Расчет распределения температуры расплава полимера по высоте канала шнека экструдера Текст научной статьи по специальности «Химические технологии»

УДК 678.057

М.Г. Хаметова РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ РАСПЛАВА ПОЛИМЕРА ПО ВЫСОТЕ КАНАЛА ШНЕКА ЭКСТРУДЕРА

Решена задача распределения температуры расплава полимера по высоте канала шнека одношнекового экструдера с учетом противотока расплава по длине шнека.

Одношнекового экструдер, экструзионные машины, распределение температуры расплава полимера.

M.G. Khametova CALCULATION OF TEMPERATURE DISTRIBUTION POLYMER MELTS ALONG EXTRUDER SCREW CHANNAL HEIGHT

Solved the problem of temperature distribution in the polymer melt channel height screw single screw extruder with a melt backflow into account the length of screw.

Single-screw extruder, extrusion machine, the temperature distribution of the polymermelt.

Введение

Современные экструзионные машины, предназначенные для переработки полимерных материалов и изготовления пленки, листа, профилей, труб и т.д., должны подавать в формующий инструмент экструдера термически однородный расплав с постоянной высокой производительностью. Для того, чтобы обеспечить выполнение этого требования, управление процессом экструзии должно быть основано на полном понимании основных закономерностей работы этих машин.

Статья посвящена нахождению стационарного распределения температуры течения неньютоновского расплава полимера по высоте прямоугольного канала шнека одношнекового экструдера. Предполагается, что расплав полимера подчиняется реологическому степенному закону.

Расчет распределения температуры проводится в рамках упрощенной теории потока [1]. В работах [1-4] исследовалась такая температурная зависимость, в том числе с помощью ЭВМ, но в них не был предложен метод расчета распределения температуры расплава по высоте канала шнека y . Необходимость такого исследования связана с выбором технологических режимов переработки полимеров. В данной статье приводится аналитическое решение этой задачи, а именно, выводится уравнение распределения температуры расплава по высоте канала шнека и дается его решение. Из него следует, что имеет место эффект саморазо-грева расплава, который наиболее выражен на нижней стенке канала и вызван вращением шнека экструдера. Важно отметить, что саморазогрев расплава приводит к его деструкции.

Постановка задачи

Обозначим z — положительное направление оси шнека, у е [0, H ], H — высота канала шнека экструденра, 1) — вязкость расплава полимера, vz — скорость течения расплава полимера вдоль оси z , dvz / ду — скорость сдвига, Л коэффициент теплопроводности расплава, T(у) — температура расплава в точке у .

Предположим, что вязкость расплава описывается выражением

п(у) =Vob(dvz /ду)и—1 exp{—а(Т(у) — T(H))}, где a, b — эмпирические константы; n — индекс течения неньютоновской жидкости; ij0 — начальная вязкость.

Ранее в работе [5] было дано теоретическое обоснование эффекта саморазогрева расплава полимера в одношнековом экструдере в результате неизотермического неньютоновского стационарного течения расплава, вызванного вращением шнека экструдера. Однако решение этой задачи не учитывало наличие противотока расплава по длине шнека.

Известно [1], что в рамках упрощенной теории потока скорость сдвига dvz /ду и T(у) удовлетворяют системе уравнений:

dp/dz = d(rjdvz /ду)/ду , (1)

Лd 2T|dу2 +ц(ёу1^у)2 = 0, (2)

где p — давление.

Константу b можно определить, если известны значения вязкости расплава Jj(H) и скорости сдвига dvz (H)/ ¿у при у = H :

b = [n(H)/п][dvz(H)/¿уГ .

Приведем граничные условия [1] для уравнения (1):

^z (у) / ду| у=0 = 0, vz (у^ у=H = Vz , (3)

а для уравнения (2) они имеют вид [1]:

дТ (у)/ду|у=0 = 0, T (у) у=н = T (H), (4)

где Vz — скорость движения верхней стенки канала шнека экструдера; Т (H) — температура термостатирования расплава на верхней стенке канала экструдера.

Построение решения краевой задачи.

Пусть ^ е [0,1] — новая независимая переменная, причем:

у(£) = H£2n/(3n+1). (5)

Положим:

в(£) = {a(T (у) — Т (H))}/ п\у=уф. (6)

Отметим, что в(^) — имеет смысл безразмерной температуры. Тогда из уравнений (1), (2) следует, что в(^) удовлетворяет уравнению:

d 2в/d^ + вехр(в(£)) = 0, (7)

где в = (а/пЛ)^п+1)/n /(n0b)1/n} (2n /(3n +1))2 H(3n+1)/n — константа. При этом в(^) удовле-

творяет следующим граничным условиям:

¿в(#)/ d^ = 0, в(#)| i=1 = 0. (8)

Сначала понизим порядок уравнения (7). Для этого умножим левую и правую части

(7) на ¿в(%)/ d%, имеем

0,5 d[¿в(£) / d£]2 / d^ = —fi exp в(£^в(£) / d£ .

Интегрируя последнее равенство по £ в пределах от нуля до £, имеем:

(¿0(£)/ й£)2 - (¿0(0)/й£)2 = -2в(ехр0(0) - ехр0(£)).

Отсюда следует, что 0(£) удовлетворяет уравнению

¿0(£)/й£ = ±т](¿0(0)/й£)2 + 2в(ехр0(0) -ехр0(£)),

которое с учетом первого граничного условия примет вид:

й0(£)/ й£ = ±^12 в (ехр 0(0) - ехр 0(£). (9)

Отметим, что

- если 0(0) > 0(£) для любого £е[С,1], то правая часть является действительной функцией;

- если существует £* е [0,1] такое, что 0(0) < 0(£*), то в этом случае й0(£)/ й£ будет комплексно значимым. Следовательно, 0(£) будет осциллирующей функцией £ и практически значимого интереса не представляет.

Поэтому будем рассматривать случай, когда 0(0) > 0(£) для любого £ е [0,1], т.е. точка £ = 0 является точкой максимума функции 0(£).

Требуется выбрать знак в правой части выражения (9). С этой целью рассмотрим (7) и выполним интегрирование его левой и правой частей в пределах от нуля до £ . Имеем с учетом граничного условия (8):

й0(£)/ й£ = -^(2в(ехр0(0) - ехр0(£)). (10)

Из (10) следует, что

й0(£)/ £=0 = 0.

Найдем теперь общее решение нелинейного уравнения (10). Сначала заметим, что для любого С Ф 0 и |*| > |с|:

й(агск(х/С) /йх = 1/л/х2 - С2 .

Поэтому неопределенный интеграл будет иметь вид:

|(х2 - С2)-1/2 йх = атскх/ к + С , (11)

где С - постоянная интегрирования.

Обозначим 1/ С = ехр 0(0)/2 . Поскольку переменные в уравнении (10) делятся, то его можно переписать в виде

-0,5 [ехр(-0/2)й0]/д/(ехр(-0/2)2 - С2 =в^2С~1й£.

Отсюда в силу (11) имеем

ехр[(0(0) - 0(£)) / 2] = ск(^Щ ехр(0(0) /2£) + С1, (12)

где С1 - постоянная интегрирования. Очевидно, что С1 =0.

Таким образом, из (12) следует, что

0(£) = 0(0) - 21пск(л[вП£ехр(0(0)/2)), (13)

Осталось найти значение 0(0). Для этого воспользуемся вторым граничным условием

(8), из которого следует, что

ехр 0(0)/2 = ск(у[в/2ехр(0(0) / 2)). (14)

Из выше приведенных выкладок следует, параметр 0(0) - это значение обезразме-ренной температуры расплава на нижней стенке канала шнека экструдера.

Отметим, что нелинейное уравнение (14) имеет решение при в/2 < 1. Если это условие выполняется, то уравнение (14) имеет два положительных корня, которые обозначим как 01 (0) и 02 (0). В действительности на практике реализуется наименьший из них по величине

в силу следующего соображения, а именно: в стационарном режиме любая динамическая система занимает такое состояние, которому соответствуют минимальные затраты энергии (температуры).

Приведем оценки сверху и снизу для корней в1 (0) и в2 (0). Без ограничения общности можно считать, что в1 (0) < в2 (0) <0.

Заметим, что из (14) следует неравенство:

exp в(0) / 2 = ch(д/Д/2exp в(0) /2) > 1 + (в /2) exp в(0). (15)

Из (15) следует, что имеет место неравенство:

2ln[(2 — 2^1 — в)/в]^ в1 (0) < в2 (0) < 2ln[(2 + 2^1 — в)/в].

Отсюда

в1 (0) - 2ln2[(1 — ji—в)/в]. (16)

Таким образом, обезразмеренная температура в(£) принимает максимальное значение в точке £ = 0, т.е. в(0) > в(£). Последнее означает, что происходит саморазогрев расплава полимера, и температура расплава принимает наибольшее значение у нижней стенки канала шнека экструдера.

Следует отметить, что полученные здесь результаты полностью подтверждаются исследованиями, проведенными Раувендаалем К. [6]. Сначала экспериментально, затем с помощью программы с использованием метода конечных элементов Раувендааль К. установил профиль температуры расплава в канале шнека одношнекового экструдера. В качестве объекта изучения был выбран полиэтилен высокого давления, который подвергали переработке в экструдере с диаметром рабочего цилиндра 38 мм и скоростью вращения шнека 100 об/мин. Эта программа позволила проводить трехмерный расчет скоростей, давлений и температур для любой точки в канале шнека. Им было показано, что температура расплава полимера в любой точке канала шнека значительно превышает температуру рабочего цилиндра (температуру термостатирования). Самые высокие значения, примерно на 310 С выше температуры рабочего цилиндра, наблюдались в канале вблизи сердечника шнека (на нижней стенке канала). Время пребывания расплава больше всего в нижней части канала. Сочетание высоких температур расплава и большого времени пребывания в этой области канала делают деструкцию расплава весьма вероятной.

Пример расчета величины саморазогрева расплава поликарбоната. Была рассчитана относительная величина саморазогрева расплава поликарбоната при экструзии в одношнековом экструдере по данным, приведенным в [7-9]. Приведем данные о расплаве поликарбоната и его течении:

— энергия активации вязкого течения E = 108 Кдж/моль;

— коэффициент теплопроводности Л =0,1884 Вт/мК0;

— начальная вязкость г/0 =1,641103 н сек/м2;

— константа b =57,07 секn—1;

— температура термостатирования 5530 К ;

— производная от давления вдоль оси шнека pz =6 106 н/м3;

— высота канала шнека экструдера 0,0063 м;

— индекс течения n =0,4.

Поскольку

в = а[(pz)(n+1)/n /(n0b)1/n J2n/(3n + 1)]2(H)(3n+1)/n /Лп , где значение константы а можно получить с помощью преобразования Франка-Каменецкого формулы Аррениуса [10]:

а = E/R[T(H)]2 = 0,04245 рад—.

Здесь R - универсальная газовая постоянная, R =8,31 Кдж/кмоль град.

Отсюда следует, что д/Д/2 = 0,1556. Заметим теперь, что с одной стороны, из (17) следует, что

0(0) = 2ln2(1 -у/1 -в /в) = 8,803,

с другой стороны,

0(0) = aT ( H )[(T (0) - T (H )]/nT (H ).

Отсюда следует, что

[T (0) - T (H )]/T ( H )= n[0(0) / aT (H )].

Поскольку

aT (H )/n = E / nRT (H ) = 58,69.

Следовательно,

(T (0) - T (H ))/T (H ) = 0,15, т.е. величина саморазогрева составляет 15% от температуры термостатирования и составляет для расплавов поликарбонатов 6360 К. Хорошо известно [9], что при такой температуре поликарбонат деструктирует.

Выводы

Показано, что при экструзионной переработке полимеров возникает саморазогрев расплава. Причем наибольшее значение температуры расплава достигается на нижней стенке канала шнека экструдера.

Предложена методика расчета величины саморазогрева при экструзионной переработке полимера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mckelvey J.M. Polymer Processing / J.M. Mckelvey. M.: Chemistry, 1965. 444 p.

2. Bernhardt E.C. Processing of Thermopastic Materials / E.C. Bernhardt. M.: 1962, 747s.

3. Middleman S. The Flow high Polymers / S. Middleman. M.: 1971. 256 s.

4. Truphanova N.M. Development of calculation methods of plastification process and working parts extruder equipment for plastics. Jhesis... doctor of science. M.: MSACM, 1994.

5. Khametova M.G. Polymers melts self-heating in estrusion process / M.G. Khametova, E.A. Zukov, S.N. Rukavizin // ММТТ-22 : sp. MNK. V.9. Pskov: PPI, 2009. 73 p.

6. Rauvendaal K. Influence and removal extrusion problems / K. Rauvendaal, Pilar Noryega, H. Haris. SP.: Profession. 2008, 328 p.

7. ^linchev E.L. Properties and processing of thermoplastics / E.L. ^linchev, M.B. Sacovcheva. М.: Chemistry, 1983. 286 p.

8. Thermophisical and reological polymers characteristics / Under reduction of Lipatov J.S. Kiev.: Science idea, 1977. 244 p.

9. Khametova M.G. Calculation of extruder productivity in the light of destruction processing polymer / M.G. Khametova // Theoretical basic of chemical technology. М.: V.24, 1990. №6. P.775-783.

10. Frank-Kamenesky D.A. Diffusion and heat transfer in chemical kinetics / D.A. Frank-Kamenesky. М.: Science, 1967. 491 p.

Хаметова Маргарита Григорьевна -

кандидат технических наук, доцент, декан машиностроительного факультета Московского государственного университета инженерной экологии

Статья поступила в редакцию 5.07.11, принята к опубликованию 24.10.11