ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ В ДВУХФАЗНЫХ ЗЕРНИСТЫХ СРЕДАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5

Поленов В.С.

док. физ-мат. наук, проф. ВУНЦ ВВС ВВА им. проф. Н Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

г. Воронеж,. РФ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ В ДВУХФАЗНЫХ ЗЕРНИСТЫХ СРЕДАХ

Аннотация

В работе математическим методом определяется число дисперсных частиц в двухфазных зернистых средах с учетом фазовых переходов, где первой фазой является жидкость или газ а второй - зернистая твердая среда. Зерна твердой фазы представляют собой сферически- симметричные частицы постоянного радиуса. Получены формулы для определения общего числа дисперсных частиц, находящихся в зернистой среде, при отсутствии коагуляции частиц. Используя метод разделения переменных, получена формула для определения общего числа дисперсионных частиц в зернистой среде при отсутствии процесса дробления, слипания и образования новых частиц среды.

Ключевые слова:

упругость, жидкость, скорость фаз, тензор, плотность фаз, сила, деформация, перемещения фаз.

Динамика многофазных зернистых сред была рассмотрена в монографиях [1,2]. Нестационарные и звуковые волны в двухфазных зернистых средах изучены в работах [3-6].

Двухфазная смесь среды, состоит из жидкости или газа (первая фаза), заполняющая промежутки между зернами и зернистой твердой фазы (вторая фаза), называемой дисперсными частицами. Зерна твердой фазы могут иметь любую конфигурацию. В таких средах механизм передачи усилия проявляется через контакты между дисперсными частицами. В это случае предполагается, что микро-деформации и смещения твердой фазы малы и эффекты прочности твердой фазы проявляются в тензоре фиктивных напряжений. Жидкость первой фазы будем считать сжимаемой

Исследование динамического деформирования волновых процессов в двухфазных зернистых средах насыщенных жидкостью с учетом числа дисперсных частиц очень важно для разработки новых методов диагностики, новых технологий по созданию двухкомпонентных сред, которые могли бы быть применены в области машиностроения, приборостроения, металлургии и атомной энергетике.

Динамическое поведение двухфазной зернистой среды с учетом фазовых переходов и числа дисперсных частиц описывается системой

^Хк дК . а2Vя . ж* ду" . дп,

- Р12^-Г + а1 + -^Ч"7----ч + Згх-гФг ~ К* ) = 0 (1)

дг дг дх дхя дг дг дг (1)

д 2Ук д 2У\ /А д 2Ут д 2Ук . Жт дУт^

Р 2—- р22—г2 + а2(А , —-г-2— + -—) + ]21 п(—2---—) +

2 дг2 22 дг2 24 1 дхкдхт г дхтдхт 21 дг дг

+121 дп V - V)=о

дг

А = ^ + И/ - (1 - у/ )А

д

где V - скорость перемещения жидкости (газа); У2 - скорость перемещения твердой фазы;--

дг

частная производная по времени; —— — частная производная по координате х ; рп и р22 — массы

5 *

—:— частная производная по координате x

8x

жидкости и твердой фазы в единице объема среды; р12 — коэффициент динамической связи жидкости и твердой фазы; j — интенсивность фазовых переходов; n — число дисперсных частиц; Яу,pf,vf — фиктивные модули упругости среды. Они однозначно выражаются через модули упругости Ламе и модули упругости зернистого скелета (твердой фазы); a — (i = 1,2) — доли объема фаз в среде; n(t, x*) — число дисперсных частиц в твердой фазе; Л = Я + 2р.

По повторяющимися верхними индексами проводится суммирование от 1 до 3.

Основной задачей данной статьи - получить формулу для определения числа дисперсных частиц в двухфазной зернистой среде с фазовым переходом для системы (1).

Дифференциальное уравнение определения числа дисперсных частиц, входящих в систему (1) запишем в виде

dn 8(nV*) (2)

— + ——^ = ш

8t 8x*

Величина ш характеризует изменение числа дисперсных частиц за счет дробления и объединения (коагуляции), слипания и образования новых частиц.

Если отсутствует процесс дробления, слипания и образования новых частиц, то дифференциальное уравнение для определения числа дисперсных частиц при нулевых начальных и краевых условиях примет вид

1 8n(t, x*) VL 8n(t, x*) _ 8V* )t, x*) (3)

n 8t n 8x* 8x*

n(t,0) = 0, n(0, x* ) = 0

Для сферических частиц радиуса Г = const объемное содержание дисперсной фазы определяется выражением

4 з (4)

a =—лт n 2 3

Общее решение дифференциального уравнения (3) будем искать в виде [7,8]

n(t, x* ) = T (t) X (x* ) (5)

t k k где T(t) — функция только от переменной t, X(x ) — функция только от переменной x .

8V*

Сначала рассмотрим однородное уравнение (3). (—= 0)

8x*

1 8n(t, x*) V* 8n Л (6)

--— +--г = 0

n 8t n 8x

и применим метод разделения переменных для скорости второй фазы

V* (t, xk ) = f(t) g* (xk ) (7) Подставим решение (5) и соотношения (7) в дифференциальное уравнение (6), получим

f—1 8T g* 8X Л (8)

---+ ---т = 0

T 8t X 8x

f 8T g* 8X *

Так как — - зависит только от t, а--т зависит только от x , то отношения можно

T 8t X 8x

обозначить через некоторую постоянную Я

T dt X dxk

Рассмотрим оба случая

f 1 dT gk dX . (9)

— —А

1 (Т (10)

1 ^ + Я/(г) = о, т(0) = т0 ( )

т (г

1 ю= о, Х(0) = х0 X (х (х ) ' 0

Интегрируя оба уравнения (10), получим решения при заданных начальных условиях

т = Техр[-Я{ / (г )(г ] (11)

Х = Х 0 ехр[ ]

Параметр Я находится из условия X(0) = 0 .

Подставив (11) в равенство (5) и принимая во внимание (7), получим общее решение однородного уравнения (6)

г х (12)

п(г, хк) = С0 ехрЖ}-^ -1 / (г )(г}]

де С0 = Т0Х0 - произвольная постоянная.

Решение неоднородного дифференциального уравнения (3) будем искать при Х0 = 1 в виде

х (13)

п(г, хк ) = Т (г )ехр[Я|-(-^ ]

Подставим (13) в уравнение (3) и, принимая во внимание (7) , получим общее решение неоднородного уравнения

дёк г х (14)

п(г, хк) = т, ехр[-(Я + /(г)(г + я\-—- ]

дх ё (х ) В качестве примера рассмотрим распространение монохроматической волны в твердой фазе в виде У2к = С\ ехр[г(Ш + дхтут)] = Ск2/(г)ё(хтУт) (15)

/(г) = ехр(гШ), ё(хтУт) = ехр(гдхтут)

и в жидкости

У к = С 2 ехр [г(Ш + дхтут )] (16)

/ (г) = ехр(гШ), ё (хтУт) = ехр (гдхтут)

где у - координаты единичного вектора в направлении распространения скорости волны; о круговая частота; д > 0 - коэффициент затухания волны; г = - мнимая единица, С1к -С2к- постоянные интегрирования.

По формуле (14) определим число дисперсных частиц, находящихся в двухфазной среде. Для этого подставим (15) и (16)) в формулу (14), получим общее число дисперсных частиц в двухфазной среде

Ш р-гдх"ут (17)

п(г, хк ) = Т ехр г[(Я + гд уквщхут ) — + Я е—— ]

о ду

Таким образом, общее число дисперсных частиц, находящихся в зернистой среде, при отсутствии коагуляции частиц, находится по формуле (17).

Список использованной литературы:

1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред//М.: Наука, 1978. 336 с.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред//М.: Наука. ч. 1. 1987. 464 с., ч. 2. 1987. 380 с.

3. Поленов В.С. Нестационарные волны в двухфазных зернистых средах. //Журнал «Уральский научный вестник». ТОО Уралнаучкнига. г. Уральск. Т. 4. № 3. 2017. C. 3-15.

4. Поленов В.С., Ницак Д.А. К распространению звуковых волн в двухфазных зернистых средах.//Сб. научных трудов «Стратегические направления развития науки, образования, технологий» МНПРК. Белгород. 2017. ч. 1. С. 17-23.

5. Поленов В.С. Динамическое деформирование двухфазных зернистых сред с учетом фазовых переходов// Журнал Национальная Ассоциация ученых (НАУ) № 53, 2020 С. 16-20.

6. Киселев Г.К., Гусев А.П. и др. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах// Новосибирск. ВО «Наука». Сибирская издательская фирма. 1992. 261 с.

7. Положий Г.Н. Уравнения математической физики// М.: «Высшая школа». 1964. 559 с.

8. Бронштейн И.Н. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ// М.: 1964. 608 с.

©Поленов В С., 2021