CC BY
106
УДК 621.893:621.385
Л.Б. Первухин, С.В. Сериков, И.К. Устинов, О.Д. Чуркин
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТИ МЕТАЛЛОВ ПРИ УДАРНОМ СЖАТИИ
Разработана методика оценки параметров модели вязкопласти-ческой среды для количественного описания деформирования металлов при ударном сжатии. На основе известных экспериментальных данных по исследованию металлов ударно-волновым методом определены значения динамической вязкости металлов в широком диапазоне ударных нагрузок. Приведены значения этого параметра для 19 металлов.
E-mail: S.p.07@mail.ru
Ключевые слова: металл, динамическая вязкость, ударное сжатие, коэффициент Грюнайзена.
Применение вязкопластической модели [1] для количественного описания экспериментальных данных по деформированию металлов под действием интенсивных нагрузок в настоящее время затруднено из-за неопределенности постоянных параметров среды - динамического предела текучести и особенно динамической вязкости. Известные экспериментальные данные по последнему параметру [1-3], относятся к узкому классу металлов и имеют отпечаток специфичности условий проведения эксперимента.
В последние годы разработан динамический метод [4] исследования твердых тел с помощью сильных ударных волн. Это существенно расширило диапазон давлений для экспериментального исследования свойств твердых тел. Важнейшим результатом этих работ явилось определение уравнений состояния многих металлов, ионных кристаллов, ряда жидкостей и горных пород до давлений 100 ГПа (106 атм). Поведение металлов при интенсивных нагрузках можно описать уравнением состояния, если известны кривая сжимаемости при фиксированной температуре, теплоемкости решетки, электронного газа и коэффициенты Грюнайзена для них, определяющие отношение теплового давления к плотности тепловой энергии.
Цель настоящей работы - получить функциональные зависимости для динамического предела текучести и динамической вязкости вязкопластической среды относительно параметров уравнения состояния, базирующихся на результатах прямых экспериментальных измерений сжимаемости металлов. Для этого определяется точное решение математической модели неустановившейся деформации круглого прутка в схеме сжимаемой вязкопластической среды при фиксированной температуре.
Рассмотрим на основе естественных физических предположений неустановившуюся деформацию металлического круглого прутка (диска). Пруток растягивается либо сжимается под действием на торцах нагрузки и начального поля скоростей. Во время деформирования прутка боковая поверхность остается свободной от нагрузки и сохраняет цилиндрическую форму. Материал предполагается сжимаемым и описывается в схеме вязкопластической среды.
Формулировка математической модели и методология построения точного решения для осесимметричной без закручивания деформации круглого прутка из сжимаемого вязкопластического материала аналогичны результатам работы [5]. Отличие состоит в том, что в настоящей работе, как указано выше, боковая поверхность круглого прутка остается свободной от нагрузок. Таким образом, система дифференциальных уравнений изэнтропического установившегося движения непрерывной среды вне поля внешних массовых сил, соотношения для сжимаемого вязкопластического тела, граничные и начальные условия позволяют записать в системе координат г, 0, г для круглого прутка с переменной границей в виде ог = о0 = 0,
= О20 = 0:
V, = ±-
rV2
20
1+,
ч-1
R V R J
rVu
Vz =
1+V.t
0 J
\-1
a,
; v0 = 0;
f
P=P0
1 т о*, t
4-1
a.
0 J
1 ±
V2
\—2
20
R0
°z = + M
У10 Г
1+Vk t
4—1
a.
+
V20 Г
0 J
1+V201
4—1
R V R0
(1)
R = R
1 ±
V2
20
R0
a = a.
f V ^ 1 + ^ V a0 J
D 1 1
P = -o, +-|M 3 s 3
V f V X'1 V f V v1"
40 i _ 40 . . K20 - K2i
a
1+
10
a
+
0 J
1+
20
R0 V R0 J
; P = +az/3.
Здесь ог, о0, ог, огг, о20 - компоненты тензора напряжения; уг , , у0 - составляющие вектора скорости; о^ - предел текучести материала; ^ - динамическая вязкость; р - плотность непрерывной сжимаемой среды; I > 0 - время; R, а - текущие значения радиуса и длины прутка; Ух0 > 0, У20 > 0 - начальные массовые скорости движе-
ния частиц материала прутка на его торцах и боковой поверхности; Р(^ - среднее давление, определяющее вместе с плотностью р(^) уравнение состояния вязкопластического тела в параметрическом виде; р0 - плотность при t = 0; верхний знак (плюс или минус) соответствует сжатию прутка вдоль оси z, нижний - растяжению.
Ведем безразмерные переменные и параметры:
а7 = а7 /(ро^); а* = а, /(ро^О); Р = Р/(Ро^х^О); ^ >0;
^ = V/ую'; ^ = ^/ую'; у = Д/(р0а0^ю); Р = Р/Р0; (2)
t = ^0/а0; z = z/а0; г = г/Я0; Я = Я/Я0; а = а/а0;
а = а0^20/ (Я0^ю).
Отметим, что черта над безразмерными величинами далее опускается.
Рассмотрим скорость диссипации механической энергии в единице объема Ж. Известно, что при реальной деформации произвольной области непрерывной среды диссипативная функции положительна всюду в области. Для полученного решения (1) с учетом соотношений (2) имеем в безразмерном виде
W
dZ- а z = (1 +1 )-1 {а* + v [(1 +1 )-1 + а(1 + at )-1 ]}. (3)
Отсюда Ж > 0 для любого t < 0, а < 1 в случае сжатия прутка и Ж> 0 при t > 0, а > 0 при его растяжении. На рис. 1 представлен результат расчета по формуле (3) - кривые изменения во времени дис-сипативной функции для случаев сжатия и растяжения прутка при фиксированных параметрах.
Рис. 1. Зависимость диссипативной функции от времени (а* = 10, V = 1, а = 0,1):
1 - при сжатии; 2 - при растяжении
Из выражений (1) и (2) имеем следующие соотношения для относительной плотности и давления:
в = (1 + г )-1 (1 ±аг )-2;
P = — G* + — V 3 3
- - -I (4)
(1 +t) 1 + а(1 + at) 1
Отсюда, в частности, следует существование по времени экстремума для плотности и отсутствие последнего для давления. Из условия &в/& = 0 получим
ртш =а при г* =±(2а-1)/(3а).
4 V1 + ау
В случае сжатия прутка экстремум имеет место при а > 1/2. Когда пруток растягивается, минимальное значение плотности существует при 0 < а< 1/2. При остальных значениях параметра а плотность материала прутка монотонно возрастает со временем.
Обозначим т = аг, а > 0. Для определения т из первого выражения системы (4) получим кубическое уравнение
т3 ± (2 - а) т2 + (1 - 2а) т ± а ((Г1 -1) = 0; (5)
здесь и далее верхний знак соответствует сжатию прутка. Уравнение (5) имеет три действительных корня:
2 х
т1 = з (1 + а)соБ^ + (2-а)/3;
2,, ч (х 2п^ а ( 3 43
Т2 =-3(1 + a)cos|j+Y) + (2-a)/3,cosX = ±1 + —[— I ; (6) т3 =-—(1 + a)cos[ X-— I + (2-а)/3.
С учетом (4)-(6) уравнение состояния материала прутка
Р (в) = 3 + 3 V [в (1 + т)2 + а (1 + т)-1 ]. (7)
Выбор корня (6) осуществляется из условия т > 0, &Р/&в > 0.
В последнем случае справедливо равенство с2 = ¿Р/ёв, где с -скорость звука в рассматриваемой сжимаемой вязкопластической среде.
Основной экспериментальный способ получения сведений об уравнениях состояния металлов в области высоких давлений и тем-
ператур - исследование их ударного сжатия. Экспериментально измеряемыми параметрами ударных волн являются скорость и1 перемещения волнового фронта по невозмущенной среде и скорость и2 вещества за фронтом волны. Знание этих величин позволяет, используя законы сохранения массы и количества движения, найти относительную плотность (см., например, [6]):
в = (1 -и2/щ )-1. (8)
Для описания свойств металлов при ударном сжатии применяют уравнение состояния Ми-Грюнайзена [7]. С учетом теплового возбуждения электронов выражения для давления и внутренней энергии имеют вид [6] соответственно
3Я'Тур , пТ2у р (и, t) = Р0 (и) + —^Б (ТП Т) + ^; (9)
Аи 2и
и0 / 2
Е(и, t)= | Р0 (и)ёи + 3ЯАТБ(Тп/Т) + (10)
и
где и = 1/р - удельный объем; Т - абсолютная температура; р0 (и) -давление на нулевой изотерме при Т = 0 К; и0 - удельный объем при Т = 0 К, р = 0; А - атомная масса вещества; Б (ТБ/Т) - функция Де-бая; Я' = 8314 Дж/(моль-К) - газовая постоянная; ур (и) - коэффициент Грюнайзена решетки; уэ - электронный аналог коэффициента
Грюнайзена; п = п0 (и/и0 ) - коэффициент электронной теплоемкости.
Значения п0 находят прецизионными измерениями теплоемкости
при низких температурах. Что же касается электронного коэффициента Грюнайзена, то при квантово-статистическом рассмотрении [6] он близок к 0,5 для широкого класса металлов. Функция Дебая и коэффициент Грюнайзена решетки определяют по формулам
Б«=7>=тб'т; (11)
о
1 ^ а2 (р0 и2/3)/ ёи2
Величина ТБ = кю/к называется температурой Дебая твердого тела [8], где к = 6,626-10-34 Дж-с - постоянная Планка; Ю - частота
колебаний атомов в твердом теле; к = 1,38-10 Дж/К - постоянная Больцмана.
Система равенств (8)-(12) содержит неизвестную функцию изэн-тропического сжатия р0 (и). В целях конкретизации последней рассмотрим условия проведения известных экспериментов по ударному сжатию металлов (см., например, [9, 10]). Во-первых, образцы при исследовании имеют форму дисков, геометрические размеры которых удовлетворяют соотношению Я0 /(2а0) < 1. Последнее позволяет исключить взаимодействие волн в образце, в частности предотвратить влияние волн разрежения от краев на ударный фронт. Во-вторых, при нагружении диска боковая поверхность остается свободной и выполняется условие осесимметричности деформации сжатия. Следовательно, полученное изэнтропическое решение математической модели относительно сжатия круглого прутка (диска) без учета волновых процессов в схеме вязкопластической среды соответствует рассмотренным экспериментам, если потребовать в выражениях (1)-(7) выполнения равенств У10 = и2, У20 = 0 (а = 0), Р(в) = р0 (и), где время прохождения ударной волны по всей высоте образца г * = а0 / и1. В этом случае экспериментальное значение относительной плотности (8) совпадает с точным решением (4), а изэнтропическая составляющая уравнения состояния ударной сжимаемости металла увеличивается линейно в зависимости от плотности.
Подставляя р0 (и) в выражения (9)-(12), согласно решению
(1)-(7) для сжатия круглого диска осевой нагрузкой при названых условиях, получим в размерном виде систему уравнений, определяющую состояние металлов (относительно давления, внутренней энергии и коэффициента Грюнайзена):
р=3 (.+Р^и2 / а0)+3р0 УрРд + 4 Р0 %^т^;
Е = ^ (1 -р-1 + + = К>т / А (13)
3р„1 Н ' 3а0Р0 * *
у = 1 с*а0 -рДи2 , „ = 1/2
Ф _ о ~ О ' Ь _ 11 Z••
Как было указано, необходимо получить параметры о^ и д, определяющие механические свойства металлов при рассматриваемых нагрузках в схеме вязкопластической среды. Из экспериментов по исследованию ударной сжимаемости металлов известны значения давления, плотности, коэффициента Грюнайзена решетки и темпера-
*
туры. Обозначим через р*, р*, Тур известные параметры адиабаты
Гюгонио и температуры. Отсюда система (13) позволяет записать соотношения для определения искомых величин о^, д, Е*, соответствующие экспериментальным результатам:
о^ = 3 [ р* - 3у!р0Р*^* -—р0п0у!в*Т*2 | / (1 + тв*);
|1 = ma0as /u2; q* = RT*D* / A; m = (1 + 6ур)/(1 + 3yp)ß*; (14)
E*
(1 -ß-1 + m In ß*) + q* + П(°Т*;
3р/ ' 2Jß*
; D* = D (TD/T*).
В целях дальнейшего применения при расчетах в табл. 1 даны экспериментальные значения атомной массы А, начальной плотности р0, температуры Дебая ТБ, коэффициентов электронной теплоемкости п0 и коэффициентов Грюнайзена решетки при нормальных условиях Ур для 19 металлов. Приведенные значения температуры Дебая
соответствуют низкотемпературному пределу, установленному из экспериментальных данных [8].
Таблица 1
Экспериментальные значения A, р0, TD, n0, у* [8]
№ п/п Металл A, а. е. р0, кг/м3 Td, К n0, Дж/(кг-К2) Y*
1 Ag 107,88 10 500 225 0,0060 2,55
2 А1 26,98 2 710 428 0,0500 2,16
3 Au 196,98 19 300 165 0,0037 3,29
4 Cd 112,40 8 650 209 0,0055 2,22
5 Со 58,93 8 700 445 0,0803 1,97
6 Cr 52,00 6 920 630 0,0269 1,29
7 Си 63,54 8 890 343 0,0110 2,06
8 Fe 55,85 7 800 470 0,0892 1,76
9 Mo 95,94 10 100 450 0,0225 1,58
10 Ni 58,71 8 800 450 0,1240 2,18
11 Pb 207,19 11 340 56 0,0144 2,64
12 Sh 118,69 7 300 200 0,0140 2,01
13 Та 180,95 16 600 240 0,0326 1,68
Окончание табл. 1
№ п/п Металл A, а. е. p0, кг/м3 Td, К n0, Дж/(кг-К2) Yp
14 Th 232,04 11 300 163 - 1,26
15 Ti 47,90 4 500 420 0,0700 1,14
16 Tl 204,37 11 860 78 0,0072 2,25
17 V 50,94 5 600 380 0,1818 1,29
18 W 183,85 19 230 400 0,0071 1,54
19 Zn 65,37 7 100 327 0,0100 2,11
Рассмотрим опытные и расчетные результаты определения ударной сжимаемости титана, молибдена и тантала в диапазоне давлений 100...500 ГПа [6]. Требуемое давление создавалось при соударении образца с пластиной из алюминия или железа, разгоняемой продуктами взрыва на пути 25 мм до скорости 5600.9100 м/с. Высота испытуемых образцов а0 = 3.4 мм, диаметр 2Я0 = 10.15 мм. Давление и степень ударного сжатия находили по скорости ударной волны, распространявшейся по образцу и последовательно замыкавшей введенные в него электрические контакты. Экспериментально определяли ударную адиабату р*, степень сжатия металла в*, массовую скорость за фронтом ударной волны и2, включая скорость ударной волны и\. Значения Т*, Ур получены в работе [6] полуэмпирическим методом по известной схеме (см., например [9]).
В табл. 2 для трех металлов представлены значения [6] параметров, необходимых для расчетов по формулам (14), в том числе динамического предела текучести при ударном сжатии о^, динамической вязкости д и внутренней удельной энергии Е* при а0 = 3,5 мм.
Таблица 2
Параметры для расчетов по формулам (14) [6]
Металл ß, p,, ГПа u2, км/с T, 10-3, К Yp os, ГПа ц-10-5, Па-с E,, МДж/кг
Mo 1,478 82,8 2,44 2,26 0,98 67,23 1,52 5,22
1,633 133,1 3,39 3,51 0,96 129,16 1,43 9,65
1,194 250,0 5,19 8,89 0,70 213,53 1,22 18,40
2,020 277,6 5,58 11,10 0,60 323,61 1,18 23,34
Ti 1,285 117,6 1,60 1,54 1,25 118,23 3,59 2,36
1,429 215,4 2,52 3,11 1,19 216,54 3,73 5,16
1,628 406,0 3,92 8,66 1,02 393,27 3,79 13,10
1,694 447,7 4,24 12,60 0,93 415,62 3,50 15,26
Та 1,383 124,5 1,45 2,63 1,40 118,66 3,75 1,88
1,547 240,9 2,28 7,11 1,35 209,61 3,72 4,62
1,840 512,1 3,74 14,47 1,31 416,34 3,85 11,86
Обратимся к результатам работы [9], в которой исследована
ударная сжимаемость алюминия, меди и свинца. Условия экспери-
*
ментов и методология расчета Т*, Ур совпадают с таковыми в работе
[6], включая геометрические размеры образцов (в среднем а0 = 3,5 мм). В табл. 3 приведены исходные данные [9] и расчетные значения о*, д, Е*, полученные по формулам (14). Можно было бы
продолжить сравнительный анализ относительно о^, д на основе
отечественных экспериментальных исследований [9-11], если бы в
этих работах были представлены данные по температуре ударного
*
сжатия металла и значение коэффициента ур. Например, в работе [9]
есть уникальные экспериментальные данные по сжимаемости семи
0 * металлов до 9 ГПа, но нет значений Ур, кроме начальных Ур. В
предположении изменения коэффициента Грюнайзена решетки в зависимости от степени сжатия кадмия и железа по аналогии с данными [7] с учетом работы [9] при а0 = 3,5 мм в результате расчета по формулам (14) получены значения параметров, приведенные в табл. 4.
Таблица 3
Значения параметров, полученные расчетом по формулам (14) [11]
Металл ß. p*, ГПа u2, км/с T* 10-3, К Y* as, ГПа ц-10-5, Па-с E*, МДж/кг
А1 1,442 69,3 2,80 1,98 1,41 63,29 0,99 6,60
1,553 104,2 3,70 3,44 1,44 90,56 1,00 11,00
1,767 197,1 5,62 8,16 1,34 155,58 0,99 23,12
Си 1,377 107,9 1,82 2,30 1,63 95,19 2,43 2,78
1,506 195,0 2,71 4,35 1,55 169,76 2,65 5,91
1,692 374,0 4,14 9,71 1,53 302,14 2,75 12,63
1,720 418,7 4,43 12,42 1,54 321,88 2,69 13,78
РЬ 1,618 104,9 1,88 7,07 1,65 81,78 1,72 2,76
1,834 190,0 2,76 13,26 1,42 143,38 1,78 5,87
2,168 366,9 4,18 24,12 1,02 284,17 1,90 13,48
2,174 417,0 4,45 26,23 0,98 327,00 2,08 15,55
Полный перечень необходимых параметров для 16 металлов дан в работе [10]. Диапазон давлений от 10 до 200 ГПа достигался с помощью метания металлической пластины под действием продуктов взрыва на образцы, которые имели форму круглых дисков диаметром 2Я0 = 125 мм и высотой а0 = 20 мм. Там же дана подробная таблица
результатов экспериментов и вычислений, в частности параметры
*
ударной волны (р*, р*, ур, Т*, и1, и2). Эта же таблица есть в прило-
жении отечественной книги [14]. В целях сокращения объема настоящей статьи в табл. 5 приведены из работы [10] только значения р*, в*, и2 (через строку) и соответственно этим данным рассчитаны
по формулам (14) параметры о^, д.
Таблица 4
Значения параметров, полученные расчетом по формулам (14) [9]
Металл ß, p,, ГПа u2, км/с T, 10-3, К Yp Gs, ГПа ц10-5, Па-с E,, МДж/кг
Cd 1,544 0,1 2,02 5,30 1,44 73,74 1,53 2,92
1,741 0,2 3,14 13,84 1,28 122,11 1,44 6,16
1,874 0,3 4,02 22,73 1,19 166,85 1,42 9,52
1,977 0,4 4,78 31,56 1,12 212,06 1,43 13,43
2,066 0,5 5,46 40,11 1,07 274,54 1,54 18,12
2,142 0,6 6,08 48,42 1,04 296,39 1,43 21,32
2,213 0,7 6,66 56,78 1,00 338,12 1,44 25,65
2,274 0,8 7,20 64,92 0,98 371,29 1,43 29,66
2,329 0,9 7,71 72,22 0,95 404,46 1,41 33,74
Fe 1,354 0,1 1,83 3,32 1,30 87,74 2,25 3,06
1,508 0,2 2,94 4,83 1,17 171,20 2,44 7,54
1,612 0,3 3,82 7,69 1,09 238,61 2,43 12,41
1,696 0,4 4,59 10,56 1,04 327,24 2,62 18,82
1,763 0,5 5,27 13,42 1,00 398,52 2,29 25,25
1,816 0,6 5,88 16,28 0,97 470,88 2,31 31,42
1,862 0,7 6,45 19,16 0,94 533,01 2,72 38,73
1,900 0,8 6,97 21,86 0,93 594,05 2,74 45,94
1,934 0,9 7,46 24,42 0,91 651,82 2,75 52,88
Таблица 5
Значения параметров, полученные расчетом по формулам (14) [10]
Металл ß, p,, ГПа u2, км/с Gs, ГПа ц, Па-с
1 2 3 4 5 6
Ag 1,076 10 0,26 8,77 1,16
1,183 30 0,67 28,44 1,32
1,259 50 0,99 46,96 1,39
1,317 70 1,27 63,83 1,41
1,367 90 1,52 79,80 1,42
1,408 110 1,75 96,75 1,45
1,445 130 1,95 114,36 1,49
1,477 150 2,15 128,06 1,48
Au 1,049 10 0,16 7,66 1,74
1,126 30 0,42 26,94 2,16
1,186 50 0,64 43,20 2,25
1,234 70 0,83 62,45 2,30
1,277 90 1,01 78,65 2,30
1,312 110 1,17 94,73 2,31
1 2 3 4 5 6
Au 1,345 130 1,32 108,06 2,30
1,373 150 1,46 123,86 2,31
1,400 170 1,59 139,88 2,35
1,424 190 1,72 156,28 2,39
Cd 1,140 10 0,38 8,71 0,74
1,291 30 0,89 26,43 0,85
1,385 50 1,27 43,38 0,92
1,453 70 1,59 56,20 0,91
1,506 90 1,87 67,12 0,89
1,547 10 2,12 76,26 0,87
1,584 130 2,36 85,02 0,84
Co 1,046 10 0,22 9,02 1,44
1,123 30 0,61 30,32 1,59
1,186 50 0,94 50,55 1,64
1,240 70 1,24 70,20 1,66
1,288 90 1,51 89,48 1,67
1,329 110 1,76 108,72 1,68
1,367 130 1,99 127,67 1,70
1,404 150 2,21 146,84 1,71
Cr 1,047 10 0,25 9,74 1,33
1,122 30 0,68 31,09 1,44
1,182 50 1,04 52,11 1,50
1,233 70 1,36 72,87 1,53
1,275 90 1,65 93,52 1,56
1,314 10 1,92 114,04 1,58
1,347 130 2,17 134,46 1,60
Си 1,064 10 0,26 8,52 1,13
1,157 30 0,68 28,59 1,33
1,228 50 1,02 47,60 1,39
1,287 70 1,32 65,23 1,42
1,335 90 1,59 83,21 1,43
1,377 11 1,84 99,36 1,44
1,414 130 2,07 115,31 1,45
1,449 150 2,28 133,14 1,47
Mo 1,035 10 0,18 9,74 1,89
1,096 30 0,51 31,15 1,99
1,149 50 0,80 52,05 2,03
1,196 70 1,06 72,44 2,05
1,239 90 1,30 92,81 2,06
1,277 110 1,53 112,99 2,06
1,312 130 1,74 132,93 2,07
1,345 150 1,94 152,58 2,08
1,377 170 2,14 172,30 2,07
Ni 1,048 10 0,23 8,78 1,34
1,124 30 0,61 29,93 1,56
1,186 50 0,94 49,02 1,61
1,237 70 1,23 68,59 1,65
1,282 90 1,49 87,65 1,67
1,321 110 1,73 106,33 1,69
1 2 3 4 5 6
Ni 1,355 130 1,96 124,69 1,71
1,386 150 2,17 142,64 1,72
Pb 1,156 10 0,34 8,51 0,81
1,331 30 0,81 26,14 0,90
1443 50 1,16 41,79 0,92
1,524 70 1,46 54,29 0,90
1,587 90 1,71 64,71 0,87
1,642 110 1,95 72,99 0,84
1,686 130 2,16 79,38 0,80
Sn 1,148 10 0,42 9,36 0,71
1,321 30 1,00 28,89 0,80
1,432 50 1,44 46,54 0,82
1,517 70 1,81 61,26 0,81
1,584 90 2,13 74,48 0,80
1,639 110 2,43 85,84 0,78
Th 1.686 130 2,70 95,30 0,76
1,149 10 0,33 10,25 0,95
1,344 30 0,81 31,16 0,99
1,477 50 1,17 51,69 1,03
1,582 70 1,48 72,28 1,05
1,669 90 1,75 93,45 1,08
1,745 110 2,00 112,75 1,08
1,808 130 2,23 131,85 1,09
1,869 150 2,44 150,33 1,09
Ti 1,088 10 0,42 10,18 0,78
1,228 30 1,11 30,99 0,80
1,340 50 1,68 51,86 0,80
1,436 70 2,17 72,17 0,80
1,522 90 2,62 92,48 0,80
1,600 110 3,02 111,20 0,79
T1 1,172 10 0,35 9,18 0,82
1,358 30 0,82 27,70 0,91
1,474 50 1,16 42,83 0,92
1,557 70 1,45 54,96 0,89
V 1,058 10 0,30 9,88 1,11
1,153 30 0,81 30,72 1,18
1,231 50 1,24 51,19 1,20
1,298 70 1,62 71,88 1,21
1,356 90 1,97 91,99 1,21
1,410 110 2,29 111,68 1,22
1,457 130 2,59 130,94 1,22
W 1,030 10 0,12 9,69 2,84
1,085 30 0,35 30,86 2,93
1,133 50 0,59 51,81 3,00
1,175 70 0,74 72,39 3,00
1,213 90 0,91 92,97 3,02
1,250 110 1,07 113,17 3,03
1,282 130 1,22 133,08 3,05
1,312 150 1,36 152,84 3,06
Окончание табл. 5
1 2 3 4 5 6
W 1,340 170 1,50 172,43 3,06
1,367 190 1,63 191,55 3,06
1,392 210 1,76 210,62 3,06
Zn 1,117 10 0,38 8,64 0,75
1,261 30 0,93 27,46 0,86
1,356 50 1,36 44,08 0,88
1,428 70 1,71 62,89 0,94
1,485 90 2,03 76,63 0,93
1,533 110 2,31 88,92 0,92
1,574 130 2,56 99,91 0,90
1,610 150 2,82 109,43 0,88
Из анализа данных табл. 2-5 следует, что предел текучести о, увеличивается с ростом давления и температуры при изменении последних в диапазонах р* = 0,01... 1,00 ГПа, Т* = 300...80 000 К.
В этом случае тепловая составляющая давления не является основной, что ведет к увеличению температуры плавления [13] и напряжений сдвига в металле [15].
Соотношения (14) показывают, что существуют такое давление и соответствующая температура, при которых значения прочностных характеристик металла превращаются в ноль:
о, = 0, || = 0 при рТ = p0S|р*P(+ п0Т*2/4). (15)
Представляет интерес экстраполировать на основе имеющихся данных (см. табл. 2-5) значения температуры, относительной плотности, массовой скорости и коэффициента Грюнайзена на более высокое давление, например, графическим методом [16]. При экстраполировании искомых величин использовали известные соотношения для параметров ударных волн [12]: р* = р0м1м2, в* = их/ ( - и2), откуда и2 = р*(1 -в-1)/р0, а также для коэффициента Грюнайзена [16] У*р =У^/ в. На основе полученных данных проведена оценка о,, | на примере двух металлов - Сё и Бе (рис. 2). Предельное давление
__с Л *
для кадмия рт = 3,08 ГПа при Т* = 2,89-105 К, р* = 2,86, у* = 0,78,
и2 = 15,1 км/с. Соответственно, для железа рт = 4,65 ГПа при Т* =
= 1,23-105 К, Р* = 2,68, у* = 0,66, и2 = 18,3 км/с. В этом случае атомы
металла полностью ионизируются, тепловое давление становится основным и твердое тело превращается в газ без прочности (о, = 0) и
вязкости (| = 0). По-существу, параметр | характеризует внутреннее сопротивление (деформированию) твердого тела под действием
0,3
........... ^Fe
0,5 2,5 4,5
el , ГПа
1,25
0,25
// Cd
0,5 2,5 4,5
Д., ГПа
Рис. 2. Зависимость динамической вязкости ц (а) и предела текучести (б) от давления р для образцов из кадмия и железа
приложенной нагрузки. Обозначим через 80 = п2/а0 начальную скорость деформирования образца. Тогда, согласно данным [11-13], расчет ц по формулам (14) позволяет оценить изменение динамической вязкости металлов в зависимости от параметра 80 (при а0 = = 3,5 мм). Из рис. 3 на примере трех металлов (Т1, 2г, И!} следует, что с увеличением скорости деформирования металлического диска значение Ц уменьшается, что согласуется с общими представлениями (см., например, [17]).
Рассмотрим пять металлов (Сё,Си, РЬ, Т1, Мо), для которых значения вязкости определены на основе экспериментальных данных разных авторов: в табл. 2, 3, 4 и 5 - соответственно из работ [6], [11], [9] и [10]). Выпишем отдельно в табл. 6 средние значения ц£р,5) из табл. 2-4 и цс2р0) из табл. 5 для названных металлов. В скобках здесь указана высота образцов: а0 = 3,5 и 20 мм. Обратим внимание в табл. 6 на отношение величин ц ср,5)/Ц ср0), а также на отношение высот образцов 3,5/20 = 0,175: между ними вполне удовлетворительное совпадение.
\ \Hf Zr\ \
0,2 1,2 2,2 ¿о'Ю-5, с1
Рис. 3. Зависимость динамической вязкости ц от начальной скорости деформации в 0 для образцов из теллура, циркония и гафния
Таблица 6
Средние значения динамической вязкости для образцов высотой а0 = 3,5 и 20 мм
Металл цс3р5\ МПас Цс2р0), МПас и с20)
Cd 0,145 0,859 0,169
Си 0,263 1,489 0,176
Pb 0,187 0,820 0,228
Ti 0,134 0,795 0,169
Mo 0,365 2,050 0,178
В табл. 7 на основе анализа предыдущих таблиц представлены средние значения динамической вязкости цср для 19 металлов с указанием диапазона изменения давления р, в котором значение цср близко к постоянному. Данные расположены в порядке увеличения вязкости.
Другой метод определения вязкости сплошных сред, основанный на экспериментальном исследовании развития малых возмущений на фронте ударных волн, предложен в работе [18]. Динамическая вязкость, установленная этим методом для различных материалов (свинец, медь, алюминий, сталь, ртуть, вода и др.) при использовании одного и того же заряда взрывчатого вещества, приблизительно одинакова (порядка 103).
Известны исследования по оценке динамической вязкости металлов [2, 3]. В этих работах экспериментально-теоретический подход ос-
нован на экспериментах по соударению плоских пластин в режиме сварки взрывом. В схеме несжимаемой вязкой жидкости установлена функциональная зависимость между вязкостью и смещением частиц металла в направлении точки контакта пластин при их метании под определенным углом относительно друг друга.
Таблица 7
Средние значения динамической вязкости и диапазон изменения давления (а0 = 20 мм)
№ п/п Металл цср, МПа-с p, ГПа
1 А1 0,57 60.. .200
2 8и 078 10.. .140
3 Т1 0,79 10.. .250
4 еа 0,84 10.. .900
5 Т1 0,86 10.. .110
6 ги 0,88 10.. .150
7 РЬ 0,96 10.. .500
8 ТИ 1,05 10.. .150
9 V 1,19 10.. .130
10 ей 1,36 10.. .500
11 Ай 1,39 10.. .160
12 Бе 1,43 100. ..900
13 Сг 1,50 10.. .140
14 N1 1,62 10.. .150
15 Со 1,64 10.. .160
16 Мо 2,05 10.. .500
17 Та 2,15 100. ..500
18 Аи 2,24 10.. .200
19 W 3,01 10.. .210
Выводы. Изложенная в настоящей работе методика позволяет однозначно определить параметры вязкопластической среды - динамический предел текучести и динамическую вязкость - на основе экспериментальных данных по ударной сжимаемости металлов. Вычислены названные параметры для 19 металлов в широком диапазоне давлений и скоростей нагружения цилиндрических образцов. Полученные значения не противоречат физическим представлениям о деформации металлов и согласуются с результатами теории твердого тела.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ишлинский А. Ю. Прикладные задачи механики. Кн. 1.: Механика вяз-копластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986.
2. Дерибас А. А., Годунов С. К. и др. Исследование вязкости металлов при высокоскоростных соударениях // Физика горения и взрыва. 1971. Т. 7. № 1. С. 135-141.
3. Захаренко И. Д., Мали В. И. Вязкость металлов при сварке взрывом // Горение и взрыв. М.: Наука, 1972. С. 575-578.
4. Физика взрыва / Под ред. Л.П. Орленко. 3-е изд., испр.: В 2 т. М: Физ-матлит, 2004.
5. Сериков С. В. Неустановившаяся деформация круглого прутка в схеме сжимаемой вязкопластической среды // Динамика сплошной среды: Сб. / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1982. Вып. 55. С. 79-90.
6. Крупников К. К., Баканова А. А. и др. ДАН СССР. 1963. Т. 148. № 6.
7. Мак-Куин Р., Райе М., Уолш Д. Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях. М.: Мир, 1965. С. 201-215.
8. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.
9. Альтшулер Л. В., Баканова А. А., Трунин Р. Ф. Ударные адиабаты и нулевые изотермы семи материалов при высоких давлениях // ЖЭТФ. 1962. Т. 42. № 1. С. 91-104.
10. Мак-Куин Р., Марш С. Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях. М.: Мир, 1965. С. 95-143.
11. Альтшулер Л. В., Кормер С. Б. и др. // ЖЭТФ. 1960. Т. 38. № 3.
12. Альтшулер Л. В., Копнер С. Б. и др. // ЖЭТФ. 1960. Т. 38. № 4.
13. Альтшулер Л. В., Баканова А. А. и др. Ударные адибаты металлов. Новые данные, статистический анализ и общие закономерности // ПМТФ. 1981. № 2. С. 3-34.
14. Анималу А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. М.: Мир, 1981.
15. Бриджмен П.В. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИИЛ, 1955.
16. Мак-Куин Р., Марш С. и др. Высокоскоростные ударные явления. М.: Мир, 1973. С. 299-427.
17. Сериков С. В. О скоростной деформации металлов // Изв. АН СССР. Сер. Металлы. 1989. № 2. С. 48-52.
18. Сахаров А. Д., Зайдель P.M. и др. Экспериментальное исследование устойчивости ударных волн и механических свойств вещества при высоких давлениях и температурах. Докл. АН СССР. 1964. Т. 159. № 5. С.1019-1022.
Статья поступила в редакцию 31.10.2011
