CC BY
9
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Научная статья УДК 517.9
doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-83-89
КОМПАКТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА КВАЗИБАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ
Александр Васильевич Абанин Юлия Викторовна Кораблина 2
12Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
12 Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания, Россия
Аннотация. Формулируются условия компактности классических операторов, действующих из абстрактных квазибанаховых пространств голоморфных в области комплексной плоскости функций в весовое пространство тех же функций с равномерной нормой. Получены абстрактные критерии компактности произвольного линейного оператора на произвольном квазибанаховом пространстве, формулируемые в терминах дельта-функций, и их конкретные реализации в классическом и обобщенном пространствах Фока. Указанные результаты применены к оператору весовой композиции. Сформулированы условия компактности данного оператора в терминах норм дельта-функций в соответствующих сопряженных пространствах, что существенно обобщает известные результаты Н. Зорбоска. Именно значительно расширен класс весовых пространств голоморфных в области функций с равномерными нормами, в которых формулируются условия компактности произвольного линейного оператора и оператора весовой композиции.
Ключевые слова: оператор весовой композиции, пространства Фока, весовые квазибанаховы пространства голоморфных функций, компактный оператор
Благодарности: работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых учёных - кандидатов наук, проект МК-160.2022.1.1.
Для цитирования: Абанин А.В., Кораблина Ю.В. Компактность линейных операторов на квазибанаховых пространствах голоморфных функций // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 83-89.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
COMPACTNESS OF LINEAR OPERATORS ON QUASI-BANACH SPACES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS
Alexander V. Abanin Julia V. Korablina 2
2 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
2 Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia
© Абанин А.В., Кораблина Ю.В., 2022
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Abstract. We state conditions under which some classical operators acting from abstract quasi-Banach spaces offunctions holomorphic in a plain domain into a weighted space of the same functions with sup-norm are compact. It is obtained abstract criteria for the compactness of a linear operator on an arbitrary quasi-Banach space which are stated in terms of delta-functions and formulate their realizations for both classical and generalized Fock spaces. The above results are applied to the weighted composition operator. It is established some conditions for the compactness of this operator which are given in terms of norms of delta-functions in the corresponding dual spaces. These results are essential generalizations of the known Zorboska's ones. Namely, we significantly extended the class of weighted spaces of holomorphic functions with uniform norms for which one can state some conditions for the compactness of an arbitrary linear operator or the weighted composition operator.
Keywords: weighted composition operator, Fock spaces, weighted quasi-Banach spaces of holomorphic functions, compact operator
Acknowledgments: this work was supported by a grant from the President of the Russian Federation for young scientists with PhDs, project MK-160.2022.1.1.
For citation: Abanin A.V., Korablina J.V. Compactness of Linear Operators on Quasi-Banach Spaces of Holomorphic Functions. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):83-89. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Компактность классических операторов (дифференцирования, интегрирования, Вольтерра, весовой композиции и др.) изучалась в работах многих авторов (см., напр., [1-11] и библиографию в них). Недавно Н. Зорбоска [12] установила критерии ограниченности и компактности абстрактного линейного оператора, действующего из абстрактного банахова пространства голоморфных в единичном круге функций в пространство таких же функций с sup-нормой относительно некоторого радиального веса. В статье [13] её результаты об ограниченности операторов были распространены на произвольные области комплексной плоскости и веса общего вида. С их помощью получены условия ограниченности операторов весовой композиции, дифференцирования и Вольтерра для более общих, чем в [12], шкал весовых пространств голоморфных функций в единичном круге и обобщенных пространств Фока целых функций. В настоящей статье аналогичное развитие подхода из [12] осуществлено в отношении компактности абстрактных линейных операторов в произвольных (квази) банаховых пространствах голоморфных функций.
Полученные на этом пути абстрактные критерии применяются к конкретным классическим операторам. При этом по сравнению с предшествующими исследованиями удается существенно расширить класс весовых пространств, в которых дается полное описание компактности этих операторов.
Критерий компактности абстрактного линейного оператора
Пусть G - область в комплексной плоскости С; H(G) - пространство всех голоморфных в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах из G. Всюду далее X - квазибанахово пространство голоморфных в G функций с квазинормой ||-||, непрерывно вложенное в H(G). Напомним, что квазинорма отличается от нормы только тем, что она удовлетворяет ослабленному варианту неравенства треугольника: 3 К >1: ||/ + дЦ < ^(||/|| + HgH),Vf,g £ X.
Как хорошо известно, каждое квазинормируемое пространство метризуемо. Именно, существует такая инвариантная относительно сдвигов метрика р на X, что P(f,g) ^ ||/ - gHv ^ 2p(f,g),Vf,g £ X, где р = Vlog2(2К). При к = 1 получаем обычную
норму на X, и X тогда является нормированным пространством, а в случае полноты - банаховым. Через X*, как обычно, обозначается банахово пространство всех линейных непрерывных функционалов на X с сопряженной нормой ||^||* = sup (lp(f)\), ф £ X*.
HfUl
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Весом на G называется произвольная непрерывная положительная функция на G. Каждый вес
v на G порождает банахово пространство HV(G) ■= \f е H(G): \\f\\v ■= sup^-^ < œ} и его за-
l zeG v(z) )
мкнутое подпространство H0(G) ■= {f е H (G): = о}.
Здесь и далее для функции g:G ^ С запись lim g(z) = 0 означает, что У£ > 0 ЭК - компакт
z^dG
в G: \g(z)\ < £,Уг е G\K. Как отмечено в [13], при любом z е G 5-функция 8z:f^ f(z) является элементом (HV(G)) .
Следующий критерий доказывается методом, предложенным в [8, proposition 3.11] для композиционных операторов, пространств Харди и Бергмана (см. также [12, lemma 3.1] для произвольного линейного оператора на банаховых пространствах голоморфных функций).
Лемма 1. Пусть Т: H(G) ^ H(G) - линейный непрерывный оператор и v - произвольный вес на G. Следующие условия эквивалентны:
(i) Т:Х ^ HV(G) компактен.
(ii) Для любой ограниченной последовательности (fn)n=i в X, сходящейся к нулю в H(G), последовательность (Tfn)n=i сходится к нулю HV(G).
Теперь мы готовы привести основной результат данного раздела.
Теорема 1. Пусть Т и v - те же, что и в лемме 1. Сформулируем следующие условия:
(i) Т:Х ^ Hy(G) компактен.
(ii) Т:Х ^ Hv(g) компактен и Т(Х) Ç H0(G).
(iii) SZ°T ех* при любом zeG и lim M^IE = 0.
v 7 2 ^ z^dG v(z)
Тогда справедливы утверждения: (i) ^ (И) и (ш) ^ (i). Если X — банахово пространство, то (i) ^ (iii), и, таким образом, все три условия эквивалентны.
Доказательство. Будет использоваться метод, предложенный в [5, theorem 8] для композиционных операторов (см. также [12, theorem 3.2 (a)]).
Эквивалентность (i) ^ (И) тривиальна. Покажем далее, что (Ш) ^ (i). Возьмем произвольное £ > 0. В силу (Ш) для него найдется компакт К в G, для которого \\5Z ° Г\\* < £, Уг е G\K, или
\(Tf)(z)\ < e\\f\\v(z),yz е G\K,Vf е X. (1)
Отсюда, очевидно, следует, что lim = 0.
z^dG v(z)
Значит, (Tf)(z) е Hy(G),Vf еХ, т.е Т(Х) Ç H0(G). Остается проверить компактность Т:Х ^ HV(G). Для этого воспользуемся леммой 1.
Пусть(/П)™=1 — ограниченная в X последовательность, сходящаяся в H(G) к нулю. Тогда из (1) заключаем, что
sup l(Tf^)(z)l < £М, Уп е M, (2)
гев\К v(z)
где M ■= sup\\/n\\ < œ. Далее в силу непрерывности и положительности веса v на G имеем п
minv(z) ='■ m >0. По условию оператор T:H(G) ^ H(G) непрерывен и 0 в H(G) при
гек
n^œ. Поэтому найдется такой номер N, что max\(Tfn)(z)\ < ет,Уп > N. Тогда
гек
sup]l^p\<£,yn>N.
гек v(z)
Объединив это неравенство с (2), имеем при всех п > M
\\Tfn\\v = sup\(^ = maxLp]-(^, sup ЩМк £(М+ 1).
гес v(z) [гек v(z) гес\к v(z) )
Значит, Tfn ^ 0 в HV(G) при п ^ œ и по лемме 1 оператор Т:Х ^ HV(G) компактен. В случае, когда X - банахово пространство, импликация (i) ^ (iii) доказывается точно так же, как в [12, theorem 3.2 (a)] для единичного круга. Поэтому мы эту часть доказательства опускаем.
В следующем разделе мы применим теорему 1 к конкретным операторам и обобщенным пространствам Фока целых функций. Напомним в связи с этим, что случай пространств голоморфных в единичном круге функций достаточно полно исследован в статье [12].
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Компактность линейных операторов в обобщенных пространствах Фока
Введем для дальнейшего изложения обозначения и определения из [13]. Пусть ^: С ^ М — непрерывная в С функция, для которой Аф = f e-^(z)dA(z) < œ , где A(z) — мера Лебега в С ^ М2.
При каждом р Е (0, œ) по ней определяется обобщенное пространство Фока
1
F* = {/ е Н(С): \\f\\p# = f£ \f(z)\Ve-*(z)dA(z)) < ж}.
Для р = ж полагаем F^ = Неу(С). При 1 < р < ж это пространство является банаховым, а при 0 < р < 1 - лишь квазибанаховым.
Через обозначается класс всех слабо растущих в среднем функций т.е. таких, что при
некотором С = С(ф) > 0 справедливо неравенство + О dA(%) < ^(z) + С, Vz е С.
В [13] отмечено, что если дополнительно известно, что ^ субгармонична в С, то принадлежность ^ классу W0 обеспечивается условием
3 0 0: ±.f2nip(z + ei9)de < \p(z) + C,Vz е С. (3)
При этом субгармонические в С функции удовлетворяющие условию (3), названы в [13] почти гармоническими.
Теорема 2. Пусть тр — слабо растущая в С функция; v — произвольный вес на С; и и (р — две целые функции, р е (0, ж). Если
V(<P(Z))
nmu(z)eP=0i (4)
Z^rn v(z)
то оператор весовой композиции WUy:Fp Bf——* u(z)f(y(z)) е Н°(С) является компактным. Доказательство. В самом деле в данном случае для любой функции f из Fp ° Wu,vf = U(z)f((p(z)) = u(z)8<p(z)f, z е С.
Поэтому ||5Z о = \u(z)\||5^(z)|| , где сопряженная норма берется в X* = (F.. Из
^ ^(ф(г)) „и*
[13, лемма 2] ||5m(z)|| < Ае v . Тогда из условия (4) заключаем, что lim —-—— = 0.
11 ' 11 z^rn v(z)
Остается воспользоваться теоремой 1, чтобы сделать вывод о том, что оператор WU y: Fp ^ Н° (С) компактен.
В случае классического пространства Фока F^, которое получается при ^(z) = a\z\2 (а > 0) и р = 2, теорема 2 допускает уточнение и становится критерием.
Следствие. Пусть v — произвольный вес на С; и и ср — две целые функции. Оператор весовой композиции WU (p :F2 ^ Н® (С) компактен тогда и только тогда, когда
«И2
u(z)e 2 .
lim — = 0. (5)
Z^rn v(z)
Доказательство. Пространство F£ является банаховым. Для него, как известно [14, theorem 2.7],
"И2
Н^г II* = е 2 (сопряженная норма берется в (Р<2)*). Отсюда и из теорем 1 и 2 следует, что условие (5) необходимо и достаточно для компактности оператора Жу, ^^2 ^ Н0(С).
Теорема 2 сформулирована для обобщенных пространств Фока, задаваемых слабо растущими в С функциями и в соответствии с отмеченным выше верна для почти гармонических тр. Проверка почти гармоничности функции является отдельной трудной задачей. В [13] ее удалось осуществить лишь для конкретных функций вида ^(г) = у1г1ч , где у > 0 и 0 < ц <2. Следующий результат содержит условия общего характера, при которых некоторая функция является почти гармонической.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
Лемма 2. Пусть ifj(r) — возрастающая непрерывная на [0, от) функция, дважды дифференцируемая на [г0, от) при некотором г0 > 0, и при этом sup ip''(r) < от. Тогда радиальная функция
Ч
г>гп
'0
ip(z) = ip(Izl) при некотором С > 0 удовлетворяет условию
1j;;nip(z + ei9)de<ip(z) + C,z еС. (6)
Доказательство. В силу радиальности и непрерывности функции гр (z) достаточно проверить выполнение (6) для z = х > 1 + г0. Имеем
СФ = гХ^х + *") dd=1 (С + eW\) + + е-91)) Ов) =
= ±f^(\x + ew\) dd = 1ff^(\x + ew\) + ф(\х — e*\)) dd.
Оценим сначала подынтегральные функции. Очевидно, что \х + ew\ = Vх2 + 2х cos в + 1 < < х + 2хсо*®+1 при всех х > 0 и в е Поэтому, использовав возрастание ^(г) и формулу
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, имеем, что при некотором
( , 2xcos0 + 1\ уе(Х,Х+—х—)
t 2xcos0 + 1\ 2xcosd + 1 (2xcos6 + 1\2 ^(\x + el9\)<^(x +-—-) = ip(x) + ip'(x)--—-+ ip"(y)^(-—-) .
Аналогично \x — е1в \ = Vx2 — 2xcos в + 1 < x — 2xc\1 при всех x > 0; в е и при
_ 2xcos9-1 некотором у, лежащем между х и х--—-,
2
t 2xcosd — 1\ 2хcos 6 — 1 {2xcos6 — 1\ ^(\х — е1в\)<^[х--—-)= $(х) — -ф'(х)--—-+ ^ (У) •(-Yx-) .
Применив обе полученные оценки и воспользовавшись тем, что
sup 4>"(г) ='■ С < от, получим при всех х > 1 + г0ив е |0,-|, что r>r0 L 2i
\x + ew\)+^(\x — ew\) < 2ip(x)+^(x) + 5c. (7)
Заметим, что при х > г0 тр'(х) = ff* ^>''(t)dt + ^'(r0) < С(х — r0) + ^'(r0) = Сх + D, где D = тр'(г0) — Сг0. Поэтому из (7) следует, что при всех х > 1 + г0 и в е \0,^]
+ е1в\) + ^(\х — е1в\) < 2ip(x) + С1, где С1 = 7с + D. Теперь мы готовы оценить С^:
C%p = 1ff2(^(\x + eie\) + ^(\x — eie\))d6<1ff2(2^(x) + C1)dx= \р(х) + и доказательство завершено.
Из леммы 2 следует
Предложение 1. Пусть тр — та же функция, что и в лемме 2, и дополнительно известно, что ^(Izl) субгармонична в С. Тогда ip(lzl) почти гармонична.
Очевидно, что тр(z) = alzlq, 0 < q < 2,а > 0, удовлетворяет всем условиям предложения 1. Таким образом, предложение 1 содержит в качестве частного случая утверждения из [13] о почти гармоничности функции alzlq при указанных а и q.
Из теоремы 2 и предложения 1 непосредственным образом вытекает
Теорема 3. Пусть функция тр удовлетворяет всем условиям предложения 1; v — произвольный вес на С; и и р — две целые функции и р е (0, от). Если выполнено условие (4), то оператор весовой композиции WUiV\F^ ^ Hv(£) компактен.
В заключение заметим, что абстрактный критерий - теорема 1 - применим также и к исследованию свойства компактности оператора Вольтерра в пространствах Фока, задаваемых весами из класса, введенного в работе [7] (см. также заключительную часть статьи [13]).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1
Список источников
1. Abanin A. V., Tien P.T. Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions // Collect. Math. 2018. Vol. 69, № 1. P. 1-15.
2. Basallote M., Contreras M.D., Hernández-Mancera C., Martin M.J., Paúl P.J. Volterra operators and semigroups in weighted Banach spaces of analytic functions // Collect. Math. 2014. Vol. 65. Р. 233-249.
3. Beltran-Menen M.G. Dynamics of weighted composition operators on weighted Banach spaces of entire functions // J. Math. Anal. Appl. 2020. Vol. 492, article 124422. P. 1-16.
4. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M., Taskinen J. Composition between weighted Banach spaces of holomorphic functions // J. Austr. Math. Soc. 1998. Vol. 64. P. 101-118.
5. Bonet J., Friz M., Jordá E. Composition operators between inductive limits of spaces of holomorphic functions // Publ. Math. 2005. Vol. 67, № 3-4. P. 333-348.
6. Bonet J., Taskinen J. A note about Volterra operators on weighted Banach spaces of entire functions // Math. Nachr. 2015. Vol. 288, № 11-12. P. 1216-1225.
7. Constantin O., Peláez J.A. Integral operators, embedding theorems and a Littlewood-Paley formula on weighted Fock spaces // J. Geom. Anal. Soc. 2016. Vol. 26, № 2. P. 1109-1154.
8. Cowen C., MacCluer B. Composition operators on spaces of analytic functions. Boca Raton: CRC Press, 1995. 388 p.
9. Mengestie T., Ueki S.-I. Integral, differential and multiplication operators on generalized Fock spaces // Complex Anal. Oper. Theory. 2019. Vol. 13, № 3. P. 935-953.
10. Pau J., Peláez J.A. Embedding theorems and integration operators on Bergman spaces with rapidly decreasing weights // J. Funct. Anal. 2010. Vol. 259. P. 2727-2756.
11. Tien P.T., Khoi L.N. Weighted composition operators between different Fock spaces // Potential Anal. 2019. Vol. 50. P. 171-195.
12. Zorboska N. Intrinsic operators from holomorphic function spaces to growth spaces // Integr. Equ. Oper. Theory. 2017. Vol. 87, № 4. P. 581-600.
13. Абанин А.В., Кораблина Ю.В. Ограниченность классических операторов в весовых пространствах голоморфных функций // Владикавк. матем. журн. 2019. № 3, т. 22. С. 5-17.
14. Zhu K. Analysis on Fock spaces. Graduate texts in Mathematics. New York: Springer, 2012. 346 p.
References
1. Abanin A.V., Tien P.T. Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions. Collect. Math. 2018;69(1):1-15.
2. Basallote M., Contreras M.D., Hernández-Mancera C., Martin M.J., Paúl P.J. Volterra operators and semigroups in weighted Banach spaces of analytic functions. Collect. Math. 2014;65:233-249.
3. Beltran-Menen M.G. Dynamics of weighted composition operators on weighted Banach spaces of entire functions. J. Math. Anal. Appl. 2020;492(124422):1-16.
4. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M., Taskinen J. Composition between weighted Banach spaces of holomorphic functions. J. Austr. Math. Soc. 1998;64:101-118.
5. Bonet J., Friz M., Jordá E. Composition operators between inductive limits of spaces of holomorphic functions. Publ. Math. 2005;67(3-4):333-348.
6. Bonet J., Taskinen J. A note about Volterra operators on weighted Banach spaces of entire functions. Math. Nachr. 2015;288(11-12):1216-1225.
7. Constantin O., Peláez J.A. Integral operators, embedding theorems and a Littlewood-Paley formula on weighted Fock spaces. J. Geom. Anal. Soc. 2016;26(2):1109-1154.
8. Cowen C., MacCluer B. Composition operators on spaces of analytic functions. Boca Raton: CRC Press; 1995. 388 p.
9. Mengestie T., Ueki S.-I. Integral, differential and multiplication operators on generalized Fock spaces. Complex Anal. Oper. Theory. 2019;13(3):935-953.
10. Pau J., Peláez J.A. Embedding theorems and integration operators on Bergman spaces with rapidly decreasing weights. J. Funct. Anal. 2010;259:2727-2756.
11. Tien P.T., Khoi L.N. Weighted composition operators between different Fock spaces. Potential Anal. 2019;50:171-195.
12. Zorboska N. Intrinsic operators from holomorphic function spaces to growth spaces. Integr. Equ. Oper. Theory. 2017;87(4):581-600.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1
13. Abanin A.V., Korablina Yu.V. Boundedness of classical operators in weighted spaces of holomorphic functions. Vladikavk. matem. zhurn. = Vladikavkaz Mathematical Journal. 2020;22(3):5-17. (In Russ.).
14. Zhu K. Analysis on Fock spaces. Graduate texts in Mathematics. New York: Springer Publ.; 2012. 346 p.
Информация об авторах
А.В. Абанин - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и геометрии, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет; заведующий отделом математического анализа, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.
Ю.В. Кораблина - аспирант, кафедра математического анализа и геометрии, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет; младший научный сотрудник отдела математического анализа, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.
Information about the authors
A.V. Abanin - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Head of the Mathematical Analysis Department, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University; Head of the Department of Mathematical Analysis, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences.
J.V. Korablina - Postgraduate Student, Department of Mathematical Analysis, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University; Junior Researcher, Department of Mathematical Analysis, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences.
Статья поступила в редакцию 07.07.2022; одобрена после рецензирования 20.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 07.07.2022; approved after reviewing 20.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.
