CC BY
24
удк 539.3
с.м. гребенюк, м.1. клименко
Запорiзький нацюнальний ушверситет
ВИЗНАЧЕННЯ ЕФЕКТИВНОГО МОДУЛЯ ПРУЖНОСТ1 КОМПОЗИТУ ПРИ НОРМАЛЬНОМУ РОЗПОД1Л1 МОДУЛ1В ПРУЖНОСТ1 ВОЛОКНА ТА
МАТРИЦ1
У po6omi пропонуеться nidxid до визначення ефективного модуля пружностi для односпрямованого волокнистого композицшного Mamepiany. Композит, що складаеться з iзоmpопноl матриц та iзотропного волокна, моделюеться суцтьним одноpiдним трансверсально^зотропним мamepiaлом. При цьому модyлi пpyжносmi матриц та волокнарозглядаються як випaдковi величини з нормальними законами розподту.
Ключовi слова: композицшний мamepiaл, матриця, волокно, ефективний модуль пpyжносmi, нормальний закон розподыу, умови yзгоджeносmi.
S.M. GREBENYUK, M.I. KLYMENKO
Zaporizhzhya National University
DETERMINATION OF COMPOSITE EFFECTIVE ELASTIC MODULUS UNDER NORMAL ELASTICITY MODULUS DISTRIBUTION OF FIBER AND MATRIX
Annotation
In this paper is determined effective longitudinal modulus of elasticity in the problem of unidirectional composite longitudinal tension under normal elasticity modulus distribution of fiber and matrix.
To determine the effective elastic modulus of the composite is supposed to use the kinematic matching conditions. At the beginning is solved the boundary value problem for the joint axisymmetric deformation of isotropic matrix and isotropic fiber under longitudinal tension. For this purpose is used the basic equations of the theory of elasticity in the cylindrical coordinate system. Found axial and radial displacement and tension are functions of the volume content of fiber in the matrix cell, and the elastic constants of the matrix and the fiber.
It is obtained the solution of appropriate boundary value problem for the composite. Here is a model of composite is a solid homogeneous transversely isotropic cylinder. This solution depends on the effective elastic constants of transversely isotropic material. As the matching conditions for considering the problem of longitudinal tensile homogeneous transversely isotropic composite and joint longitudinal tensile isotropic matrix and isotropic fiber are selected equal conditions of an axial movement under arbitrary value of an axial coordinate. The use of these conditions allowed to determine the effective longitudinal elastic modulus as a function of the elastic constants of the matrix and the fiber, as well as the volume content of the fiber in the composite cell, as well as longitudinal elastic modulus of the matrix and the fiber are normally distributed by random values. Found mathematical expectation of this indicator. Proposed in this paper approach also allows to determine the effective elastic constants for composites having random characteristics with different distribution laws.
Keywords: composite material, matrix, fiber, effective modulus of elasticity, normal distribution, matching conditions
Вступ. Одним з найбшьш розповсюджених метод1в моделювання у мехашщ композицшних матер1ал1в е побудова модел1 композита у вигляд1 суцшьного однорвдного середовища з ефективними пружними сталими, що адекватно ввдображають найб1льш суттев1 мехашчш властивосп матер1алу [1, 2]. Визначення таких сталих для трансверсально-пружних матрищ та волокна з детермшованими геометричними характеристиками дослщжено у [2], де для вюесиметричного деформування композиту побудоваш залежносп ефективних пружних сталих композиту в1д об'емного вм1сту волокон у ньому.
Сучасний стан технологш виробництва композицшних матер1ал1в дозволяе зробити висновки про актуальнють математичного моделювання !х властивостей з врахуванням стохастичносп деяких характеристик композипв. Метою даного дослвдження е визначення залежносп ефективного поздовжнього модуля пружносп композиту в1д пружних сталих матрищ та волокна, що е випадковими величинами, розподшеними за нормальним законом.
Постановка задачi та загальна схема li розв'язання. Об'ектом дослвдження е однонапрямний волокнистий композитний матер1ал з гексагональним розташуванням волокон, причому матриця та волокно вважаються 1зотропними. Модул1 пружносп матрищ та волокна е випадковими величинами, розподшеними за нормальним законом. Потр1бно знайти ефективний поздовжнш модуль пружносп композита при його представленш у вигляд однорвдного трансверсально Изотропного матер1алу.
Елемент волокнистого композицшного матер1алу представимо у вигляд1 комбшацп двох несшнченних 1зотропних цил1ндр1в. Волокно розглядаеться як суцшьний цилшдр з рад1усом a, елементарну гексагональну ком1рку матрищ апроксимуе порожнистий цил1ндр, рад1ус якого дор1внюе b .
Значения b вибирають таким, щоб об'емний BMicT f волокна у гексагональнш комiрцi та цилiндрi був
однаковим. При цьому виконуеться piBHiCTb f = — .
b
Для визначення ефективного поздовжнього модуля пружносп композита потрiбно розв'язати двi крайовi задачi. Спочатку розв'яжемо крайову задачу сумiсного деформування iзотропноl матриц та iзотропного волокна, у результат чого знайдемо компоненти напружено-деформованого стану композиту як функци пружних сталих матерiалiв матрицi та волокна, а також !х об'емно! частки у композит! Потiм розв'яжемо аналогiчну крайову задачу для композиту, представленого у виглад однорiдного трансверсально-пружного матерiалу з неввдомими пружними константами. При цьому отримаемо компоненти напружено-деформованого стану у виглвд функцiй пружних сталих однородного матерiалу, що моделюе композит, тобто ефективних пружних сталих. Ц невiдомi величини визначимо, використовуючи умови узгодженост! Такими умовами, зокрема, е рiвностi компонент вектора перемiщень для вказаних першо! та друго! крайових задач [2].
Визначення ефективного модуля пружносп композиту для поздовжнього розтягу. Знайдемо загальний розв'язок задачi про вюесиметричне деформування неск1нченного iзотропного цилiндра при поздовжньому розтязi у цилiндричнiй системi координат (r ,в, z), тобто знайдемо компоненти
напружено-деформованого стану цього об'екта. До них вщносяться радiальнi (ur (r)) та осьовi (uz (z) ) перемiщення його точок, а також радiальнi (агг), тангенцiальнi (авв ) та осьовi (azz) напруження та вiдповiднi !м деформацп. Осьове напруження a zz е сталим: azz = а0 = const.
Основш спiввiдношення теори пружностi для дано! вюесиметрично! задачi дозволяють отримати наступш вирази для радiального перемiщення ur (r) та компонент напружено-деформованого стану:
Ur (r ) = C1r + ^ ; (1)
r
= dur = C C2 ; (2)
srr =~T = C1 2; (2)
dr r
ur „ C,
£вв= ur- = Ci + c2 ; (3)
r r
E (vs. + Ci +(2K-1) C2 j
(4)
(1"2-)(i + у) ; ( )
E [vs. + Ci +(1 - 2k) C2 j
(5)
(6)
вв (1 - 2к)(1 + v)
З урахуванням цих спiввiдношень та рiвностi azz = а0 , отримуемо вираз для осьово! деформацп szz:
_а0(1 - 2к) (1 + v)- 2vEC1 Szz = E (1 -v) '
Оск1льки szz = const i при цьому u (0) = 0, то осьове перемщення uz (z) мае вигляд:
, ч z а(1 -2v)(1 + v) — 2vEC
uz (z) = \sjz1 = ^-IL_J-L. z . (7)
Враховуючи рiвнiсть (6), вирази для напружень arr та авв запишемо у наступнш формi:
arr = E
C C
C1 C2
E(1 -v) 1 -v r2 (1 + v)
(8)
arr =
°вв = Е
уап
С
С
(9)
Е(1 -у) 1 -к г2 (1 + у)
Таким чином, ми отримали напруження, деформацп та перемiщення у виглядi функцш пружних характеристик матерiалiв та довшьних сталих iнтегрування, що визначаються з крайових умов. Далi ми 1х використаемо для визначення компонент напружено-деформованого стану суцiльного цилiндра (0 < г < а), що моделюе волокно, та порожнистого цилшдра (а<г <Ъ), який моделюе матрицю.
У подалыпих позначеннях будемо використовувати символ " для иозначення величин, що
характеризують волокно, символ - величин, що вщносяться до матрицi.
На поверхш сполучення матрицi з волокном радiальнi перемiщення та напруження е неперервними, осьовi перемiщення при фiксованому г = к спiвпадають. На зовнiшнiй поверхнi цилiндра, що моделюе матрицю, що моделюе матрицю, радiальнi напруження ввдсутт. Отже, маемо кражш умови:
<г (о) = < (а),
(10)
иг(а) = и*(а),
<
<{ъ) = о.
Рад1альш перем1щення потропного волокна (1) з врахуванням р1 вноси иг (()) = () набувають виг ляду и°г (г ) = Сг . Враховуючи цю р1вшсть, з сшввадношень (7), (8) та (9), для волокна отримуемо:
Ч(
-2 СУ
'вв
1 -v
V
Е° га'v
~1 -v V Е'
Е°
1 -у { Е>
г,
С
у Л
-С
Аналогiчно можна записати сшввщношення, що описують напружено-деформований стан матрищ:
и* (г ) = Аг + —, г
1
( * (л * <-1*2^ ^о(1 -у -2у )
1 * 1 -у
- 2 Ау
г,
/
а*г = Е
В
Е* (1 -у")
°вв = Е
* * у
1 -у*
А 1 -у*
г 2 (1 + у * ) В
"7(1+7)
(11) (12)
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
/
Значения сталих А, В та С , а також залежнють \пж осьовими напруженнями сгп та <7^ знайдемо, використавшикрайов1 умови(10). Позначимо = £*(/ —1)(1 — к°), с12 = Е°{/(\ — к*) +1 + к*). ГБсля перетворень отримуемо значения констант А, В та Су наступному виглядг
/У (1-й) о у* ^{\-у) + с1,-с12 .
А = ■
В =
у°а2(\ + у) о а2Е°(\ + у )
1 2 У
(18) (19)
гг
„ м-, v 0 v а, »
С =-2---с>1----—сг*. (20)
dj — d2 Е Е d^ —
3 умови (/г) = ill (/г) знаходимо сшввадношення м1ж <7q та c7q :
cr°0d° = cr^d*, (21)
(/ -1) (l - к - 2v°2 ) - E° (/(l - v* - 2v V*) +1 + v*) d° =----—-jZ^----> (22)
E*(f-\){\-v° -2vV*)-F(/(1-v* -2k*2) + 1 + k*)
d = i • (23)
E
Розглянемо аналогiчну задачу для однорiдного трансверсально Изотропного MaTepiany, що моделюе характеристики композиту. У цьому випадку поле напружень буде визначатися наступними спiввiдношeннями:
CTzz = СТ0 = const. °rr = 0 °вв= 0 CTzr = ^z8 =°гв= 0 • (24)
При цьому умови piвновaги для обох задач повинш спiвпaдaти, тобто виконуеться piвнiсть
па2 сTq + л{Ь2 — a2 jcr,* = nb2cг0, яку можна записати у вигляд!
fal+(l-f)cl=a0. (25)
Враховуючи piвностi (21) та (25), з формул закону Гука для трансверсальноИзотропного мaтepiaлy,
отримуемо вирази для дeфоpмaцiй: srr=--(Г0, £zz =--. Цi piвностi дозволяють визначити
E2 E1
пepeмiщeння ur (r) та uz (z) :
Ur (r^0r + C1 > E2
a„ z
и2 ( г ) = ^ + С2 .
З умов и (0) = 0 та и (0) = 0 випливае, що у виразах для перемiщень = С = 0.
Виберемо умовами узгодження для задачi про поздовжнш розтяг однородного трансверсально-iзотропного композиту та задачi про сумiсний поздовжнш розтяг iзотропних матрицi та волокна умови рiвностi осьових перемiщень для довшьного г = И. Використовуючи щ умови, отримуемо вираз для ефективного поздовжнього модуля пружносп Е композитного матерiалу:
Отримана формула (26) для обчислення ефективного поздовжнього модуля пружносп композиту спiвпадае з аналопчною формулою, отриманою у дослвдженш [2] для випадку трансверсально-iзотропних матрицi та волокна, якщо прийняти матрицю та волокно iзотропними матерiалами.
Технологiчнi процеси виробництва композитних матерiалiв у багатьох випадках обумовлюють випадковий характер окремих параметрiв композитiв. Зокрема, за ввдсутносл системних ввдхилень при застосуванш виробничих технологiй так1 параметри можна розглядати як випадковi величини, що мають нормальний розподiл. Знайдемо математичне сподiвання ефективного поздовжнього модуля пружносп
композита Е1 = Еу(е*за умови, що модул1 пружносп матрищ та волокна е випадковими величинами , розподшеними за нормальним законом. При цьому математичне спод1вання та середне квадратичне вадхилення для Е* вадповадно дор1внюють а] та .V, , для Е° - а2 та я2. Для зручносп перепозначимо випадюш величини Е* через X, Е° - Г. Тод1 нцльшсть розподшу системи випадкових величин (X ,У ) набувае вигляду:
1 { (х-а, )2 (х-а2)2
д(х,у) =-_• ехр _ ^ -у _ 2* . (27)
sxs2
2 s j 2 s 2
Для цього випадку математичне сподiвання ефективного поздовжнього модуля пружностi визначаеться за формулою:
Таким чином, ми отримали формулу для математичне сподiвання ефективного поздовжнього модуля пружносп композитного матерiалу, що дае змогу використовувати цей показник при дослщженш механiчних властивостей композитiв, матриця та волокно яких е iзотропними, а !х модулi пружиостi -нормально розподшеними випадковими величинами.
Висновки. У данiй роботi запропоновано пвдхвд до визначення ефективного поздовжнього модуля пружносп для композицiйного матерiалу, до складу якого входять iзотропнi матриця та волокно, на основi шнематичних умов узгодження. При цьому модулi пружностi матрицi та волокна розглядалися як випадковi величини, розподiленi за нормальним законом. Для визначення ефективного поздовжнього модуля пружносп композиту спочатку розв'язана крайова задача для сумюного деформування iзотропноl матрицi та iзотропного волокна, з яко! визначають складовi напруження та деформаци у виглядi функцiй технiчних пружних сталих матриц та волокна i об'емного вмюту волокна у композитi. Потiм отримано розв'язок ввдповщно! крайово! задачi для композиту, моделлю якого виступае однорвдний траисверсально-iзотропний цилiндр. Використання кiнематичних умов узгодження дозволило визначити ефективний поздовжнш модуль пружностi композиту як функцш випадкових величин - модулiв пружносп матрицi i волокна. Це дало змогу визначити математичне сподiвання даного показника.
Запропонований у роботi шдхвд дозволяе здiйснювати подальшi дослiджения у напрямку визначення ефективних пружних сталих для композипв з характеристиками, що е випадковими величинами при рiзних законах розпод^ цих величин.
1. Класторны М. Точная теория жесткости однонаправленных волокнисто-армированных композитов / М. Класторны, П. Кондерла, Р. Пиекарский. - Механика композитных материалов. - 2009. - Т. 45, № 1. - С.109-144.
2. Гребенюк С.Н. Определение упругих постоянных резинокордного материала при помощи энергетического критерия согласования / С.Н. Гребенюк. - Методи розв'язування прикладних задач мехашки деформiвного твердого тша: збiрник наукових праць. - 2010. - Вип.11. - Дшпропетровськ: Наука i освгга. - С. 79-86.
3. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности: Учебное пособие для студентов вузов [Текст] / В.И. Самуль. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 с.
(28)
Лггература
