обработке данных испытаний методом вращений на малых углах атаки, хорошо совпадают с этими же производными, полученными в эксперименте методом гармонических колебаний с малой амплитудой.
Практическое использование соотношений (22) наталкивается на трудности дифференцирования экспериментальных данных, имеющих заметные погрешности. Величины этих погрешностей наглядно ха-
<1а
ракгеризуются «паразитными»зависимостями /я“ , т^, т*\, (а),
полученными чисто формальным путем, хотя они и не имеют физического смысла. Эти зависимости, по-видимому, характеризуют ошибки в измерении моментов по нулевым и первым гармоникам периода вращения модели и позволяют построить трубки разброса для истинных зависимостей.
Атх/2ш
-0,25
Ьту/2ф
Рис. 7. Сопоставление коэффициентов момента крена, полученных методом колебаний и методом вращений:
0,25
О
метод вращений,
метод колебаний, границы трубки
Рис. 8. Сопоставление коэффициентов момента рыскания, полученных методом колебаний и методом вращений
Среднее значение квадрата этой ошибки за период вращения составляет
поставлення результатов испытаний по методу вращений и по мето-
Полуширина трубки разбросов результатов, полученных при испытаниях модели с наклонной к вектору скорости осью вращения, соответ-
тов, полученных методом вынужденных гармонических колебаний, соответствует разбросу, полученному при повторных испытаниях. Сопоставление указывает на достаточно хорошую точность определения искомых характеристик при малых углах атаки а < 20°, при больших углах атаки погрешности существенно возрастают (как, впрочем, и погрешности испытаний методом вынужденных гармонических колебаний). Такое уменьшение точности на больших углах атаки может быть обусловлено, с одной стороны, недостаточным совершенством экспериментальной установки, а с другой стороны, возможной неполнотой используемой математической модели для описания зависимости аэродинамических сил и моментов от кинематических параметров модели.
Величина
характеризует разброс полученных оценок. Для со-
ду вынужденных колебаний комбинации сова/й“* - вшат^у и сова гПух - вта т™у были построены функции угла атаки на рис. 7 и 8.
ствует значениям
Ширина трубки разбросов результа-
1. Levy L., Tobak M. Nonlinear aerodynamics of bodies of revolution in free flight // AIAA Paper N 70 — 205.
2. Ярошевский В. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере.— М.: Машиностроение.— 1978.
3. Нильсен Дж. Аэродинамика управляемых снарядов,— М.: Оборон-гиз,— 1962.
Рукопись поступила 3/III1994
