Операторы весовой композиции на квазибанаховых весовых пространствах последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2023, Том 25, Выпуск 4, С. 5-19

УДК 517.983

DOI 10.46698/x5057-2500-3053-t

ОПЕРАТОРЫ ВЕСОВОЙ КОМПОЗИЦИИ НА КВАЗИБАНАХОВЫХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А. В. Абанин1'2, Р. С. Маннаников1

1 Южный федеральный университет, Россия, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а;

2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: avabanin@sfedu.ru, mannanikov@sfedu.ru

Аннотация. В работе рассматриваются основные топологические свойства операторов весовой композиции на весовых пространствах последовательностей lp(w), 0 < p < то, где w — весовая последовательность положительных чисел: ограниченность, компактность, компактность разностей операторов, формулы для их существенных норм, а также описание тех из них, чей образ является замкнутым. Ранее данные свойства изучались Д. М. Луаном и Л. Х. Хоем для случая гильбертова пространства (p = 2). Предложенные ими методы с небольшими модификациями могут быть применены для случая банаховых пространств lp(w), p > 1. Они существенно опираются на использование сопряженных пространств линейных непрерывных функционалов и, следовательно, не подходят для изучения квазибанахова случая (0 < p < 1). Более того, некоторые из них не подходят даже для банахова пространства l1 (w). В соответствии с изложенными выше причинами нами разработан более универсальный подход, позволяющий исследовать всю шкалу пространств {lp(w) : p > 0}. С этой целью установлены необходимые и достаточные условия компактности линейного оператора на абстрактном квазибанаховом пространстве последовательностей, являющиеся новыми также для случая банаховых пространств. Более того, введена в рассмотрение новая характеристика — ш-существенная норма линейного непрерывного оператора L на квазибанаховом пространстве X. Она является расстоянием по операторной квазинорме между L и множеством всех ш-компактных операторов на X. При этом оператор K назван ш-компактным на X, если он компактен и покоординатно непрерывен на X. В связи с этим показано, что для lp(w) (p > 1) существенная и ш-существенная нормы оператора весовой композиции совпадают. При 0 < p < 1 справедливость этого утверждения не установлена. Главными результатами данной работы для операторов весовой композиции на lp(w) (0 < p < то) являются: критерии ограниченности, компактности и замкнутости образа; полное описание пар операторов, разность которых компактна; точная формула для ш-существенной нормы. Некоторые ключевые моменты разработанного подхода могут быть использованы для других операторов и шкал пространств.

Ключевые слова: квазинормированные весовые пространства, операторы весовой композиции. AMS Subject Classification: 47B37, 46B45.

Образец цитирования: Абанин А. В., Маннаников Р. С. Операторы весовой композиции на квазибанаховых весовых пространствах последовательностей // Владикавк. матем. журн.—2023.—Т. 25, вып. 4.—C. 5-19. DOI: 10.46698/x5057-2500-3053-t.

© 2023 Абанин А. В., Маннаников Р. С.

Введение

Пусть w = (w(k))^=1 — фиксированная последовательность положительных чисел. При каждом p € (0, то) она задает весовое пространство последовательностей комплексных чисел

s те

1p(w) := j x = (xfc) € ш : Hx^ := ^ |xfc|p wp(k) < то

где ш — пространство всех последовательностей из CN. При p ^ 1 это пространство с нормой || ■ ||P)W является банаховым, причем при p = 2 оно будет гильбертовым со стандартным скалярным произведением (х,у) = YlkLi хк ykw2(k), х,у € l2{w). При р € (0,1) || ■ || — квазинорма, а само 1p(w) является квазибанаховым. Именно, при p € (0,1) неравенство треугольника имеет место в ослабленной форме:

\\x + y\\p,w ^ 2р_1(||ж||Р)„ + |M|p,w), х, у € lp(w).

Кроме того, p(x,y) := ||x—y||p,W — метрика на 1p(w), инвариантная относительно сдвигов, причем || — x||p,W = ||x|P,W и ||Anx(n) — Ax||p,W = 0, если An — А и ||x(n) — x||p,W — 0

при n — то (здесь An,A € C и x(n),x € ¿p(w)). Таким образом, || ■ ||p)W — псевдонорма на 1p(w), задающая на 1p(w) ту же топологию, что и квазинорма || ■ ||p,W. Так как 1p(w) относительно этой топологии полно, то оно относится к классу пространств типа (F) в терминологии Банаха (см. [1, глава III]). Поскольку все банаховы пространства принадлежат этому классу, то все 1p(w), 0 < p < то, являются пространствами типа (F).

Во многих работах изучались свойства различных линейных операторов в пространствах 1p(w) в безвесовом (w(n) = 1, n € N) и весовом случаях. Так, например, в [2] (при p = 1) и [3] (при p ^ 1) исследовался оператор сдвига, в [4] (при p > 1) и [5] (при p = 1) — оператор Чезаро, в [6] (при p = 2) — оператор весовой композиции. Помимо самостоятельного интереса, установленные в этих работах результаты играют важную роль в теории весовых пространств голоморфных функций и операторов. В частности, в [7] на основе 12(w) были введены гильбертовы пространства целых функций H2(w) и в них установлены некоторые динамические свойства операторов дифференцирования и сдвига. В [8] эти исследования были не только существенно дополнены, но и был разработан метод использования H2(w) для решения аналогичных задач в весовых пространствах целых функций с sup-нормой. В [9] с помощью этого метода удалось получить полное описание инвариантных подпространств операторов интегрирования и дифференцирования в широком классе весовых пространств Бергмана, Блоха, Дирихле и Фока. Наконец, в [10] 12(w) использовано в изучении операторов композиции на гильбертовых пространствах рядов Дирихле.

Из приведенного краткого обзора следует, что наиболее изученным является гильбертов случай (p = 2), также достаточно полно разработана техника исследования в банаховых пространствах 1p(w) (p ^ 1) и нет работ, посвященных квазибанаховой ситуации (0 < p < 1). На наш взгляд, это связано в основном с тем, что в решении многих задач используемые ранее методы были основаны на привлечении сопряженных пространств линейных непрерывных функционалов, что возможно только при p ^ 1. С этой точки зрения наименее изученным нам представляется оператор весовой композиции, определяемый по заданной последовательности u = (u* )^=i комплексных чисел и отображению : N — N следующим образом:

CV,« : x = (x*)^ € ш -—► (ufcx^(fc))€ ш.

Наша основная цель — разработка техники исследования свойства оператора С<,и в 1Р^), подходящей для всех р € (0, то), и, как следствие, обобщение результатов работы [6] на всю шкалу {¿р^) : р > 0}. Ключевые моменты предлагаемой нами модификации могут быть при соответствующей адаптации использованы для других операторов и шкал пространств.

1. Ограниченность оператора весовой композиции

Приведем нужные для дальнейшего изложения свойства оператора весовой композиции в пространстве ш, наделенном стандартной топологией покоординатной сходимости. Отметим, что 1Р^) ^ ш при любом р > 0. Здесь и далее ^ — символ непрерывного вложения. Очевидно, что С<,и действует непрерывно из ш в ш. Далее, обозначим через вп = ($пк)ь=1, где 5пк — символ Кронекера, орты в ш (п € М). Напомним, что последовательность ортов образует базис в ш. Так как, для любого х € 1Р^)

п р те

Х - ^

хк ек II = ^ |хк|Р ^ 0 при п ^ ТО

к=1 Рк=п+1

то (вп)те=1 будет базисом и в 1Р^). Действие оператора С<,и на ортах выражается следующей формулой:

<с~ (вп))к =с к - € N. (!)

При этом

|ик|Р wp(к): (п)= 0: |С<„вп|р,№ = ^ ке<-1(п) п € N. (2)

0, (п) = 0,

Положим := {п € N : ^>-1(п) счетно}. Из (2) вытекает, что следующее условие является необходимым для того, чтобы С<,и действовал из 1р^) в 1р^):

= 0 или |ик|р wp(к) < то (Vп € ). (*)

к€<-1(п)

Всюду в дальнейшем мы предполагаем, не оговаривая этого дополнительно, что условие (*) выполняется. Ключевую роль в исследовании различных топологических свойств оператора С<,и : 1р^) ^ 1р^) играет следующая числовая последовательность:

, ... £ «чг-чч.

4рМп) := < К ' ке<-1(п)

[0, ^-1(п) = 0.

В случае необходимости мы будем подчеркивать зависимость этой последовательности от ^ и и и писать вместо упрощенной записи Следующий критерий доказывается по схеме, использованной при р = 2 в [6, теорема 2.3].

Теорема 1. Пусть р € (0, то). Следующие условия эквивалентны: (г) С<,и (1р(ж)) С /р(ж).

(и) С*,« : 1р(ж) — 1р(ж) ограничен. (ш) 8ирга £р,^(п) < то.

При выполнении одного из этих условий операторная квазинорма оператора С*,« : 1р(ж) — 1р(ж) вычисляется по формуле

НС*,« ||р^ = 8иР ^(п)1/р. (3)

< (г) ^ (гг): Нетрудно видеть, что из условия (г) следует замкнутость графика оператора С*,« : 1р^) — 1р(~№). В самом деле, если ж(т) — ж и С*)и(ж(т)) — у в 1р^) при

тп I \ (т) (т)

т — то, то, в силу того, что г (w) — ш, ж^ — и ж*(Л — Ук при т — то для любого к € N. Отсюда, очевидно, следует, что ук = здж*(к), к € М, и, следовательно, у = С*,«ж. Значит, график оператора С*,« : 1р^) — 1р^) замкнут. По теореме Банаха о замкнутом графике, справедливый для пространств типа (^) (см. [1, теорема 7, с. 47]), этот оператор непрерывен. (гг) ^ (г): Очевидно.

(гг) ^ (ггг): Так как ||вга||р^ = w(n) (п € М), то из (2) следует, что

—— ) = Cp,wN, П € N.

n||p,w

Поэтому Cp,w(n) ^ и, значит,

supCp,w(n)1/p < < гс. (4)

n

(iii) ^ (ii) : Для любого x € 1p(w) имеем

<x

K« x||p,w = £ |p W wp(k)= £ |xn|p |Uk|p wp(k)

fc=i ne^(N) fce^-1(n)

= £ |xn|p wp(n) Cp,w(n) < B||x||p,

ne^(N)

где B := supn £p,w(n) < то. Следовательно,

||CV;Jp;w < B1/p = supCp,w(n)1/p < то (5)

n

и, значит, : 1p(w) ^ 1p(w) ограничен.

Остается заметить, что из (4) и (5) вытекает (3). >

2. Компактность и компактные разности

Для исследования компактности оператора С*,« на 1р^) нам потребуется общий критерий компактности линейных операторов, действующих в квазибанаховых пространствах числовых последовательностей. Отметим, что он является новым и для банахова случая. Прежде чем его привести, введем следующее понятие. Пусть X, У — квазибанаховы пространства, непрерывно вложенные в ш. Обозначим через (X, ш) и (У, ш) пространства X и У, наделенные топологией, индуцированной из ш. Будем говорить, что линейный оператор Ь : X — У является ш-непрерывным, если из того, что (ж(т))т=1 — ограниченная в X последовательность, такая что ж(т) — ж в (X, ш), следует,

что — Ьж в (У, ш). Очевидно, что всякий оператор, действующий непрерывно из

(X, ш) в (У, ш), будет ш-непрерывным. В частности, как уже отмечалось выше, оператор непрерывно действует из ш в ш и потому ш-непрерывен на 1Р (w). Через (X, У) обозначим множество всех ш-непрерывных операторов из X в У .В случае, когда У = X, полагаем (X, У) =: (X) и операторы из (X) называем ш-непрерывными на X. Из теоремы о замкнутом графике следует, что всякий оператор из (X, У) является непрерывным из X в У. Следующий пример показывает, что обратное утверждение неверно.

Пример 1. Пусть р € (0,1]. Определим (пока формально) линейный оператор

Ь0х = ¡У^хп^я(п)\х£Р((6)

Ш=1 ) ^

Для любого ж € 1Р^) с ||ж||Р;№ = 1 имеем

Р /те \ Р те

Мж)|Г

I "V / ||р,-№

те

^ w(n)

п=1

^ ПТ |жп| w(n) ^ |ж„|Р wp(n) = 1.

Уга=1 / п=1

Отсюда следует, что этот оператор корректно определен и непрерывен на 1Р^). Тем не

менее, он не является ш-непрерывным на 1Р^), поскольку ограниченную в 1Р^) после/ е \ те

довательность которая сходится к нулю в ш, он переводит в стационарную

последовательность (^у, ^у,...), т. е. ->■ ^у ф Ь0(0) = 0, при п ->■ оо. Этот

пример показывает, что ш-непрерывность линейных операторов на 1Р^) при р € (0,1], вообще говоря, строго сильнее, чем свойство их непрерывности на 1РОднако, как было отмечено выше, все весовые композиционные операторы действуют непрерывно из ш в ш. Поэтому для них свойства непрерывности и ш-непрерывности совпадают.

Теорема 2. Пусть X, У — квазибанаховы пространства числовых последовательностей, непрерывно вложенные в ш, и Ь — ш-непрерывный оператор из X в У. Для того, чтобы Ь : X — У был компактным, необходимо, а если единичный шар Вх пространства X компактен в ш, то и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: (с) : Для любой ограниченной в X последовательности (ж(т))сходящейся к нулю в ш, последовательность (Ьж(т)) те=1 сходится к нулю в У.

< Необходимость. Допустим от противного, что имеется такая ограниченная в X последовательность (ж(т))т=1, что ж(т) — 0 в ш, но Ьж(т) — 0 в У при т — то. Тогда имеется такая подпоследовательность (ж(т*))^=1, что при некотором с > 0

с, к € N. (7)

Так как по условию Ь : X — У компактен и последовательность (ж(т*))^=1 ограничена в X, то имеется такая подпоследовательность (ж(т^'°=1, что (Ьж(т^'°=1 сходится в У к

некоторому элементу у € У. Поскольку У — ш, то тем более, Ьж(т^' ) — у в ш при ] — то. А так как ж(тЧ) — 0 в ш при ] — то и Ь ш-непрерывен, то Ьж(т^') — 0 в ш при ] — то. Следовательно, у = 0 и Ьж

0 в У при ] — то, что противоречит (7). Достаточность. Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность (ж(т))те=1 в X. Без ограничения общности можно считать, что ж(т) € Вх (т € N). Так как Вх компактен в ш, то имеется такая подпоследовательность (ж(т*^^=1, что

х(тк) ^ х € в ш при к ^ то. Тогда (х(т"к) — х)ограничена в X и х(тк) — х ^ 0 в ш при к ^ то. Отсюда, в соответствии с условием (с), следует, что £ (х(т-к) — х) 0 в У или ^ £х в У при к ^ то. Значит, £ : X ^ У — компактный оператор. >

Для использования только что установленного критерия нам потребуется следующая лемма.

Лемма. При любом р € (0, то) единичный шар = {х € 1р(ж) : ||х||р>^ ^ 1}

пространства Р(ш) компактен в ш.

< Рассмотрим произвольную последовательность (х(т))из Вр>„. Так как 1р^) ^ ш, то она ограничена в ш, и, следовательно, из нее можно выделить подпосле-

1 (т (т,)

довательность (х1 сходящуюся в ш к некоторому элементу х, т. е. х^ ^ при

] ^ то (к € М). Из принадлежности х^') к Вр>„ следует, что для любого п € N

п

х(т,)

Переходя здесь к пределу сначала по ] ^ то, а затем по п ^ то, имеем

ЬГ3 Рwp(k) < 1, j е N.

X>fc lp wp(k) < 1, fc=l

т. е. x е BP;W. >

Из этой леммы следует, что к пространству lp(w), 0 < p < то, и произвольному линейному оператору, непрерывно действующему из w в w, применима теорема 2, если в качестве X взять lp(w).

Теорема 3. Оператор : lp(w) ^ lp(w) компактен тогда и только тогда, когда £p,w(n) = 0.

< Необходимость. Пусть оператор : lp(w) ^ lp(w) компактен. Рассмотрим

последовательность (-^у Так как Ц^^уе^Ц = 1 (n € N), то она ограниче-

на в Р(w). Кроме того, очевидно, что ^^у ега —>■ 0 в w при п —> то. Тогда по теореме 2 С^^^щ ега) 0 в lp(w) при п —>■ то. Учитывая (2), заключаем отсюда, что lim„^ £p,w(n) = 0.

Достаточность. Пусть £p,w(n) = 0. Случай, когда множество <^(N) конечно,

тривиален, поскольку тогда образ оператора : lp(w) ^ lp(w) имеет размерность, совпадающую с числом элементов в <^(N), и, следовательно, этот оператор автоматически компактен. В случае, когда <^(N) счетно, зафиксируем произвольное е > 0 и найдем такой номер N, что £p,w(ri) < Vn > N. Рассмотрим произвольную ограниченную в lp(w)

последовательность (x(m))„=1, которая сходится в ш к нулю. Без ограничения общности

|

(iii) ^ (ii) теоремы 1,

будем считать, что ||х(т)||р№ ^ 1 (т € М). Имеем, как и в доказательстве импликации

|CV,uX(m)||p;w = £ Km)|p wp(n) Cp,w(n)

raS^(N)

p

< £ Iх™ Г < СрАп) + I- £ К™) Г < АИ . шах |р +

п^М п>М

где := ^wp(n) £р,те(п) < то. В силу того, что х(т) ^ 0 в ш при т ^ то, имеется такой номер М, что тахга<;лг \Р < при т > М. Тогда, продолжив оценку

ж(т) ||„ получим, что ЦС^и ж(т) ||„ № ^ ер при всех т > М. Значит, ж(т) ^ 0 в 1Р^) при т ^ то. Остается применить теорему 2, в соответствии с которой, оператор С^щ : 1Р(w) ^ 1Р(w) компактен. >

Замечание 1. Доказательство критерия компактности весового композиционного оператора в [6, теорема 3.1] для опиралось на тот общеизвестный факт, что ли-

нейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве компактен тогда и только тогда, когда он каждую слабо сходящуюся последовательность переводит в последовательность, сходящуюся по норме. При этом существенно использовалось то, что последовательность слабо сходится к нулю в ¿2(-да). Эти же соображения, как нетрудно убедиться, годятся для всех 1Р^) с р > 1. Однако они неприменимы для р € (0,1], включая банахов случай поскольку еп /> 0 при п —> то слабо в 1Р(ж) при таких р. В самом деле, рассмотрим функционал ^>(ж) = ^Жк w(k), ж = (жк)3=1. Для всех ж € 1Р^) с ||ж||Р;„ = 1 имеем при р € (0,1]

№(ж)|<Ё Ы К(к)| X|р К(к)|р = 1.

1^к| I «^)|Р

к=1 к=1

Отсюда следует, что ^ корректно определен и является линейным непрерывным функционалом на ¿р("№). Для него у) = 1 (п € М), откуда и следует, что ^у ега /> 0 при п ^ то слабо в 1р(w) для р € (0,1].

Исследуем теперь задачу о компактности разности двух весовых композиционных операторов:

— : ж = (жк)к=1 € ^ I-> (икж^(к) — ^к^(к))^ €

Ее действие на ортах имеет вид

( ) - *

ик — -ик, к € <^-1(п) П ^-1(п),

ик, к € ^>-1(п)\0-1(п),

—г>к, к € ^-1(п)\^-1(п),

0, к € ^-1(п) и ^-1(п).

(8)

Откуда

— С^) ега^Р,« = Е |ик¿га^(к) — ^к^га^(к)|Р

к=1

Е |ик — ^Р(п) + £ |«к Мп) + £ Мп).

к€^-1(га)П^-1 (га) к€^-1(га)\^-1(га) к€^-1(га)\^-1(га)

(9)

Чтобы сформулировать и доказать критерий компактности оператора — Сф^, рассмотрим числовую последовательность

= ^т^ ( ^ \ик~ Ук\р wp(n)

( ) \ке^-1(га)П^-1 (га)

+ Е |ик|Р wp(n) + £ N1Р wp(nП,

ке^-1(га)\^-1 (га) ке^-1(га)\ш-1(га) )

1(га)\^ 1 (га) 1(га)\^ 1(га)

определенную в соответствии с (9).

зо

Теорема 4. Оператор С<. и компактен тогда и ТОЛьк° тогда, когда

^(п) = 0.

< Доказательство аналогично доказательству теоремы 3. Отметим лишь основные моменты. Заметим, с учетом (9), что \\(С^>и - Сф^„) {^¡щ еп) = йр^(п). Далее, для

произвольной ограниченной в Р^) последовательности (х(т)), сходящейся в ш к нулю, имеем, положив Ср := тах{1, 2Р-1},

- С^) х

(т)

Е| (т) (т)

Х<(к) - Х^(к)

к=1

wp(n)

х

Е К - "к |

< Е

га€<(М)П^(М)

(т)

( т) ( т)

(т)

'(к) + Е

Е - "к |Р WP(k)

к€<-1(га)П^-1 (га)

wp(fc)

+Ср Е I

(т)

Е |ик ^(к) +

ке<-1(г)П^-1 (у)

( т)

Е " ^(к

<

(1+Ср) Е

гае<(М)и^(М)

(т)

Е - "кМ*)

ч к€<-1(га)П^-1(га)

+ Е |ик М*) + Е Мк)

к€<-1(га)\^-1(га) к€^-1(га)\<-1(га) /

(1+Ср) Е

гае<(М)и^(М)

(т)

Последнюю сумму, как и в теореме 3, остается разбить на две, зависящие от номера N € и ^(М), при котором все члены последовательности ^^(п) с номерами из

^>(М) и ^(М), большими N, меньше наперед заданного сколь угодно малого е > 0. >

p

га

P

P

3. Существенная норма

Пусть X и У — квазибанаховы пространства. Как обычно, через ^(X, У) и К(X, У) обозначим множества линейных непрерывных и компактных операторов их X в У, соответственно. Если У = X, используем обозначения ^(X) := ^(X, У) и К(X) := К(X, У), а также называем операторы из ^(X) и К(X) линейными непрерывными и, соответственно, компактными операторами на X. Классическая характеристика — существенная квазинорма — представляет собой отклонение оператора Ь € ^(X, У) от множества К(X, У) по операторной квазинорме и определяется по формуле

||Ь|1 := Ы ||Ь - КII . е к еК(х,У)

Из теорем 2, 3 и замечания 1 следует, что для пространств числовых последовательностей имеет смысл, наряду с ||-||е, рассматривать величину отклонения Ь от множества Жш (X, У) всех компанктных ш-непрерывных операторов из X в У:

, := Ы ||Ь - К|| ,

кеК>(х,у)

которую мы будем называть ^-существенной квазинормой. Для банахова пространства X используем названия существенной и ^-существенной норм оператора. Так как К(X, У) С К(X, У), то ||Ь||е ^ ||Ь||ше для любого Ь € ^(X, У), причем равенство ||Ь||е = ||Ь||ше имеет место не для всех Ь. Чтобы показать последнее, используем оператор, рассмотренный в примере 1.

Пример 2. Оператор Ьо, задаваемый формулой (6), очевидно является компактным на 1р("№) при 0 < р ^ 1. Поэтому ||Ьо||е = 0. Кроме того, из примера 1 имеем, что ||1уо|| ^ 1 и ¿о(-^у) = -^717 (п € М). Отсюда, в частности, следует, что ||£о|| = 1- Далее,

по теореме 2 для любого оператора К € К (1р^))

К

Отсюда получаем, что

|Ь0 - К|| >

Ьо

w(n)

=1-

w(n)

-К

К

^ 0 при п ^ то.

р>№

w(n)

К

w(n)

р>№

р>№

w(n)

^ 1 при п ^ то.

Таким образом, ||Ь0 — К|| ^ 1 для любого К € (1р^)), откуда следует, что

||Ь0||Ше = 1 = ||Ь0|.

Итак, нами указан оператор Ь0 на (1р^)) (0 < р ^ 1), для которого ||Ь0||е < ||Ь0||ше. Отметим, что он не является ^-непрерывным на 1р^). В связи с этим представляет интерес следующий вопрос, ответа на который мы не знаем: для всякого ли оператора Ь € (1р^)) имеет место равенство ||Ь||ше = ||Ь||е? Ниже мы покажем (см. теорему 5), что для операторов весовой композиции на 1р^) при р > 1 ответ на этот вопрос положителен. Наша ближайшая цель — установить оценки, а по возможности, и точные формулы для вычисления величин существенной и ^-существенной квазинорм оператора непрерывно действующего на 1р^). Эти величины непосредственным образом связаны со следующими множествами:

^,«(г) := {п € N : (^)1/р ^ г} , г > 0.

Очевидно, что если 0 < г1 < г2, то 1^,и(г2) С !^,и(г1). Далее, из теоремы 1 следует, что все множества 1^;Щ(г) с г > ||С^;Щ|| пусты. Пустое множество естественно считать множеством с нулевым числом элементов и, таким образом, конечным. Отсюда следует, что величина

г^щ := И {г > 0 : 1^,«(г) конечно}

является неотрицательным числом. Следующий результат представляет собой критерий компактности оператора в терминах введенных выше характеристик.

Предложение 1. Для оператора непрерывного на 1р(ш) (0 < р < то), следующие условия эквивалентны: («) компактен на 1р(ш). (й) ||С^„||е = 0.

^^Ье = 0.

(то) г^щ = 0.

е

п

1

е

е

е

п

п

п

е

п

< (i) ^ (iv): По теореме 3 компактен тогда и только тогда, когда {p/W ^ 0 при n ^ то, что, в свою очередь, равносильно конечности всех множеств (r) (r > 0). Последнее очевидно эквивалентно тому, что r^,« = 0.

(i) ^ (ii): Вытекает из известного факта, что линейный оператор на квазибанаховом пространстве компактен тогда и только тогда, когда его существенная квазинорма равна нулю.

(iii) ^ (ii): Следует из неравенства 0 ^ ||C()U||e ^ ||C(,u||we. (i) ^ (iii): Очевидно, так как w-непрерывен на 1p(w). >

Из предложения 1 следует, что для компактных оперторов C()U на 1p(w) и только для них верны равенства

H^V.ULe = = r(>« = 0"

Прежде чем привести следующий результат, заметим, что для любого r > r^,« множество I(,«(r) конечно, а если r(,u > 0, то для любого 0 < r < r(,u оно счетно. Это следует из отмеченной выше монотонности семейства {I(,u(r) : r > 0} по операции вложения.

Предложение 2. Для любого весового пространства 1p(w) и любого непрерывного на 1p(w) оператора C()U

HC^Le < V«. (10)

< Рассмотрим любое r > r(,u. Для него множество I(,«(r) конечно. Образуем следующую последовательность v = (vk

Jufc, если <^(k) e I^,u(r),

vk = i n

I 0, иначе.

Так как I(,u(r) конечно, то лишь конечное число членов соответствующей последовательности ({p,'W(n))~=i отлично от нуля и, следовательно, {('W(n) = 0. По теореме 3 оператор компактен на 1p(w). Как весовой композиционный оператор он w-непрерывен на 1p(w). Заметим, что — C^,^ — непрерывный оператор на 1p(w) и по определению I(,«(r)

(£(w(n))1/Р < r для любого n / I(,u(r).

Поэтому, учитывая определение последовательности v, имеем

||C(,u — || = ||C(,u_v| = sup ({('WU(n))1/p < r.

Отсюда следует, что | C(

>u|we ^ r для любого r > r(,« и, значит, верно неравенство (10). > Чтобы получить оценку снизу существенной нормы оператора C()U нам потребуются вспомогательные результаты.

Лемма 1. Для любого e L(1p(w)) и произвольного оператора T e L(1p(w)), для которого у) —>■ 0 при п —>■ то в lp(w), имеет место оценка

||— T|| ^ r^,«. (11)

< Если С^« компактен на 1Р^), то по предложению 1 г^« = 0 и оценка (11) тривиальна. Пусть теперь С^« некомпактен на 1Р^) и, значит, г^« > 0. Рассмотрим любое 0 < г < г^« и п € !^,и(г). Имеем

1|С^« - Т|| ^

С

1 w(n) = (^'«(п))1/р -

- Т

е„

Т

w(n)

ега

С

w(n)

Р'№

Т

w(n)

Р'№

w(n)

> г —

Р'№

Т

w(n)

Р'№

Так как ^«(г) счетно и ¡^(-^у) || „ 0 при п —> оо, то отсюда следует, что НС^'Щ — Т|| ^ г для любого г € (0,г^'М), и, значит, верна оценка (11). >

Лемма 2. При р > 1 любой компактный оператор К на 1Р(ж) обладает тем свойством, что —>• 0 в Р(ж) при п —>• оо.

< Рассмотрим любой непрерывный линейный функционал ^ на 1Р^). Как известно, он имеет вид

^(х) = Е Хп, х = (жп)^°=1 € ¿РЫ,

га=1

где /л = (11п)п=1 €

X

w

^(п)

'га=1 И р

п ^ то. Следовательно, последовательность

9

е-

^га

+ I = 1. Тогда /х(^) = 0 при

w(n)

. «г(га) / га: еп т(п)

=1 слабо сходится к нулю в 1Р^). По

свойствам компактных операторов тогда -^(^^у) ~~^ 0 при п —>■ то в ¿p(w). >

Теорема 5. При р > 1 для любого непрерывного на 1Р(ж) оператора С^« справедливо равенство

нс

^'«Нше = НС^,«Не =

< Из лемм 1 и 2 следует, что

ЦС^'Щ — К Н ^ для любого К € К (1Р (w))

Поэтому ЦС^'Щ Не ^ г^'Щ. А по предложению 1 ЦС^Ц^ ^ V«. Тогда г^«

< нс

^'«Ие

<

^«не ^ г^'«. А по предложению 1 ЦС^Ц^ откуда и получаем требуемое. > Из теоремы 2 заключаем, что ответ на поставленный выше вопрос о равенстве |Ь||е для ^-непрерывного оператора Ь положителен по крайней мере для операторов весовой композиции на 1Р^) при р > 1. Из примера 1 следует, что не всякий компактный оператор К на 1Р(ж) с 0 < р ^ 1 обладает свойством, что у) —>■ 0 при

п ^ то в 1Р^). Поэтому при 0 < р ^ 1 использованные выше соображения по оценке существенной нормы оператора С^« для р > 1 неприменимы. Однако их незначительная модификация позволяет установить формулу для ^-существенной нормы С^«.

Теорема 6. При 0 < р ^ 1 для любого непрерывного на ¡р(ж) оператора С^« верно равенство

|С

< Так как

-¿щ —> 0 при п —> то покоординатно, то по теореме 2 у) —> 0 в 1Р(w)

для любого оператора К € (1Р^)). Тогда по лемме 1 ЦС^« — К || ^ г^« для любого К € (1Р^)). Отсюда заключаем, что верно неравенство ЦС^Ц^ ^ г^«, которое вместе с обратной оценкой (10) дает требуемое равенство. >

В заключение этого пункта отметим, что нам неизвестно, верно ли равенство ||С^'«Нше = ЦС^'« Не для произвольного оператора С^« на 1Р^) при 0 < р ^ 1.

е

е

е

п

п

п

е

п

1

оо

4. Замкнутость образа и следствия для операторов умножения и композиции

В ряде вопросов важно знать, является ли образ оператора замкнутым или нет. В случае 12(w) для оператора весовой композиции этот вопрос был решен в [6, раздел 5]. Поскольку доказательства аналогичных результатов для произвольного p > 0 не отличаются принципиально от приведенных в [6], мы их опускаем.

Теорема 7. Для непрерывного на 1p(w) оператора верны следующие утверждения:

(a) Если множество N тех n € N, для которых £p,w(n) = 0, конечно, то образ (1p(w)) конечномерен и замкнут.

(b) Если множество N счетно, то образ (1p(w)) замкнут тогда и только тогда, когда

3 m > 0 : £p,w(n) ^ m для всех n € N •

Следствие. Компактный на 1p(w) оператор имеет замкнутый образ в том и только в том случае, когда конечномерен.

В заключение приведем следствие полученных выше результатов для операторов умножения Мщ := с <^(n) = n (n € N) и композиции С^ := с u(n) = 1 (n € N).

Предложение 3. Пусть Мщ и Mv — операторы умножения, заданные числовыми последовательностями u = (un)^=i и v = (vra)^c=1. Верны следующие утверждения:

(a) Следующие условия эквивалентны:

(i) Мщ ограничен на 1p(w).

(ii) u € При этом, квазинорма Мщ вычисляется по формуле

||Mu|| = sup |un| •

neN

(b) Мщ компактен на 1p(w) тогда и только тогда, когда un = 0.

(c) Мщ — Mv компактен тогда и только тогда, когда (un — vn) = 0.

(d) Положим Гщ := limn^ sup |u„|. Тогда ||Mu||we = ||Mu||e = при p > 1 и ||Мщ||ше = гщ при 0 < p ^ 1. Для компактных операторов Мщ на 1p(w) (0 < p < то) и только для них ||Mu||we = ||Mu|e = Гщ = 0.

(e) Образ Мщ (1p(w)) замкнут либо когда конечное число un отлично от нуля и оператор Мщ конечномерен, либо когда существует такое m > 0, что |un| ^ m для всех n € N с u„ = 0.

Предложение 4. Пусть С^ и С^ — операторы композиции, заданные с отображениями ф : N ^ N. Верны следующие утверждения:

(a) Следующие утверждения эквивалентны:

(i) С^ ограничен на 1p(w).

(ii) Существует A > 0 : ^ke^-i(n) wp(k) ^ A wp(n) (n € N). При этом квазинорма оператора С^ : 1p(w) ^ 1p(w) вычисляется по формуле

IM £

\fc€^-1(ra) /

(b) С^ компактен на 1p(w) тогда и только тогда, когда

lim -4— У wp(k) = 0. га^те wp(n) z—'

fce^- 1(n)

(с) Разность — C^ компактна на lp(w) тогда и только тогда, когда

lim —— > wp(k) = О

п^те wp(n) z—'

(d) Положим

1 Е

fc€^-1(n)A^-1 (n)

1/p

r„ := lim sup—( V wp(k) n^^ w(n) > ^

. 1(п) /

Тогда ||С^Нше = 1СН = г^ при р > 1 и ||С^||ше = г^ при 0 < р ^ 1. Для компактных операторов С^ на 1Р^) и только для них ЦС^Ц = ||С^||е = г^ = 0.

(е) Образ С<Д1Р^)) замкнут тогда и только тогда, когда существует такое т > 0, что 1

^ £ wp(fc) ^ m для всех п, при которых Lp l(n) ф 0.

1(n)

Литература

1. Банах С. Теория линейных операций.—Ижевск: НИУ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-272 с.

2. Thomas M. P. Closed ideals of l1 (wn) when {wn} is star-shaped // Pacific J. Math.—1983.—Vol. 105, № 1.—P. 237-255. DOI: 10.2140/pjm.1983.105.237.

3. Якубович Д. В. Инвариантные подпространтсва операторов взвешенного сдвига // Зап. науч. сем. ЛОМИ. —1985.—Т. 141.—С. 100-143.

4. Albanese A. A., Bonet J., Ricker W. J. Spectrum and compactness of the Cesaro operator on weighted lv spaces // J. Aust. Math. Soc.—2015.—Vol. 99, № 3.—P. 287-314. DOI: 10.1017/S1446788715000221.

5. Albanese A. A., Bonet J., Werner J. R. The Cesaro operator in weighted l1 spaces // Math. Nachr.— 2018.—Vol. 291, № 7.—P. 1015-1048. DOI: 10.1002/mana.201600509.

6. Luan D. M., Khoi L. H. Weighted composition operators on weighted sequence spaces // Contemp. Math.—2015.—Vol. 645, № 7.—P. 199-215. DOI: 10.1090/conm/645/12907.

7. Chan K. C., Shapiro J. H. The cyclic behavior of translation operators on Hilbert spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J.—1991.—Vol. 40, № 4.—P. 1421-1449.

8. Tien P. T. Translation operators on weighted spaces of entire functions // Proc. Amer. Math. Soc.— 2017.—Vol. 145, № 2—P. 805-815. DOI: 10.1090/proc/13254.

9. Abanin A. V., Tien P. T. Invariant subspaces for classical operators on weighted spaces of holomorphic functions // Integr. Equ. Oper. Theory.—2017.—Vol. 89, № 3.—P. 409-438. DOI: 10.1007/s00020-017-2401-y.

10. Hou X., Hu B., Khoi L. H. Hilbert spaces of entire Dirichlet series and composition operators // J. Math. Anal. Appl.—2013.—Vol. 401, № 1.—P. 416-429. DOI: 10.1016/j.jmaa.2012.12.036.

Статья поступила 21 сентября 2023 г.

Абанин Александр Васильевич Южный федеральный университет,

заведующий кафедрой математического анализа и геометрии РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, заведующий отделом математического анализа РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 53 E-mail: avabanin@sfedu.ru https://orcid.org/0000-0003-4507-4508

Маннаников Роман Сергеевич Южный федеральный университет, магистрант

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: mannanikov@sfedu.ru https://orcid.org/0009-0007-3927-5561

Vladikavkaz Mathematical Journal 2023, Volume 25, Issue 4, P. 5-19

WEIGHTED COMPOSITION OPERATORS ON QUASI-BANACH WEIGHTED SEQUENCE SPACES

Abanin, A. V.1'2 and Mannanikov, R. S.1

1 Southern Federal University, 8a Mil'chakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia; 2 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: avabanin@sfedu.ru, mannanikov@sfedu.ru

Abstract. This paper is devoted to the basic topological properties of weighted composition operators on the weighted sequence spaces 1p(w), 0 < p < to, given by a weight sequence w of positive numbers such as boundedness, compactness, compactness of differences of two operators, formulas for their essential norms, and a description of those operators that have a closed range. Previously these properties were studied by D. M. Luan and L. H. Khoi, in the case of Hilbert space (p = 2). Their methods can be also applied, with some minor modifications to the case of Banach spaces 1p (w), p > 1. They are essentially based on the use of conjugate spaces of linear continuous functionals and, consequently, cannot be applied to the quasi-Banach case (0 < p < 1). Moreover, some of them do not work even in the Banach space ¿1(w). Motivated by these reasons we develop a more universal approach that allows to study the whole scale {1p(w) : p > 0}. To do this we establish necessary and sufficient conditions for a linear operator to be compact on an abstract quasi-Banach sequence space which are new also for the case of Banach spaces. In addition it is introduced a new characteristic which is called w-essential norm of a linear continuous operator L on a quasi-Banach space X. It measures the distance, in operator metric, between L and the set of all w-compact operators on X. Here an operator K is called w-compact on X if it is compact and coordinate-wise continuous on X. In this relation it is shown that for 1p(w) with p > 1 the essential and w-essential norms of a weighted composition operator coincide while for 0 < p < 1 we do not know whether the same result is true or not. Our main results for weighted composition operators on 1p (w) (0 < p < to) are the following: criteria for an operator to be bounded, compact, or have a closed range; a complete description of pairs of operator with compact difference; an exact formula for w-essential norm. Some key aspects of our approach can be used for other operators and scales of spaces.

Key words: quasi-Banach sequence spaces, weighted composition operators, weighted 1p spaces.

AMS Subject Classification: 47B37, 46B45.

For citation: Abanin, A. V. and Mannanikov, R. S. Weighted Composition Operators on Quasi-Banach Weighted Sequence Spaces, Vladikavkaz Math. J., 2023, vol. 25, no. 4, pp. 5-19 (in Russian). DOI: 10.46698/x5057-2500-3053-t.

References

1. Banach S. Théorie des Opérations Linéaires, Monografie Matematyczne, Warzawa, 254 p.

2. Thomas, M. P. Closed Ideals of l1 (wn) when {wn} is Star-Shaped, Pacific Journal of Mathematics, 1983, vol. 105, no. 1, pp. 237-255. 10.2140/pjm.1983.105.237.

3. Yakubovich, D. V. Invariant Subspaces of Weighted Shift Operators, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, no. 5, pp. 1323-1349. DOI: 10.1007/BF01327041.

4. Albanese, A. A., Bonet, J. and Ricker, W. J. Spectrum and Compactness of the Cesaro Operator on Weighted 1p Spaces, Journal of the Australian Mathematical Society, 2015, vol. 99, no. 3, pp. 287-314. 10.1017/S1446788715000221.

5. Albanese, A. A., Bonet, J. and Werner, J. R. The Cesàro Operator in Weighted 11 Spaces, Mathematische Nachrichte, 2018, vol. 291, no. 7, pp. 1015-1048. DOI: 10.1002/mana.201600509.

6. Luan, D. M. and Khoi, L. H. Weighted Composition Operators on Weighted Sequence Spaces, Contemporary Mathematics, 2015, vol. 645, no. 7, pp. 199-215. DOI: 10.1090/conm/645/12907.

7. Chan, K. C. and Shapiro, J. H. The Cyclic Behavior of Translation Operators on Hilbert Spaces of Entire Functions, Indiana University Mathematics Journal, 1991, vol. 40, no. 4, pp. 1421-1449.

8. Tien, P. T. Translation Operators on Weighted Spaces of Entire Functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 2017, vol. 145, no. 2, pp. 805-815. DOI: 10.1090/proc/13254.

9. Abanin, A. V. and Tien, P. T. Invariant Subspaces for Classical Operators on Weighted Spaces of Holomorphic Functions, Integral Equations and Operator Theory, 2017, vol. 89, no. 3, pp. 409-438. DOI: 10.1007/s00020-017-2401-y.

10. Hou, X., Hu, B. and Khoi, L. H. Hilbert Spaces of Entire Dirichlet Series and Composition Operators, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, vol. 401, no. 1. pp. 416-429. DOI: 10.1016/j.jmaa.2012.12.036.

Received September 21, 2023

Alexander V. Abanin Southern Federal University,

8a Mil'chakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia,

Head of the Department of Mathematical Analysis and Geometry;

Southern Mathematical Institute VSC RAS,

53 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Head of the Department of Mathematical Analysis

E-mail: avabanin@sfedu.ru

https://orcid.org/0000-0003-4507-4508

Roman S. Mannanikov Southern Federal University,

8 a Mil'chakova St., Rostov-on-Don 344090, Russia, Graduate Student E-mail: mannanikov@sfedu.ru https://orcid.org/0009-0007-3927-5561