CC BY
744
УДК 539.3
Тензор модулей упругости, матрица силовых постоянных и наноразмерные структуры
М.А. Журавков, В.И. Репченков, Ю.Е. Нагорный, А.В. Оковитый
Белорусский государственный университет, Минск, 220030, Республика Беларусь
Обсуждается проблема связи интегральных упругих характеристик наноразмерных структур с силовыми постоянными межатомных связей. Показана эффективность применения метода конечных элементов к моделированию механического поведения систем связанных атомов. Приведены примеры расчета в рамках дискретной модели упругих модулей при растяжении и изгибе линейной цепочки связанных атомов: модуля Юнга, коэффициента Пуассона и модуля сдвига для графена в рамках поля центральных сил и валентно-силового поля. Также для графена рассчитаны вклады в упругие модули невалентных связей. Для углеродной нанотрубки вычислены упругие модули при разных схемах нагружения.
Ключевые слова: модули упругости, силовые постоянные, наноразмерные структуры, матрица жесткости, упругий отрезок, упругий угол, поле центральных сил, валентно-силовое поле, общее гармоническое поле, напряженно-деформируемое состояние, графен,нанотрубки
Elastic modulus tensor, force constant matrix and nanodimensional structures
M.A. Zhuravkov, V.I. Repchenkov, Yu.E. Nagornyi, and A.V. Okovityi
Belornsian State University, Minsk, 220030, Belarus
This paper discusses the relationship between integral elastic characteristics of nanodimensional structures and force constants of interatomic bonds. It is shown that the finite element method can be effectively applied to model the mechanical behavior of bound atomic systems. A discrete model is used to calculate elastic moduli under tension and bending of a linear chain of bound atoms; Young's modulus, Poisson's ratio and shear modulus for graphene are calculated using a central force field and valence force field. The contribution of non-valence bonds to elastic moduli is calculated for graphene. Elastic moduli are calculated for a carbon nanotube under different loading conditions.
Keywords: elastic moduli, force constants, nanodimensional structures, stiffness matrix, elastic segment, elastic angle, central force field, valence force field, general harmonic field, stress-strain state, graphene, nanotubes
1. Введение
Линейная теория упругости опирается на закон Гука в дифференциальной форме:
СТйт = СШтЕ1т , С1)
который связывает напряжения и малые деформации г1т в сплошной среде, находящейся в твердом агрегатном состоянии [1]. Набор величин г1т, из которых шесть независимы, представляет собой относительные изменения длин ребер и плоских углов граней бесконечно малого элементарного объема в виде прямоугольного параллелепипеда, ориентированного по осям координат. Объем этот достаточно мал в математическом смысле, так что в нем деформации и напряжения по-
стоянны, но достаточно велик в физическом, чтобы содержать большое количество частиц — атомов или молекул. Взаимодействие между частицами, которое принято считать близкодействующим, является причиной появления в материале внутренних сил при деформировании и проявляется в виде напряжений. Они действуют вдоль нормалей и по касательным к граням выделенного параллелепипеда. В целом составляющие напряжений образуют уравновешенную систему сил, причем линейно независимых среди них также шесть.
Упругие свойства вещества в этой модели характеризуются тензором модулей упругости СШт, максимальное количество независимых компонент которого равно 21. Для среды, обладающей симметрией, это
© Журавков М.А., Репченков В.И., Нагорный Ю.Е., Оковитый A.B., 2015
число меньше. В предельном случае изотропии остаются всего два параметра — модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V, которые характеризуют жесткость материала в направлениях вдоль и поперек действия сил. Модуль сдвига G оказывается зависимой величиной и выражается через Е и V. Параметры можно определить в экспериментах по растяжению-сжатию прямолинейных стержней, где достигается простое однородное напряженно-деформированное состояние.
Соотношение (1) в декартовой системе координат может быть переписано по-другому, если использовать относительные удлинения ребер элементарного объема ех, еу, ег и изменения прямых углов граней у , ухг, ууг, а также нормальные ах, ау, аг и касательные тху > тх2, V напряжения [2]: 1 ,
ех = — (ах -Vухау ^г +
Ехх
+ Пуг,хТуг + Пгх,хТхг + Пху,хТху)' 1
еу = — ("Vху ах +ау -Vгуаг +
Еуу
+ Пуг, у Туг + Пгх, у Тхг + Пху, у Тху )' 1
ег = — ("Vх2ах -Vу2ау + аг +
Егг
+ Пуг,г Туг + Пгх,г Тхг + Пху,2 Тху
1 (2)
У уг = —(Пх, уг а х +П у, ^ а у +Л2, у2а г +
+ Т + Ц т+ц т ),
ух г^гх,угхг ^ху,уг ху п 1
Ухг =— (Пх,гхах +Пу,2х°у + П)2*а2 +
+ Цуг,гх Туг + Тхг + Цху, гх Тху 1
Уху =— (Лх,хуах +Пу,хуау + П ,ху а2 + Ьху
+ ц т +ц Т + Т ).
г"уг,ху уг г^гх, хухг ху у
Отсюда видно, что вклады в каждый из видов деформаций дают все типы напряжений. Упругие модули Ей, связывают деформации и напряжения с одинаковыми индексами. Остальные постоянные — коэффициенты Пуассона , коэффициенты Ченцова ц^., т, коэффициенты влияния первого рода Пт, коэффициенты влияния второго рода пгй — характеризуют относительные вклады в деформации других составляющих напряжений.
Если ввести векторы-столбцы е т = [е хе у е г у у у ^ у уг ]
и аТ = [ахауагТхуТхгТуг ] формулу (1) можно записать
в конечно-элементном виде:
а = [ D (3)
где [О] — матрица упругости, содержащая 36 элементов, из которых в силу ее симметричности независимых 21.
В рамках стандартной схемы возможны обобщения. Например, поворот грани элементарного объема не сводится к ее перемещению как целого в результате деформаций растяжения-сжатия и сдвига, рассмотренных выше. Таких поворотов вокруг осей координат три, значит, число независимых видов деформаций и напряжений увеличивается до девяти, а упругих постоянных — до 45 [3].
Как указывалось ранее, свойства среды обусловлены особенностями расположения, ориентации и взаимодействия частиц, из которых она состоит. Поэтому глубокое понимание механических, физических и химических процессов, протекающих в компактном веществе, невозможно без исследования и осмысления механизмов взаимодействия между атомами, молекулами и их группами [3, 4].
2. Дискретное моделирование. Метод конечных элементов
Другой подход к описанию механических свойств вещества, традиционно применяемый в квантовой химии [4], теории колебаний молекул [5], физике твердого тела [6], физике кристаллов [3], физике фононов [7], состоит в дискретном моделировании, когда рассмотрение проводится на атомно-молекулярном уровне. Решается классическая задача динамики системы материальных точек, в качестве которых выбираются обладающие большими массами и малыми размерами ядра атомов. При этом движение электронов определяется квантовыми закономерностями. Силы, действующие на ядра, потенциальны и имеют электростатическую природу. Равновесие в системе достигается, когда отталкивание ядер компенсируется их притяжением к внутренним областям с повышенной электронной плотностью [4, 8]. При достаточно малом отклонении системы от положения равновесия, в гармоническом приближении, связь между возникающими силами Р и перемещениями Р может быть записана в виде [9]:
Р = [ К ]Р, (4)
где [К — матрица, называемая в аналитической механике и методе конечных элементов матрицей жесткости, в теории колебаний молекул и в квантовой химии — матрицей потенциальной энергии, или матрицей силовых постоянных.
Эта матрица может быть сформирована в различных системах координат. Как показал опыт, в расчетах, связанных с определением частот колебаний молекулярных систем, и при решении ряда квантово-химических задач удобно использовать обобщенные координаты, которые представляют собой изменения равновесных параметров структуры. В химии к ним относят длины валентных связей между атомами и различные углы — валентные, торсионные, двугранные и т.д. [5, 10].
В методе конечных элементов преимущественно применяются декартовы координаты. Это обусловлено спецификой задач и тем, что в этом случае предельно упрощена трактовка элементов матрицы жесткости. Каждый из них численно равен соответствующей проекции узловой силы на одну из осей, а все вместе элементы столбца (строки) являются уравновешенной системой сил, которая необходима для того, чтобы переместить один из узлов (материальных точек) на единицу длины вдоль соответствующей степени свободы, оставив остальные на месте. Это утверждение следует из уравнения статики (4), выражающего равенство внутренних [К]Р и внешних Р сил, если в него подставлять последовательно векторы перемещений, которые содержат по одному единичному элементу. Например, когда Р = (1, 0, 0, ...,0),
[ K ]P =
" K11 " ' F '
K 21 = F2
_ KN1 _ _ Fn _
(5)
Таким образом, если бы существовала возможность контролировать малые перемещения ядер и силы на субатомном уровне, матрицу жесткости многоатомной равновесной устойчивой структуры можно было бы построить непосредственно по данным эксперимента.
Условия равновесия сил и моментов уменьшают количество независимых силовых постоянных, необходимых для полного описания упругих свойств системы связанных атомов. Можно показать, что для одномерных, двумерных и трехмерных структур формулы подсчета этих величин имеют вид [9]: (N -Щ
N01 =-
No2 = (2N - 3)(N -1),
N03 =
(3N - 6)(3N - 5)
(6)
где N — число атомов в структуре.
3. Матрица жесткости
Математически элементы матрицы жесткости являются вторыми производными функции потенциальной энергии ядер по координатам [4]:
д2и д2и д2и
[ K ] =
д2и
dq2 dq
д 2U дЧпдЧ1
дЧ1дЧп
д 2U дч1
(7)
(0)
вычисленными при равновесных значениях координат qi (п — число степеней свободы системы). Вид самой функции и может быть установлен, например, путем
решения уравнения Шредингера в приближении Борна-Оппенгеймера, когда переменные разделяются и последовательно решаются две задачи — электронная и ядерная. Энергия электронной подсистемы, которая зависит от координат ядер как от параметров, и есть в данном случае функция потенциальной энергии [5]. Поскольку и содержит координаты всех ядер, то в общем случае матрица жесткости является полностью заполненной. Ее можно упростить, если пренебречь некоторыми взаимодействиями в системе. В первую очередь, естественно не учитывать воздействия на выделенный атом удаленных соседей. В квантовой химии принято считать, что характерное расстояние, с которого атомы начинают влиять друг на друга, составляет ~1.0 нм. Следующий рубеж — 0.4 нм, где уже существенны эффекты наложения волновых функций электронных подсистем. При дальнейшем сближении возникает химическая связь с интервалом длин ~0.1-0.2 нм [4].
4. Растяжение линейной цепочки связанных атомов
В качестве первоначальной оценки вкладов в макроскопические параметры среды силовых постоянных, характеризующих связи пар разноудаленных атомов, целесообразно рассмотреть одномерную упругую «среду» — линейную цепочку связанных атомов (рис. 1). Упругая характеристика здесь одна — модуль Юнга. Число силовых постоянных N(N +1)/2, причем независимых, если атомы различны, N(N -1)/2. Это число совпадает с количеством отрезков в системе. Матрица жесткости структуры естественным образом строится из расширенных матриц конечных элементов в виде упругих отрезков:
' N
[ K ]е =
Е k1
i=2
-k21
-k
12
-k
1N
ie{1.
Е
N }\{2}
ki 2
-k
2N
-k
N1
-k
-N 2
N-1
Е k
i=1
iN
(8)
где два индекса у жесткостей обозначают номера взаимодействующих атомов. Механическая модель — упругий отрезок в теории колебаний молекул обычно ставится в соответствие валентной связи [5].
В случае когда атомы цепочки идентичны, а жесткости связей одинаковой длины совпадают, для модуля Юнга можно получить выражение
Е = 4 (¿21 + 4кз1 + 9^41 +... + (N -1)2 кт, (9)
Л
где I — расстояние между соседними узлами; 51 — площадь «поперечного сечения» объекта. Анализ табличных данных, приведенных в [11], позволяет сделать вывод о том, что с определенными оговорками можно считать, что жесткость каждой последующей связи на поря-
1 2 3 N
Рис. 1. Линейная цепочка связанных атомов
док меньше предыдущей. Однако множители перед слагаемыми увеличиваются в квадратичной зависимости, поэтому относительные вклады связей в величину модуля Юнга составляют примерно 40.00, 9.00, 1.60, 0.25 % и т.д. от вклада валентной. Это согласуется с приведенными выше качественными оценками квантовой химии.
5. Прогиб линейной цепочки связанных атомов
На основе рассмотренного выше упругого отрезка невозможно моделировать изгиб линейной цепочки, поскольку, воздействуя на его узел (материальную точку), невозможно удержать элемент от поворота, если к другому узлу приложена поперечная сила. Минимальное число атомов, необходимое для того чтобы структурный элемент мог работать на изгиб, равно трем. В этом случае фиксация двух из них позволяет противостоять поперечной силе, действующей в свободном узле. Естественно, здесь предполагается наличие взаимодействия в тройке соседних атомов. В теории колебаний молекул разработана модель, которая может быть использована для решения задачи об изгибе цепочки. Это упругий угол, в данном случае развернутый. Его матрица жесткости и матрица жесткости всей структуры, если все атомы одинаковы, имеют вид [12]:
1 -2 1
[ K1 = k k
-2 1
4 -2 -2 1
[ K ] = k k
1 -2 1 0 0
-2 5 -4 1 0
1 -4 6 -4 1
0 1 -4 6 -4
0 0 1 -4 6
V6
-4 1
-4 1 5 -2 -2 1
(10)
где к' — силовая постоянная, жесткость упругого угла.
Рассмотрим трехточечный изгиб линейной цепочки под действием приложенной к ее середине сосредоточенной силы Г. Граничные условия на концах — свободное опирание или защемление. В первом случае фиксируется по одному концевому атому, во втором по два. На рис. 2 показаны прогибы конечно-элементной структуры с 33 узлами. По вертикальной оси отложена вели-
чина У- = k'YjF, где Y — смещение атома. Здесь же приведены графики аналитических решений для тонкого стержня с опертыми и заделанными концами [1], показаны кривые Y (Z ) EI/ (Fl3), где E — модуль Юнга; I — момент инерции «поперечного сечения».
Из графиков видно, что численные и аналитические решения очень близки. Приравнивая максимальные прогибы дискретной структуры и стержня, находим модуль Юнга
E =
kl3
(11)
Если проводить аналогию до конца и считать, что растяжение и изгиб атомной цепочки характеризуются одним и тем же упругим модулем, то, приравняв оба значения Ы кЧъ
— =-, (12)
8 1 V ^
можно оценить величину отношения силовых постоянных:
к_ = ±_ к " 2 '
Пусть объект обладает круговым сечением с радиусом г. Тогда момент инерции I = пг4/4, площадь £ = пг2 и 1' 1 / \2
к 16 г7 (14)
(13)
k 4
r l
Параметры г, I сравнимы по величине, следовательно, силовая постоянная, соответствующая поперечной составляющей взаимодействия удаленных атомов, оказывается всего в несколько раз меньше, чем постоянная валентной связи. Однако именно к главным образом отвечает за поперечные деформации в дискретных системах.
6. Связь упругих модулей и силовых постоянных кристаллов с квадратной ячейкой
Перейдем к двумерным структурам. Рассмотрим четырехатомную квадратную ячейку гипотетического
Y[ 200
0
-200 Н -400-600-800 Н
* Цепочка, концы опираются О Цепочка, концы заделаны □ Стержень, концы опираются
♦ Стержень, концы заделаны ^лжщ
н аЛ^ Н
0 ~L0 Г 20 30 Zz
Рис. 2. Графики прогибов молекулярной цепочки и стержня
плоского кристалла. Ее матрицу жесткости как конечного элемента сплошной среды можно сформировать согласно формуле [13]:
[К] = / [В]Т[D][В^Ге, (15)
где матрица градиентов [£] содержит геометрические параметры, матрица упругости [В] — постоянные Е и V, в предположении, что среда изотропна и реализуется плоское напряженное состояние.
С другой стороны, на микроуровне плоская система из четырех атомов характеризуется, согласно (6), 15 независимыми силовыми постоянными. Наличие симметрии снижает это число до четырех [9]. Матрица силовых постоянных в данном случае может быть сформирована как прямая сумма расширенных матриц жесткости шести упругих отрезков (сторон и диагоналей квадрата с жесткостями ^ и k2) и 12 упругих углов величиной 90° и 45° с жесткостями ^ и ^ (рис. 3) [9]. Понятно, что рассмотрение проводится в приближении общего гармонического поля, т.е. учитываются все межатомные связи внутри структурного элемента, как валентные, так и невалентные.
Подвергнем обе модели виртуальным испытаниям на растяжение и сдвиг, решая матричные уравнения
[ К ] Р = Ё (16)
при соответствующих схемах нагружения. По перемещениям узлов дважды вычисляем «экспериментальные» значения
E * =-
Fa
- v* =-
А x
1.2
/Ау.
1.2
G* =
2 F a
S А x
(17)
1.2
где Ё — узловая сила при растяжении; Ё' — узловая сила при сдвиге; а — длина стороны квадрата; А х12 и Ау 2 — смещения узлов по горизонтали и вертикали; 5 = ad — площадь поперечного сечения объекта. Приравнивая результаты, получим Е * = Е = Щ + k2>(^ + 2k4) d(2кх + к2 + 2k4) '
* _ 1. _
v* = v
k^ 2k л
G* = G =
2k1 + k2 + 2k4 ' ko + 4b + 2k,
(18)
d
Основной вклад в величину аналога модуля Юнга, как и следовало ожидать, вносят валентные связи. Другие взаимодействия относительно равноправны, и, хотя их жесткости примерно на порядок меньше валентных связей, в сумме они из-за наличия коэффициентов увеличивают значение Е на величину сравнимую с долей валентных. Прямые углы не деформируются, поэтому постоянная ^ в формулу не входит.
Сложнее обстоит дело с поперечной деформацией. Если считать, что силовые постоянные положительны, т.е. положение равновесия устойчиво по всем координатам, то знак V определяется разностью жесткостей диа-
Рис. 3. Разложение четырехугольного структурного элемента на базисные упругие отрезки и углы
гональных упругих отрезков и упругих углов, составляющих 45°. В зависимости от соотношения между значениями ^ и коэффициент поперечной деформации может быть отрицательным, положительным и равным нулю. Таким образом, поведение обособленной ячейки существенно отличается от поведения макроскопического объема среды, подчиняющейся закону Гука, где 0 0.5. Заметим, что приближение поля центральных сил (k4 = 0) и валентно-силового поля ( ^ = 0) дают противоположные результаты. В последнем случае растяжение приводит к увеличению поперечных размеров.
В выражении для модуля сдвига G отсутствует силовая постоянная валентной связи между атомами Это естественно, поскольку при такой деформации длины отрезков, составляющих границу, остаются неизменными. Вклад в модуль сдвига вносят изменения диагоналей и углов, причем наибольшей, как и следовало ожидать, является доля упругого угла между направленными валентностями.
Обычная связь между Е, V и G имеет место, только если
k3 = l(ki k2)'
(19)
Но даже при этом матрицы жесткости среды и дискретной структуры не совпадают. Поэлементное равенство достигается, когда
^ = 1(2^ - 3^). (20)
Все сказанное остается в силе и для структур, собранных из конечных элементов сплошной среды и четырехатомных фрагментов.
Рис. 4. Схема нагружения
7. Упругие свойства графена в различных приближениях
Рассмотрим поведение еще одной плоской структуры — графена — при нагружении растягивающими и сдвигающими силами (рис. 4). Определим упругие характеристики этого образца. Модуль продольной упругости Е, коэффициент поперечного сжатия V и модуль сдвига ц будем вычислять по формулам
^ Р иу Аих иу О
Е =--—, V = —, ц =—, (21)
8 Аиг их Аиу 8а
где Р = L0 Р0 — суммарная растягивающая сила; L0 — размер структуры по горизонтали в шестиугольных ячейках; О = L0О0 — суммарная касательная сила; 8 — площадь «торцевой» поверхности слоя графена, представляет собой произведение ширины пластинки их на длину межслойной связи в графите, равную 0.34 нм; их, иу — исходные размеры образца; Аих, Аиу — деформации, которые рассчитываются как средние арифметические смещений граничных атомов; а — угол
отклонения от вертикали отрезка, соединяющего середину нижней и верхней стороны образца.
Результаты конечно-элементных расчетов для нано-частиц в приближении поля центральных сил и валентно-силового поля представлены в виде графиков относительно размеров пластинок графена (рис. 5) [14]. Вдоль вертикальной оси откладывается значение соответствующего модуля, вдоль горизонтальных осей — параметры их, иу. Значение жесткости валентного отрезка к = 938 ккал • моль-1 • А-2, валентного угла — k = = 126 ккал •моль-1 •рад-2 [15]. Слева графики для приближения поля центральных сил, справа — для валентно-силового поля. Учитывались связи между атомами в окрестности радиуса, равного длине валентной связи 0.142 нм (рис. 4). Обе схемы энергетически эквивалентны.
При увеличении размера образца от элементарной ячейки до структуры размером их Xиу = 5x16 нм2 модуль продольной упругости (рис. 5, а) намного превышает табличные данные для графита. В первом случае
Рис. 5. Модуль продольной упругости (а), коэффициент поперечного сжатия (б) и модуль сдвига (в)
он монотонно возрастает примерно в два раза: от 0.56 до 1.31 ТПа. Во втором случае диапазон изменения Еменьше: 7.01 -1011 ТПа< Е2 < 7.84 • 1011 ТПа. Зависимость асимптотическая, максимальное значение Е практически достигается при их Xиу = 2X4 нм2.
Коэффициент поперечного сжатия (рис. 5, б) изменяется по-разному. На первом графике он с ростом ширины пластинки уменьшается, возрастание высоты, наоборот, приводит к его увеличению. Пределы изменения — от 0.41 до 0.65. Асимптотическое значение равно ~0.5 и достигается, как и ранее, при их X иу = 2х 4 нм2. Валентно-силовая модель дает значения 0.31 < < 0.42 и иной характер изменения коэффициента Пуассона.
Наиболее существенно размерный эффект проявляется для сдвиговой жесткости (рис. 5, в). С ростом размера частиц в рассмотренном диапазоне модуль сдвига изменяется почти в 800 раз, причем наиболее жесткими являются образцы, форма которых близка к прямоугольнику с отношениями сторон их : иу = 2:1.
Переход к учету связей внутри десятиатомного фрагмента (рис. 4) с отношениями длин /1: /2 : /3:14 :/5: /6 = = 1:73:2:77:3:2л/3 оказывает достаточно сильное влияние на величины упругих характеристик дискретных моделей графена. Добавление в расчетную сетку 45 дополнительных упругих отрезков пяти типов значительно увеличивает жесткость структуры [14].
Рассчитанные относительные добавки к упругим характеристикам в зависимости от величин жесткостей отрезков к, i = 2, ..., 6 представлены на рис. 6, 7. Там же приведены графики, отображающие суммарное воздействие всех новых связей, величины которых меняются одновременно. Верхний предел изменения жест-костей дополнительных упругих отрезков выбран из соображений, приведенных в [8], из анализа табличных данных по бензолу из [11].
Из рис. 6 видно, что максимальное изменение модуля Юнга при включении дополнительной связи может составлять от ~7 % для упругого отрезка с жесткостью к2, до ~25 % в случае включения отрезка с жесткостью к6. Связи второго и третьего типа оказывают почти одинаковое воздействие на величину модуля Юнга. С ростом длины элемента возрастает его влияние на упругий модуль при том же значении жесткости. Когда одновременно включаются все новые элементы, их совокупное воздействие приводит к приросту модуля на ~73 %.
Коэффициент Пуассона при учете дополнительных линейных связей изменяется незначительно. Самое малое приращение, на 1 %, наблюдается, как и для модуля Юнга, при включении самого короткого элемента с жесткостью к2. Максимальное же изменение, порядка 5 %, на этот раз дает уже элемент четвертого типа. В то же время отрезок с к6, который давал максимальное увеличение модуля Юнга, занимает только третье место
Рис. 6. Относительное изменение модуля Юнга
по вкладу в рост коэффициента Пуассона. Кроме того, наблюдается ситуация, когда введение элемента не только не увеличивает коэффициент поперечного сжатия, а, наоборот, приводит к его уменьшению. Это имеет место при включении в схему расчета элемента третьего типа. Одновременное же воздействие всех упругих отрезков приводит к росту коэффициента Пуассона только на 9 %. Это заметно меньше, чем изменение модуля Юнга.
Что касается упругих углов, то поскольку их в десятиатомном фрагменте 360, т.е. почти на порядок больше чем отрезков, а их жесткости, как правило, всего в несколько раз меньше, чем жесткости отрезков, то вклад углов в модули может оказаться сравнимым по величине с вкладом отрезков.
На рис. 8 приведено относительное изменение модуля Юнга и коэффициента Пуассона при учете жесткости угла между отрезками первого и второго типа. Необходимо отметить более значительное влияние учета угловых элементов на коэффициент Пуассона (рис. 8, б).
Подытоживая все сказанное, приходим к выводу, что экспериментально полученное высокое значение для модуля Юнга нанотрубок, равное 3.5 ТПа [16], теоретически вполне допустимо, поскольку валентные связи и межатомные взаимодействия в пределах десятиатомного фрагмента в сумме дают примерно такое же значение.
Рис. 7. Зависимость изменения коэффициента Пуассона от жесткости к-, i = 2, ..6
Рис. 8. Оносительное изменение модуля Юнга (a); зависимость изменения коэффициента Пуассона от жесткости (б)
8. Упругие свойства нанотрубки в различных приближениях
На рис. 9 представлены зависимости модуля Юнга от длины нанотрубки для случая трехточечного изгиба при опирании (кривые 1, 2), защемлении (кривые 3, 4), для растяжения-сжатия (кривые 5, 6) и для равномерного давления на боковую стенку (кривые 7, 8) [17]. Общим является то, что модули монотонно возрастают, стремясь к некоторому асимптотическому значению. Во всех случаях, кроме давления на боковую стенку, приближение поля центральных сил дает более высокие значения для модуля Юнга, чем приближение валентно-силового поля. В рамках одного приближения различие в значениях модулей достигает примерно 5 раз для поля центральных сил и примерно 3 раза для валентно-силового поля в зависимости от способа нагружения.
Особняком стоит схема нагружения, которая заключается в смятии нанотрубки системами сил, которые действуют навстречу друг другу в диаметральной плоскости [18, 19]. Рассчитанный модуль Юнга в этом случае на два порядка меньше, чем приведенные выше.
9. Заключение
Упругое поведение наноразмерных и молекулярных структур полностью определяется матрицей жесткости, сформированной с учетом всех сил межатомных взаимодействий в системе. Количество независимых силовых постоянных (элементов матрицы) N03 в общем случае определяется числом частиц N: (3N - 6)(3N - 5)
Nos =-
(22)
Рис. 9. Зависимость модуля Юнга от длины нанотрубки при различных схемах нагружения: 1 — изгиб, опирание; 2 — изгиб, опирание; 3 — изгиб, защемление; 4 — изгиб, защемление; 5 — растяжение-сжатие; 6 — растяжение-сжатие; 7 — равномерное давление на боковую стенку; 8 — равномерное давление на боковую стенку. Нечетные (сплошные) кривые — приближение поля центральных сил, четные (пунктир) — приближение валентно-силового поля
Описание наноразмерных структур с помощью модулей упругости носит условный характер и допустимо путем сравнения с объектами из сплошной среды с аналогичными формой и размерами и находящимися в подобном напряженно-деформированном состоянии, поскольку значения упругих параметров наносистем в значительной степени зависят как от выбора дискретной модели, так и от схемы нагружения.
Даже в гармоническом приближении учет при моделировании только парных взаимодействий недостаточен, а для ряда задач вообще не может быть получено корректное решение. Необходимо рассматривать взаимодействие в тройках, четверках и т.д. атомов. При этом радиус учета сил межатомных взаимодействий должен быть не менее двух длин валентных связей.
При формировании силовых полей систем связанных атомов в молекулярно-динамических расчетах необходимо удовлетворять не только наборам эмпирических условий конкретного процесса, но также отслеживать выполнение условий равновесия сил и моментов, которые содержатся в гессиане функции потенциальной энергии системы, вычисленном в точке равновесия.
Следует особо отметить тот факт, что наиболее естественное описание механики систем связанных атомов получается при использовании аппарата метода конечных элементов, поскольку структурное изображение системы по существу представляет собой конечно-элементную сетку, узлами которой являются ядра атомов. В дополнение к упругому отрезку и упругому углу необходимо разработать конечные элементы, содержащие четыре, пять и более узлов.
Необходимы дальнейшие исследования и анализ равновесных устойчивых систем связанных атомов с
целью сближения квантово-химических подходов к описанию межатомных взаимодействий и подходов, принятых в аналитической механике и методе конечных элементов. Это позволит сократить количество видов силовых полей, применяемых в молекулярной динамике, и уменьшить число подгоночных параметров.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 7. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. - 248 с.
Landau L.D., LifshitzE.M. Course ofTheoretical Physics. V. 7. Theory of Elasticity. - Oxford, New York: Pergamon Press, 1970. - 165 p.
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. - 415 с.
Lekhnitskii S. G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body. -San Francisco: Holden-Day, 1963. - 404 p.
3. Сиротин Ю.И., Шасколъская М.П. Основы кристаллофизики. -М.: Наука, 1979. - 635 с.
Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. Fundamentals of Crystal Physics. -Moscow: Mir Publishers, 1982. - 654 p.
4. Цирелъсон В.Г. Квантовая химия. Молекулы, молекулярные системы и твердые тела. - М.: Бином, 2010. - 496 с.
Tsirelson V.G. Quantum Chemistry: Molecules, Molecular Systems and Solids. - Moscow: Binom, 2010. - 496 p.
5. Грибов Л.А. Колебания молекул. - М.: Либриком, 2009. - 544 с. Gribov L.A. Molecular Vibrations. - Moscow: Librikom, 2009. - 544 p.
6. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела: В 2 т. / Под ред. М.И. Каганова. - М.: Мир, 1979.
Ashcroft N. W., Mermin N.D. Solid State Physics. - New York: Holt, Rinehart and Winston, 1976. - 826 p.
7. Рейсленд Дж. Физика фононов. - М.: Мир, 1975. - 365 с. Reissland J.A. The Physics of Phonons. - London, New York: Wiley, 1973. - 319 p.
8. Грибов Л.А., Муштакова С.П. Квантовая химия. - М.: Гардарики,
1999. - 390 с.
Gribov L.A., Mushtakova S.P. Quantum Chemistry. - Moscow: Garda-riki, 1999. - 390 p.
9. Zhuravkov M.A., Nagornyi Yu.E., Repchenkov V.I. Finite element modeling of nanoscale structures // Nanotech. Russ. - 2011. - V. 6. -No. 9-10. - P. 597-606.
10. Коптев Г.С., Пентин Ю.А. Расчет колебаний молекул. - М.: МГУ, 1977. - 212 с.
Koptev G.S., Pentin Y.A. Calculation of Molecular Vibrations. - Moscow: MGU, 1977. - 212 p.
11. Грибов Л.А. Введение в молекулярную спектроскопию. - М.: Наука, 1976. - 400 с.
Gribov L.A. Introduction to Molecular Spectroscopy. - Moscow: Nauka, 1976. - 400 p.
12. Репченков В.И. Линейная упругость молекулярных и наноразмер-ных систем: Учебн.-метод. пособие: в 6 ч. - Минск: БГУ, 2009. -Ч. 1. - 28 с.
Repchenkov V.I. Linear Elasticity of Molecular and Nanodimensional Systems: Handbook for Students in the Faculty of Mechanics and Mathematics. - Minsk: BSU, 2009. - Part 1. - 28 p.
13. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. - 541 с.
Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method in Engineering Science. -London, New York: McGraw-Hill, 1971. - 521 p.
14. Нагорный Ю.Е. Упругие параметры графена в приближении общего валентно-силового поля // Механика машин, механизмов и материалов. - 2013. - № 3(24). - C. 82-86.
Nagornyi Y.E. Elastic parameters of graphene in general approach of the valence force field // Mechanics of Machines, Mechanisms and Materials. - 2013. - No. 3(24). - P. 82-86.
15. Li C., Chou T.-W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes // Int. J. Solids Struct. - 2003. - V. 40. - P. 24872499.
16. Enomoto K., Kitakata S., Yasuhara T., Ohtake N., Kurumaki T., Mitsuda Y Measurement of Young's modulus of carbon nanotubes by nanoprobe manipulation in a transmission electron microscope // Appl. Phys. Lett. - 2006. - V. 88. - No. 15. - P. 153115.
17. Оковитый А.В., Репченков В.И. Оценки модуля Юнга одностенной прямолинейной регулярной нанотрубки // Докл. НАН Беларуси. -2013. - Т. 57. - № 4. - C. 119-124.
Okovityi A. V., Repchenkov V.I. Young's modulus measurement for single-wall rectilinear regular nanotube // Dokl. NAN Belarusi. -2013. - V 57. - No. 4. - P. 119-124.
18. Нагорный Ю.Е., Оковитый А.В., Репченков В.И. Упругие характеристики углеродной нанотрубки при различных моделях и применяемых схемах нагружения // Теоретическая и прикладная механика. Вып. 27. - Минск: БНТУ, 2012. - C. 171-176.
Nagornyi Y.E., Okovityi A.V., Repchenkov V.I. Elastic characteristics of carbon nanotube in different models and under different applied loading conditions // Teor. Prikl. Mekh. Iss. 27. - Minsk: BNTU, 2012.- P. 171-176.
19. Елецкий А.В. Механические свойства углеродных наноструктур и материалов на их основе // УФН. - 2007. - Т. 177. - № 3. - С. 233-274.
Eletskii A.V. Mechanical properties of carbon nanostructures and related materials // Phys.-Usp. - 2007. - V. 50. - No. 3. - P. 225-262.
Поступила в редакцию 5.06.2014 г.
Сведения об авторах
Журавков Михаил Анатольевич, д.ф.-м.н., проф., Министр образования Республики Беларусь, zhuravkov@bsu.by Репченков Виктор Иванович, к.ф.-м.н., доц., доц. БГУ, scienseasn@gmail.com Нагорный Юрий Евгеньевич, ст. преп. БГУ, nagorny.yury@gmail.com Оковитый Александр Викторович, асп. БГУ, nano_world@mail.ru
