CC BY
25
УДК 678.057
М.Г. Хаметова ОПИСАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО, НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ В ОДНОШНЕКОВОМ ЭКСТРУДЕРЕ
Установлено, что при переработке полимерных материалов кроме вынужденного потока и противотока расплава в экструдере имеется поток, порожденный изменением температуры расплава по высоте канала шнека.
Температура разогрева полимера, конструкция экструдера, шнек экструдера
M.G. Khametova DESCRIPTION OF STEADY-STATE, NO ISOTHERMAL FLOW OF NON-NEWTONIAN FLUID IN A SINGLE-SCREW EXTRUDER
Established that the processing of polymeric materials besides the forced flow and counter flow melt in the extruder is the flow generated by varying the temperature of the melt by the screw channel height.
Heating temperature of the polymer, the design of the extruder, screw extruder
Введение
Статья посвящена исследованию распределения зависимости скорости сдвига и скорости течения расплава полимера по высоте канала шнека экструдера. При этом предполагается, что течение является стационарным и неизотермическим, а расплав - это неньютоновская жидкость, имеющая степенной реологический закон.
В настоящее время существует трудности при определении геометрии шнека экструдера, которая учитывает распределение по высоте канала шнека температуры, скорости сдвига и скорости течения расплава перерабатываемого полимера, а также их влияние на распределение вязкости расплава по высоте. В работе показано, что помимо вынужденного потока и противотока в экструдере существует поток, порожденный скоростью изменения температуры по высоте канала шнека, который имеет одинаковое направление с противотоком.
Целью работы является построение решения задачи, описывающей стационарное, неизотермическое течение расплава полимера в прямоугольном канале шнека экструдера.
Постановка задачи
Известно [1], что в рамках упрощенной теории потока скорость течения расплава vz и его температура T удовлетворяют системе уравнений:
pz = d(ndvz /dy)/dy, (1)
Xd 2T / dy2 +n(dvz / dy)2 = 0, (2)
где pz - градиент давления, y e (0, H); H - высота канала шнека; dvz / dy - скорость сдвига расплава; X - коэффициент теплопроводности; п - вязкость расплава полимера, имеющая следующий вид:
п = ЬПо (^г(у)/йу)п-1ехр[-а(Т(у)-Т(Н))]. (3)
Здесь По, а, Ь - константы; п - индекс течения расплава полимера.
Скорость течения и температура Т также удовлетворяют граничным условиям:
й\г (у)/ йу|у=о = °, \г (у^ у=н = , (4)
йТ (у)/йу| у=о = 0, Т (у) у=н = Т(Н). (5)
\(3п+1)/2п
(у'Н
Положим
Пусть £ = (y / H )(3n+1)/2n. Тогда, что £е [0,1] - безразмерно.
y=H^2n /(3n+1)
(6)
0(£) = (а / n)[T (y) - T (H)]
Функция 0(£), определенная на отрезке [0,1], имеет смысл обезразмерной температуры. Основываясь на уравнениях (1) и (2), а также соотношении (3), можно установить, что 0(£) удовлетворяет нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:
d 20(£)/ d£2 + в exp 0(£) = 0, (7)
где в = (а / nX)(pz(n+1)/n /(n0b)1/n )[2n /(3n+)]2 H(3n+1)/n. При этом краевые условия (5) будут иметь следующий вид:
d0(£)/ d£|^ = 0, 0(£) |#=H = 0. (8)
Решение задачи
Решение краевой задачи (8) для уравнения (7) имеет вид (9)
0® = £(0) - 2ln ch[VpT2 exp(0(0) / 2)4 (9)
В (9) 0(0) - параметр, имеющий смысл безразмерной температуры расплава полимера на нижней стенке прямоугольного канала экструдера, который удовлетворяет нелинейному уравнению:
Vp/2 exp(0(0) / 2) = ln(exp(0(0) / 2) + д/ exp 0(0) -1). (10)
Из (3), (6) и (9) следует, что
n0(y) = a(T(y) - T(H)) = n0(£) £=(y/H)(3n+1)/2n =
= 2nlnjch^VP/2 exp(0(0)/2)]/ch[Vp72 exp(0(0)/2)(y /H)(3n+1)/2n] }. (11)
Следовательно, выражение для вязкости (3) имеет вид:
П = n0b(dvz /dy)(n-1){ch^TP/2 exp(0(0)/2)(y/H)(3n+1)/2n]/ch[VpT2 exp(0(0)/2)]}2". (12)
Поэтому уравнение (1) примет вид:
pz = d (n0b(dvz / dy)n {ch^Vp72 exp(0(0) / 2)(y / H)(3n+1)/2n ]/ ch[VpT2 exp(0(0) / 2)}2" ).(13) dy
В рамках упрощенной теории потока pz не зависит от y, тогда из (13) следует, что
скорость сдвига расплава dvz / dy с учетом граничного условия (4) примет вид:
dvz (y)/dy = (pzy InJbfn {ch |#2 exp(0(0)/2)]/ch2 ^/pT2 exp00)/2)(y / H)(3n+1)/2n ]}. (14) При этом vz (y) - скорость течения противотока в экструдере, поэтому она для любого y е [0, H ] является отрицательной. В соответствии с выражением (14) она является монотонно возрастающей функцией по y, принимающей наименьшее значение на нижней стенке канала шнека экструдера. Таким образом, min vz (y) = vz (0), а максимальное значение - на верхней стенке канала шнека, т.е. vz (H) = - vz = maxvz (y) при y e [0,H].
Из (14) также следует, что
йуг (0)/йу = 0, йуг (Н)/йу = (pH/п0Ь)17п. (15)
Рассмотрим уравнение (1). Считаем, что градиент давления направлен вдоль оси шнека г и рг > 0, поэтому (1) можно переписать в виде:
0 < р1 = (йп/йу)(йуг /йу) + цй2уг /йу2. (16)
Вычислим производную йп / йу . В соответствии с выражением (3) имеем: йп/йу = п0Ь(п - 1)(йуг /йу)(п-2) ехр[- а(Т(у) -Т(Н))]-
- п0Ь(йуг / йу)(п-1) а ехр а(Т (у) - Т (Н)). (17)
Выражение (16) с учетом (17) можно записать в виде:
Р1 /(п(у)п) + (й0(у)/йу)йуг /йу = й2Уг /йу2, (18)
где 0(у) = (а / п)(Т(у) - Т(Н)). Из (19) следует 0(у) = 0(£) ^у/Ни поэтому
й0(у)/йу < 0 для любых уе [0,Н].
Отсюда следует, что помимо вынужденного потока и противотока в экструдере существует поток, порожденный изменением температуры по высоте канала шнека, который имеет тоже направление, что и противоток. (18) с учетом (3), (14) примет следующий вид:
й2Уг /йу2 = йуг /йу[(1 + пуй0/йу)/пу]. (19)
Поскольку йуг / йу > 0 для любых у е [0, Н ], поэтому знак у второй производной
й2Уг / йу2 полностью определяется выражением 1 + пуйв/йу. Поэтому рассмотрим уравнение относительно у :
1 + пуй0 / йу = 0 ; (20)
Из-за (11) пй0(у)/йу имеет вид:
пй0( у) / йу = -(3п +1) /(Н )(3п+1)/2п Л/рГ2 ехр(0(0) / 2) у (п+1)/2п?^^/р/2 ехр(0(0) / 2)( у / Н )(3п+!)/2п ].
С учетом сделанного замечания уравнение (20) примет вид:
гкх = 2п /(3п +1) х, (21)
где х = д/Р/2ехр(0(0)/2)(у/Н)(3п+1)/2п. Очевидно, что уравнение (21) имеет единственное решение, которое мы обозначим через х * . Отсюда следует, что
Г- 12 п /(3п+1)
у* = Нх */-713/2 ехр(0(0)/2)] . (22)
Заметим, что возможны два случая: 1) у* > Н, 2) у* < Н. Рассмотрим первый случай. Так как у* > Н, то 1 + пуй0 / йу > 0, поэтому для любого у е [0, Н ] выражение й2Уг (у)/йу2 > 0. Следовательно, скорость сдвига расплава полимера йуг (у)/йу > 0 является монотонно возрастающей функцией. Следовательно, при у е [0, Н]:
шт йуг (у)/ йу = йуг (0)/ йу = 0,
тах йуг (у)/йу = йуг (Н)/йу = (ргН / П0Ь)1/п.
При этом уг (у) является выпуклой функцией у.
Рассмотрим второй случай. Для любого у е [0, у *] выражение 1 + пуй0 / йу > 0, поэтому й2уг (у)/йу2 > 0. Следовательно, на этом интервале йуг (у)/йу - монотонная функция у, а уг (у) - выпуклая функция. Более того, при у е [0, у *]
тт йуг (у)/ йу = 0, тах йу (у)/ йу = йу (у*)/ йу.
Рассмотрим теперь интервал (y*, H]. Для любого y е(y*, H] выражение
1 + nyd0 / dy < 0, поэтому d2vz (y)/ dy2 < 0. Следовательно, на этом интервале скорость сдвига течения расплава полимера d2vz (y)/ dy2 > 0 является монотонно убывающей функцией y . Следовательно, при y е [y*, H ]:
min dvz (y) / dy = dvz (H) / dy, max dvz (y)/ dy = dvz (y*)/ dy.
Следовательно, на интервале [y*, H] скорость течения расплава полимера vz (y) является вогнутой функцией. На рис. 1 приведен качественный вид зависимости dvz / dy от y. Поэтому, y * - это точка перегиба функции vz (y), т.е. d2vz (y*)/dy2 = 0.
dVz
dy 11
У* H
Рис. 1. Распределение скорости сдвига dvz /dy по высоте канала шнека
Найдем приближенное значение x * . При малых x * > 0, поэтому можно считать, что th(x*) ~ x * , то из (21) следует, что x* ~ yj2n /(3n +1). На рис. 2 приведен качественный вид зависимости скорости неизотермического течения расплава полимера vz от y е [0, H].
Теперь можем найти явный вид зависимости вязкости расплава полимера п от y. Из (12) и (14) имеем:
П(y) = (n0b)1/n exp(-0(0))(pzy)(n-1)/nch2[Vp/2 exp(0(0)/2)(y /H)(3n+1)/2n]. (23)
Из (23) следует, что вязкость расплава полимера является монотонно возрастающей функцией y, причем при y e [0, H ]:
min n( y) = п(0) = 0,
max n( y) =n(H) = n (pzH )(n-1)/n.
В заключение рассмотрим вопрос о построении явного вида зависимости скорости течения расплава от y . Заметим, что
H
vz (y) = vz (H) - J dvz (u) / du.
y
Так как vz (u) = -vz, а dvz /dy имеет вид (14), то отсюда следует
Рис. 2. Распределение скорости течения расплава по высоте канала шнека у
vz (у) = -vz - І(pzn/n0b)1/n {ch2 [д/р/2exp(e(0)/ 2)]/ch2 [Vp/2 exp(e(0)/ 2)(u /Я)(3n+1)/2n ]jdu . (24)
у
Проведем замену переменных в интеграле, а именно:
z = VP/2 exp(e(0) / 2)(u / Я )(3n+1)/2n, u = Я [z /(д/р/2 exp(e(0) / 2)]2n /(3n+1), в результате имеем:
І(pz /n0b)1/n expe(0){u17n /ch2[д/р/2 exp(e(0)/2)(u/Я)(3n+1)/2n]}du =
У
Vp/2 exp(e(0)/2)
(pz /n0b)1'n{exp[(n - 1)/(3n + 1)Є(0)]/(p/2)(2n+2)/(3n+1) }я2<n+1)/n2n/(3n +1) І[z(1-n)/(3n+1) /ch2z]dz. (25)
д/р / 2exp(e(0) / 2)( у / Я )(3"+1)/2"
Для вычисления интеграла, стоящего в правой части равенства (25), воспользуемся формулой интегрирования по частям. В этом случае имеем:
7 7
| г9 / 2 Ыг = г вЖг ^=8 - 01 г(9_1) , (26)
8 8
где 0 = (1 - п)/(3п +1). Поскольку п е (0, <^), то 0е (-1/3,1). Поэтому интеграл, стоящий в правой части равенства (26) при 0 < п < 1, как следует из (3), равен х г п
г=у
Іz(9_1)th(z)dz = 2 [22к (22к - 1)В2к ]/[(2к + Є - 1)(2к) ](2к+e-1)
z=5
8 к =1
где В2к - числа Бернулли [2].
Таким образом, при n е (0,1] имеем:
Уг (y) = -V - 2n/(3n +1)(pz /п0Ь)17n {exp[(n -1) /(3n + 1)0(O)]/(P/2)(2n+2)/(3n+1) }h2(n+1)/n x x ^/pT2 exp(0(O) / 2)](1-n)/(3n+1) ^[Vp/2 exp(0(O) /2)] - {/p/2 exp(0(O) /2)[y / H ](3n+1)/2n) }(1-n)/(3n+1)
xй{/рТ2 exp(0(O)/ 2)[y / H](3и+1)/2и}- (1 - n)/(3n +1)^ [22k (2(2k-1) )B2k ]/[2k - 4n/(3n + 1)2k] x
k =1
x {д/рТ!exp(0(O)/2)][2k-4n/(3n+1)] - [#7! exp(0(O)/ 2)[y / H](3n+1)/2n ][(2k-4n/(3n+1)]}.
Выводы
Таким образом, найден явный вид распределения температуры расплава в канале шнека экструдера по его высоте; скоростей сдвига и скорости течения расплава полимера по высоте канала шнека; распределение вязкости расплава полимера по высоте канала при экструзии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mckelvey J.M. Polymer Processing. M.: Chemistry, 1965. 444 p.
2. Prudnikov A.P., Brichkov J.N., Medichev O.I. Integrals and series. М.: Science, 1981. 798 p.
Хаметова Маргарита Григорьевна -
кандидат технических наук, доцент, декан машиностроительного факультета Московского государственного университета инженерной экологии
Статья поступила в редакцию 5.03.12, принята к опубликованию 12.03.12
