Расчет критического значения высоты канала шнека экструдера Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

УДК 678.057

М.Г. Хаметова РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЫСОТЫ КАНАЛА ШНЕКА ЭКСТРУДЕРА

Установлены критические значения величин температуры саморазогрева расплава полимера и высоты канала шнека экструдера, которые требуется учитывать при конструировании шнека.

Температура разогрева полимера, конструкция экструдера, шнек экструдера.

M.G. Khametova CALCULATION OF CRITICAL MEANING EXTRUDER SCREW CHANNAL HEIGHT

The critical values of self-heating temperature of the polymer melt and the height of the channel extruder screw, which is required to take into account when designing the screw.

Heating temperature of the polymer, the design of the extruder, screw extruder.

Введение

В работе показано, что при определенных значениях высоты канала шнека экструдера может произойти “тепловой взрыв” вследствие саморазогрева расплава полимера ранее установленного в [1]. Опираясь на результаты, полученные в [2], впервые дается теоретическое обоснование установленному эффекту саморазогрева расплава полимера.

Постановка задачи

Обозначим: H - высота канала шнека экструдера, y - независимая переменная, y е [0, H1 n - индекс стационарного, неизотермического течения неньютоновской жидкости.

Пусть вязкость расплава n(у) описывается выражением

П(y) =Vob(dvz /Эу)n-1 exp{-a(T(y) -T(H))}, где vz - скорость течения расплава полимера вдоль оси шнека экструдера; z , dvz / dy - скорость сдвига; T(y)- температура расплава в точке y ; П0-начальная вязкость; a, b - эмпирические константы.

Введем переменную ^ = (y/H)(3и+1)/2и . Ясно, что [0,1]. Пусть y(^) = H^2n/(3и+1) .

Введем безразмерную температуру расплава О(^):

в(& = {a(T (y) - T (H))}/ n|y=, (й.

В статье «Расчет распределения температуры расплава полимера по высоте канала шнека экструдера» данного сборника было показано, что

d2в!d%2 +вexpІвіЕ)) = G , І1)

где в = іаl nA.){p^+1)'n /ІПоЬ)11 n} і2п /ІЗп +1))2 H(3n+1)ln - константа. При этом вії) удовлетворяет следующим граничным условиям:

dвіЕ)I d^=G = G, вії)\ ї=1 = G. І2)

Целью исследования является построение теоретической зависимости безразмерной температуры вії) от высоты канала шнека экструдера.

Расчет критического значения высоты канала шнека

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что решение краевой задачи і1), і2) имеет вид:

вії) = вф) - 2ln ch(Jf2exp(в(G) 12))ї), І3)

где параметр вф) должен являться решением уравнения:

exp вф) 12 = ch(Jf2 exp^G) 12)). І4)

Последнее уравнение имеет решение, если в 12 < 1.

Параметр вІG) имеет физический смысл, как обезразмеренная температура расплава у нижней стенки прямоугольного канала одношнекового экструдера. Очевидно, что всегда существует G <їг < 1 такое, что •N/e72£; < 1.

Величина їг имеет смысл относительной высоты канала шнека. Если ї е [G, їг ], где I <Щв , то вії) удовлетворяет І1) и граничные условия примут вид:

dвіЕ)Id^__G = G, ві£)|^ = G. І5)

При этом решение будет иметь вид І3), а параметр віG) должен удовлетворять уравнению:

exp^G) 12) = ch^yfn exp^G) 12)їг). іб)

Отсюда следует, что необходимо установить влияние їг на распределение температуры вії).

Для нахождения этой зависимости сначала найдем максимальное значение величины температуры саморазогрева расплава. Из І3) найдем производные двlЭвіG) и Э2вlЭв2 ІG). Имеем:

двії,вІG))IЭвІG) = 1 --jjn exp^G) 12)Е^h^/в72ЕexpІвІG) 12)], І7)

Э 2віЕ,вІG))I двф)2 = -G,5{/Д72ЕexpІвІG)I2)th^VД72ЕexpІвІG)I2)]+

+ G,5вї2 expвІG)ch"2 ^Л/в72ЕexpІвІG)I2)]). І8)

Из І8) следует, что для любых вІG) и £ д 2віЕ,вІG))I двф)2 < G.

Следовательно, существует функция вС) (ї) такая, что для любых ї е [G, їг ]:

віЕ,вGІЕ)) = max^^). І9)

вG

Из І9) следует, что

ЭвіЕ,вC1)Iэв„ Ыо = G. (Ш)

Из (1G) и І7) следует, что вGіЕ) удовлетворяет уравнению

Л/в72Еexp(во ії) 12)th[л/в72£exp(во ії))] = 1. І11)

Найдем решение уравнения (11). Обозначим

Z = ^JвI2ЕexpІвG (#))>G.

Тогда уравнение (11) примет вид:

£Л£ = 1. (12)

Очевидно, что уравнение (12) имеет единственный корень £ * = 1,21.

Следовательно,

4Щ4ехр(вй(4)/2) = £ *. (13)

Из (13) следует, что в0(4) имеет следующий вид:

во(£)=2Щ42С */#4). (14)

Обозначим:

в (4) = 0(#Л (4)) = в(#,в(0)) | «о, = во({).

Тогда (3) с учетом (14) примет следующий вид:

в (4) = в(4во (4)) = 2ы[(£ * / Ол/2/в]- 21пЩ* =

= 21п[(^ */ 4^£*)л[2І~в ]

Обозначим:

4* = (С */^с*)42їв; (16)

4г * - имеет смысл относительной высоты боковой стенки канала шнека экструдера, при которой саморазогрев расплава максимален.

Следовательно,

в(4) = 21п(4г */4); (17)

Из проведенных расчетов следует, что

с * ^~1С* = 0,65.

Следовательно,

4г * = 0,6^72/^.

Теперь проверим, что в1(4) удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (2). Действительно из (17) следует:

1) в(4)| 44 = 0;

2) Лв.(4>/ <4|,=„ = -2Л 1п4/<4|,=0 =~, (18)

т.е. граничное условие Лв1(4)/ Л4І4=0 = 0 не выполняется, а выражение (18) означает, что

происходит «тепловой взрыв»;

Вычислим вторую производную Лв21(4)/ Л42. Имеем:

лв(4)/Л42 = 2/42 ^-вехрв1(4) = в(4г */4)2. (19)

Из (19) следует, что в1(4) не удовлетворяет уравнению (1).

Таким образом, найдено критическое значение относительной высоты канала шнека экструдера 4г *. Учитывая последнее необходимо назначать относительную высоту канала шнека таким образом, чтобы выполнялось неравенство 4г<4г *.

Из уравнения (16) следует, что

4г = ^2Ів{іп[ехр(в(0)/2) + уІ-1 + ехрв(0)] }/ехр(в(0)/2).

Последнее выражение устанавливает связь между температурой саморазогрева расплава в(0) и относительной высотой канала шнека экструдера 4г. Из этого выражения следует, что

при в(0) = 21п2 относительная высота канала шнека 4г принимает значение д/2/в .

На рис. 1 приведена качественная зависимость величины саморазогрева расплава полимера от относительной высоты канала шнека экструдера. Оказывается, что в окрестности нуля 0(0) приблизительно равно / 2.

Рис. 1. Зависимость температуры саморазогрева 0(0) от относительной высоты канала шнека

Таким образом, доказанную в представленной автором расчетами неизбежную неоднородность температуры расплава в одношнековых экструдерах, необходимо учитывать при конструировании шнека. При этом температуру и скорость вращения шнека при экструзии полимера необходимо назначать с учетом вязкости и термомеханической стойкости перерабатываемого полимерного материла. Повышение температуры расплава и неоднородности температуры проявляется сильнее при высоких вязкости расплава и скоростях вращения шнека.

ЛИЕРАТУРА

1. Khametova M.G. Polymers melts self-heating in estrusion process / M.G. Khametova, E.A. Zukov, S.N. Rukavizin // Sp. MNK ММТТ-22.У.9. Pskov: publ. PPI, 2009. 73 p.

2. Khametova M.G. Polymers melts self-heating in extrusion in the light of counter flow / M.G. Khametova // Sp. MNK ММТТ-24. У.5. Saratov.: publ. SGTU, 2011. 113 p.

Хаметова Маргарита Григорьевна -

кандидат технических наук, доцент, декан машиностроительного факультета Московского государственного университета инженерной экологии

Статья поступила в редакцию 23.07.11, принята к опубликованию 20.11.11