CC BY
41
Оригинальная статья / Original article УДК: 62.752, 621:534;833; 888.6, 629.4.015;02 DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-23
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ: ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧАСТОТНОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ЧАСТЬ II
© С.В. Елисеев1, Р.С. Большаков2, Нгуен Дык Хуинь3, Выонг Куанг Чык4
Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
Резюме. Цель. Целью исследования является разработка метода определения частот собственных колебаний в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы на основе введения понятия о частотной энергетической функции. Предлагаемая функция отличается от энергетической функции Рэлея добавлением в исходное выражение, представляющее собой отношение потенциальной и кинетической энергий, коэффициентов связи между параметрами движения массоинерционных звеньев, характерных для главных форм свободных движений. Материал. Методы. Возможности метода показаны на примерах оценки особенностей динамических свойств движения в системе с двумя степенями свободы. Для механических колебательных систем с несколькими степенями свободы движений характерны соотношения между координатами движения, которые формируются из-за наличия в системах рычажных связей. Детализация таких представлений возможна на использовании межпарциальных передаточных функций в межкоординатных взаимодействиях. Работа построена на основе использования методов теоретической механики и теории управления системами в интерпретациях, относящихся к методологии структурного математического моделирования. Результаты и их обсуждение. Теоретические выкладки подтверждаются результатами численного моделирования. Возможны аналитические подходы в оценке частот собственных колебаний, так как при собственных колебаниях частотная энергетическая функция принимает экстремальные значения. Заключение. Предложен метод определения частот собственных колебаний для систем с несколькими степенями свободы, допускающий возможности аналитических подходов и графоаналитических приложений.
Ключевые слова: частотная энергетическая функция, собственные колебания, формы колебаний, межпарц и-альные связи.
Формат цитирования: Елисеев С.В., Большаков Р.С., Нгуен Дык Хуинь, Выонг Куанг Чык. Определение частот собственных колебаний механических колебательных систем: особенности использования частотной энергетической функции. Часть II // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. № 7. С. 10-23. 001: 10.21285/1814-3520-2016-10-23
MECHANICAL OSCILLATION SYSTEM NATURAL FREQUENCY DETERMINATION: APPLICATION FEATURES
OF FREQUENCY ENERGY FUNCTION. PART II
S.V. Eliseev, R.S. Bolshakov, Nguyen Duc Huynh, Vuong Quang Truc
Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia.
Abstract. The purpose of research is development of the determination method of eigen oscillation frequencies in mechanical oscillation systems with several degrees of freedom through the introduction of the concept of frequency energy function. The main difference of the proposed function from Rayleigh dissipation function is the introduction of the coeffi-
Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, директор Научно-образовательного центра современных технологий системного анализа и моделирования, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
Eliseev Sergey, Doctor of Engineering, Professor, Chief Researcher, Director of the Scientific-Educational Center for Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
2Большаков Роман Сергеевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru
Bolshakov Roman, Candidate of Engineering, Senior Researcher of the Scientific-Educational Center for Modern
Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru
3Нгуен Дык Хуинь, аспирант, e-mail: huynhnd1987@gmail.com
Nguyen Duc Huynh, Postgraduate, e-mail: huynhnd1987@gmail.com
4Выонг Куанг Чык, аспирант, e-mail: trucvq1990@gmail.com
Vuong Quang Truc, Postgradute, e-mail: trucvq1990@gmail.com
cients of relationship between the motion parameters of mass-inertial links characteristic for the main forms of eigen motions in the initial equation which is represented by the ratio of potential energy to kinetic energy. Material. Methods. The potential of the method is shown on the estimation examples of the features of dynamical properties of motion in the system with two degrees of freedom. Ratios between movement coordinates that are formed due to the presence of lever ties are typical for mechanical oscillation systems with several degrees of motion freedom. Specification of these ideas is possible when using inter-partial transfer functions under inter-coordinate interactions. The research work is based on the use of the methods of theoretical mechanics and system control theory in the interpretations relating to the methodology of structural mathematical modeling. Results and their discussion. The results of numerical modeling prove theoretical ideas. Analytical approaches are possible in the estimation of eigen oscillation frequencies since frequency energy function takes extremal values under eigen oscillations. Conclusion. A method to determine the frequencies of eigen oscillations is proposed for the systems with several degrees of freedom. The method concedes the possibilities of analytical approaches and graph-analytical applications.
Keywords: frequency energy function, natural frequencies, oscillations modes, interpartial ties
For citation: Eliseev S.V., Bolshakov R.S., Nguyen Duc Huynh, Vuong Quang True. Mechanical oscillation system natural frequency determination: application features of frequency energy function. Part II. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, no. 7, pp. 10-23 (in Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-23
Введение
Во второй части статьи представлено продолжение исследований, начатых в первой. Показано, что метод введения частотной энергетической функции может быть распространен на систему с двумя степенями свободы с твердым телом, а также на системы, включающие дополнительные элементы в виде устройств для преобразования движения.
При изложении результатов исследований нумерация формул и рисунков продолжается по первой части статьи, а библиография формируется независимо от нее.
Механическая колебательная система с твердым телом, совершающим угловые колебания на упругих опорах
Расчетная схема системы представлена на рис. 6, а и состоит из объекта с массоинер-ционными параметрами M (масса) и J (момент инерции), опирающегося на упругие элементы с жесткостями k1, к2. Движение системы может быть рассмотрено в двух системах координат. Первая система координат у и у2 связана с неподвижным базисом, а у! и у2 отражают перемещения в точках крепления упругих элементов с жесткостями к1 и к2 соответственно. Вторая система координат связана с движением центра тяжести твердого тела уо и углом поворота ф относительно центра тяжести. Система координат связана между собой соотношениями:
|Уо = щ + Ьу2, 9 = с ■ (у2 - у);
1У1 = Уо - А9У2 = Уо + кф-
Соответственно кинетическая и потенциальная энергия в системе координат у1 и у2 имеют вид:
Т =^(Ма2 + Л2)у1 +^(МЬ2 + Л2)у22+(МаЬ-Л2)у1у2; (25)
П = 1 кУ +1 к2У\, (26)
где а = ^2 ,Ь = —-—,с = —1—, а /1, /2 - расстояния от центра тяжести до точек крепления 11 ^ 12 11 ^ 12 11 ^ 12 упругих элементов.
В системе координат у0 и ф выражения (25), (26) преобразуются к виду:
T Лму1 + ^ф2 -
(27)
1 2I 2I 1 I \
П = - K ( % - Щ k2 ( Уо + /2^) = ^ У2 ( K + K ) + ~92 (К1! + ) + (k2k2 - Vl ) W (28)
2"
2
Используя методы структурного математического моделирования, построим структурные схемы исходной (рис. 6, а) и структурных (рис. 6, б, в) систем.
Рис. 6. Расчетная (а) и структурные (б, в) схемы системы с твердым телом с двумя степенями свободы: а - расчетная схема с объектом в виде твердого тела; б - структурная схема системы в координатах y1 и y2; в - структурная схема системы в координатах y0 и ф Fig. 6. Computational (а) and structural (б, в) schemes of the system with a solid with two degrees of freedom: а - a computational scheme with the object in the form of a solid, б - a structural scheme of the y1 and y2 coordinates system; в - a structural scheme of the y0 and ф coordinates system
В системе координат y и y2 межпарциальная связь, представленная звеном с передаточной функцией (Jc2 - Mab)p2, называется инерционной. При условии Jc2 = Mab парциальные системы не зависят друг от друга, а расчетная исходная система распадается на два независимых блока. В системе координат y0 и ф межпарциальная связь упругая. Если выполняется условие k1\1 = k2\2, то связь между парциальными системами распадается. Внешнее воздействие в координатах y и y2, представлено силой Q, приложенной в точке А (рис. 6, б).
При переходе к системе координат yo и ф учитывается условие равенства работы сил на возможных перемещениях обобщенных координат. В связи с этим на структурной схеме системы в координатах y0, ф (см. рис. 6, б) имеется две обобщенных силы: Q - в центре тяжести, момент пары сил Q\i = Mab - относительно центра тяжести.
Рассмотрим свойства системы в координатах y и y2. В этом случае из структурной схемы, представленной на рис. 6, б, можно определить передаточные функции системы:
У {Mb2 + Je1 ) p2 + k
Wi( p) = У1 = {-)p-2 •
Q
Л( p)
(29)
y {Je2 - Mab ) p2
W (p) = I2 = i->—
Q Ai( p)
(30)
где
A ( p) = [(Ma2 + Je2 ) p2 + K ] • [(Mb2 + Je2 ) p2 + k2 ] - ( Je2 - Mab)2 p
(31)
в
4
Передаточная функция межпарциальной связи определяется выражением
W- -(p) = У-2 =
' ' V-,, у \-Г / —
( Je2 - Mab ) p2
у! (Mb2 + Je2) p2 + k2
(32)
Запишем выражение для частотной энергетической функции, принимая у2 = а1у1:
о2 (a) = ■
kj + k2ax
' Ma2 + Je2 + (Mb2 + Je2) af + 2 (Mab - Je2) a ' Характерные режимы в системе координат связаны со следующими соотношениями:
(33)
(o2(ax) =
о2 (a) = -
k
Ma2 + Je2
при a1 = 0;
при a1 ^ x.
МЬ2 + Зе2
Для численного расчета примем к1 = к; к2 = 2к; J = {0,1 М; 0,5М; 1М); /1 = 0,3 м, ¡2 = 0,5 м.
На рис. 7 представлены графики зависимостей в трех вариантах в предположении, что выполняется условие -ш < а1 < да.
Рис. 7. Семейство графиков ш (аJ при различных значениях параметров системы: kf = k; k2 = 2k; l1 = 0,3 м; l2 = 0,5 м: 1 - при J = 1M; 2 - при J = 0,5M; 3 - при J = 0,1M Fig. 7. ш2(а1) graph family at different values of the system parameters: k1 = k; k2 = 2k; l1 = 0,3 м; I2 = 0,5 м: 1 - at J = 1M; 2 -at J = 0,5M; 3 - at J = 0,1M
Используя свойство взаимности в механических колебательных системах [1] найдем,
что
(Je2 - Mab ) p2 (Ma2 + Je2) p2 + k,
(Mb2 + Je2) p2 + k (Je2 - Mab ) p
(34)
2
2
На рис. 8 приведены графики зависимости (34) для определения приближенным графоаналитическим методом параметров системы ац, а12 и ^'со6, . Парциальные частоты в системе координат у и у2 имеют вид:
К2 =
k
Ma2 + Jc2
(35)
,'2
Mb2 + Jc2
(36)
Jc2 - Mab
Mb + Jc2
0 a,
Рис. 8. Графики зависимостей У2 для определения частот собственных колебаний
и коэффициентов распределения амплитуд Fig. 8. Z2 dependency graphs for natural frequencies and amplitude distribution ratios determination
Из графика, представленного на рис. 8, видно, что частоты собственных и парциальных колебаний располагаются в соответствии с условием со[тб < n[ < n'2 < а)'2со5.
В системе координат y0 и ф передаточная функция межпарциальных связей определяется с учетом силового возмущения по двум входам:
W (p) = = JP2 + k]/'2 + •
1 Q ^2(P) ' W(p) = t = k/ - k/'2 ■
q a( p)
(37)
(38)
У k/ - k / W'(p) = y 0 = kl'l k2 2 •
1 Mab A (p) '
(39)
W p) = ^ = Mp2 + k1 + k2
2 Mab A (p)
(40)
a
12
После преобразования выражений (37)-(40) получим:
Wlj) = ъ = Jp2 + ^ + ^ + li~к2!2). 1 Q Мр) '
(41)
p) = ( = Q
k1l1 k2l2
+ li \Mp2 + kl + k2) 4( P)
где
a ( p)=(mp2+к + к) ■ (jp2+kj2+кц) - (кi - )
(42)
(43)
Введем в рассмотрение передаточную функцию межпарциальных связей:
KMP2 + 2kili + k2 (l1 - l2 )
Wpy (p) —
y0 jp2 + 2kl2 - k2l2 (li - l2 )'
(44)
По сравнению с предыдущим случаем, где у2(а), определяемое выражением (32),
У1
является безразмерной величиной, в системе координат у0 и ф соотношение (44) имеет размерность радиан/м. В этой системе координат рычажная связь трансформируется в винтовое соединение и может быть показана виртуальным винтовым рычагом [2, 3]. В рассматриваемом случае поступательная и вращательная формы движений связаны определенным соотношением, которое зависит от частоты внешнего воздействия. Отметим, что из (44)
Р _ 2У| + к2 (~ 12 )
уо 2kili k2l2 (l1 l2)
- при w = 0,
(45)
а при w ^ <x, найдем, что
W-- (p) = —=
P, yoyF ' —
p _ im
Уо
j
(46)
В свою очередь числитель (44) обнуляется при частоте
2к\1\ + к2 (11 _ 12 )
<< =-
Щ
(47)
а знаменатель - при частоте
_ 2k1l1 k2l2 (l1 l2) = J '
(48)
Запишем выражение для частотной энергетической функции:
со1 (a
(a2 ) =
ki + К + a22 ■ (kill2 + k2ll) + 2a2 ■ (k^ - kill)
M + a2 J
(49)
2
2
Характерные точки системы:
о2 (а2) = k при а2 = 0;
M
(50)
кл1л ^ kl
6)2 (аг) = 11 22 при Э2 ^Х. (51)
ч/ 9 V
На рис. 9 представлено семейство ^2(а2) для трех вариантов значении параметров: к = к; к2 = 2к; J = {0,1 М; 0,5М; 1М}; /: = 0,3 м; /2 = 0,5 м.
-IS -16 -Н -12 -1С -в -6 -А -2 О 2 4 6 8 10 12 14 16 1« А,
Рис. 9. Графики зависимости со{ад для определения собственных частот и коэффициентов распределения амплитуд Fig. 9. J2(a2) dependency graphs for natural frequencies and amplitude distribution ratios determination
Из анализа графиков, представленных на рис. 9, можно заключить, что частоты собственных колебаний системы остаются теми же, что и для системы координат у1 и y2.
Отметим, что между коэффициентом а1 и а2 существует вполне однозначная связь: ес-
У V с (y2 ~ У\) ли а = —- то а = = ^^- - тогда
У Уо ayi+ьУг
= ^ = =а±. (52)
Уо l2 У1 + кУг l2 + liai
Таким образом, зная а1, можно найти а2, и наоборот, что вполне объяснимо, поскольку между координатами y1, y2 и y0, ф существует соотношение (24).
Продолжая исследование динамических свойств системы в координатах y0, ф воспользуемся передаточными отношениями межпарциальных связей (рис. 10).
2k,l, + k (l, -12) 2kili2 - k2l2 (li -12)
Р / \
Рис. 10. График зависимости отношения амплитуд — (а) от частоты колебаний
Уо
Р i \
Fig. 10. Amplitude ratio — (с) vs oscillation frequency graph
yo
В любом случае можно сформировать ситуацию, когда взаимное влияние можно проверить. При этом можно сделать предположение, что в каждой системе координат главные формы возникают только при возмущении, подаваемом на один вход. Будет два варианта возбуждения собственных колебаний:
- подачей Q или приложением Q только в точке О, то есть в центре тяжести;
- действием момента, но только на входе звена Jp2 + kj2 + k2ll. При этом
Vi - k2l2
Jp2 + ktf + k2ll
Mp2 + k + k2 : M - k2l2
(53)
Для определения частот собственных колебаний воспользуемся точками пересечения графиков компонентов (53), как показано на рис. 11.
Jc2 - Mab
Mb2 + Jc
ki + k2 kili - k2l2
Рис. 11. Графики зависимостей Р(а) для определения частот собственных колебаний
Уо
и коэффициентов распределения амплитуд Fig. 11. dependency graphs for natural frequencies and amplitude distribution ratios determination
Парциальные частоты в системе координат y0, ф имеют вид:
п 2 _ k1 + k2 rh '
M
«О kill ^Г ku
n2 2 = 11 22
2
j
(54)
(55)
Из графика на рис. 11 видно, что ю"соб < п2 < П[<®2со5.
Введение дополнительной связи в виде устройства для преобразования движения
Рассматривается система цепного типа с двумя степенями свободы (рис. 12, а), в которой между массами т1 и т2 вводится устройство для преобразования движения с приведенной массой
О Q
ki
MAAJ
yi
m1
Ж
- L -
VVSA k2 m2
Lp1 + k
У 1 Lp2 + k2
f (m + l) p' + k+k Î
1 W
(m + L)p2 + k+k
б
Рис. 12. Расчетная (а) и структурная (б) схемы линейной механической колебательной системы с двумя степенями свободы и устройством для преобразования движения Fig. 12. Computational (a) and structural (б) schemes of the linear mechanical oscillation system with two degrees of freedom and a motion conversing device
Выражения кинетической и потенциальной энергии системы имеют вид:
т = ^щу1+\т2У1+\L (у2 - л У ;
п =1 Ку1 2 k2 (y2 - y )2 + k3y2 ?
(56)
(57)
где ^ - приведенная масса устройства для преобразования движения [4].
Система уравнений движения для расчетной схемы, представленной на рис. 12, а, может быть записана в виде
Ух(Щ+Ц + + к2)уг-Ьу2 -к2у2 = 0; У 2 (М2 + 1) + (к2 +кз)У2~ Щ ~ КУх = ]
(58)
После преобразования Лапласа выражение (58) примет вид
y [(m + L)p2 + kl + к2]- y2 (Lp2 + к2) = 0;
y2 [(m + L)p2 + k2 + кз ] - y (Lp2 + k2 ) = 0.
(59)
а
Передаточное отношение межпарциальных или рычажных связей рассчитывается как
(60)
W12 (Р) = Уг = Lp2 +k2
У1 (m2 + L) Р + k2 + k3
Межпарциальная связь в данном случае относится к упруго-инерционному типу. Частотное характеристическое уравнение системы учитывает влияние
[(m + L) p2 + k + кг ]• [(m + L) p2 + кг + к ] - (Lp2 + кг) = 0.
(61)
Выражения парциальных частот соответственно представлены выражениями:
k ^ к ^
<2 =
m + l
(62)
n т 2 = к2 + к3
m+l
(63)
Из решения частотного характеристического уравнения (61) найдем частоты собственных колебаний:
о
m (к2+к)+m (к;)+l (к+к)
1 -2соб
2 [mm+l (m+m)]
m(к2+к)+m(к+к)+l(к+к) -4 mm+l(m+m) •(кк+кк+кк)
(64)
2 [mm+l (m)]
Выражение (64) предполагает возможность появления необычных динамических режимов, в том числе при р ^ <х. Графики зависимостей ^(б) приведены на рис. 13.
У
от 2
+
Рис. 13. Графики зависимостей передаточного отношения y2/y при возрастании частоты
внешнего воздействия
Fig. 13. Graphs of the transfer ratio y2l~yl dependences on the increasing frequency of the external impact
Отметим, что при частоте более у- отношение амплитуд у/у меняет знак - со знака «+» на знак «-», при прохождении второй парциальной частоты и'"2 знак меняется с «-» на
к
«+». В диапазоне частот 0 ■ — и и'"2 ■ <х, когда ^ > 0, движение имеет вид свободных коле-
l
У1
к
баний по первой форме, а в диапазоне — ■ и'" - по второй форме. Отметим, что когда ^ = 0,
система принимает вид системы цепного типа с двумя степенями свободы (см. рис. 1, а). При ^ ^ <х, когда у2//1 = 1, система движется как система с одной степенью свободы. Частота
к~, ^ ко
fff2 __3
n =
m+l
в определенном смысле является частотой динамического гашения колебаний.
Введем коэффициент отношения амплитуд у2/у1 = а3. Перепишем (56), (57) в виде:
Т = ~У1 \щ +L + m2a2 + Lai ~ 2La3 J; (65)
11 — Уi ^кj + к2 + кгаъ + къаъ ] •
(66)
о
Используя разработанный метод, связанный с формированием функции w (а3), запи-
шем:
9 / \ к + к + ка + ка^ 2к->а^
о ( а3 ) = ^-2-^—-
m + L + ш2а3 + La3 - 2La3
(67)
На рис. 14 приведен график зависимости ш (а3), который по форме совпадает с графиками на рис. 3 для систем цепного вида (рис. 1, а).
о2 (а
(аз )А
а32 0 аз1
а,
Рис. 14. График зависимости частота от передаточного отношения y/y в системе
с устройством для преобразования движения Fig. 14. Frequency vs transfer ratio y2jyl graph in the system with a motion conversing device
«-» 9
Найдем экстремальные значения ш(аз), В этом случае
_(m2 + L)•(kl+k2)-(m+ L)•(k2 +k3) .
"*3 "31,32 "
2 [[ (m2 + L)- L (к 2 +кз)]
-V
(m + l)-(к2 +k)-(m + l)-(kl +к2) + 4 к2(m + l)-l(k2 +k) • кг(m + l)-l(kl +к2)
(68)
2 [[ (m2 + L)-L (к 2 +кз)]
Подставляя (68) в (67), получим экстремальные значения ш (а3), а частоты собственных колебаний определяются выражением
a
„2 _ml(k2+k3) + m2(kl+k2) + L(kl + k3)^
1,2соб
2 [ m2 +L (m +m2)]
+
+■
m^k^+k^ + m^k^+k^ + Lfa + k^ + 4 тлтп + L{тл + mn) -(kjc^+k^ + kjc^
2 [mxm2 +L (m + m2)]
(69)
Для численного расчета примем к1 = к; к2 = 2к; к3 = 3к; ^ = {0,1 т2; 0,5т2; 1т2}. На рис. 15 приведены графики зависимостей в трех вариантах в предположении, что выполняется условие -ш < а1 < да.
ha [а )
Ч — ч %
li
1
0 5
-9 -8 -7 -6 -5 -3 -2-1 О 1
3 4 S б
8 9 «,
Рис. 15. Семейство графиков ш (а3) при различных значениях параметров системы: k1 = k; k2 = 2k; k3 = 3k; l1 = 0,3 м; l2 = 0,5 м: 1 - при L = 0,1m2; 2 - при L = 0,5m2; 3 - при L = 1m2 Fig. 15. ш2(а3) graph family at different values of system parameters: k1 = k; k2 = 2k; k3 = 3k; l1 = 0,3 м; l2 = 0,5 м: 1 - at L = 0,1m2; 2 - at L = 0,5m2; 3 - at L = 1m2
Введение устройств для преобразования движения в структуру механической колебательной системы приводит к существенным изменениям в представлениях о формах проявления рычажных связей в системах.
Заключение
Определение частот собственных колебаний в системе с несколькими степенями свободы (в частности, с двумя степенями свободы) можно производить на основе использования частотной энергетической функции. Ее особенность заключается в том, что выражения для кинетической и потенциальной энергий записываются с учетом распределения амплитуд координат в главных формах колебаний (первой и второй). При этом полагается, что кинетическая энергия в главной форме колебаний полностью трансформируется в потенциальную и наоборот. Силы сопротивления при этом не учитываются.
Частота собственных колебаний системы в этом случае отражает некоторое фундаментальное свойство механических колебательных систем, заключающееся в скорости преобразования форм энергии: из кинетической в потенциальную и обратно. Возможно, что определенный смысл имеет такая характеристика упруго-инерционных свойств, как отношение частот собственных колебаний. Таким образом, на основании анализа проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. В зависимости от выбора систем координат выражения для кинетической и потенциальной энергий могут иметь полные и усеченные квадратичные формы.
2. Возбуждение свободных колебаний возможно с помощью силовых возмущений гармонического типа. При этом силовой фактор должен быть один. При нескольких возмущениях, даже при совпадении их величин и фазовых параметров, нарушается система симметрических динамических взаимодействий, отображаемых таким свойством, как взаимовлияние.
3. Частоты собственных колебаний и коэффициенты распределения амплитуд колебаний (или форм) определяются с использованием экстремальных свойств частотной энергетической функции.
4. Предлагаемое развитие энергетического метода, известного в теории колебаний, отличается тем, что при формировании частотной функции вводится информация о формах главных колебаний и об отношениях амплитуд колебаний выбранных координат. Для предварительной оценки таких свойств используются передаточные функции межпарциальных связей, трактуемые как функции передаточных отношений амплитуд колебаний, отражающих рычажные связи, присущие динамическим взаимодействиям элементов механических систем.
5. Выбор систем координат для описания движений и их собственных форм целесообразно производить с учетом необходимости обеспечения условий возбуждения вынужденных колебаний. При действии по одной координате предполагается, что сила прикладывается к массоинерционным элементам непосредственно.
6. При рассмотрении динамических свойств механических систем с твердым телом необходимо учитывать особенности формирования обобщенных сил при переходе от одной системы координат к другой. В частности, необходима проверка на сохранение свойств взаимности колебаний.
7. Предварительная оценка частот собственных колебаний и коэффициентов распределения амплитуд колебаний (или собственных форм) может быть произведена на основе предлагаемого графоаналитического метода, использующего построение графиков зависимостей передаточных отношений межпарциальных связей.
8. Учет динамических взаимодействий элементов механических колебательных систем с твердым телом показывает возможность введения понятия о виртуальном винтовом рычаге, который отражает существование устойчивых соотношений параметров поступательных и вращательных движений, характерных для винтовых взаимодействий. Отметим, что основа таких представлений заложена в аналитической механике, использующей понятия силовых, кинематических и динамических винтов.
Библиографический список
1. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 650 с.
2. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Каимов Е.В. К вопросу о теории рычажных связей в динамике механических колебательных систем // Вестник ИрГТУ. 2015. № 12 (107). С. 30-40.
3. Елисеев С.В., Кинаш Н.Ж., Нгуен Д.Х. Особенности обратных связей при колебаниях систем с рычажными связями // Известия Транссиба. 2015. № 3 (23). С. 14-24.
4. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 с.
References
1. Babakov I.M. Teoriya kolebanii [Theory of oscillations]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 650 p. (in Russian).
2. Eliseev S.V., Kuznetsov N.K., Kaimov E.V. K voprosu o teorii rychazhnykh svyazei v dinamike mekhanicheskikh kole-batel'nykh system [To the theory of lever ties in mechanical oscillating systems dynamics]. Vestnik Irkutskogo gosudar-stvennogo tekhnicheskogo universiteta [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2015, no. 12 (107), pp. 30-40 (in Russian).
3. Eliseev S.V., Kinash N.Zh., Nguen D.Kh. Osobennosti obratnykh svyazei pri kolebaniyakh sistem s rychazhnymi svyazyami [Features of feedback ties at oscillations of systems with lever ties]. Izvestiya Transsiba [Journal of Transsib Railway Studies]. 2015, no. 3 (23), pp. 14-24 (in Russian).
4. Eliseev S.V., Reznik Yu.I., Khomenko A.P., Zasyadko A.A. Dinamicheskii sintez v obobshchennykh zadachakh vibro-zashchity i vibroizolyatsii tekhnicheskikh ob"ektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and vibration insulation of engineering facilities]. Irkutsk: Irkutsk State University Publ., 2008, 523 p. (in Russian).
Критерии авторства
Елисеев С.В., Большаков Р.С., Нгуен Дык Хуинь и Выонг Куанг Чык имеют равные авторские права. Ответственность за плагиат несет Елисеев С.В.
Authorship criteria
Eliseev S.V., Bolshakov R.S., Nguyen Duc Huynh and Vuong Quang True have equal copyrights. Eliseev S.V. bears the responsibility for avoiding plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interest
The authors declare no conflict of interest.
Статья поступила 25.03.2016 г. The article was received on 25 March 2016
