ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ ЗЕРНИСТЫХ СРЕД С УЧЕТОМ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ДВУХФАЗНЫХ ЗЕРНИСТЫХ СРЕД С УЧЕТОМ

ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

Поленов Виктор Сидорович

доктор физ.-мат. наук, профессор ВУНЦ ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е.Жуковского и Ю.А. Гагарина»

г, Воронеж

DYNAMIC DEFORMATION OF TWO- PHASE GRANUL AR MEDIA WITH CONSIDERATION OF

PHASE TRANSITIONS

Polenov Viktor

doctor of physics-mat. science, Professor VUNTS air force "Military and air Academy of a name Professor N.E. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin'

Voronezh

Аннотация

В данной статье изучается распространение волн в двухфазной среде, с учетом фазовых переходов, где первой фазой является жидкость или газ, а второй - зернистая твердая среда. Зерна твердой фазы представляют собой сферически- симметричные частицы постоянного радиуса. В таких средах механизм передачи усилия проявляется через контакты между зернами. В этом случае эффекты прочности твердой фазы проявляются в тензоре фиктивных напряжений. Предполагается, что микро-деформации и смещения твердой фазы малы. Жидкость первой фазы будем считать сжимаемой.

Abstract

This article studies the propagation of waves in a two-phase medium, taking into account phase transitions, where the first phase is a liquid or gas, and the second is a granular solid medium. The grains of the solid phase are spherical- symmetrical particles of constant radius. In such environments, the mechanism of force transfer manifests itself through contacts between grains. In this case, the effects of solid phase strength are shown in the fictitious stress tensor. It is assumed that micro-deformations and displacements of the solid phase are small. The liquid of the first phase will be considered compressible.

Ключевые слова: среда, волна, деформация, скорость упругость, жидкость, пористость.

Keywords: medium, wave, deformation, elastic velocity, liquid, porosity.

В работах [1,2,4,7,8] рассматривалось деформирование однородных и неоднородных пористых сред насыщенных жидкостью, где показано, что в таких средах существует два типа вон и определены скорости и интенсивности их распространения.

Основные соотношения, определяющие процесс динамического деформирования двухфазных зернистых сред с учетом фазовых переходов можно описать системой [3,5,6]:

- уравнения движения фаз среды (импульсов фаз) в случае фазовых переходов имеют вид

dV1

dV2к

Pl1 dt Pl2'dt

= —a-,

dPi

д хк

— n -j2i(V2k — Vik)

д V

i д V^ к

Pl2 dt P22'

д

= a

dPi

2 dxk

dafk1

~дХХГ

(1)

— n ■j2i(V2k — Vik)

где V!1 (1 = 1,2) — скорости перемещения фаз

д

частная производная по времени;

среды; д;

д

г^ц —частная производная по координате ; р11 и р22 —массы жидкости и твердой фазы в единице объема среды; р12 —коэффициент динамической связи жидкости и твердой фазы; ]'21 —интенсивность фазовых переходов массы из

2 —ой в 1 — ю составляющую (j2i < 0), если наоборот, то ji2 >0; n — число дисперсных частиц.

аI - доли объема среды; о^ —фиктивные напряжения двухфазной среды; р1 —давление жидкости (газа) в первой фазе;

- обобщенный закон Гука для фиктивных напряжений двухфазной среды

akl = a2[Xfe2JimSki + + vfpiSkl]

(2)

Ь]

где е2

тензор деформаций твердой фазы; Х^р.^, у^ —фиктивные модули упругости среды. Они однозначно выражаются через модули упругости Ламе и модули упругости зернистого скелета (твердой фазы); 5к1 —символ Кронекера;

а2 —доля объема твердой фазы в среде; —давление жидкости в первой фазе. - давление в первой фазе, выраженное через деформации твердой фазы

(3)

Скорость тензора упругих деформаций твердой фазы выражается через скорость твердой фазы по формуле

д If д V? dVj\ (4)

dt 2\ дх1 дхк

Компоненты контравариантных тензоров Для определения скоростей волн двухфазной

будем обозначать верхними индексами. среды, продифференцируем (1) - (3) по £

По повторяющимся верхними индексами проводится суммирование от 1 до 3.

д2У^ д2У£ д2рг , дУ:2 дУ?

dt2 Pl2 dt2 = Uldtdxk n']2l(dt dt

d2Vk d2p1 d2<jfl . dV2 dVf

____2 _ d Hl u uf . (dv2 dv1

~dtr-H22 dt2 =a2dxkdt dxldt n'hl(dt dt

(5)

drf1 dVV1 .. dv£ dvi

dp1 = AdVl dt dxk

Пусть число зерен n в среде постоянно и зерна через объемное содержание дисперсной фазы по представляют собой сферически - симметричные формуле частицы радиуса г = const, которые выражаются

3 (6)

П = ~л-Ча2

4пг3 2

Дифференцируя третье и четвертое уравнения дифференциальных уравнений относительно V™ и (5) по хт и учитывая (6), получим систему двух V™

d2V1 d2V ^ d2V2n d2v£ dV? dV? (7)

— P22—--+ а2Лл ^ , „--+ a2u.f-----+ba2i2l(—----—) = 0

И12 dt2 И22 dt2 2 ldxkdxm ' dxm dxm 2121K dt dt 1

3

h=—n' ^l=bf+lif-{l-vf)A

Решение системы (7) будем искать в виде затухающих волн

Vf = ехр[Ш - (а + i/S)xmvm] = ехр[Ш - (а + ip)xmvm],¡3

Здесь Vт —означает единичный вектор в а > 0, фазовой постоянной р и амплитудами Ск и направлении распространения волн со скоростью с! ,1 = — мнимая единица. с > 0, частотой ш > 0, коэффициентом затухания Подставим (8) в систему (7), получим

■2г к I „ ,.*2гк I „ I ;о\2гт^,к~,т

—р11ш2С1к + р12ш2Ск + а±Л(а + iр)2Стvкvт + Ъа2]21(шСк — шСк) — 0

—р12ш2Ск + р22ш2Ск + а2Л1(а + + а2цг(а + ¡р)2С^^т + (9)

+Ьа2]21(шС2к — ¿шС^) — 0

Характеристики поперечной волны определяются из уравнения (9), если положить в нем Сlcvк — 0, С^к — 0 и vтvт — 1; получим

(рцш2 + ¿шЬа2)21)С1{ — (р^ш2 + ¿шЬа2)21)С2к — 0 (р^ш2 + шЪа2]21)С1к — [р22ш2 + шЪа2]21 + а2^г(а + 1Р)2]С2 — 0

Условием существования ненулевых решений однородной системы (10) служит равенство нулю ее определителя, что приводит к уравнению

кш3 + р11а2^{(а + 1р)2ш + ¿[Аш2 + а2^^(а + 1Р)2]Ъа2]21 — 0

к = рцр22 — р^2> А= р11+ р22 — 2Р12

После преобразования выражения (11) и разделения действительной и мнимой частей, получим систему уравнений относительно аир

а2 —р2 = В1

2а р — В2

ш2[кр11ш2+А(Ьа2]21)2] р _ Ь]21Ы3а2(к-р1±А)

В —--о-В? — ■

22

(10)

(11)

(12)

а2^[(.Р11—)2 + (Ь а2]21)2]' а2Рг[(Р11Ы)2 + (Ьа2]21)2]

переходов, когда зерна твердой фазы представляют Из системы (12) находим коэффициент собой сферически - симметричные частицы затухания а1 и фазовую постоянную р( для постоянного радиуса поперечных волн, распространяющихся в двухфазной зернистой среде с учетом фазовых

(к — рцА)Ъ]21Ш2^а2

^2^гХ2(Х1 + VХ2Хз)

рь — ш-

N

Х1 + VX2Xз (13)

2а2^гХ2

/1 = [кр11ш2 + А ' (Ъ ' а2 -]21)21 Х2 = (Л11ш)2 + (Ъ-а2 - к!)2

Хз — (кш)2 + (Аа2^21)2

Скорость распространения поперечной волны распространения поперечной волны в двухфазной определим из равенства — —, где —скорость зернистой среде

с* =

Хг + 4X2X3

(14)

Если в двухфазной среде отсутствуют фазовые поперечные волны только в твердой фазе и их переходы (]21 = 0), то из (14) следует, что в скорости определяются формулой рассматриваемой среде распространяются

Се =

Р11Р22 Р22

(15)

Характеристики продольных звуковых волн (9) на ук и просуммируем по повторяющемуся определим из (9), если положить Скук = 01 Ф 0, индексу т. В результате получим Скук = 02 Ф 0. Для этого умножим оба уравнения

(РиШ2 + 1Ъа2]21^)В1 — [Р12Ш2 + агЛ(а + + 1Ъа2}21^]^2 = 0

(16)

(Р12Ш2 + 1Ъа2]21^)01 — [Р22^2 + а2Л1(а + 1@)2 + а2Рг(а + 1@)2 + 1Ъа2}21^\02 = 0

Составим определитель системы и приравняем его к нулю

РиШ2 + 1Ьа.2]21Ы Р12Ш2 + 1Ьа2]21Ш

— [р12ш2 + а1Л(а + 1р)2 + №а2]21ш\

— [Р22ы2 + а2Л2(а + ф)2 + 1Ьа2]21Ш

=0

Л2=ЛГ + 2цг — (1 — уг)Л

(17)

После раскрытия определителя (17) и разделения на действительную и мнимую части, получим

2_Я2- + У2^2

Я+Я

а2—р2 = — 2ар =

22 1+

¥1^2 — ¥2^1

= Ри^2Л2Ш — р^^Лш

& = а^Л2Ь]21 — а.1ЛЪа2)21 ¥1 = кш3, у2 = АЪа2)21^>2

(18)

Из системы (18) находим коэффициент переходов, когда зерна твердой фазы представляют

затухания аь и фазовую постоянную р1 для собой сферически - симметричные частицы

продольных волн, распространяющихся в постоянного радиуса. двухфазной зернистой среде с учетом фазовых

0-1 =

(¥1^1 + ¥2(2)

+ Ш¥1?1 + ¥2(2) + Ш+ Г2Ж + &)\

Р1 =

(Г1*1 + ¥2(2) + 4(¥12+¥22Ж?+?22)

2(К + ®

Учитывая, что р1 ——, где С1 — скорость

с1

распространения продольной волны, получим

Если в среде отсутствуют фазовые переходы, то скорость распространения продольной волны определяется формулой

Формулу (20) можно записать в другом виде, если введем следующее обозначение

Тогда формула (20) примет

Таким образом, зная вид затухающих волн, по формулам (13), (14), (19) и (20) или (23), можно определить скорости распространения и коэффициенты затухания волн в двухфазной зернистой среде.

Список литературы

1. Biot M.A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid I. Low-frequency range//J. Acoust. Soc. America. 1956. V. 28. № 2. P. 168 -178.

2. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах //ПММ. 1959. Т. 23. Вып. 6. С. 1115 - 1123.

3. Киселев Г.К., Гусев А.П. и др. Ударно-волновые процессы в двухкомпо-нентных и

(20)

(21)

(22)

(23)

двухфазных средах// Новосибирск. ВО «Наука». Сибирская изда-тельская фирма. - 1992. 261 с.

4. Масликова Т.И. Поленов В.С. О распространении нестационарных упругих волн в однородных пористых средах// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 1. С. 104-108.

5. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред//М.: Наука, 1978. 336 с.

6. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред//М.: Наука. ч. 1. 1987. 464с., ч. 2. 1987. 380 с.

7. Поленов В.С. Распространение упругих волн в насыщенной вязкой жидкостью пористой среде// ПММ. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 501-507.

8. Polenov V.S., Chigarev A.V. Mathematical modeling of shock waves in inhomogeneous viscoelastic two component media// Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018. 6. (5). P. 997 - 1005.

=

2co2( £ + (2)

(Vifi + ¥2^2) + JW+Ym'i+tt)

=

Piia2^2 - Pi2aiЛ

PiiP22 — Pi22

V2

1+

тЪ — Y2%i\ Wi + Y2U

вид

Ci =

N

2co2(tf + &

(Yi^i + Y2^)(1 + V2)