СТЕПЕННАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ И ЭРГОДИЧНОСТЬ В СРЕДНЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Научная статья УДК 517.9

doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-78-82

СТЕПЕННАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ И ЭРГОДИЧНОСТЬ В СРЕДНЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

Александр Васильевич Абанин Варвара Олеговна Костина 2

2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия ' Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания, Россия

1 avabanin@sfedu.ru в

2 varkovalenko@sfedu.ru

Аннотация. В последние два десятилетия исследования многих известных специалистов посвящены топологическим и динамическим свойствам классических операторов на весовых банаховых пространствах голоморфных функций с равномерными оценками относительно данного радиального веса. К настоящему времени исчерпывающие результаты установлены лишь для описания тех пространств, в которых эти операторы являются ограниченными или компактными. В то же время их динамическое поведение изучено только для пространств целых функций весьма специального типа, задаваемых степенно-показательными весами. В настоящей работе рассматриваются некоторые динамические свойства оператора дифференцирования на весовых пространствах целых функций общего вида. За счет использования сопряженных по Юнгу с функциями, определенным образом построенными по весам, для норм степеней этого оператора на любом из таких пространств установлены оценки снизу и показано, что при некоторых общих дополнительных ограничениях на веса эти оценки превращаются в асимптотические равенства. В качестве приложений установлены условия на веса, при которых оператор дифференцирования является степенно ограниченным или равномерно эргодическим в среднем на соответствующих пространствах. Показано, что полученные результаты содержат предшествующие в качестве частных случаев.

Ключевые слова: оператор дифференцирования, весовые банаховы пространства целых функций, степенно ограниченный оператор, эргодический в среднем оператор

Для цитирования: Абанин А.В., Костина В.О. Степенная ограниченность и эргодичность в среднем дифференциального оператора в весовых пространствах целых функций // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 78-82.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).

Original article

POWER BOUNDEDNESS AND MEAN ERGODICITY

OF THE DIFFERENTIATION OPERATOR ON WEIGHTED SPACES OF ENTIRE FUNCTIONS

Alexander V. Abanin Varvara O. Kostina 2

1,2 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

1 Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, Russia

1 avabanin@sfedu.ru ^

2 varkovalenko@sfedu.ru

© Абанин А.В., Костина В.О., 2022

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1

Abstract. During last two decades investigations of many known specialists are devoted to the topological and dynamical properties of the classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions having uniform estimates with respect to a given radial weight. At present complete results are established for only the problem of a characterization of those spaces in which these operators are bounded or compact. At the same time, their dynamical behavior is studied only for the spaces of a very special type given by power-exponential weights. In this paper we consider some of the dynamical properties of the differentiation operator on weighted spaces of a general kind. By using Young conjugate with the function constructed from a weight by a certain rule, we obtain low estimates for the norms ofpowers of this operator on every such a space and show that under some general additional conditions these estimates turn into asymptotic equalities.

We apply these results to establish some conditions on weights under which the differentiation operator is power bounded or uniformly mean ergodic on the corresponding spaces. It is shown that the obtained results contain previous ones as particular cases.

Keywords: differentiation operator, weighted Banach spaces of entire functions, power bounded operator, mean ergodic operator

For citation: Abanin A.V., Kostina V.O. Power Boundedness and Mean Ergodicity of the Differentiation Operator on Weighted Spaces of Entire Functions. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):78-82. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Топологические и динамические свойства оператора дифференцирования в весовых пространствах целых функций с sup-нормой в последние два десятилетия привлекают внимание многих специалистов [1-9]. Настоящая статья посвящена свойствам степенной ограниченности и равномерной эргодичности в среднем этого оператора в пространствах, задаваемых радиальными весами общего вида.

Напомним необходимые для дальнейшего сведения. Радиальным весом (далее - просто весом) на комплексной плоскости С называется функция v(z) = v(\z\),z е С, где v: [0; от) ^ (0; от), непрерывно возрастающая на [0; от), для которой rn = o(v(r)) при г ^ от для любого п е N. Каждый вес v задает банахово пространство целых функций Hv •= \f е Н(С): \\f\\v •= sup1^! < от}

С zee v(z) )

и его замкнутое подпространство Н® •= { f е Н (С): lim = о}.

I z^i v(z) J

Отметим, что условие rn = o(v(r)) при г ^ от (neN) эквивалентно тому, что пространство Hv содержит все полиномы.

Как известно [1, 5, 6], такие свойства оператора D в пространствах Hv, Hv0 как вид спектра, степенная ограниченность и (равномерная) эргодичность в среднем непосредственным образом зависят от асимптотической оценки норм ||Dn\\v степеней оператора D при п ^ от.

К настоящему времени подобные оценки известны лишь для весов вида v(r) = r-aear, где а>0,ае1. Точнее, обозначим через На,а и Н®,а пространства Hv и Н®, задаваемые этими весами, а через \H\a,a - нормы элементов и операторов в Наа или Н°,а. Из [5, proposition 3.7] (см. также близкое [6, proposition 5.9]) следует, что

1) при a > 0 \\Dn\\aia = О (n! (^f^), (1)

п!Шп+а = 0(\\°п\\^У; (2)

/еа \п+а

2) при а<0 \\Dn\\a:a~n!(-^) , (3)

причем для а = 0 имеет место обычное равенство. Здесь и далее символ Хп ^ Yn,n е N, для положительных последовательностей (Хп)"=1 и (Yn)''=1 означает, что при некотором А > 1 имеем 1хп < Yn < АХп при всех п е N. Отметим, что оценка сверху в (1) получена на основании результата [1, proposition 1].

Предложение 1. Пусть v(r) - такой вес, что ln v(r) - вогнутая на [0; от) функция с v(0) = 1. Тогда оператор D ограничен на Hv,

\\0п\\„<п!г-пр(г),г>0,пеШ, (4)

и спектр a(D) оператора D совпадает с кругом Аа •= {z: Iz! < а}, где а •= lim ln^^.

г^' г

ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИМ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2022. № 4-1

ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Цель настоящей статьи - распространить оценки (1)-(3) на веса общего вида и применить их к изучению динамических свойств оператора дифференцирования.

С каждым весом v свяжем следующие две функции:

Фу(г) := lnv(r),r > 0; pv(x) := Фу(ех),х Е Ш.

Заметим, что требование rn = o(v(r)) при г ^ œ эквивалентно тому, что х = о(фр(х)) при X ^ +œ или ln Г = о(Ф^(г)) при Г ^ œ.

Перед формулировкой результата об оценке \\Dn\\v снизу напомним, что сопряженной по Юнгу с функцией <р\ Ш ^ [0; œ), для которой х = о(ф(х)) при х ^ +œ, называется функция (р*(у) := sup(xy - (р(х)),у > 0.

ХЕШ

Предложение 2. Для любого веса v(r) имеет место оценка

Доказательство. Для мономов zn Е Hv имеем Dnzn = п! и

lznl *( л

\\zn\\v = sup—- = expsup (nlnr — lnv(r)) =expsup (nx — tyv(x)) = eVv(n).

ZEC v(z) r>0 ХЕШ

Поэтому \\Dn\\v > ^z = n! e-Vv(n).

J \\zn\\v

Для весов, удовлетворяющих условиям предложения 1, получаем точную формулу для вычисления норм \\Dn\\v. Именно справедлива

Теорема 1. Пусть вес v(r) таков, что Фр(г) - вогнутая на [0; œ) функция, причем Ф^(0) = 0. Тогда

\\Dn\\v = n!e-V"(n),nEM. (5)

Доказательство. Из оценки (4) при всех г > 0 имеем \\£п\\^ < n! r-nv(r) = n! r-ne-0v(r) = n! exp(—n\nr + Ф^(г)).

Поэтому \\DnWv < n!exp\—sup(nx — yv(x))) = п!е

\ ХЕШ )

1 (Фг (т

вес и с • v(r) < v(r) < С • v(r), где с := min{1,——,ea} и С := max{—^^-0,ea}. Отсюда сле-

Остается воспользоваться предложением 2, чтобы завершить доказательство. Замечание. Вогнутость Фр(г) на всем луче [0;ж) и равенство Ф^(0) = 0 для конкретных весов, используемых в предложениях, имеют место далеко не всегда. Гораздо чаще встречаются веса, для которых Фр(г) вогнута на [го;ж) при некотором го > 0. В таком случае определим

ъ л 0' где а = Ф'р(Го) • Го — Фр(Го). Здесь и далее Ф'р(г) -

ФР('0) + а,г > 'о,

правая производная функции Фу(г). Ясно, что Ф(г) вогнута на [0; ж) с Ф(0) = 0, &(г) = еф(г) -

1 ат п (ф'р(го)"'

,——,еи\ и С = тах{

Нго) ^(о)

дует, что -ИЛЬ ^ И ^ - ИЛЬ для любого линейного ограниченного оператора Т на Ну = . Применив равенство (5) из теоремы 1 к весу V, заключаем, что справедливо асимптотическое равенство ~ п! е-Ф"(п), п£М, где V - вес, для которого фр(г) вогнута на [го; ж).

Введем необходимые для дальнейшего изложения понятия из теории динамики линейных операторов в банаховых пространствах [10]. Линейный оператор Т ■ Е ^ Е, где Е - банахово пространство, называется степенно ограниченным, если последовательность его степеней

(Тп)пещ является равностепенно непрерывной, т.е. 5ирУГп||| < от. Т называется эргодичным в

п

среднем, если последовательность средних (-^п=1Тпх) сходится в Е для любого х Е Е. Если последовательность операторов (— ^п=1 Тп) на Е сходится в операторной норме, то Т

уп

-) КЕЧ

■'М уп

называется равномерно эргодичным в среднем.

Теорема 2. Для веса р(г) положим Ар = 1ип ((п + -)1п- — ф„(п)

\\ 2/ е Верны следующие утверждения:

а) если Ау = +ж, то оператор Э\НУ ^ Ну не является степенно ограниченным;

б) если вес р(г) таков, что функция Фр(г) вогнута на [го; ж) при некотором го > 0, то для Ау < оператор Э ■ Нр ^ Нр является степенно ограниченным, а для Ар = —ж он будет еще и равномерно эргодичным в среднем.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE 2022. No. 4-1

Доказательство. Из формулы Стерлинга следует, что при некоторых вп е (0; 1) и всех п£й ln(n! е-сР"(п)) =1ln2n + -^+(n + 1)lnn-v;(n). Поэтому

(п + 1)ып- tâ(n) < ln(n! е-(Р"(п)) <(n + 1) lnn - y*v(n) + C0,n е M, (6)

где С0 = 1\п 2пе.

Если Ау = +от, то из левой части неравенства (6) и из предложения 2 получаем, что у = +от и, значит, Э : Ну

lim ||Dn||v = +от и, значит, D ■ Hv ^ Hv не является степенно ограниченным

Пусть функция Ф у(г) вогнута на [г0; от) при некотором г0 > 0. Применив теорему 1, замечание после нее и правую часть оценки (6), имеем при некотором С > 1 ~йт\\Эп\\у < С~Ш(п\ е-(Р*"(пА < СеА".

Отсюда следует, что при Ау < +от оператор Э : Ну ^ Ну является степенно ограниченным.

При Av = -œ получаем, что Jim \\Dn\\v = 0. Тогда Hm -%n=iDn ^ -TZn=iWDn\\v = 0,

1 .

i

N^œ N'

и, значит, этот оператор дополнительно является равномерно эргодичным в среднем.

Следствие 1. Если при некотором а <1 вес р(г) удовлетворяет условию г-аег = 0(р(г)) при г ^ от, то оператор Э : Ну ^ Ну не является степенно ограниченным.

Доказательство. В самом деле, по условию существует такое с > 0, что р(г) > сг-аег при всех г > 1. Это эквивалентно тому, что ру(х) > ех — ах + \п с при всех х > 0. Поэтому при всех

у >у0 рУ(у) = sup(ху — ру(х)) < sup((у + а)х — ех) — \пс = (у + а) \п^+а — \п с. Отсюда

хек хек е

следует, что при всех п>п0 (п + 1)\пП — рУ(п) > (п + 1)\пП — (п + а) \пп+а + \пс = = (п + а) + (1 — а)\пп + \пс ^ +от, при п ^ от.

Значит, Ау < +от и остается применить утверждение а) теоремы 2.

Следствие 2. Пусть вес р(г) таков, что функция Фу(г) вогнута на [г0; от) при некотором

i

г0 > 0. Если v(r) = 0(r~er) при г ^ от, то оператор D ■ Hv ^ Hv является степенно ограниченным. Если же существует такое а> 1, что v(r) = 0(r-aer) при г ^ от, то он является дополнительно равномерно эргодичным в среднем.

Доказательство. Пусть v(r) = 0(r-aer) при г ^ от для некоторого а > 1. Применим соображения, аналогичные использованным в доказательстве предыдущего следствия. Найдем постоянную С > 0 такую, что ру (у) > (у + a) ln — ln с при всех у > 0, и выведем из этого неравенство (n + ^^ln^ — pi (п) < (п + a) ln-^^ + (1 — a) ln ^ + ln С, п е N.

Ясно, что правая часть при п ^ от стремится к — 1 + ln С при а = 1 и к —от при а > 1. Использовав утверждение б) теоремы 1, получаем нужное.

Нетрудно видеть, что следствия 1 и 2 содержат в качестве частных случаев результаты статьи [5] о наличии или отсутствии у оператора дифференцирования свойств степенной ограниченности и равномерной эргодичности в среднем. Ясно также, что они применимы и к другим, ранее не исследовавшимся в этом направлении, пространствам. Например, рассмотрим вес вида v(r) = r-aerP,а е М, 0 < р < 1. Для него Фр(г) = rp — alnr вогнута на [г0; от) при некотором г0 > 0. При этом v(r) = о(ег ) при г ^ от для а е (р; 1). Тем более v(r) = 0(r-1er) при г ^ от, и, значит, по следствию 2 для таких весов оператор D ■ Hv ^ Hv степенно ограничен и равномерно эргодичен в среднем.

Список источников

1. Atzmon A., Brive B. Surjectivity and invariant subspaces of differential operators on weighted Bergman spaces of entire functions // Contemp. Math. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2006. Vol. 404. P. 27-39.

2. Harutyunyan A., Lusky W. On the boundedness of the differentiation operator between weight spaces of holomorphic functions // Studia Math. 2008. Vol. 184, № 3. P. 233-247.

3. Bonet J. Dynamics of differentiation operator on weighted spaces of entire functions // Math. Z. 2009. Vol. 261, № 3. P. 649-657.

v

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

4. Bonet J., Bonilla A. Chaos of the differentiation operator on weighted Banach spaces of entire functions // Complex Anal. Oper. Theory. 2013. Vol. 7, № 1. P. 33-42.

5. Beltran M.J., Bonet J., Fernandez C. Classical operators on Banach weighted spaces of entire functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2013. Vol. 141, № 12. P. 4293-4303.

6. Beltran M.J. Dynamics of differentiation and integration operators on weighted spaces of entire functions // Studia Math. 2014. Vol. 221, № 1. P. 35-60.

7. Abanin A. V., Tien P.T. Differentiation and integration operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions // Math. Nachr. 2017. Vol. 290, № 8-9. P. 1144-1162.

8. Abanin A. V., Tien P.T. Invariant subspaces for classical operators on weighted spaces of holomorphic functions // Integr. Equ. Oper. Theory. 2017. Vol. 89, № 3. P. 409-438.

9. Abanin A. V., Tien P.T. Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions // Collect. Math. 2018. Vol. 69, № 1. P. 1-15.

10. Krengel U. Ergodic Theorems // De Gruytor Studies in Mathematics. Berlin: Gruyter, 1985. Vol. 6. 357 p.

References

1. Atzmon A., Brive B. Surjectivity and invariant subspaces of differential operators on weighted Bergman spaces of entire functions. Contemp. Math. Amer. Math. Soc. Providence, RI, 2006;404:27-39.

2. Harutyunyan A., Lusky W. On the boundedness of the differentiation operator between weight spaces of holomorphic functions. Studia Math. 2008;184(3):233-247.

3. Bonet J. Dynamics of differentiation operator on weighted spaces of entire functions. Math. Z. 2009;261(3):649-657.

4. Bonet J., Bonilla A. Chaos of the differentiation operator on weighted Banach spaces of entire functions. Complex Anal. Oper. Theory. 2013;7(1):33-42.

5. Beltran M.J., Bonet J., Fernandez C. Classical operators on Banach weighted spaces of entire functions. Proc. Amer. Math. Soc. 2013;141(12):4293-4303.

6. Beltran M.J. Dynamics of differentiation and integration operators on weighted spaces of entire functions. Studia Math. 2014;221(1):35-60.

7. Abanin A.V., Tien P.T. Differentiation and integration operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions. Math. Nachr. 2017;290(8-9):1144-1162.

8. Abanin A.V., Tien P.T. Invariant subspaces for classical operators on weighted spaces of holomorphic functions. Integr. Equ. Oper. Theory. 2017;89(3):409-438.

9. Abanin A.V., Tien P.T. Compactness of classical operators on weighted Banach spaces of holomorphic functions. Collect. Math. 2018;69(1):1-15.

10. Krengel U. Ergodic Theorems. De Gruytor Studies in Mathematics. Berlin: Gruyter Publ.; 1985;6. 357 p.

Информация об авторах

A.В. Абанин - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа и геометрии, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет; заведующий отделом математического анализа, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.

B. О. Костина - магистрант, кафедра математического анализа и геометрии, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the authors

A.V. Abanin - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Head of the Mathematical Analysis and Geometry Department, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University; Head of the Department of Mathematical Analysis, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences.

V.O. Kostina - Master Student, Department of Mathematical Analysis and Geometry, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 07.07.2022; одобрена после рецензирования 20.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 07.07.2022; approved after reviewing 20.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.