CC BY
13
УДК 532.529:534.2
РАСПРОСТРАНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В МНОГОФРАКЦИОННЫХ ГАЗОВЗВЕСЯХ
Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН, Е.А. ТЕРЕГУЛОВА
Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской
академии наук
Изучено распространение акустических волн в смесях газа с фракциями частиц разных материалов и размеров. Представлена математическая модель, получены дисперсионное соотношение, рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние размеров частиц и параметров дисперсной фазы для многофракционной газовзвеси с частицами льда, песка и сажи на диссипацию и дисперсию звуковых волн.
Ключевые слова: многофракционная газовзвесь, акустические волны, дисперсионное соотношение, дисперсия, диссипация.
Исследование акустики и волновой динамики многофазных сред представляет значительный теоретический и практический интерес, в связи с широким распространением таких сред в природе и использованием их на практике [1]. Основные модели волновой динамики дисперсных сред и ряд результатов в этой области представлены в книге [1]. В монографии [2] дан краткий обзор результатов по исследованию акустических возмущений в монодисперсных газовзвесях без фазовых превращений. Влияние полидисперсного состава газовзвеси на распространение монохроматических возмущений в однокомпонентных смесях газа с частицами или пара с каплями показано в [3]. В работе [4] исследованы особенности распространения монохроматических волн в двухкомпонентных полидисперсных смесях газа с паром и каплями жидкости. Распространение сферических и цилиндрических волн малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями рассмотрено в статье [5]. Получена общая дисперсионная зависимость волнового числа от частоты колебаний и теплофизических свойств фаз. Авторами [6] изучен аномальный эффект немонотонной зависимости диссипации слабых гармонических и импульсных возмущений от массовой концентрации капель в монодисперсных аэрозолях с тепломассообменом. Достаточно полное изложение линейной теории распространения плоских возмущений в моно- и полидисперсных двухфазных смесях газа с паром и каплями жидкости дано в [7].
В работе [8] исследовано распространение акустических волн различной геометрии в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров без учета фазовых превращений. Особенности распространения плоских, цилиндрических и сферических волн малой амплитуды в парогазокапельных смесях с твердыми частицами проанализированы авторами [9,10,11].
В настоящей работе изучается распространение плоских, цилиндрических и сферических волн малой амплитуды в многофракционных смесях газа с произвольным количеством твердых частиц разных размеров и веществ, с существенно различными теплофизическими свойствами.
© Д.А. Губайдуллин, Е.А. Терегулова Проблемы энергетики, 2012, № 7-8
Аналогично работе [7] линеаризованная система уравнений возмущенного движения многофракционной газовзвеси с твердыми частицами разных материалов и размеров в системе координат, относительно которой невозмущенная среда покоится, записывается в виде:
^(ИЬ
драг
(дУ/
-р/ о
V
дг г
N
Л
о, ( = 2, N),
дУ д ' N дУ'
Рю-у ^+ !по;// = 0, = п/о//, (;=
;=2
РЮСр1 ^ = «Ю ^ - Е г^Ь/ЯД^!; (Т1 - ТЕ/ ),
;=2
эт'
Р;ос/ -д, = -2ппоу«Л-шу( - ТЕ/), = 2,N)
^1/ ( - + (( - ТЬ) = 0, (} =
Р р1 + Т° Т',
Т1аю то
Гш = бто/Щ (у - V}), /в/ = в/ | - ^О)
-ю
6<Я/>/ПЙр[, // = // + /в/. (/" = 2,N)
- т
в =
N
т, =—г-, т =Е т;
Р1
N«1/ (®) =
П1( *1/) =
/=2
П1( ^/О 1
, Ки/(ю) =
1 +
21]
П;(0 = -
^ -
(3 + )
Ъ = ^(«тхЪ)1/2, ^ = У(«т,/)1/2, (/ = 2,^
Л
л V
= Х^= -, к1 =.
1
1 к/ = —/-
(/=2,N).
(1)
Р1°р1 p-■c-■
Система уравнений (1) при значениях параметров 9 = о описывает плоские волны в декартовой системе координат, при 9 = 1 - цилиндрические волны в цилиндрической системе координат, 9 = 2 - сферические волны в сферической системе координат. Здесь и далее переменные с индексом 1 относятся к несущей фазе, с
индексом 2, N относятся к частицам дисперсной фазы радиуса aj, (( = 2, N) . Индекс 0
соответствует начальному невозмущенному состоянию. Штрихи вверху используются для обозначения возмущенных параметров. Здесь и далее: р - приведенная плотность;
р° - истинная плотность; v - скорость; а - объемное содержание; m - массовое содержание; p - давление; T - температура; f - суммарная сила, действующая на
индивидуальную частицу дисперсной фазы; № - число Нуссельта; Cj, (( = 2, N) -
теплоемкость частиц дисперсной фазы; ср1 - теплоемкость при постоянном давлении несущей фазы; X - теплопроводность.
Система уравнений (1) замкнута и может быть использована для исследования распространения акустических возмущений в многофракционных смесях газа с твердыми частицами разных теплофизических свойств и размеров в плоском, сферическом и цилиндрических случаях.
Введем потенциалы скоростей фаз и будем исследовать решения полученной системы уравнений в виде прогрессивных волн для возмущений
П' = Лцу, (2)
где
у = ехр(К*г — —)J - для плоских возмущений, у = н0\К*г)ехр(—г—) - для цилиндрических возмущений, у = — ехр[/(К*г — —)] - для сферических возмущений,
К* = К + гК** , Ср = —, ст = 2пК**.
р К К
Здесь Лп - амплитуда колебаний возмущений параметров; К* — комплексное волновое число; г - мнимая единица; Ср - фазовая скорость; К** - линейный
коэффициент затухания; ст - декремент затухания на длине волны; Н0^ (г) - функция Ханкеля, являющаяся комбинацией функций Бесселя первого и второго родов нулевого порядка Jo(г) и 7о(г) (Н01)(г) = -10(г) + гГ0(г)).
Подставляя потенциалы скоростей и решения вида (2) в систему уравнений (1), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
4(0 Лр1 — Р10гК* Лф1 = ° -г—Лр/ 0 — р j 0гК* Лр = 0, () = 2, N)
т,
N
I
V) =2 Ху)
■ — г—
N
т,
гК т
Лр1 +— Лр1 -1-тЛчу = 0: р10 j=2V
г— — -
' N
I-
)=2 ТТ1)
Л
4- Лр>- —4-Лр1=0, ()=2^)
(3)
у
1
- — г—
"V)
ЛТ1
г—
р10ср1
N
-Лр1 — I-
1
)=2 ТТ1) 5
'ЛТI) = 0 =
-- /ю
V
тТ
/
%А^ = о, (( = 2, N)
тТ
СР1 А
ЧЬ АТ1 + тТ1 /
С
Т1аю
( \
ср1 - — * *
тТ1/ тТ/
Р1о
т с • _
Ат I/ Ат/ = о, (/ = 2, N)
тТ/
Ар1 + ^ АТ1 - АР1 = о
То
Т1~ Лр1
ту тv/■
ТТК/ У
-1
2 р^^' т = Р1 а/ = 9 ц
V/ ^, ( = 2, N)
Ц1
тТ 1 /={О^ тТ/ = 3 * 4 (/=
3 а / 1 + /
2/ - 2/ )
= ^ (ют,1/ )1/2, ^ = (ют,/ )1/2, (/ = 2, ^
Л
2 2 а2 т =а/
7
т,1/ = к-, Ч/ = к-, к1 ="7—, к/ = о
к1 к/ Р1Ср1 Р jcj
, (/ = 2, N).
Из условия существования нетривиального решения у системы линейных алгебраических уравнений (3) получено следующее дисперсионное соотношение:
ю
= V (ю)О (ю),
(4)
где
N
V (ю) = 1+ Е
т/ -* * т/С/ * тт/ = тТ +
/ =21 - /юту
N
Е
С
р1
тТ1/;
т,с
О (ю) = 1 + ( -1)
/=2 Ср1 1 - /ю
N
1+Е
т/С
/=2 СР1 1 - /ю тт^/
1
1
В качестве примера по полученному дисперсионному соотношению рассчитаны дисперсионные кривые для трехфракционной смеси воздуха с частицами песка
(радиуса га = 1о 6 м), сажи (г3 = 8 -Ю 6 м) и льда (г = 1о 5 м) с различным массовым содержанием частиц включений. На рис. 1,2 показаны зависимости относительной скорости звука и декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ютга соответственно. Расчетные зависимости построены с помощью дисперсионного соотношения (4). Из рисунков 1,2 видно, что с увеличением массового
содержания частиц растет дисперсия скорости звука и диссипация волн. Учет трехфракционного состава и различия теплофизических параметров фракций приводит к возникновению характерных перегибов для зависимости относительной скорости звука в области частот, обратно пропорциональных характерным временам релаксации скоростей фаз тга, т^ и (рис. 1). Как показано на рис. 2, различие размеров включений и теплофизических параметров фракций частиц приводит к возникновению трех пиков для зависимости декремента затухания на длине волны на характерных
величинах ют,.
ЮТ, И fflTvJ = 1.
Ср/С^ 1,0 0,9 I a
II III /¥ f'f /// / ' • 0,6
0,8 0,7 У * / / '' ./' 0,4
/ /' - " / 0,2
0,6 0,5 0,0
—.........—.........— ........—........—.........—.........—<- ........—
II
- - III
10-J
101
10-3
10
100 101 102 103 104 ют.
i1
14
Рис. 1. Зависимость относительной скорости звука от безразмерной частоты колебаний <»Tvs для
трехфракционной смеси воздуха с частицами песка, сажи и льда при различном массовом содержании всех включений (I - ma=0,05; m,=0,1; ms=0,15; II -ma=0,05; m=0,1; ms=0,35; III - ma=0,05; m,=0,1; ms=0,55)
Рис. 2. Зависимость декремента затухания на длине волны от безразмерной частоты колебаний ютга для трехфракционной смеси
воздуха с частицами песка, сажи и льда при различном массовом содержании всех включений (I - ma=0,05; m,=0,1; ms=0,15; II -ma=0,05; m,=0,14 ms=0,35; III - ma=0,05; mt=0,1; ms=0,55)
Итак, в настоящей работе представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения для многофракционной смеси газа с твердыми частицами разных размеров и теплофизических свойств. Выведено дисперсионное соотношение, определяющее распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений малой амплитуды. Рассчитаны дисперсионные кривые. Проанализировано влияние параметров дисперсной фазы для трехфракционной газовзвеси с частицами песка, сажи и льда на диссипацию и дисперсию звуковых волн.
Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ РФ (грант НШ-834.2012.1) по программе Президиума РАН №23П, при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00098) и Министерства образования и науки РФ (государственный контракт №14.740.11.0351).
vs
Summary
Propagation of acoustic waves in mixture of gas with fractions of particles of different materials and sizes is investigated. The mathematical model is presented, the dispersion relation is received, and dispersion curves are calculated. The influence of particle size and the parameters of a disperse phase for the multifractional gas mixture with
particles of ice, sand and soot on the dissipation and a dispersion of acoustical waves is analysed.
Key words: multifractional gas-particle mixture, acoustical waves, dispersion relation, dispersion, dissipation.
Литература
1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987.
2. Temkin S. Suspension acoustics: An introduction to the physics of suspension - Cambridge University Press, 2005. - 398p.
3. Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1988. № 5. C. 115-124.
4. Губайдуллин Д.А., Ивандаев А.И. Влияние полидисперсности на распространение звука в смесях газа с паром и каплями жидкости // Журнал прикл. мех. и техн. физ. 1993. № 4. С. 75-83.
5. Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми превращениями // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №5. С. 85-94.
6. Нигматулин Р.И., Ивандаев А.И., Губайдуллин Д.А. Эффект немонотонной зависимости диссипации звука от концентрации капель в акустике газовзвесей // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, № 3. C. 601-605.
7. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.
8. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с частицами разных материалов и размеров // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 1-2. С.25-33.
9. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Влияние фазовых превращений на распространение акустических волн в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров // Теплофизика высоких температур. 2011. Т.49. №6. С. 942947 / Gubaidullin D.A., Nikiforov A.A., Utkina E.A. Effect of the phase transformations on acoustics of a mixture of gas with vapor, droplets, and solid particles // High Temperature. 2011. Vol. 49. No. 6. P.911-916.
10. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А., Уткина Е.А. Акустические волны в двухфракционных смесях газа с паром, каплями и твердыми частицами разных материалов и размеров при наличии фазовых превращений // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. №1. С.95-103 / Gubaidullin D.A., Nikiforov A.A., Utkina E.A. Acoustic waves in two-fraction mixtures of gas with vapor, droplets and solid particles of different materials and sizes in the presence of phase transitions // Fluid Dynamics. 2011. V.46. No.1. P.72-79.
11. Никифоров А. А., Уткина Е.А., Гафиятов Р.Н. Акустические возмущения в парогазожидкостных системах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. МЖГ. 2011. №4(3). С.1017-1018.
12. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
13. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препр. АН СССР, Сиб. Отделение: ИТФ, 1976. Т. 5. 19 с.
Поступила в редакцию 23 мая 2012 г.
Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, директор Института механики и машиностроения КазНЦ РАН, член-корр. РАН. Тел.: 8 (843) 236-52-89. E-mail: gubajdullin@mail.knc.ru.
Терегулова Евгения Александровна - научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел.: 8 (917) 9153766. E-mail: teregulova@inbox.ru.
