CC BY
23
УДК 532(075.8)
НАГРЕВ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ СРЕДЫ В ПЛАСТИФИЦИРУЮЩЕЙ ЗОНЕ ЭКСТРУДЕРА
А.Ф. Брехов, В.И. Ряжских, А.А. Богер
Воронежская государственная технологическая академия Представлена членом редколлегии профессором В.И. Коноваловым
Ключевые слова и фразы: неньютоновская жидкость; сопряженный теплообмен; шнековый канал.
Аннотация: Предложена математическая модель теплообмена в пластифицирующей зоне одношнекового экструдера при движении неньютоновской жидкости с малыми скоростями деформации.
Попытки решения задачи о сопряженном теплообмене степенной жидкости в пластифицирующей зоне экструдера пока остаются неудачными, несмотря на принимаемые допущения о квазидвумерности [1], кусочно-непрерывном изменении продольной компоненты скорости движения [2] и применимости упрощенной теории потока для винтовых насосов [3]. Результаты численного интегрирования задачи в двумерной постановке [4] требуют дополнительной проверки сходимости и адекватности. Поэтому необходима разработка приближенных, но надежных методов оценивания термической обстановки.
Рассмотрим установившееся неизотермическое течение по шнековому каналу несжимаемой неньютоновской жидкости, подчиняющейся степенному закону. Расположим начало координат в середине нижнего основания поперечного сечения канала; оси 0х, 0у, 0х направлены вдоль канала, по высоте и ширине сечения, соответственно. Предположим, что высота канала намного больше ширины, поперечное сечение не является функцией координаты г, ускорение среды незначительно из-за медленного движения, обратная утечка мала, тогда система уравнений, описывающих сопряженный теплообмен в сечении канала, имеет вид [5]
дР _ д Г dvx дх ду ^ ду
(1)
дР _ 0;
дУ
(2)
дР _ д Г дvz д1 ду ^ ду
(3)
дt
Pcpvz дZ = 1
in
ду 2
-+m
двх
ду
ду
(4)
где р - давление; уг, юх - компоненты скорости по осям г и х; / - температура; р, ср, X, ^ - плотность, теплоемкость, теплопроводность и динамическая вязкость
2
2
л
+
среды. Реологическое уравнение степенной жидкости, прогнозирующей адекватно, в том числе и многие пищевые среды [6], таково
m = mo
f gO exp (bit); g0 J
У =
dvx
dy
+f ^ і dy
l/2
(5)
где: уо, До - скорость сдвига и вязкость неньютоновской среды в приведенном состоянии; п - индекс течения; Ь - температурный коэффициент, учитывающий природу среды.
При небольших скоростях деформации можно использовать структуру реологического уравнения ньютоновской жидкости с эффективным коэффициентом динамической вязкости в виде [7]
n+l
f n + 2 ^ 2 М-эф = М-0 I _
З
Тогда на основании (l) - (б) имеем:
dP=_д_ dX ~ дт
dP= _д_ dz ~ дт
dVx f P
—X expI — дт і T
dVz f P
—z exp I — дт і T
(б)
(7)
(8)
PeVz дТ = 4 + Gc z 9z дт2
д!х_ 'j2+f дГ^ 2
дт j І дт
exp
(9)
vx = vxlU cos j;
где X = x/h ; Y = y/h ; Z = z/h ; P = ph/(тэфи cos j);
Fz = vz/U cos j ; T = t/t0; P = b/t0 ; Pe = pCpU cos jh/l - число Пекле; Gc = тэфи2 cos jj(Xto) - число Грифитса; to, Ucos j - характерные масштабы
для температуры и скорости; ф - угол подъема винтового канала. Как и в [5] примем, что в направлении Ох
Ух = (37-2)7ф .
(l0)
Корректность такого допущения следует из того, что гидродинамическая структура течения степенной жидкости в поперечном сечении шнекового канала представляет собой сопряженную совокупность течения Куэтта в направлении составляющей скорости перемещения корпуса и обратного напорного течения. Уравнение напорного движения степенной жидкости в области, примыкающей к валу шнека
l др = д ^x ^x n-l
Mo дx
причем их (0) = их(у*) = дvx ^ 1 у*^ ду = 0 , где у = у* - плоскость, разделяющая напорное и течение Куэтта, откуда
2
2
P
т
n + 1
_L dP
mo dx
1 n+1 (
-( *v
V 2 У
1 -
Ay -1
*
y
(11)
Уравнение движения степенной жидкости в области, примыкающей к корпусу экструдера
d_
dy
m
dvx
dy
= 0
с условиями vx (y*) = 0 и vx (h) = U cos j имеет решение
(
vx = U cos j
( *\ y - y 1 * h - y
(12)
Величина у определяется из уравнения
_L dPy
mo dx 2
*
U cos j
h - y
полученного из равенства производных выражений (11) и (12) при у = у*. При
малых скоростях деформации у* » 2/3 , а качественный вид профиля ьх соответствует (10).
Согласно экспериментальным данным в [8]
ЭГ/Э7 » 0 .
В итоге (7) - (9) примет вид:
dT
PeVZ — = Gc Z dZ
Из (13) и (14) следует
dP (P
dX = 6tg j exp V T
dP d2VZ (p
dZ = dY2 eXP ( T
4 (3Y-l)2tg2 j+(dY у
ехр
T
d2Vz dY 2
= A.
с условиями
Г2 (0) = 0 и (1) = 1,
где А = 6tgф(ЭР/ЭZ)/(ЭР/ЭХ). Решение (16) и (17)
= А72 +(1 -А)7 ,
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
n
n
vx =-
P
в котором связь между параметром A и безразмерной расходной характеристикой Q = qj(hLUcos j),
где q - расход сырья через экструдер, L - ширина шнекового канала, определяется соотношением
1
JVzdY = Q,
т.е. А = 3(1 -2Q) . Решение (18),
представленное на рис. 1, согласуется с [9].
Осреднив (15) по 7 с учетом (18), получим уравнение
Рис. 1 Зависимость продольной безразмерной скорости движения среды от относительной высоты шнекового канала:
1 - 0 < 0 < 1/3; 2 - 0 = 1/3; 3 - 1/3 < 0 < 1/2;
4 - 2 = 1/2; 5 - 1/2 < 2 < 2/3; 6 - 0 > 2/3
dT=1 Gc dZ ~ Q Pe
4tg2 j+ 3(1 -2Q)2 +1
с начальным условием
T (0) = 1.
exp
(19)
(20)
Практически значимый диапазон для Т находится в пределах от 1 до 10, поэтому для Ь ® 0 ехр(Р/Т) » 1, тогда из (19) и (20) следует
T = 1 +1GC Q Pe
4tg2 j+ 3(1 -2Q)2 +1
Z
причем
dP/dZ = 3 (1 - 2Q). Решение (21) удобно записать в виде
(21)
(22)
T = 1 + -
G_
Q2
4tg2 j + 3 (1 - 2Q)2 +1
Z,
где G = -
^эф
t0pc„h L
откуда легко найти значение 2* , для которого скорость воз-
растания температуры материала в процессе будет минимальной
Q* = Q + Q2,
где
Q1 = 3—0,5« + ; Q2 = 3—0,5a - :
(tg2 j-134^9; «2 =(tg2 j- 11/4)/3.
d = li «1") + (1 «2
Из (22) следует, что в зависимости от величены 0 возможны три режима функционирования экструдерной системы: 1) при 2 < 1/2 в предматричной зоне создается избыточное давление (режим насоса); 2) при 2 = 1/2 потери давления в
0
a =
1
температуры от текущей безразмерной длинны зоны пластификации при Ф = 15°, О = 0,001, р = 3:
1 - е = 0,3; 2 - 0,5; 3 - 0,6
давления от текущей безразмерной длинны зоны пластификации при Ф = 15°, О = 0,001, р = 3:
1 - е = 0,3; 2 - 0,5; 3 - 0,6
шнековом канале компенсируются создаваемым напором и в предматричной зоне давление равно входному; 3) при е > 1/2 давление по шнековому каналу из-за гидродинамических потерь падает (режим транспортирования). Полученные результаты коррелируются с данными вычислительного эксперимента [3].
В случае, когда в достаточно велико, система (19) и (20) допускает только численное решение (рис. 2 и 3).
Таким образом, предложенная модель может быть использована для оценки температуры и давления в конце зоны пластификации в зависимости от физикохимических параметров сырья и кинематико-геометрических характеристик экс-трудерных одношнековых систем.
Список литературы
1 Янков, В.И. Процессы переработки волокнообразующих полимеров (методы расчета) / В.И. Янков, В.П. Первадчук, В.И. Боярченко. - М.: Химия, 1989. -320 с.
2 Остриков, А.Н. Экструзия в пищевой технологии / А.Н. Остриков, О.В. Абрамов, А.С. Рудометкин. - СПб.: ГИОРД, 2004. - 288 с.
3 Gopalakrshna, S. Heat and Mass Transfer in a Single Screw Extruder for Non-Newtonian Materials / S. Gopalakrshna, Y. Jaluria, M.V. Karwe. // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1992. - V. 35. - No. 1. - Pp. 221 - 237.
4 Lin, P., Jaluria Y. Conjugate Thermal Transport in the Channel of an Extruder for Non-Newtonian Fluids / P. Lin, Y. Jaluria // Int. J. Heat Mass Transfer. - 1998. -V. 41. - No. 1. - Pp. 3239 - 3253.
5 Мак-Келви, А.М. Переработка полимеров / А.М. Мак-Келви. - М.: Химия, 1965. - 444 с.
6 Kokini, J.L. Physical Forces in Food Systems / J.L. Kokini // Research Accomplishments Report. The Center for Advanced Food Technology, Rutgers University. -1988.
7 Брехов, А.Ф. Реологическое уравнение карамельных масс при малых скоростях деформации / А.Ф. Брехов, В.И. Ряжских // Хранение и переработка сель-хозсырья. - 2001. - № 10. - С. 12 - 13.
8 Esseghir, M. Heat Transfer Experiments in a Single-screw Extruder / M. Esseghir, V. Sernas. M. Esseghir, V. Sernas // Int. Symp. Manufacturing and Materials Processing, Dubrovnik, Yugoslavia, 1990.
9 Торнер, P.В. Теоретические основы переработки полимеров (механика процессов) / Р.В. Торнер. - М.: Химия, 1977. - 464 с.
Heating of Non-Newtonian Media in Plasticizing Extruder Zone A.F. Brekhov, V.I. Ryazhskikh, A.A. Boger
Voronezh State Technological Academy
Key words and phrases: integrated heat transfer; screw canal; non-newtonian liquid.
Abstract: Mathematical model of heat transfer in plasticizing zone of one-screw extruder during non-Newtonian liquid movement with small velocity of deformation is proposed.
Erwarmung des non-Newtonischen Mediums in der plastifiziereden Zone des Extruders
Zusammenfassung: Es ist das mathematische Modell des Warmeaustausches in der plastifizierenden Zone des Einwellenextruders bei der Bewegung der non-Newtonischen Flussigkeit mit den kleinen Geschwindigkeiten der Deformierung vor-geschlagen.
Chauffage du milieu non-newtonien de l’environement dans la zone plastifiante de l’extrudeur
Resume: Est proposee le modele mathematique de l’echange calorifique dans la zone plastifiante de l’extrudeur a un arbre lors du mouvement du liquide newtonien avec de petites vitesses de la deformation.
