CC BY
84
__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXIX 1998
№ 3—4
УДК 629.735.33.051.83-52
АНАЛИЗ ВОЗМОЖНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРЕДЕЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИИ САМОЛЕТА ПРИ АВТОМАТИЧЕСКОЙ ПОСАДКЕ
В. П. Кузьмин
Приведен анализ зависимости предельных отклонений параметров траектории самолета от коэффициентов усиления в алгоритме управления и параметров номинальной траектории. Рассматривается движение самолета в вертикальной плоскости. Исследуются предельные отклонения вертикальной скорости, угла тангажа и дальности в момент касания самолетом взлетно-посадочной полосы (ВПП). Варьирование параметров в алгоритме управления определяет в пространстве предельных отклонений некоторые области их возможного изменения. В работе определяются границы областей возможных значений предельных отклонений при изменении коэффициентов усиления стандартных контуров управления продольным движением самолета и изменении параметров, определяющих вид номинальной траектории выравнивания.
Важными характеристиками системы автоматической посадки по категории ЗА являются предельные отклонения различных фазовых координат в момент касания взлетно-посадочной полосы [1]. Под предельными понимаются такие значения случайных переменных, вероятность превышения которых равна заданной малой величине Рзад. Так, для случайной величины х ее предельное отклонение х* определяется соотношением Р(х > X*) = Рзад.
Рассматривается движение самолета в вертикальной плоскости на заключительном участке снижения по глиссаде (Ж 100 м) и на участке выравнивания. Представляет интерес оценить предельные отклонения
вертикальной скорости (V*), два предельных отклонения дальности точки касания (Ь*т\„ и 1ах) и два предельных отклонения угла тангажа
(®тш и ^тах)-
Методика определения предельных отклонений основана на решении соответствующих вариационных задач [1]. Для анализа возможных значений предельных отклонений, проводимого в данной работе, необходимо многократно решать такие задачи, поэтому в данной работе рас-
сматривается упрощенная математическая модель автоматической посадки. Принятые упрощения касаются модели самолета, модели возмущений и способа анализа предельных отклонений.
Модель самолета и системы управления задаются таким образом, что конкретному самолету соответствует лишь набор некоторых параметров, характеризующих стандартные контуры управляемого движения. К числу таких параметров относятся, например, быстродействие контура стабилизации нормальной перегрузки, постоянная времени стабилизации заданной высоты и т. д. Параметры, зависящие от коэффициентов усиления в алгоритмах управления продольным движением самолета, варьируются в процессе расчетов предельных отклонений. С другой стороны, ряд параметров, таких, как скорость захода на посадку, коэффициент Пу , а также ряд коэффициентов усиления, которые или мало меняются от одного типа магистрального самолета к другому, либо определяются требованиями, не связанными непосредственно с точностью приземления, в процессе расчетов принимаются фиксированными и равными некоторым характерным для магистральных самолетов значениям.
В качестве возмущений рассматриваются только продольные порывы ветра с увеличенной по сравнению со стандартным значением интенсивностью. Считается, что среднее квадратическое отклонение продольных порывов ветра определяется соотношением
10 м, к„ = 0,22. Случайные компоненты ветра их и и7 являются независимыми нормально распределенными величинами с параметрами
Увеличение коэффициента кдо 0,22 по сравнению со стандартным значением 0,15 ч- 0,18 [1] приближенно соответствует тому, что влияние продольных порывов ветра на точность приземления самолета соизмеримо с влиянием всех остальных возмущений.
Для упрощения анализа предельных отклонений рассматриваются
три функции ОТ предельных отклонений V*, А С = Ь*тах - и
Д9* = _ ^гшп- При этом уменьшается количество анализируемых
функций, а номинальные значения дальности и угла тангажа исключаются из числа влияющих на результат переменных, поскольку эти значения зависят в первую очередь от геометрических параметров траектории захода на посадку и компоновки самолета, а не от алгоритма управления.
Основной целью анализа является определение приемлемых значений предельных отклонений. В данном случае это означает стремление
получить наименьшие значения величин ¥у , Д1* и А9*.
(1)
величина модуля горизонтального ветра на высоте
их = -2,7 м/с, мг=0, аих=о11г= 3,75м/с. (2)
В случае нескольких критериев удобно определять условные экстремумы, т. е. максимальные или минимальные значения одного из критериев при фиксированном значении другого. В данной работе рассматривается максимальное значение предельного отклонения вертикальной скорости Уутах и минимальное значение предельного отклонения угла тангажа А0^]п при различных фиксированных значениях разброса дальности точки касания АЬ*.
1. Алгоритмы управления. Рассматривается алгоритм управления продольным движением самолета при заходе на посадку и выравнивании, заданный в виде
Г\рт|
^а> -г +
Кі
(Пу пу пр)-
, (3)
у У ' р
где Пу пр — прогнозируемое значение нормальной перегрузки, связанное с величиной заданной перегрузки соотношением
п I'2
чяа*'
ПЛ)
Я у зад^
•у пр
р2 + 2 %С1р + О2
Величина заданной перегрузки определяется соотношением
Н-Н^щ
ТН
Если принять, ЧТО XI = Т2 = О И Су « 0 ,; то для постоянной скорости полета передаточную функцию разомкнутого контура стабилизации заданной высоты можно привести к виду ,
^„(р) =
Р + -
Гн
2р1(р1 + 2^Пр + П2)
где
2^л«;-¥;г-мХ:,
о2 = -< - + м*ка^п; - М\Кяпау,
2 8КПупауМ\Куу ■
= --------------- .
у О
(5)
Аэродинамические характеристики самолета определяются параметрами
2^0“0 = 77лу
V
М^, со о = - М^г ~Пу .
При проведении расчетов варьировались параметры О, Ку и 7#.
Другие параметры, определяющие динамические характеристики продольного движения самолета, приняты равными:
іу — 4, = 0,5, со0 ~ 1,0—,
V = 70 м/с; ті = 0,2 с; т2
п.
і, = 0,7; 0,4 с.
Частота О определяет быстродействие контура стабилизации перегрузки, и ее изменение определяется коэффициентами Кы_' и Кп .
Коэффициенты и КПу не могут быть определены исходя только из анализа точности траекторного движения, поскольку их возможные значения существенно определяются устойчивостью движения упругого самолета. Поэтому результаты расчетов для различных значений Я следует рассматривать как условные, т. е. как возможные результаты при условии, что допустимыми являются коэффициенты и К„ ,
необходимые для обеспечения требуемого быстродействия контура стабилизации перегрузки.
Коэффициенты Куу И 7// определяют качество переходных процессов и точность стабилизации траекторных параметров, и считается, что на выбор этих коэффициентов нет дополнительных ограничений.
Третья группа варьируемых параметров связана с номинальной траекторией выравнивания, вид которой определяется зависимостями Уу зад
Щ и НзайЩ:
у зад
- И)г при Ь < £в,
0 при < Ь < Ц,
К02(£-4) т^т.г
—77---------- при Ц< Ь< і2,
{Ь2 - Ц)
-ИЗ 2 при Ц< Ь < Ь2.
(6)
Н
зад
Яв + вг(Ь - 1ъ) -Я*.
при X > Ьв, при Ьъ< Ь < Ьі,
И
ас 2 (А, - Ь)
при Ц < Ь < Ь2, - Нас + Щ[(Ь2 -Ь\)/2 + Ь- 12] при Ь> ІУ2-
(7)
В расчетах варьировались угол наклона асимптоты 02, высота асимптоты #ас и дальность начала выравнивания 1^, значения двух последних параметров определяются величиной номинальной вертикальной скорости в момент касания ВПП и условием непрерывности управляющего сигнала пу зад на номинальной траектории при I = Ьв. Другие параметры, определяющие вид номинальной траектории (6), (7), в расчетах имели следующие значения: угол наклона глиссады 0Г = 2,75°; дальности, определяющие область искривления асимптоты, Ь\ = 400 м,
/,2 = 550 м. При таких значениях Ь\ и 12 изменение угла 02 не меняет вида номинальной траектории и оказывает влияние на движение самолета только на возмущенных траекториях с дальностями точки касания ВПП, значительно превышающими номинальную.
В алгоритме управления (4) используется программный сигнал Апу ном (Ь), требуемый для обеспечения движения по номинальной траектории. Качество отслеживания заданных профилей вертикальной скорости и высоты зависит от коэффициентов усиления, поэтому при изменении коэффициентов усиления предельные отклонения будут изменяться вследствие варьирования как динамических характеристик системы, так и параметров номинальной траектории. Величина программного сигнала подбирается при каждых значениях коэффициентов усиления таким образом, чтобы вид номинальной траектории не изменялся.
Алгоритм управления тягой двигателя задается в виде
р - гй зад _ -Ку \у , (Г-Гзад)! Тур при 1и < 1/р,
0 при Ь > Ьр.
Коэффициент усиления Ку определяется с учетом приближенной
Р т
модели двигателя Ра = — соотношением Ку =—г—, где т —
Тя Р + 1 Ч2уТд
масса самолета, Ра зад — тяга двигателя. В расчетах было принято £р= 110 м, Гд = 2 с, Ту= 10 с, \у= 0,7, что обеспечивает хорошее качество регулирования воздушной скорости и уменьшение скорости полета в процессе выравнивания на величину примерно 3 м/с. Параметры алгоритма стабилизации скорости полета в расчетах не варьировались.
2. Метод определения предельных отклонений. Линеаризованные уравнения возмущенного движения самолета вместе с уравнениями, описывающими алгоритмы управления, могут быть записаны в виде
^ = АЩх + й(/> , (9)
где х — вектор фазовых координат, и> — продольные порывы ветра, А и Ь — матрица и вектор соответствующих размеров.
Необходимо определить предельное отклонение х* одной из фазовых координат в момент касания полосы, например х/. P(Xj > х*) = Рзеа.
Продольные порывы ветра задаются своим каноническим разложением
П
м>(Ц= ^стЧ>тШ,
т=0
где ст — независимые случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями /)от. Координатные функции (рт{1) и дисперсии случайных величин ст определяются соотношениями
О
при Ь <(т-
і п 1 при («-!)<—— <т,
сії
Ап=[1_ехР(-йЬ/Ьп)]^, т = 1,2,...,«, сИ — интервал разбиения дальности. В расчетах было принято <И — 50 м, а„= 1,3 м/с. Величина стн, определяется с учетом случайности составляющих систематического ветра (1), (2) по формуле
При таком способе задания возмущения определение предельного отклонения сведется к решению задачи нелинейного программирования, в которой величина предельного отклонения определяется соотношениями
где Н — высота нижней кромки шасси, а величина Я связана с величиной заданной вероятности соотношением Р{ъ> > /?стш) = Р3ад.
Численная процедура основана на решении задачи квадратичного программирования с ограничениями типа линейных неравенств, к которой может быть сведена задача (10) при фиксированной величине дальности Ьк в момент касания ВПП. Если момент окончания процесса посадки задан, то величина х,• (Ь^, С/, с2, ..., сп) линейно зависит от коэффициентов ст , а условие Н(Ь/с) = 0 может быть заменено системой неравенств. Дальность Ьк определяет момент первого касания самолетом ВПП, поэтому условие #(£*) = 0 может быть заменено на условия типа неравенств:
При численном решении первое из неравенств (11) контролируется в дискретных точках по дальности с интервалом 50 м от начальной дальности до величины конечной дальности и при заданном значении конечной дальности задача квадратичного программирования решается методом Лемке [2]. Решение такой задачи определяет зависимость
П
Н(Ь) > 0 при Ь<Ьь, Н{Ь)< 0 при Ь = Ь/С.
(11)
К{1к,х*). Для определения величины Я, соответствующей заданному предельному отклонению, задача нелинейного программирования решается для нескольких значений Ьк , в результате чего определяется минимальная величина Я(х*) :
Л(х") = т1пЩь^).
Очевидно, что величина конечной дальности варьируется лишь при определении предельных отклонений вертикальной скорости и угла тангажа. Для определения предельного отклонения, соответствующего Лад = Ю-8 (Л ~ 11), описанная выше процедура повторяется для нескольких последовательно увеличивающихся значений х*, в результате чего находится искомое предельное отклонение. , ; .
Формальная сложность описанной процедуры нахождения предельных отклонений определяется стремлением использовать эффективную процедуру численного решения задачи нелинейного программирования методом Лемке, а также необходимостью определения глобального экстремума величины Я(Ьк,х*) по переменной При определении предельных отклонений вертикальной скорости и угла тангажа величина конечной дальности варьируется с интервалом 50 м в широких пределах от -100 м до 1000 м, поскольку в этом случае зависимость К(Ьк,х*) по переменной имеет, как правило, несколько экстремумов.
3. Результаты расчетов. Рассмотрим вначале влияние коэффициента усиления Куу и постоянной времени 7# на различные предельные
отклонения для стандартной траектории экспоненциального выравнивания (02 =0, Уу ном = 0,6 м/с, £ном « 390 м ). Характерные зависимости
предельных отклонений от указанных параметров приведены на рис. 1, 2 для двух значений частоты О. Из приведенных результатов следует, что существуют три характерные области зависимости предельных отклонений от коэффициента Куу. При каждом значении постоянной времени
Те существуют оптимальные значения коэффициента Куу для каждого предельного отклонения, причем эти значения удовлетворяют неравенству КУу (А9^1п) < КУу (У*тах) < Куу (Д^п). Поскольку целью выбора коэффициентов усиления является получение наиболее приемлемых сочетаний предельных отклонений, то диапазон возможных значений К у
ограничен значениями, соответствующими минимуму разброса угла тангажа и минимуму разброса дальности. При увеличении коэффициента Ку в этом диапазоне предельное отклонение дальности монотонно
убывает, предельное отклонение угла тангажа монотонно возрастает и внутри этого диапазона находится максимальное значение предельного отклонения вертикальной скорости. Такой характер кривых означает, что при варьировании только коэффициентов усиления траекторного
П = 1,8 — с
а = 2,4
й,*град
Г,'г -2
-4
-6
О 0,5 1,0 1,5 2,0
-10.
Зя=2с
VI ' 9 -15
1
ЛХГм
О 0,5 1,0 1,5 2,0
1600
1200
800
400
О
I ,9 / Тн= 2с1
О 0,5 1,0 1,5 . 2,0
Рис. 2
контура управления всегда возникает противоречие между стремлением к малым разбросам дальности и к малым разбросам угла тангажа.
Результаты, приведенные на рис. 1, 2, являются исходными для определения зависимостей предельных отклонений вертикальной скорости и угла тангажа от предельного отклонения дальности. Так, при каждом значении параметра Тц существуют два значения коэффициента Ку, соответствующие одному и тому же значению предельного отклонения М\ причем практически во всех рассматриваемых случаях как минимальное значение величины ДЭ*, так и максимальное значение величины V* достигается при меньшем из этих двух значений коэффициента. Данное обстоятельство существенно упрощает анализ предельных отклонений, поскольку в этом случае достаточно определить, например, максимальную величину предельного отклонения вертикальной скорости при заданном разбросе дальности, а затем при найденных коэффициентах усиления определить величину разброса по углу тангажа.
Найденные таким образом зависимости приведены на рис. 3 для различных значений частоты контура стабилизации нормальной перегрузки (Я). Приведенные результаты показывают, что увеличение частоты С2 одновременно с соответствующим выбором коэффициентов Куу и
Тд позволяет значительно изменить предельное отклонение любой из рассматриваемых переменных при фиксированных значениях предельных отклонений других переменных. Как отмечалось ранее, увеличение
частоты Я связано с увеличением коэффициентов усиления Кт и КПу (5), что может оказаться практически невозможным.
Отметим, что для современных магистральных самолетов характерные значения частоты О для режимов автоматической посадки находятся в диапазоне 1,7ч-1,8 м/с. При таких значениях коэффициентов усиления максимальному значению предельного отклонения вертикальной скорости соответствует достаточно большое значение разброса дальности. Этот результат отражает хорошо известный факт — недостаточную точность выдерживания дальности точки касания ВПП для стандартных систем экспоненциального выравнивания; При всех рассмотренных модификациях алгоритмов управления уменьшение предельных отклонений дальности сопровождается увеличением предельных отклонений угла тангажа.
Рассмотрим другие способы увеличения точности автоматической посадки, связанные с изменением формы номинальной траектории. Одним из таких способов является использование криволинейной асимптоты, а именно изменение угла ее наклона 02 при значениях дальности полета, превышающих номинальную дальность точки касания (6), (7). Использование криволинейной асимптоты требует определения заданной высоты как функции дальности дб среза ВПП и, следовательно, измерения этой дальности.
: Возможные значения предельных отклонений для различных зна-
чений угла 02 приведены на рис. 4. Увеличение угла наклона от 0 до 1° позволяет существенно уменьшить разброс дальности точки касания практически без изменения предельного отклонения вертикальной скорости. Дальнейшее увеличение угла наклона асимптоты приводит к резкому увеличению предельного отклонения модуля вертикальной скорости.
При определении предельных отклонений вертикальной скорости возможны два типа экстремальных траекторий — с дальностями, меньшими и большими номинальной. Как отмечалось ранее, искривление
асимптоты влияет на движение са- % -пЛ1
МОЛета ТОЛЬКО ПрИ ДаЛЬНОСТИ, Пре- Д&Гград
вышающей номинальную дальность «
точки касания ВПП, поэтому небольшое искривление асимптоты не и
меняет предельного отклонения вертикальной скорости, если соот- 8
ветствующая экстремальная траек- <
тория имеет малую дальность. Это условие, как правило, выполняется, *>•-£ -з если качество переходных процессов приемлемое. Таким образом, ’
искривление асимптоты с неболь- ,5
шими углами наклона (02 < 0,5°) является эффективным способом -6
уменьшения разброса точки касания по дальности и тем самым уст- 7
ранения одного из основных недостатков стандартных систем экспоненциального выравнивания.
Для существенного уменьшения разбросов по дальности, например для самолетов укороченного взлета и посадки, необходимо увеличивать допустимые значения модуля вертикальной скорости. В данной работе анализируется влияние на точность посадки величины номинальной вертикальной скорости в момент касания ВПП. Соответствующие результаты приведены на рис. 5. Такой способ уменьшения предельных отклонений дальности является более эффективным, чем искривление асимптоты, в том случае, если требуется получить малые значения разброса дальности (ДЬ* < 600 м). Так, за счет искривления асимптоты можно получить величину АЬ* — 500 м при значениях Д&* = 15° и V* = -5 м/с. В то же время за счет изменения номинальной вертикальной скорости значение ДЬ* = 500 м может быть получено при меньших значениях? предельных отклонений угла тангажа и модуля вертикальной скорости (Д9* = 12° и V* = -4,7 м/с).
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кузьмин В. П., Ярошевский В. А. Оценка предельных
отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. — М.: Наука. — 1995. ; ,
2. Реклейтис Т., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. — М.: Мир. — 1986.
3. Кузьмин В. П. Определение коэффициентов в алгоритме управления продольным движением самолета при автоматической посадке с учетом ограниченной эффективности органов управления // Ученые записки ЦАГИ. - 1987. Т. ХУШ, № 4.
Рукопись поступила 22/1111997 г.
