CC BY
60
Оригинальна статья / Original article УДК: 62.752, 621:534;833; 888.6, 629.4.015;02 DOI: 10.21285/1814-3520-2016-6-26-33
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ: ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЧАСТОТНОЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ЧАСТЬ I
© С.В. Елисеев1, Р.С. Большаков2, Нгуен Дык Хуинь3, Выонг Куанг Чык4
Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
Резюме. Цель. Целью исследования является разработка метода определения частот собственных колебаний в механических колебательных системах с несколькими степенями свободы на основе введения понятия о частотной энергетической функции. Предлагаемая функция отличается от энергетической функции Рэлея добавлением в исходное выражение, представляющее собой отношение потенциальной и кинетической энергий, коэффициентов связи между параметрами движения массоинерционных звеньев, характерных для главных форм свободных движений. Материал. Методы. Возможности метода показаны на примерах оценки особенностей динамических свойств движения в системе с двумя степенями свободы. Для механических колебательных систем с несколькими степенями свободы движений характерны соотношения между координатами движения, которые формируются из-за наличия в системах рычажных связей. Детализация таких представлений возможна на использовании межпарциальных передаточных функций в межкоординатных взаимодействиях. Работа построена на основе использования методов теоретической механики и теории управления системами в интерпретациях, относящихся к методологии структурного математического моделирования. Результаты и их обсуждение. Теоретические выкладки подтверждаются результатами численного моделирования. Возможны аналитические подходы в оценке частот собственных колебаний, так как при собственных колебаниях частотная энергетическая функция принимает экстремальные значения. Заключение. Предложен метод определения частот собственных колебаний для систем с несколькими степенями свободы, допускающий возможности аналитических подходов и графоаналитических приложений.
Ключевые слова: частотная энергетическая функция, собственные колебания, формы колебаний, межпарциальные связи.
Формат цитирования: Елисеев С.В., Большаков Р.С., Нгуен Дык Хуинь, Выонг Куанг Чык. Определение частот собственных колебаний механических колебательных систем: особенности использования частотной энергетической функции. Часть 1. Вестник ИрГТУ. 2016. № 6. С. 26-33. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-6-26-33
IDENTIFICATION OF MECHANICAL OSCILLATION SYSTEM EIGEN FREQUENCIES: FEATURES
OF USING THE FREQUENCY ENERGY FUNCTION. PART I
S.V. Eliseev, R.S. Bolshakov, Nguyen Duc Huynh, Vuong Quang True
Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia.
Abstract. The purpose of research is development of the determination method of eigen oscillation frequencies in mechanical oscillation systems with several degrees of freedom through the introduction of the concept of frequency energy function. The main difference of the proposed function from Rayleigh dissipation function is the introduction of the coefficients of relationship between the motion parameters of mass-inertial links characteristic for the main forms of eigen mo-
1
Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, директор Научно-образовательного центра современных технологий системного анализа и моделирования, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
Eliseev Sergey, Doctor of Engineering sciences, Professor, Chief Researcher, Director of the Scientific-Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
2Большаков Роман Сергеевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru
Bolshakov Roman, Candidate of Engineering sciences, Senior Researcher of the Scientific-Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: bolshakov_rs@mail.ru
3Нгуен Дык Хуинь, аспирант, e-mail: huynhnd1987@gmail.com Nguyen Duc Huynh, Postgraduate, e-mail: huynhnd1987@gmail.com
4Выонг Куанг Чык, аспирант, e-mail: trucvq1990@gmail.com Vuong Quang Truc, Postgraduate, e-mail: trucvq1990@gmail.com
©
tions in the initial equation which is represented by the ratio of potential energy to kinetic energy. Material. Methods. The potential of the method is shown on the estimation examples of the features of dynamical properties of motion in the system with two degrees of freedom. Ratios between movement coordinates that are formed due to the presence of lever ties are typical for mechanical oscillation systems with several degrees of motion freedom. Specification of these ideas is possible when using inter-partial transfer functions under inter-coordinate interactions. The research work is based on the use of the methods of theoretical mechanics and system control theory in the interpretations relating to the methodology of structural mathematical modeling. Results and their discussion. The results of numerical modeling prove theoretical ideas. Analytical approaches are possible in the estimation of eigen oscillation frequencies since frequency energy function takes extremal values under eigen oscillations. Conclusion. A method to determine the frequencies of eigen oscillations is proposed for the systems with several degrees of freedom. The method concedes the possibilities of analytical approaches and graph-analytical applications.
Keywords: frequency energy function, eigen oscillations, oscillations forms, inter-partial ties
For citation: Eliseev Sergey, Bolshakov Roman, Nguyen Duc Huynh, Vuong Quang Truc. Identification of mechanical oscillation system eigen frequencies: features of using the frequency energy function. Part I. Part 1. 2016, no. 6, pp. 26-33. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2016-6-26-33
Введение
Определение частот собственных колебаний является одной из важнейших задач в оценке динамических свойств механических колебательных систем, что нашло отражение в соответствующих научных разработках [1-4]. Известен ряд способов, реализующих приближенные подходы, в числе которых энергетический метод, позволяющий оценивать низшие (основные) частоты колебаний [5], а также ряд других способов, дающих возможности получать оценки в конкретных частотных диапазонах [3].
В оценке динамических свойств линейных систем с сосредоточенными параметрами, использующих структурные математические модели, в частности передаточные функции применения, нашли применение частотные подходы, отражающие возможности оценки устойчивости систем [6-9]. Вместе с тем многие аспекты в задачах оценки значений собственных частот требуют большей степени детализации представлений, в частности в определении условий реализации определения форм главных колебаний и зависимости условий их реализации с учетом конструктивных особенностей механических колебательных систем. Некоторые вопросы таких представлений получили развитие в работах [10-11].
В предлагаемой статье развиваются методологические позиции в оценке частот собственных колебаний в линейных механических системах с сосредоточенными
параметрами на основе использования частотной энергетической функции, учитывающей особенности структуры исходной механической колебательной системы.
Общие положения.
Постановка задачи исследования
Рассматривается линейная механическая колебательная система цепного типа (рис. 1, а, б), состоящая из двух массои-нерционных элементов т1 и m2, соединенных между собой и опорными поверхностями I и II с помощью упругих элементов с жесткостями к1, к2 и kз. В ходе рассмотрения учитываются возможности приложения к элементам т1 и m2 гармонических внешних сил 01 и Q2. Используются методы структурного математического моделирования, предполагающие по отношению к исходным математическим моделям преобразований Лапласа [8, 12, 13]. Система совершает малые колебания относительного положения устойчивого равновесия.
Для описания движений используется система координат у и у2, связанная с неподвижным базисом; силы сопротивления считаются исчезающе малыми. При построении структурной схемы на рис. 1, б используются подходы, изложенные в работах [8, 11-14]. Передаточные функции систем при входных воздействиях в виде внешних возмещений 01 и 02 могут быть записаны в следующем виде:
W(p) = =
y _ m2 p
+ k + k
A(p)
(1)
О
Qi
MMJ
У1 Qi
—► -► —►
ki
W\A
m2
а
-m-
/ i о Г
; m • p2 + k + k2 I [
■Щ-
1 о 1 \ ¿2
I m • p2+k + k
б
Рис. 1. Расчетная (а) и структурная (б) схемы линейной механической колебательной
системы с двумя степенями свободы Fig. 1. Estimated (a) and structural (б) scheme of linear mechanical oscillation system
with two degrees of freedom
W2(p) = ^ = ■
W(P) n = Q2
a A(p)
_уг _mp2 + k + k
A(p)
W(p) = A = -b-, 4 02 A(p)
(2)
(3)
(4)
где А(р - частотное характеристическое уравнение:
А(р) = {т1р2 + к1 +к2}{т2рг + к2 +к3)-к\ . (5)
В выражениях (1)-(4) принимается, что р = jш (] = 4-1) - комплексная переменная; значок (-) соответствует изображение по Лапласу [8, 14].
1. На основе (1)-(4) могут быть введены в рассмотрение передаточные функции межпарциальных связей:
W( p) = уг =
y1 mp + k2 + k3
Qi *0 Q2=0
W '(p)=yL = mp2 + ki + k2
У1
(6)
(7)
динатам у1 и у2, возникающие при действии внешней силы & или б2. Полагается, что передаточная функция определяет зависимость одного выходного сигнала (у или у) от одного входного возмущения (а или ё2). В случаях одновременного действия нескольких входных возмущений может быть использован принцип суперпозиции [6]. В дальнейших исследованиях используется для оценки динамических свойств одновременное действие двух равных возмущений йх=йи б2=б, что позволяет приводить систему к условной форме реакции на приведенное (более сложное) возмущение; при этом может учитываться и состояние, когда и б2 =-б, т.е. находятся в противофазе. В этом случае необходимо принимать во внимание, что одно из воздействий ^ или 02 должно приниматься за основное (опорное). Такие случаи будут рассмотрены как отдельная ситуация.
2. Используя выше приведенное, запишем соответствующие передаточные функции:
— ™ „2 , I
8)
W '(p) =yL= m2 p + 2k2 + k3
1 Q A(p)
Qi=0.Q2 * 0
Qi +Q2
Выражения (6) и (7) отражают рычажные связи между движениями по коор-
W(p) = h = mp
+ 2k + k
Q
Qi +Q2
A(p)
(9)
2
= £ = ^ZlA,
Q A(p)
a -Q2
W2(p) = a =
y _ mlp2 + ^
Q A(p)
(10)
(11)
a -Q2
Аналогичным образом могут быть найдены межпарциальные передаточные функции. На основе использования передаточных функций (1)-(4) могут быть определены парциальные частоты:
2 к. + к n, -2
2 кп + к->
n2 =—-
m,
(12)
(13)
На рис. 2, а, б приведены графики
зависимости y2(га), определяемые выра-
У\
жениями (6) и (7).
3. Отметим некоторые особенности рычажных (межпарциальных) связей. Так, на рис. 2, а график определяет две зоны. В первой зоне при значениях частоты в диапазоне отношения координат имеет знак (+), т.е. массы т1 и т2 одновременно достигают максимальных и минимальных значений (движение синфазно). При этом отношения амплитуд колебаний у2 и у1 будут зависеть от частоты. При достижения частоты, значение которой определяется выражением (13), происходит скачкообразное изменение величины у^ух. Отношение
амплитуд у2/ух одновременно происходит изменения знака на (-), что соответствует движениям элементов т1 и т2 в противо-фазе (движение характерное для второй формы движений в свободных колебаниях системы).
Таким образом, парциальная частота п2 определяет специфический режим, при котором у1 ^ 0, а у2!ух ^ м. Такой режим называется режимом динамического гашения колебаний. Для дальнейших исследований важным является то обстоятельство, что частота динамического гашения колебаний является своеобразным «водоразделом» между двумя формами движения. Распределение амплитуд колебаний носит непрерывно изменяющийся характер, включая и переход через режим резонанса.
Если движение организуется при приложении силы 02 (01 = 0), то график зависимости на рис. 2, б сохраняет свойство формирования двух зон, в которых отношение амплитуд имеет знаки (+) и (-). При этом график имеет точку перехода через нулевое значение на частоте п1, определяемой выражением (12). Такая частота соответствует режиму динамического гашения колебаний по координате у2.
Задача исследования заключается в оценке особенностей динамических взаимодействий, характерных для свободных колебаний системы, для которых разрабатывается метод определения частот для реализации форм движений, соответствующих главным колебаниям.
к 2+к3 0
W ( p)
(+) Y
\ (-)
б
Рис. 2. Графики зависимостей передаточных отношений: а - при действии силы Q1 (Q2 = 0);
б - при действии силы Q2 (Q1 = 0) Fig. 2. Dependence graphs of ratios: а - under Q1 (Q2 = 0) force action; б - under Q2 (Q1 = 0) force action
m
k
ra
0
а
Математическое моделирование
в задачах определения частот собственных колебаний системы
Для системы на рис. 1, а выражения для кинетической и потенциальной энергий в координатах у1 и у2 имеют вид:
т 1 '¡J
(14)
11 2 1
П = - Ку12 +- К (у2 - у,) +- Ку1 (15)
Введем в рассмотрение частотную энергетическую функцию, представляющую собой отношение потенциальной энергии к кинетической энергии с учетом того, что отношение между координатами у1 и у2 будут определяться некоторой величиной у2 = а0у1. Такое предположение вполне обоснованно и следует из сравнительного анализа графиков зависимостей на рис. 2.
1. Полагаем, что внешнее возмущение приложено к элементу т1 (01 Ф 0, 02 = 0), тогда в предположении того, что совместные движения по у1 и у2 являются гармоническими, запишем:
д2 ^ _ kl + k2 + a0 (k2 + k3) 2k2a0
Определим характерные значения
из (16):
Ч ao ) = ^
при а0 = 0, и соответ-
ственно ю2 (a ) =
2 / \ к2 + к3 ra (a„'- —--
при а0 ^ м.
Если полагать, что к1, к2, к3, т1 и т2 являются известными, то можно определить экстремальные значения ш2(а0), считая а0 некоторой переменной. Отметим, что в общем случае для системы с двумя степенями свободы числитель и знаменатель (16) будут полиномами второго порядка. Функция ш2(а0) имеет экстремальное значение. Из выражения (16) можно найти значение а0, которое соответствует частоте собственных колебаний, как это показано на рис. 3.
Чтобы найти экстремальное значение функции ш2(а0), найдем первую производную ш2(ао):
г
[®2 («0 )] =
2 [к 2т2а2 + а [т1 (к2 + к3) + т2 (к1 + к2)] - к2т1 } (17) (т + а 2т2)
Функция ш2(а0) имеет экстремальные значения при
[ra2 (ao)] = 0,
(18)
что позволяет наити:
m (k\ +k2 ) - m (k 2 +k3 )
2к2т2
r 1
[ (к 2 +к ) - m (к j +к )] + 4m1m2k:
(19)
4 (к2т2 )
ra2 (a.
(ao
o a„.
a„
Рис. 3. График частотной энергетической функции в зависимости от коэффициента распределения амплитуд в формах колебаний Fig. 3. Graph of frequency energy function against the amplitude distribution ratio in oscillation forms
m
2
a
02
Так как
(20)
^1соб < Щ < П2 < Ш2соб,
(22)
то после подстановки (19) в (16) или (20) получаем выражение для частоты собственных колебаний:
m (к 2 +£3)+m (kj+к)
2щт2
Г I 1
[mj (к 2 +къ)- т (к j +к2)] + 4щтк
(2i)
4 (mm)
Из анализа ш (а0) на рис. 3 следует, что экстремальные значения а0 (соответственно точки ао1 и ао2 на оси абсцисс) определяют значения частот собственных колебаний Ш1соб и ш2соб. При а0 = 0 пересечение кривой ш2(а0) с осью ординат определяет парциальную частоту п1 (выражение (12)). Ветви кривой ш2(а0) в первом и четвертом квадратах координатной плоскости имеют асимптоты, определяемые значениями парциальной частоты п2 (выражение (13)). Взаимное расположение парциальных и собственных частот колебаний соответствует условию:
что совпадает с известными результатами [1, 5]. Что касается изменения места приложения возмущающей сил (имеется в виду выбор т1 или т2), то это не влияет на характеристики ш2(а0). На рис. 4 приведены результаты численных расчетов для шести вариантов значений параметров: к1 = к, к2 = = 2к, кз = {3к, 5к, 10к}, т1 = т и т2 = = {т, 2т}. Взаимное положение кривых ш2(а0) дает представление о влиянии к3 на взаимное расположение характерных точек. Результаты построения графиков ш2(а0) соответствует поверочным расчетам с использованием частотного характеристического уравнения (5).
2. Передаточные функции межпарциальных связей (6) и (7) связаны между собой соотношениями, определяемыми из характеристического частотного уравнения (5):
к
_ щр2 + к + к
m2p + к2 +к3
к
(23)
Используя (23) можно предложить способ определения коэффициента а0 и
Рис. 4. Графики частотной энергетической функции в зависимости от коэффициента распределения амплитуд в разных значениях масс и жесткостей (mi = m, k1 = k, k2 = 2k): 1 - при m2 = m, k3 = 10k; 2 - при m2 = m, k3 = 5k; 3 - при m2 = m, k3 = 3k;
4 - при m2 = 2m, k3 = 10k; 5 - при m2 = 2m, k3 = 5k; 6 - при m2 = 2m, k3 = 3k Fig. 4. Graphs of frequency energy function dependence on the amplitude distribution ratio in different values of masses and rigidities (mi = m, k1 = k, k2 = 2k): 1 - при m2 = m, k3 = 10k; 2 - при m2 = m, k3 = 5k; 3 - при m2 = m, k3 = 3k; 4 - при m2 = 2m, k3 = 10k; 5 - при m2 = 2m, k3 = 5k; 6 - при m2 = 2m, k3 = 3k
-m a + к„ +к
2
2 ' "3
2
©
частот собственных колебаний, основанный на том, что пересечения графиков компонентов (18) определяют и частоту собственных колебаний и значения а0 (рис. 5).
Предлагаемый приближенный способ не обладает такой общностью, как ис-
собственных колебаний на основе введения частотной энергетической функции в приложении к механическим колебательным системам цепного типа.
Особенность подхода заключается в учете возможных соотношений между координатами массоинерционных элементов,
Рис. 5. График зависимости отношения амплитуд от частоты колебаний Fig. 5. Graph of the amplitude ratio against the oscillation frequency
пользование частотной энергетической функции, но имеет свои преимущества в оценке локальных динамических свойств.
Рассмотренные выше соотношения и передаточные функции межпарциальных связей ^связанных внешних силах определяются выражениями (8)—(11) для оценки динамических свойств и в рамках энергетических представлений должны быть отнесены к отдельным задачам, поскольку в данном случае имеет место эффект введения управления по возмущению, которое не изменяет характеристическое частотное уравнение, но вносит изменения в структуру системы [6].
Заключение
В первой части рассмотрены принципиальные вопросы определения частот
характерных для форм свободных колебаний, что отличается от известных форм использования энергетического метода.
Предлагается использование передаточных функций межпарциальных связей, отражающих свойства рычажных взаимодействий в формах совместного движения элементов системы.
Предлагается графоаналитический метод определения частот собственных колебаний в формах, соответствующих соотношениям амплитуд.
Во второй части статьи метод распространяется на системы с двумя степенями свободы с твердым телом и дополнительными связями в виде устройств для преобразования движения.
Библиографический список
1. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука: в 2 т. 3. Вибрации в технике: справочник: в 6 т. М.: МаМ.: Государственное издательство технико- шиностроение, 1978. Т. 1: Колебания линейных си-теоретической литературы. 1955. 504 с. стем. 352 с.
2. Варвак П.М., Рябов А.Ф. Справочник по теории 4. Вибрации в технике: справочник: в 6 т. М.: Ма-упругости (для инженеров-строителей). М.: Книга по шиностроение, 1981. Т. 5: Измерения и испытания. требованию, 2012. 421 с. 496 с.
5. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 650 с.
6. Ким Д.П. Теория автоматического управления: в 2 т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. Т. 1: Линейные системы. 288 с.
7. Коловский М.З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М.: Наука, 1976. 320 с.
8. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П., За-сядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: ИГУ. 2008. 523 с.
9. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физ-матлит, 2005. 320 с.
10. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б., Нгуен Д.Х. Соотношения координат движения элементов механических колебательных систем как
форма проявления рычажных связей // Системы. Методы. Технологии. 2015. № 3(27). С. 7-14.
11. Елисеев С.В., Кузнецов Н.К., Каимов Е.В. К вопросу о теории рычажных связей в динамике механических колебательных систем // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2015. № 12 (107). С. 30-40.
12. Елисеев С.В., Резник Ю.И., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск: Наука, 2011. 384 с.
13. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск: ИрГУПС, 2012. 288 с.
14. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Динамическое гашение колебаний. Новосибирск, 2014. 357 с.
References
1. Strett Dzh. V. (lord Relei). Teoriya zvuka: v 2 t. [Sound theory]. Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoi literatury Publ., 1955, 504 p.
2. Varvak P.M., Ryabov A.F. Spravochnik po teorii uprugosti (dlya inzhenerov-stroitelei) [Handbook on the theory of elasticity (for civil engineers)]. Moscow, Kniga po trebovaniyu Publ., 2012, 421 p.
3. Vibratsii v tekhnike: spravochnik: v 6 t. [Machine vibrations: a Handbook]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978, vol. 1: Kolebaniya lineinykh system [Linear system vibrations]. 352 p.
4. Vibratsii v tekhnike: spravochnik: v 6 t. [Machine vibrations: a Handbook]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1981, vol. 5: Izmereniya i ispytaniya [Measurements and tests]. 496 p.
5. Babakov I.M. Teoriya kolebanii. [Oscillation theory]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 650 p.
6. Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya: v 2 t. [Automatic control theory]. Moscow, FIZMATLIT, Publ., 2003, vol. 1: Lineinye sistemy [Linear systems]. 288 p.
7. Kolovskii M.Z. Avtomaticheskoe upravlenie vibro-zashchitnymi sistemami [Automatic control of vibration isolation systems]. Moscow, Nauka Publ.., 1976, 320 p.
8. Eliseev S.V., Reznik Yu.I., Khomenko A.P., Zasyadko A.A. Dinamicheskii sintez v obobshchennykh zadachakh vibrozashchity i vibroizolyatsii tekhnich-eskikh ob"ektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and vibration isolation of engineering facilities]. Irkutsk, IGU Publ., 2008, 523 p.
9. Tarasik V.P. Matematicheskoe modelirovanie tekhnicheskikh system [Mathematical modeling of engineering systems]. Mn.:DizainPRO Publ., 2004, 640 p.
10. Belokobyl'skii S.V., Eliseev S.V., Kashuba V.B., Nguen D.Kh. Sootnosheniya koordinat dvizheniya ele-mentov mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem kak forma proyavleniya rychazhnykh svyazei [Ratios between the motions of coordinates for the elements of mechanical oscillation systems as a form of lever-type relations]. Sistemy. Metody. Tekhnologii - Systems. Methods, Technologies. 2015, no. 3 (27), pp. 7-14.
11. Eliseev S.V., Kuznetsov N.K., Kaimov E.V. K vo-prosu o teorii rychazhnykh svyazei v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nykh sistem [To the theory of lever ties in mechanical oscillating system dynamics]. Vestnik IrGTU - Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2015, no. 12 (107), pp. 30-40.
12. Eliseev S.V., Reznik Yu.I., Khomenko A.P. Mek-hatronnye podkhody v dinamike mekhanicheskikh kolebatel'nykh system [Mechatronic approaches in mechanical vibration system dynamics]. Novosibirsk, Nauka Publ, 2011, 384 p.
13. Khomenko A.P., Eliseev S.V., Ermoshenko Yu.V. Sistemnyi analiz i matematicheskoe modelirovanie v mekhatronike vibrozashchitnykh system [System analysis and mathematical modeling in vibration isolation system mechatronics]. Irkutsk, IrGUPS Publ., 2012, 288 p.
14. Khomenko A.P., Eliseev S.V. Dinamicheskoe gashenie kolebanii [Dynamic vibration damping]. Novosibirsk, 2014, 357 p.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Статья поступила 28.03.2016 г.
Conflict of interest
The authors declare no conflict of interest.
The article was received 28 March 2016
