CC BY
40
3. Лаптев Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве // Математические заметки. - 2002. - Т. 71, № 2. - С. 214.
4. Laptev G.I. Weak solutions of second-order quasilinear parabolic équations with double non-linearity // Sbornic: Mathmatics. - 1997. - Т. 188, № 9-10. -С. 1343-1370.
5. Лаптев Г.И., Лаптева Н.А., Володин Ю.В. Условия монотонности нелинейного оператора в двумерном пространстве // Ученые записки РГСУ -2008. - № 6. - С. 59-65.
6. Лаптев Г.И., Лаптева Н.А., Володин Ю.В. Дифференциальные уравнения с монотонными операторами на пространстве R(N) // В сборнике: Семнадцатые математические чтения РГСУ «Математические методы и приложения», Руза, 31 января - 03 февраля 2008 г. - М.: РГСУ 2008. - С. 91-96.
7. Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений систем дифференциальных неравенств высокого порядка // В сборнике: Семнадцатые математические чтения РГСУ «Математические методы и приложения», Руза, 31 января - 03 февраля 2008 г. - М.: РГСУ, 2008. - С. 27-36.
8. Володин Ю.В. Об отсутствии глобальных решений полулинейных эволюционных краевых задач высокого порядка // Ученые записки РГСУ -2011. - № 9. - С. 9-16.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОБЛЕМЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ ДВУХФАЗНЫХ ПОТОКОВ
© Менглиев Ш.А.*, Юлдашев М.З.*, Шаймуратова М.Ж.¥
Термезский государственный университет, Узбекистан, г. Термез
Исследование динамики гетерогенных (многофазных) смесей или, в частности, газовзвесей (смесей газов с твердыми частицами) - одно из важных направлений при математическом моделировании сложных гидродинамических систем. Частицы в этом случае называют дисперсными частицами или дисперсной фазой, а окружающую несущую фазу (газ) - дисперсионной фазой. К настоящему времени имеются значительное число работ, посвященных проблемам построения моделей гидромеханики многофазных сред [1-4].
При построении подобных моделей уравнения движения выводятся обычно при следующих допущениях [5-9].
* Старший научный сотрудник, исследователь.
* Преподаватель кафедры Профессионального образования. " Студент.
1) частицы сферические, и при взаимодействии газа с частицей учитываются силы Стокса и Архимеда;
2) объемная концентрация частиц а << 1 мала, так что взаимодействием между отдельными частицами можно пренебречь;
3) не учитывается эйнштейновская поправка к вязкости пропорциональной объемной концентрации частиц.
Уравнения предложены в работах [1-7]. Исходная система уравнений [17], если пренебречь в ней фазовыми переходами и эффектами сжимаемости, но учесть вязкие члены, имеет вид: уравнения движения для газа
уравнение неразрывности для газа Э(1-с0
дt
7(1 - а> = О
(2)
уравнения движения для частиц
уравнение неразрывности для частиц
(4)
Здесь б7гпа^(и — -и) - сила Стокса -тглд3 р2~- сила Архимеда, и, и -
векторы скорости для газа и частиц соответственно, р - давление, I - объемная концентрация частиц, р\ - плотность газа, /ь - плотность материала
Эо-
частиц, а - радиус частиц, /л - вязкость, п
- число частиц в единич-
ном объеме, V— V— —г + оператор Лапласа / и / - еди-
Эх ду сх* оу'-
ничные векторы по направлениям х и у, £ - время.
Система уравнений (1)-(4) содержит шесть уравнений для определения шести неизвестных
Vр2. иг, а.
За
Подставляя значения п = в уравнения (1) и (4), имеем
ас
7(1 - = О
(6)
(7)
(8)
Обычно рассмотрение физической задачи ведется с помощью величин, имеющих размерность, а формулировка математической задача дается в безразмерной форме. Это позволяет точно выявить существенные безразмерные параметры. Согласно закону подобия Рейнольдса, математические модели для двухфазных потоков не должны зависеть от выбора единиц для входящих в него физических величин: скоростей, давления, масштаба и других. Они должны характеризоваться некоторыми другими безразмерными параметрами, например, числом Рейнольдса, временем релаксации частиц и другими безразмерными параметрами. Согласно этим соображениям, математические модели для двухфазных потоков приведем к безразмерному виду.
Чтобы записать систему уравнений (5)-(8) в безразмерной форме, вводим следующие безразмерные параметры: V = и = ^ - скорости, х = У — длины, р — - давление, Г = С и^ время, где — - V- характерная скорость основного течения, Ь - характерная длина.
Используя эти обозначения, систему уравнений (5)-(8) запишем в виде
(10)
ар2
диУ
У V _ I „ Р-\У' 7 и, т_уг и 1-У
(11)
± I / 21 г 2 а2 ' у '
да
дУ'
7-сш = 0
I
(12)
Систему уравнений (9)-(12) после несложных выкладок приведем к виду
(14)
V д(1-а)
ь
дь
7(1 = о
ар2
р „
(15)
Теперь уравнения (13), (15) умножим на-j, а уравнения (14), (16) -
Piv
L
на — и после введения следующих обозначений:
получим искомые математические модели для двухфазных потоков в безразмерном виде
- уравнения движения для газа;
- уравнение неразрывности для газа;
- уравнения движения для частиц;
^ + Vau = 0 (20)
- уравнения неразрывности для частиц.
Таким образом, исходные размерные уравнения (1)-(4) записаны в безразмерном виде (17)-(20). Для системы уравнений (17)-(20) будет справедлив закон подобия Рейнольдса.
В уравнения (17)-(20) векторы скорости газа v и частиц u записываем покомпонентно, т.е. v = (vb v2); u = (ub u2).
Тогда система (17)-(20) примет следующий вид;
^ + Vau = 0 (26)
Обозначим составляющие скорости основного течения, которое будем рассматривать как стационарное, через и и У, давление - через Р, объемную концентрацию частиц - через а0. Основное течение представляет собой решение уравнений Навье-Стокса или уравнений пограничного слоя для двухфазного потока. Составляющие скорости и давление для переменного во времени возмущающего движения обозначим через й, V, р и объемную концентрацию через а. Для исследования устойчивости решение системы (21)-(26) представим, как обычно, в виде суперпозиции основного ламинарного течения и(у), У(у) с постоянной объемной концентрацией ао и малого возмущения [7-10]:
где - единичный вектор по направлению х. При этом в большей части случаев предполагается, что скорости и давление возмущающего течения малы по сравнению со скоростями и давлением основного течения.
Наложенное возмущающее движение будем предполагать «малым» в том смысле, что со всеми квадратичными членами можно относительно возмущений пренебречь по сравнению с линейными членами [6-10]. В уравнениях оставляя только члены первого порядка малости по возмущениям и пренебрегая квадратичными членами относительно возмущений, имеем
Для плоскопараллельных течений возмущения уь у2, и1, и2 имеются определенные граничные условия на пластинках. Возникает вопрос, какими должны быть граничные условия в бесконечности? Точное исследование этого вопроса представляет некоторые трудности [1]. Говоря физически, никакой эксперимент не может быть выполнен с аппаратом бесконечных размеров. Математически можно обойти эту трудности, ограничиваясь ис-
следованием возмущений, периодических относительно пространственных координат, в направлении которых жидкость распространяется до бесконечности. Поскольку переменные х, / - циклические и коэффициенты в (28)-(33) зависят только от у, то система допускает решения, являющиеся показательными функциями относительно х и /.
Если решение должно быть ограниченными при х стремящихся как к так и к -да, то соответствующее показатели должно быть чисто мнимыми. Таким образом, каждую из составляющих возмущения можно представить в виде [1, с. 140]:
(34)
Величина - комплексная и представляется в виде а = ar + i а, где ar -круговая частота отдельного колебания, а ai - коэффициент нарастания, т.е. величина, позволяющая судить о нарастании или затухании колебаний.
С целью дальнейшего упрощения системы уравнений (28)-(33) сделаем, как и в [1], дополнительное допущение, что объемная концентрация частиц постоянная и возмущение для объемной концентрации отсутствует, т.е. а,, = const, й0 = 0. Перекрестным дифференцированием из уравнений (28)-(29) и (31)-(32) исключаем давление. Тогда система уравнений (28)-(33) принимает вид
Л. 0flo\ -..r/i ~ ., dv d'V dv2¡¡ dv a0 s, |Y.T „
—uú ikv?i¡--+ ikv kv-jn------v?n—ñ H---=--iku?n —
К 20 эу J \ 20 ay) 10 Эу 20 Зу2 дуду 1-щ, z LV 20
i■ - М ■ ■ .-■.■ i з- (35)
ду
о--(
ikv?J
ЯУю
ду
)]
ikv10 —
ду
дУ2 о ду
= О
(36)
., dv iku,n---u?
a2v dü20au
ikü-,ci —
Эу
'ду
= О
'ду2
ду ду
— = - и ikv,n -
(37)
(38)
Следовательно, для определения четырех составляющих скорости 1 К" имеем четыре уравнения (35)-(38). Для решения уравнений
(35)-(38) можно ввести две функции тока:
(39)
так как решения для уравнений возмущений тоже имеют аналогичный вид (34). Решения (39) представляют собой бегущую волну или так называемую
волну Толлмина-Шлихтинга. Здесь к - волновое число, вещественная величина, связанная с длиной I волны возмущения соотношением I = 2% / к, а величина а, как и по-прежнему, комплексная, уАу), (р(у) - амплитуды функции тока для возмущений газа и частиц, соответственно. Тогда если положить
мы тем самым проинтегрируем уравнения неразрывности (36)-(38), а из уравнений (35) и (37) учитывая допущения о << 1 и проводя несложные выкладки имеем
Уравнения (40) умножим на Яв, а уравнение (41) на г и имеем
Здесь £> = ^ -к2 - дифференциальный оператор.
В уравнения (42), (43) все функции зависят от одной переменной у и производные берутся относительно этой переменной, поэтому вместо частных производных можно рассмотреть обыкновенные производные и в результате получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной:
где О = ^ — к2 - дифференциальный оператор, Л = р А = Я,. + iЯi - неизвестная постоянная, подлежащая определению, Аг - фазовая скорость, А - коэффициент нарастания, f = оД - массовая концентрация частиц. Если А > 0, то течение неустойчиво, если А < 0 - устойчиво. Если же А = 0, то колебания нейтрально устойчивы, кривая или поверхность в который А, = 0 называется кривой или поверхностью нейтральной устойчивости.
Наиболее полные уравнения описывающая движение вязкой несжимаемой двухфазной среды приведены к безразмерному виду и определены безразмерные параметры: волновое число, число Рейнольдса, время релаксации и массовая концентрация частиц. Применяя метод малых возмущений к обезразмеренным уравнениям получены система уравнений для возмущающего движения. Каждая из составляющих возмущения представлены в виде волн Толлмина-Шлихтинга. Затем вводя две функции тока получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Таким образом, математические модели гидродинамической устойчивости для двухфазных потоков сводится к краевой задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Список литературы
1. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прик. матем. и мех. - М., 1956. - № 2 (20). - С. 184-195.
2. Нигматулин Р.И. Уравнения гидромеханики и волны уплотнения в двухскоростной и двухтемпературной сплошной среде при наличии фазовых превращений // Изв. РАН. Сер. Механики жидкости и газа. - М., 1967. -№ 5. - С. 33-47.
3. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред: в 2-х Т. 1. - М.: Наука, 1987. - 464 с.
4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред: в 2-х Т. 2. - М.: Наука, 1987. - 360 с.
5. Дементьев О.Н. Устойчивость конвективного движения среды, несущей твердую примесь // Гидродинамика Сб. науч. Тр. Пермского I ПИ. -Пермь, 1974. - № 7. - С. 3-15.
6. Saffman P.G On the stability of laminar flow of a dust gas // J. Fluid mech. -1962. - № 1 (13). - P. 120-128.
7. Drew D.A. Stability of a Stokes layer of a dusty gas // Phys. Fluids. -1979. - № 11 (22). - P. 2081-2086.
8. Drew D.A. Mathematical modeling of two-phase flow // Ann. rev. fluid mech. - 1983. - № 15. - P. 261-291.
9. Michael D.H. The stability of plane Poiseuille flow of a dusty gas // J. Fluid mech. - 1964. - № 1 (18). - P. 19-32.
10. Stewart H.B. Stability of two-phase flow calculation using two-fluid models // J. comput. Phys. - 1979. - № 2 (33). - P. 259-270.
