CC BY
41
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО МОДУЛЯ УПРУГОСТИ ДЛЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ СЕТКИ
И.К. Архипов, В.И. Абрамова
Рассматривается упругое равновесие регулярной симметричной относительно горизонтальной оси сетевой металлической структуры. Для определения эффективного модуля Юнга при растяжении построена модель, которая заменяет сеть одним стержнем с продольным растяжением. Получены зависимости эффективного модуля такого стержня от геометрических параметров сети, показана анизотропия модуля упругости в зависимости от направления нагружения.
Ключевые слова: эффективный модуль Юнга, регулярная структура композита, металлическая сеть из регулярных структур.
Фрагменты регулярной симметрической сетевой конструкции, составленной из стержней одинакового поперечного сечения Бь представленной на рис. 1.
Рис. 1. Фрагмент регулярной сетевой конструкции
Учитывая симметрию, выделим представительный элемент, нагруженный продольной силой N2, усилия растяжения в стержнях, составляющих этот элемент, обозначим через N1 (рис. 2). Усилие N определяется растягивающими усилиями с эффективными характеристиками. Это усилие прикладывается к узлу 0 стержневой модели.
Из условия равновесия узла 0 следует:
И2 = 2И1 соб а. (1)
За счет усилия N происходит перемещение узла 0 на А/2
= _А1а = _Ж^. (2)
с^ а ^соб2 а 238
Деформация эффективного стержня длиной l определяется как:
e2
_Al2 _
N
l E\F\ cos2 a
(3)
Рис. 2. Представительный элемент, нагруженный продольной силой N2
Умножим правую и левую часть уравнения (3) на E*F2, где Е* - эффективный модуль Юнга конструкции, F2 _ 2Fi cos a - поперечное сечение эффективного стержня, тогда из (3) имеем:
E*&2 F2
NFE* _ 2N^cos aE*
E1F1 cos2 a EF cos2 a
Учитывая, что левая часть уравнения равна N2, имеем:
N_
2 N1E* Ei cosa
Подставляем в соотношение (5) условие равновесия (1)
2N1 cos a _
Отсюда имеем:
2 N1E* Ei cosa
E 2 2 — _ cos a или E* _E1cos a
Ei 1
(4)
(5)
(6)
Таким образом, эффективный модуль продольной упругости металлической сетки зависит от модуля стержней, составляющих сеть и от угла между этими стержнями. В частности при а = 0, Е* = Е\, 2 ^ = ^2.
Заметим, что при растяжении сети в поперечном направлении, аналогичные выводы приводят к утверждению об анизотропии механических свойств, т.к. эффективный модуль при поперечном растяжении определя-
p
ется из формулы (7), где угол oq , т.е.
E*i = Ei cos2 (p - a) = Ei sin2 a.
(8)
Отношение продольного эффективного модуля к поперечному определяется формулой:
E*ii
E*
1
2
cos a 2
—= ctg a
sin a
(9)
В случае а = 0, конструкция сети преобразуется в один стержень, сечением 2Б1 и модулем продольной упругости Е* = Е1 .
200 ISO 130 170 160 150 140 130 120 110 100 50 SO 70 «0 50 40 JO 20 10 , Е*
\
\ \
\ \
\ \
\ \
\ \
\
\
\ \
0 1 2. 3 3 44 5 71
а
б
Рис. 3. Зависимость продольного модуля упругости для стальной (а) и алюминиевой (б) сети от угла а.ь
На рис. 3 и 4 представлены графические зависимости продольного эффективного модуля упругости для стальной и алюминиевой сети, а также отношение продольного и поперечного модулей в зависимости от угла а.
Построен на сайте votx.ru
Рис. 4. Зависимость отношения продольного и поперечного модулей
от угла а
Заметим, что полученные зависимости для эффективного модуля справедливы лишь для упругих деформаций в стержнях, составляющих сеть. Из условия равновесия (1) получим:
^ а р = А- = , (10)
пр 2 N. 2&1.Е1 к '
где ¥1 - площадь поперечного сечения стержня, аТ - предел текучести на растяжение материала, И2 - заданная продольная нагрузка в эксперименте по растяжению сети. Полученное по формуле (10) предельное значение апр ограничивает диапазон изменения углов в конструкции сети, при которых в стержнях имеются только упругие деформации. Таким образом, при N
а>апр = агс^—— зависимость Е* = f не является корректной и следует ограничить интервал значений а в конструкции модели.
Список литературы
1. Прочность, устойчивость, колебания: справочник. М: Машиностроение, 1968. 831с.
Архипов Игорь Константинович, д-р техн. наук, проф., gwozdew.alexandr2013@yandex.ru, Россия, Тула, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова. Тульский филиал,
Абрамова Влада Игоревна, канд. техн. наук, доц., gwozdew.alexandr2013@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н.Толстого
DETERMINA TION OF EFFECTIVE MOD UL US OF ELASTICITY FOR METAL MESH
I.K. Arkhipov, V.I. Abramova
We consider the elastic equilibrium of a regular symmetrical about the horizontal axis of the metal network structure. To determine the effective young's modulus in tension of the model, which replaces the network with one rod with a longitudinal tension. The obtained dependence of the effective modulus of such a core from the geometric parameters of the network shown anisotropy of the elastic modulus depending on the direction of loading.
Key words: effective Young's modulus, regular composite structure, a metal network of regular structures.
Arkhipov Igor Konstantinovich, doctor of technical science, professor, gwoz-dew.alexandr2013@yandex.ru, Russia, Tula, Plekhanov Russian University of Economics. Tula branch,
Abramova Vlada Igorevna, candidate of technical science, docent, gwoz-dew. alexandr2 013@yandex. ru, Russia, Tula, Tula Leo Tolstoy State Pedagogical University
УДК 681.513
ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО КРИТЕРИЯМ ТОЧНОСТИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
М.Е. Прокофьев, Б.В. Сухинин, В.В. Сурков
Рассматривается ««физический» подход к решению задачи точности на основе функций переключения. Показывается, что для нелинейных систем оптимальное по точности управление в общем случае состоит из n интервалов управлений, которые могут быть найдены один за другим по мере сжатия - расширения фазового пространства в процессе функционирования системы.
Ключевые слова: аналитическое конструирование оптимальных по точности регуляторов, количество интервалов управлений.
Достаточно большой класс электромеханических объектов (например, промышленно-выпускаемые частотно-регулируемые асинхронные электроприводы с короткозамкнутым ротором с векторным или скалярным управлением, синхронные электроприводы) с достаточной точностью можно описать обыкновенным векторным нелинейным дифференциальным уравнением возмущенного движения (по терминологии А.М. Ляпунова):
DX = A(DX) + B(DX) • u (t), (1)
242
