CC BY
4
Владикавказский математический журнал 2021, Том 23, Выпуск 3, С. 91-112
УДК 517.98
DOI 10.46698/l0779-9998-4272-b
ПОРЯДКОВЫЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНЫХ ОРТОГОНАЛЬНО АДДИТИВНЫХ ПОЛИНОМОВ*
З. А. Кусраева1'2
1 Региональный научно-образовательный центр «Северо-Кавказский центр математических исследований» ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22; 2Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, Россия, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22 E-mail: zali13@mail.ru
Посвящается профессору Стефану Григорьевичу Самко по случаю его 80-летнего юбилея
Аннотация. Статья представляет собой обзор результатов автора о строении ортогонально аддитивных однородных полиномов в векторных, банаховых и квазибанаховых решетках. В ходе изложения приводится сравнительный анализ с результатами других авторов, занимающихся данным направлением. Метод исследования, основанный на линеаризации посредством степени векторной решетки и канонического ортогонально аддитивного полинома, представлен в § 1. Далее, в § 2 приводится несколько непосредственных приложений этого метода к ортогонально аддитивным однородным полиномам: критерий интегральной представимости, существование одновременного продолжения с мажорирующей подрешетки, характеризация крайних продолжений. § 3 содержит полное описание и мультипликативное представление однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность. § 4 посвящен решению проблемы компактного и слабо компактного доминирования (мажорации) для однородных полиномов в банаховых решетках. В § 5 рассматриваются свойства выпуклости и вогнутости индивидуального ортогонально аддитивного однородного полинома между квазибанаховыми решетками, а в § 6 выясняются условия, при которых квазибанахова решетка однородных ортогонально аддитивных полиномов является (p, д)-выпуклой, (p, д)-вогнутой, геометрически выпуклой. В § 7 дается характеризация и аналитическое описание полиномов, допускающих представление в виде конечной суммы полиномов, сохраняющих дизъюнктность. Наконец, в § 8 сформулированы нерешенные задачи, представляющие существенный интерес для дальнейшего развития теории. Ключевые слова: векторная решетка, квазибанахова решетка, степень векторной решетки, полиморфизм, линеаризация, факторизация, проблема доминирования, интегральное представление. Mathematical Subject Classification (2010): 46A16; 46B42; 46G25; 47A40; 47H60. Образец цитирования: Кусраева З. А. Порядковые свойства однородных ортогонально аддитивных полиномов // Владикавк. мат. журн.—2021.—Т. 23, вып. 3.—С. 91-112. DOI: 10.46698/10779-9998-4272-b.
Введение
Полиномы от бесконечного числа переменных или, точнее, полиномы, определенные в бесконечномерных пространствах, исследовались с конца XIX века, см. [1]. Однако, изучение порядковых свойств полиномов в векторных решетках начато сравнительно
#Исследование выполнено в рамках гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых — кандидатов наук (грант № МК-4347.2021.1.1). © 2021 Кусраева З. А.
недавно. Важная роль отношения порядка при изучении структуры полиномов в банаховых решетках была впервые обнаружена в работе [2]. Прогресс, достигнутый к 2013 году, представлен в обзорной статье [3] и диссертациях [4, 5, 6]; дальнейшее развитие отражено в литературе, цитируемой в статьях [7]—[11]. К настоящему времени наибольшее продвижение достигнуто в изучении класса ортогонально аддитивных полиномов в векторных и квазибанаховых решетках.
Цель настоящей статьи — представить обзор результатов автора о строении ортогонально аддитивных однородных полиномов, полученных в цикле работ [7]—[17]. В §1 представлены результаты о линеаризации ортогонально аддитивных однородных полиномов, а в § 2 дано несколько приложений к теореме о линеаризации. § 3 посвящен результатам о строении сохраняющих дизъюнктность полиномов в векторных решетках. В § 4 представлены решения проблем компактного и слабо компактного доминирования для ортогонально аддитивных однородных полиномов в банаховых решетках. В § 5 рассмотрены вопросы вогнутости и выпуклости однородного ортогонально аддитивного полинома в квазибанаховых решетках, а в § 6 — условия, при которых квазибанахова решетка регулярных полиномов, действующих между квазибанаховыми решетками, является (р, д)-выпуклой, (р, д)-вогнутой, геометрически выпуклой. В § 7 дается полное описание однородных полиномов (полилинейных операторов), представимых в виде суммы сохраняющих дизъюнктность однородных полиномов (полилинейных операторов). Наконец, в § 8 сформулированы нерешенные задачи.
Необходимые сведения об однородных полиномах, векторных и квазибанаховых решетках можно найти в [1], [18] и [19] соответственно. Все рассматриваемые ниже векторные решетки считаются вещественными и архимедовыми.
Приведем несколько базовых определений.
Определение 0.1. Векторной решеткой называют вещественное векторное пространство Е, снабженное отношением (частичного) порядка причем для любой пары векторов х, у € Е существуют супремум х V у и инфимум х Л у, положительный конус Е+ := {х € Е : 0 ^ х} замнут относительно сложения векторов и умножения на положительные скаляры, а неравенсто х ^ у равносильно включению у — х € Е+. Модуль |х| € X вектора х € Е определяется формулой |х| = х V (—х); два вектора х,у € Е называют дизъюнктными и пишут х ± у, если |х| Л |у| = 0. Линейный оператор Т : Е ^ Е между векторными решетками называют решеточным гомоморфизмом, если для любых х,у € Е имеет место равенство Т(х V у) = Т(х) V Т(у). Векторные решетки изоморфны, если между ними существует биективный решеточный гомоморфизм.
Определение 0.2. Пусть Е и Е — векторные решетки, У — произвольное векторное пространство, в — целое число ^ 1 . Отображение Р : Е ^ У называется однородным полиномом степени в (или в-однородным полиномом), если существует симметричный в-линейный оператор Р : Е5 ^ У, именуемый ассоциированным оператором полинома Р, такой, что Р(х) = Р(х,..., х) для всех х € Е. Говорят, что полином Р : Е ^ У ортогонально аддитивен, если для любых дизъюнктных х, у € Е выполняется
Р (х + у) = Р (х)+ Р (у). (1)
Однородный полином Р : Е ^ Е называют положительным, если Р(х1,..., х5) ^ 0 для всех 0 ^ х1,... ,х5 € Е, и регулярным, если Р представим в виде разности двух положительных однородных полиномов. Полином Р называют полиморфизмом, если ассоциированный оператор Р является решеточным гомоморфизмом по каждой переменной, при условии, что остальным переменным приписаны положительные значения, см. ниже определения 3.1, 3.2.
Определение 0.3. Квазинормированным пространством называют пару (X, || ■ ||), в которой X — пространство вещественных чисел и ||-|| — квазинорма, а именно, функция, действующая из X в М такая, что выполнены следующие условия:
(1) ||х|| ^ 0 для всех х € X и ||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(2) ||Ах|| = |А| ||х|| для всех х € X и А € М;
(3) существует константа С ^ 1, называемая квазитреугольной константой, такая, что ||х + у|| ^ С(||х|| + ||у||) для всех х,у € X.
Как видно, при С = 1 получаем определение нормированного пространства.
По теореме Аоки — Ролевича каждая квазинорма эквивалентна квазинорме |||-|||, обладающей тем дополнительным свойством, что | | | х + у | | | р ^ | | | х | | | р + | | | у | | | р (х,у € X) для некоторого 0 < р ^ 1 (см. [19]). Квазинормированное пространство представляет собой локально ограниченное топологическое векторное пространство, если взять за базу окрестностей нуля семейство множеств {х € X : ||х|| < е} (0 < е € М). Более того, эта топология порождается метрикой ^(х,у):= |||х — у|||р (х,у € X).
Определение 0.4. Квазибанахово пространство — это квазинормированное пространство, полное в своей метрической топологии. Квазибанаховой решеткой называют квазибанахово пространство (X, || ■ ||), если X — векторная решетка и квазинорма || ■ || монотонна, в том смысле, что неравенство |х| ^ |у| влечет ||х|| ^ ||у|| для всех х,у € X. (Если С = 1, то говорят о банаховых пространствах и банаховых решетках.)
В квазибанаховом пространстве X не выполняется теорема Хана — Банаха. В частности, может оказаться, что X = {0}, но при этом X' = {0}. Поэтому не применим метод двойственности. В то же время, многое из теории банаховых пространств переносится на квазибанахов контекст и на этом пути развиты новые эффективные методы исследования (см. обозорные статьи Н. Кэлтона [20] и Л. Малигранды [19]).
1. Линеаризация
В этом параграфе изложим результат о линеаризации ограниченных ортогонально аддитивных однородных полиномов, установленный в работе [12, теорема 4], а также некоторые его следствия.
Основная идея состоит в том, что для линеаризации ортогонально аддитивного однородного полинома область определения и область значений неравноправны: от первой требуется конструкция степени векторной решетки, для второй основную роль играет ни порядок, ни топология, а только лишь борнология.
Определение 1.1. Борнологией на множестве X называют возрастающий (относительно отношения с) фильтр В, элементы которого образуют покрытие множества X. При этом множества из В называют ограниченными. Базой борнологии В на X называют любую базу фильтра В. Отображение, действующее между множествами с борноло-гией, называется ограниченным оператором, если оно каждое ограниченное множество отображает в ограниченное множество.
Определение 1.2. Борнологическим векторным пространством называют пару (X, В), состоящую из векторного пространства X и борнологии В на X, если отображения сложения X х X ^ X и умножения на скаляры М х X ^ X ограничены. Борнологическое векторное пространство (X, В) называют выпуклым борнологическим пространством, если В устойчива относительно образования выпуклых оболочек; отделимым, если {0} — единственное ограниченное векторное подпространство X.
Векторная решетка рассматривается с борнологией порядково ограниченных подмножеств, а топологическое векторное пространство (и, в частности, квазинормированное пространство) — с борнологией топологически (метрически) ограниченных подмножеств. Рассмотрим теперь понятие в-степени векторной решетки, где в € N.
Определение 1.3. в-Степенью векторной решетки Е именуют пару (Е50,если
(a) Е50 — векторная решетка, а ]3 : Е — Е50 — в-однородный полиморфизм;
(b) для любой векторной решетки Е и любого в-однородного полиморфизма Р : Е — Е имеется единственный решеточный гомоморфизм Р : Е50 — Е такой, что Р = Р о
Решеточный гомоморфизм Р называют линеаризацией Р, а — каноническим ортогонально аддитивным полиномом; используются также обозначения ]3,е := ^ и ;8(х) = х50.
Для каждой векторной решетки Е и любого натурального числа в ^ 1 существует единственная (с точностью до решеточного изоморфизма) в-степень Е50 (см. [7, 21]). При этом для данной векторной решетки Е при некоторых условиях универсальное свойство в-степени Е50 из определения 1.3 (Ь) (существование линеаризации) имеет место не только для полиморфизмов, но и для любых ограниченных ортогонально аддитивных в-однородных полиномов со значениями в борнологических пространствах (с одним и тем же каноническим полиномом ]3ее).
Обозначим символом РО>(5Е, У) пространство всех ограниченных в-однородных ортогонально аддитивных полиномов из Е в У и положим %Ь(Е, У) := Р0Ь(1 Е, У). Следующий результат утверждает, что ортогонально аддитивный ограниченный однородный полином из равномерно полной векторной решетки в выпуклое отделимое борнологиче-ское пространство допускает линеаризацию с помощью линейного ограниченного оператора и канонического полинома.
Теорема 1.1 (Теорема о линеаризации). Пусть Е —равномерно полная векторная решетка, а Е — выпуклое отделимое борнологическое пространство. Тогда для любого ортогонально аддитивного ограниченного в-однородного полинома Р : Е — Е существует единственный ограниченный линейный оператор £ : Е50 — Е такой, что
Р(х) = £(х50) (х € Е). (2)
Более того, соответствие Р <—> Б есть изоморфизм: РОь(5Е, Е) ~ ^Ь(Е50, Е).
< Доказательство см. [12, теорема 4]. >
Замечание 1.1. Бен Амор [22, теорема 26] показал, что в теореме 1.1 можно опустить требование выпуклости борнологического пространства. Тем самым, этот факт имеет место и для квазинормированных пространств.
Пусть РО(5Е, У) и РО (5Е, Е) обозначают пространства соответственно непрерывных и регулярных ортогонально аддитивных в-однородных полиномов из Е в У и из Е в Е.
Следствие 1.1. Пусть Е — квазибанахова решетка, У — квазинормированное пространство и Р : Е — У — ограниченный по квазинорме ортогонально аддитивный в-однородный полином. Тогда существует единственный огрниченный по квазинорме линейный оператор Т : Е50 — У такой, что справедливо представление (2). Более того, соответствие Т — Т о ^ является изометрическим изоморфизмом квазинормированных пространств %(Е50, У) и РО(5Е, У).
Следствие 1.2. Пусть Е — квазибанахова решетка, Е — квазинормированная решетка, а Р : Е — Е — регулярный ортогонально аддитивный в-однородный полином.
Тогда существует единственный регулярный линейный оператор Т : Е50 — Е такой, что имеет место представление (2). Более того, соответствие Т — Т о является изометрическим изоморфизмом упорядоченных квазинормированных пространств ^г (Е50, Е) и Р0 (5Е, Е). Если Е — порядково полна, то ^г (Е50, Е) и (5Е, Е) являются изометрически решеточно изоморфными порядково полными квазинормированными решетками.
Замечание 1.2. Теорема 1.1 вместе с замечанием 1.1 содержат в себе все предшествующие результаты о линеаризации ортогонально аддитивных полиномов (см., например, Беньямини, Лассаль и Лавона [23]). Отметим также работы, в которых позже передоказаны частные случае теоремы 1.1: Иборт, Линарес и Лавона в [24, теорема 3.3] установили теорему 1.1 для векторных решеток Е и Е, а в работе Бу и Бускеса [3, теоремы 4.3 и 5.4] доказаны следствия 1.1 и 1.2 для случая банаховых решеток Е и Е и банахова пространства У.
Теорема 1.1 о линеаризации позволяет некоторые задачи об ортогонально аддитивных однородных полиномах решать путем сведения к случаю линейных операторов. Рассмотрим несколько таких приложений, полученных в работах [13, 14, 15]. Начнем с классической задачи об интегральном представлении.
Определение 2.1. Пусть (О, Х,^) — пространство с мерой, а := Ь°(О, Х,^) — пространство (классов эквивалентности) всех вещественнозначных функций на множестве О. Идеальным пространством над (О, Х,^) называется любой порядковый идеал векторной решетки т. е. такое подпространство Е с что если / € д € Е и |/1 < |д|, то / € Е, см. [25, гл. IV, §3].
Определение 2.2. Пусть Е и Е — идеальные пространства над ст-конечными пространствами с мерами (О1, Х1, ^1) и (О2, Х2, ^2) соответственно. Говорят, что однородный полином Р : Е — Е степени в допускает интегральное представление, если существует ® ^2-измеримая функция двух переменных К : О2 х О1 — М такая, что для каждой функции х € Е для ^1-почти всех в € О2 функция £ — К(в,£)х5(£) ^-интегрируема на О1 и
(см. [25, гл. XI, §1]).
Теорема 2.1 (Критерий интегральной представимости). Пусть Р : Е — Е — ортогонально аддитивный в-однородный полином. Эквивалентны утверждения:
(1) Р допускает интегральное представление (3);
(2) если 0 ^ хп ^ х € Е (п € М) и хп — 0 по мере то Рхп — 0 ц,2-п. в.;
(3) полином Р удовлетворяет следующим условиям:
(a) если ^(£п) — 0 (Вп € Х1) и хбп < х € Е (п € М), то Р(\бп) — 0 ^2-п.в.;
(b) если 0 ^ хп ^ х € Е (п € М) и хп — 0 ^1-п. в.;, то Рхп — 0 ц,2-п. в.
< Доказательство см. [14, теорема 4]. >
Замечание 2.1. Проблема интегральной представимости линейного оператора, восходящая к Джон фон Нейману, была решена А. В. Бухваловым в 1984 г.; это решение содержится в качестве частного случая в = 1 в теореме 2.1. В свою очередь, теорема 2.1 выводится из теоремы Бухвалова с помощью теоремы 1.1 о линеаризации.
2. Некоторые приложения
(3)
Обратимся теперь к проблеме продолжения. Пусть Е, Е и О — произвольные векторные решетки, причем Е порядково полна, а О — мажорирующая подрешетка в Е. Как и выше, Е, Е) обозначает пространство регулярных ортогонально аддитивных в-однородных полиномов из Е в Е, упорядоченное конусом положительных полиномов, т. е. Р1 ^ Р2 означает, что полином Р1 — Р2 положителен. Применив теорему Канторовича [18, теорема 1.32] о продолжении положительных операторов к линейной части положительного ортогонально аддитивного однородного полинома, получим результат о продолжении полинома 0 ^ Р € РО О, Е) до полинома 0 ^ Р € РОГ Е, Е). Более того, множество Е+ (Р) всех таких продолжений является выпуклым множеством и в нем имеются крайние точки, называемые крайними продолжениями (см. [18, теорема 1.33]). Здесь возникают две интересные задачи: о существовании оператора продолжения и о характеризации крайних продолжений.
Определение 2.3. Символом & обозначим оператор ограничения, т. е. линейный оператор из РОГ(5Е, Е) в РОГО, Е), сопоставляющий полиному Р его ограничение Р|с на подрешетку О. Оператором одновременного продолжения называют правый обратный к оператору &, т. е. такой оператор Е из РОГ(5О,Е) в РОГЕ, Е), что о Е — тождественный оператор на РОГ(5О,Е).
Теорема 2.2 (Существование оператора продолжения). Пусть О —мажорирующая подрешетка векторной решетки Е и Е — порядково полная векторная решетка. Тогда существует оператор одновременного продолжения Е : РОГ О, Е) — РОГ(5Е, Е), являющийся порядково непрерывным решеточным гомоморфизмом.
< Доказательство см. [13, теорема 4]. >
Теорема 2.3 (Характеризация крайних продолжений). Пусть Е, Е и О — те же, что и выше, причем Е и О равномерно полны. Тогда полином Р € Е+(Р) является крайним продолжением полинома 0 ^ Р € РОГ О, Е) в том и только в том случае, когда для любого х € Е выполняется
1
тИ Р
и € О^ = 0.
(х5 + и5)
< Доказательство см. [13, теорема 6]. >
Замечание 2.2. Теорема 2.2 верна и для решетки всех регулярных однородных полиномов Рг (5Е, Е); при в = 1 она утверждает существование одновременного продолжения линейных регулярных операторов с мажорирующей подрешетки — результат, полученный А. Г. Кусраевым [26, теорема 3.4.11]. Линейный случай теоремы 2.3 при в = 1 совпадает с теоремой Липецкого — Плахки — Томсена (см. [18, теорема 1.31]). Обе теоремы 2.2 и 2.3 доказываются редукцией к линейному случаю с помощью теоремы 1.1 о линеаризации.
Определение 2.4. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, N € N т = тах{в^} и х1,...,хт € Е. Степенные суммы 65(х1,..., х5) и средние геометрические ©(х1,..., х^) определяются в Е с помощью однородного функционального исчисления (см. [27, теорема 2.1.20]):
/ N \ 7 / N \7Г
(хь...,хм) := ( |х,П , 0(х1 ,...,хм) := ( Ц |х,М .
Теорема 2.4 (Тождества для степенных сумм и средних геометрических). Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, У — квазиполное локально выпуклое пространство, Р : Е — У — ортогонально аддитивный ограниченный в-однородный полином,
Р : Е5 — У — порождающий его симметричный в-линейный оператор. Тогда для любых х1,..., х5 € Е+ имеют место следующие равенства:
Р (бв(хь...,х*)) = Р (х1) + ••• + Р (х*);
(4)
Р (0(х1 ,...,хв))= Р(хь...,хв).
< Доказательство см. в [15, теорема (основной результат)]. >
Замечание 2.3. Бускес и Шванке [28, теорема 2.3] установили, что справедливость каждого из равенств (4) для ограниченного в-однородного полинома Р влечет за собой ортогональную аддитивность полинома Р. В этой же работе найдены другие равенства, также характеризующие класс ограниченных ортогонально аддитивных однородных полиномов. В [29] равенства (4) названы «тождествами Кусраевой».
3. Однородные полиномы, сохраняющие дизъюнктность
В этом параграфе изложены результаты о строении сохраняющих дизъюнктность полиномов в векторных решетках, опубликованные в [16]. Этот класс можно рассматривать как абстрактное описание наименьшего множества полиномов, которые можно сконструировать, комбинируя операции взвешенного сдвига, возведения в степень и суммирования.
Определение 3.1. Полилинейный оператор ^ : E1 х ••• х Es — F называется сохраняющим дизъюнктность, если линейный оператор (psk : —> F, к = 1,..., s, где <Рак(х) := (р(а\,..., (ik-i, х, (ik+i, ■ ■ ■, xs), причем ао и as+i опускаются, сохраняет дизъюнктность, каковы бы ни были фиксированные а € Ej, i = k, т. е.
(Ух,уеЕк) Х±у=><Рак(х) ± <Рак(у) (k = l,...,s).
Введем теперь основной объект изучения. Как и выше, E и F — векторные решетки.
Определение 3.2. Однородный полином P : E — F степени s называют сохраняющим дизъюнктность, если таковым является порождающий его симметричный полилинейный оператор P : Es — F. При этом решеточный полиморфизм — сохраняющий дизъюнктность положительный однородный полином.
Следующий результат дает характеризацию сохраняющих дизъюнктность порядково ограниченных однородных полиномов. Из него следует, в частности, что всякий такой полином является ортогонально аддитивным.
Теорема 3.1. Пусть E и F — векторные решетки, P : E — F — порядково ограниченный однородный полином степени s. Эквивалентны утверждения:
(1) P сохраняет дизъюнктность;
(2) x ± y влечет dnP(x)(y) =0 и Px ± Py для всех x, y € E и 1 ^ n < s;
(3) P ортогонально аддитивен и ж ^ y влечет Px ± Py для всех ж, y € E;
(4) существуют векторная решетка G и решеточные гомоморфизмы Si, S2 : E — G такие, что Gs° С F, Si(E) ± S2(E) и Px = (Six)s° - (S2x)s0 для всех ж € E;
(5) существует сохраняющий дизъюнктность порядково ограниченный линейный оператор T : Es° — F такой, что Px = T(xs°) для всех x € E.
< Доказательство см. [16, теорема 3.3]. >
Для полиномов имеет место вариант теорема Мейера [16, предложение 3.2]. В частности, полином, сохраняющий дизъюнктность, имеет модуль, являющийся решеточным полиморфизмом. Характеризация решеточных полиморфизмов содержится в следующем следствии.
Следствие 3.1. Пусть Е и Е — векторные решетки, Р : Е — Е — однородный полином степени в. Эквивалентны следующие утверждения:
(1) Р —решеточный полиморфизм;
(2) Р ортогонально аддитивен и Р(х V у) = Р(х) V Р(у) для всех х, у € Е+;
(3) Р ортогонально аддитивен и Р(х Л у) = Р(х) Л Р(у) для всех х, у € Е+;
(4) Р ортогонально аддитивен и х Л у = 0 влечет Р(х) Л Р(у) = 0 для всех х, у € Е;
(5) существует решеточный гомоморфизм Т : Е50 — Е такой, что справедливо представление Рх = Т(х50) для всех х € Е;
(6) существуют векторная решетка О и решеточный гомоморфизм Б : Е — О такие, что О50 С Е и имеет место представление Рх = (£х)50 для всех х € Е.
< Доказательство см. [16, следствие 3.10]. >
Дальнейшее развитие связано с комбинированием полученной характеризации полиномов, сохраняющих дизъюнктность, с теорией А. Е. Гутмана сохраняющих дизъюнкт-ность линейных операторов. Предположим, что Е и Е — фундаменты универсально полных векторных решеток Е и & соответственно. В пространствах Е и & зафиксируем порядковые единицы 1е и , служащие одновременно кольцевыми единицами соответствующих /-алгебр. При этом ортоморфизм представляет собой оператор умножения на элементы /-алгебры и отождествляется с соответствующим мультипликатором [18, с. 128].
Для произвольного / € Е существует единственный элемент д € Е, для которого /д = [/]1 е и [/]хд = 0, где [/] — проектор на полосу {/. Этот элемент д будем обозначать символом 1// := 1е//. Произведение е(1//) обозначается также символом е//. Обозначим через Р(Е) булеву алгебру порядковых проекторов в Е.
Определение 3.3. Решеточный гомоморфизм £ : Ео — & называют сдвигом полинома Р, если Е0 — порядковый идеал в Е, содержащий Е С Е0, и ш(Рп)^ = 1т(£п)±± для всех п € Р(Е) (булевы алгебры п € Р(Е) и п € Р(Е0) отождествляются).
Теперь все готово для формулировки основной теоремы о представлении ортогонально аддитивных однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность.
Теорема 3.2. Пусть Е и Е — порядково полные векторные решетки, Р : Е — Е — в-однородный порядково ограниченный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует разбиение единицы (р^в булевой алгебре Р(Е) и семейство положительных элементов (е^в Е такие, что имеет место представление
Р(х) = о-£ W о р?£(х/е?)50 (х € Е), (5)
?ез
где оператор Б — сдвиг полинома Р, а ортоморфизм W : & — & представляет собой оператор умножения на 0-^р^Р(е^).
< Доказательство см. [16, теорема 4.7]. >
Переходя к мультипликативному представлению сохраняющих дизъюнктность полиномов, рассмотрим экстремально несвязные компакты К и Пусть Е и Е — фундаменты в расширенных К-пространствах Е := Сте(К) и & := соответственно. Пусть
Со(^,К) обозначает множество всех непрерывных функций а : ^о — К, определенных на открыто-замкнутых подмножествах ёот(а):= ^о С
Определение 3.4. Для произвольного а € Со(С?,К) и ж € Соо(К) определим функцию х • а : С} у М формулой:
. ... |х(аЫ), если q € ёот(а), (х • а)(q) := <
10, если q € Q \ ёот(а).
Замечание 3.1. Функция х• а, как очевидно, непрерывна, но не принадлежит, вообще говоря, пространству поскольку она может принимать бесконечные значения на некотором подмножестве и € Q с непустой внутренностью. Несмотря на это, произведение W (х • а) корректно определяет функцию из если W обращается в ноль на внутренности и (подробности см. [30, 5.8.5]).
Теперь можем сформулировать теорему о мультипликативном представлении однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность.
Теорема 3.9 (Мультипликативное представление). Пусть Е и Е — фундаменты в пространствах С(К) и Ссоответственно, а Р : Е — Е — порядково ограниченный ортогонально аддитивный в-однородный полином, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют отображение а € Со^,К), семейство (—положительных функций в Сте(К) и семейство (Wgпопарно дизъюнктных функций из такие, что 1/— € Е для всех £ € 2, и справедливо представление
Р(х) = о-£ Wf((шfх)5 • а) (х € Е). (6)
?ез
< Доказательство см. [16, теорема 4.9]. >
Замечание 3.10. Теоремы 3.2 и 3.3 при в = 1 представляют собой результаты А. Е. Гутмана для линейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. В то же время, соединив теорему 1.1 о линеаризации с линейной теорией А. Е. Гутмана [30], приходим к полному описанию класса однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность.
4. Проблема доминирования
В этом параграфе представлено решение проблем компактного и слабо компактного доминирования для ограниченных по норме ортогонально аддитивных однородных полиномов в банаховых решетках, полученное в [17]. Случай линейных операторов покрывается знаменитыми теоремами Доддса — Фремлина и Висктеда.
Определение 4.1. Проблемой доминирования (или мажорации) для полиномов, действующих в банаховых решетках, называют вопрос: сохраняет ли однородный полином то или иное свойство (компактность, слабую компактность и т. д.), которым обладает его мажоранта? Точнее, если однородный полином Р мажорируется однородным полиномом Q (т. е. |Р| ^ Q или 0 ^ Р ^ Q) и Q компактен (слабо компактен), то будет ли Р также компактен (слабо компактен)? Проблема доминирования рассматривается и для других свойств помимо компактности и слабой компактности. Проблема доминирования хорошо изучена для линейных операторов. Решения, полученные для различных классов линейных операторов, представлены в книгах [18, 27] и обзорных статьях [31, 32].
Определение 4.2. Пусть 0 < р ^ д ^ то и р < то. Квазибанахову решетку Е называют (р, д)-выпуклой, если существует константа С такая, что
для любого конечного набора {х1,... ,хт} в Е, см. [33]. При р = д говорят о р-выпук-лости Е. Наименьшая возможная константа С в этом неравенстве обозначается символом
Сформулируем наш результат о компактном доминировании ортогонально аддитивных однородных полиномов в банаховых решетках.
Теорема 4.1. Пусть 1 ^ р € М, в ^ р и в € М, а Е и Е — банаховы решетки, причем Е — р-выпукла. Равносильны следующие утверждения:
(1) для любой пары в-однородных ортогонально аддитивных полиномов Р, Q из Е в Е, удовлетворяющих условию 0 ^ Р ^ Q, компактность Q влечет компактность Р;
(2) выполняется одно из следующих (не взаимоисключающих) условий:
(a) Е не содержит банаховых подрешеток, изоморфных 13, а Е порядково непрерывна;
(b) Р0(5Е, М) атомична, Е не содержит банаховых подрешеток, изоморфных 13;
(c) Е атомична и порядково непрерывна.
< Доказательство см. [17, теорема 1]. >
Замечание 4.1. Проблему компактного доминирования поставил в 1976 г. известный специалист по математической физике Б. Саймон в связи с исследованием резольвенты оператора Шрёдингера и теорией рассеяния. В 1978 г. П. Доддс и Д. Фремлин [18, теорема 5.20] доказали импликацию (2)(а) (1) теоремы 4.1 при в = 1, причем в (2)(а) фигурирует условие порядковой непрерывности нормы в Е. Последнее равносильно тому, что Е не содержит подрешеток, изоморфных ¿1 [18, теорема 4.69]. Оставшуюся часть теоремы 4.1 при в = 1 установил Э. Викстед [34].
Теорема 4.2. Пусть в € N и в ^ р € М. Предположим, что Е и Е — банаховы решетки, причем Е р-выпукла. Равносильны следующие утверждения:
(1) для любой пары в-однородных ортогонально аддитивных полиномов Р и Q из Е в Е, удовлетворяющих условию 0 ^ Р ^ Q, слабая компактность Q влечет слабую компактность Р;
(2) либо Е не содержит банаховых подрешеток, изоморфных 13, либо Е порядково непрерывна.
Замечание 4.2. Теорема 4.2 для линейных операторов (р = в = 1) установлена в [35]: для того чтобы произвольный линейный положительный оператор из Е в Е, мажорируемый каким-нибудь слабо компактным линейным оператором, был слабо компактным, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одна из банаховых решеток Е и Е была порядково непрерывной. Из этого факта выводится требуемое, с привлечением теоремы 1.1 о линеаризации.
Замечание 4.3. Теорема 4.2 верна также для положительных однородных полиномов (не обязательно ортогонально аддитивных) (см. [36, следствие 3.3]). В то же время, проблема компактного доминирования в классе регулярных однородных полиномов остается открытой. Частные результаты получены в работе [36, следствия 4.2 и 4.4]. Неясно также, какой вариант теоремы 4.1 имеет место в квазибанаховых решетках. Некоторое
М ^>«)(С).
продвижение в этом направлении достигнуто в [37], однако не ясно до конца, в какой мере существенна двойственность для решения проблемы компактного доминирования.
5. Вогнутость и выпуклость однородного ортогонально аддитивного полинома
В этом параграфе изложены результаты, полученные в [7].
Определение 5.1. Для любой конечной последовательности (xi, ...,xn) в равномерно полной векторной решетке E выражение вида /(xi,..., xn) может быть корректно определено, если только / € H(RN), т. е. / — положительно однородная (f (Ax) = Af(x) для всех x € RN и А € R) непрерывная функция на RN. Изучение таких выражений называется однородным функциональным исчислением (см. [27, теорема 2.1.20]). Следующие утверждения позволяют однородное функциональное исчисление в степени квазинорми-рованной решетки описать в терминах исходной решетки.
Теорема 5.1. Для данного ^ € H(Rn) и 0 < s € R определим : Rn ^ R, полагая <ps(ti,... ,tn):= <p(tf,..., для всех (t i,..., tn) € R*\ Тогда <ps € Ж (Rra) и для всякой равномерно полной векторной решетки E и конечной последовательности xi,..., xn € E верно следующее представление:
^(xf,...,xn0) = ^(xi,...,x„rQ.
< Доказательство см. [7, предложение 3.9]. >
Следствие 5.1. Пусть Е —равномерно полная векторная решетка, в € М, 1 ^ г € М, и 0 ^ € М таковы, что ^ П=1 = 1. Тогда для любого конечного набора
Ж1,..., х € Е имеют место представления:
. k=i
Ek0I i
n
П |xk° I
ak
S0
к=1
Пользуясь однородным функциональным исчислением, введем общие понятия (р, д)-выпуклого и (р, д)-вогнутого однородного полинома и рассмотрим некоторые взаимосвязи для этого специального класса однородных ортогонально аддитивных полиномов.
Определение 5.2. Пусть X — квазибанахово пространство, Р — квазибанахова решетка и 0 <р ^ д ^ то. Непрерывный в-однородный полином Р : Е ^ Р называют (р, д)-выпуклым, если существует такая константа С € М+, что
s/q
£ |р(x+) - р(x-
. k=i
s/p
(7)
. k=i
для любого конечного набора Ж1,..., € Е. Наилучшая константа С в (7) обозначается При р = д говорят о р-выпуклых полиномах.
Определение 5.3. Пусть Е — квазибанахова решетка, У — квазибанахово пространство и 0 <р ^ д ^ то. Непрерывный в-однородный полином Р : Е ^ Р называют
1
p
(p, д)-вогнутым, если существует константа C € R+ такая, что
1/9
£||P(x+) - P(xfc-)||q/s < C
. k=i
Eixk г
i/p
. k=1
(8)
для любого конечного набора xi,..., xm € E. Наилучшая константа C в (8) обозначается M(p,q)(P). При p = q говорят о p-вогнуты полиномах.
Если тождественный оператор Ie : E ^ E является (p, q)-выпуклым ((p, q)-вог-нутым), то квазибанахову решетку E называют (p, q)-выпуклой ((p,q)-вогнутой) (ср. определение 4.2).
Теорема 5.2. Пусть E — квазибанахова решетка, s € N и 0 < p, q € R. Тогда следующие утверждения эквиваленты:
(1) E (p, q)-выпукла;
(2) s-степень Es° (p/s, q/s)-выпукла;
(3) канонический полином x ^ xs°, действующий из E в Es°, (p, q)-выпуклый.
Если, сверх того, s ^ q, то утверждения (1)-(3) эквивалентны следующим:
(4) для всякой квазибанаховой решетки F любой положительный ортогонально адитивный s-однородный полином P, действующий из E в F, является (p, q)-выпуклым;
(5) для всякой квазибанаховой решетки F любой положительный линейных оператор T, действующий из Es° в F, является (p/s, q/s)-выпуклым;
(6) для всякой квазибанаховой решетки F любой положительный линейный оператор T, действующий из E в F, является (p, q)-выпуклым.
< Доказательство см. [7, теорема 4.6]. >
С. Рейзнер [38], а также И. Рено и П. Традасет в [39] охарактеризовали p-вогнутые линейные операторы, как операторы, факторизуемые через p-вогнутые банаховые решетки. Этот факт допускает обобщение на случай ортогонально аддитивных однородных полиномов, действующих из квазибанаховых решеток в квазибанаховы пространства.
Теорема 5.3 (Факторизация). Пусть E — квазибанахова решетка, Y —квазибанахово пространство, s € N и 0 <p ^ то. s-Однородный ортогонально аддитивный полином P : E ^ Y является p-вогнутым тогда и только тогда, когда существует p/s-вогнутая квазибанахова решетка F, линейный ограниченный оператор S : F ^ Y и решеточный мультиморфизм, сохраняющий порядковые интервалы, Q : E ^ F такой, что Q(E+) плотно в F+ и P = S о Q.
< Доказательство см. [7, теорема 4.8]. >
Следующее приложение связно с знаменитым неравенством Гротендика, установленным в 1953 г. и по настоящее время оказывающим существенное влияние на теорию банаховых пространств (см. [40]). Среди различных обобщений имеется вариант неравенства Гротендика для банаховых решеток, установленный Ж.-Л. Кривином [41]: Если T : E ^ F — ограниченный оператор, действующий между банаховыми решетками, то для любого конечного набора элементов xi,... ,xn € E имеет место неравенство:
EiT (xk )i2
1/2
. k=1
< KG||T||
X>k i2
1/2
. k=1
(9)
где Кс — постоянная Гротендика. Н. Кэлтон в [42] доказал, что аналогичное неравенство верно и для ограниченных операторов, действующих из квазибанаховой решетки
в Ь-выпуклую квазибанахову решетку, однако уже с другой константой. (Квазибанахова решетка Е называется Ь-выпуклой, если Е р-выпукла для некоторого 0 < р < то.) Результат Кэлтона вместе с теоремой 1.1 о линеаризации позволяют получить аналог неравенства Гротендика для полиномов.
Теорема 5.4. Пусть Р — Ь-выпуклая квазибанахова решетка. Тогда существует константа А, зависящая только от Р, такая, что если Е — квазибанахова решетка и Р : Е ^ Р — ограниченный ортогонально аддитивный в-однородный полином, то для всякой конечной последовательности элементов Ж1,..., жп € Е справедливо неравенство:
1/2
. к=1
)|2
< А||РII
1
1/(2*)
2«
. к=1
(10)
где Р(ж) = Р(ж+) — Р(ж ) для всех х € Е. < Доказательство см. [8, теорема 4.9]. >
в
6. Условия вогнутости и выпуклости решетки ортогонально аддитивных полиномов
Хорошо известен следующий результат о двойственности: (р, д)-выпуклость (соответственно, (р, д)-вогнутость) банаховой решетки Е равносильна (р', д')-вогнутости (соответственно, (р', д')-выпуклости) двойственной банаховой решетки Е', где р' = р/(1 — р) и д' = д/(1 — д) (см. [43, теорема 16.21]). Если в этом утверждении заменить функционалы на регулярные ортогонально аддитивные однородные полиномы, то условия его справедливости — нетривиальная задача. В этом параграфе представим вариант решения этой задачи, полученный в работе [8]. Приведем необходимые определения.
Пусть Е — квазинормированная решетка и Р — квазибанахова решетка, тогда каждый регулярный полином из Е в Р непрерывен (см. [7, предложение 2.6]). Тем самым Рг («Е, Р) является упорядоченным пространством с регулярной нормой
||Р||г := Ы{уду : ±Р < д € Рг(«Е,Р)}.
Обозначим, как и ранее, символом РО («Е, Р) часть Рг («Е, Р), состоящую из ортогонально аддитивных полиномов. Будем рассматривать РО («Е, Р) с индуцированными квазинормой и упорядочением.
Теорема 6.1. Пусть Е — квазинормированная решетка и Р — квазибанахова решетка. Если Рг(«Е, Р) — векторная решетка, то (Рг(«Е, Р), || ■ ||г) — квазибанахова решетка и ||Р||г = || |Р| || для всех Р € Рг(«Е, Р). В частности, Рг(«Е, Р) — порядково полная квазибанахова решетка с регулярной нормой, если Р порядково полна.
Замечание 6.1. Бу, Бускес и Ли в [44, теоремы 3.1 и 3.3] доказали, что если Е и Р являются банаховыми решетками, то верны следующие два утверждения: (1) Рг («Е, Р) является АМ-пространством, как только Е — АЬ-пространство и Р является порядково полным АМ-пространством; (2) Рг («Е, Р) является АЬ-пространством, как только Е — АМ-пространство и Р — АЬ-пространство. Учитывая, что АЬ- и АМ-пространств определяются условиями 1-вогнутости и то-выпуклости соответственно, было бы интересно получить аналогичные результаты для пространств однородных полиномов Рг («Е, Р) в квазибанаховом антураже. В общем случае эта задача не решена. Имеющиеся решения для ортогонально аддитивных операторов приводятся ниже. Теоремы 6.2, 6.3 и 6.4 являются новыми даже в случае линейных операторов (см. [8]).
Теорема 6.2. Пусть Е и Е — квазибанаховы решетки, причем Е порядково полна. Тогда РО ('Е, Е) является (р, д)-вогнутой квазибанаховой решеткой для некоторого 1 ^ р, д < то, если Е — 1-вогиута и Е — (зр', зд')-выпукла. Более того, выполняется следующее неравенство: М^^р('Е, Е)) ^ М(1)(Е)М>'Р)(Е).
< Доказательство см. [8, теорема 4.9]. >
Определение 6.1. Квазибанахову решетку Е называют квази-АМ-пространством, если Е то-выпукла, т. е. существует константа С ^ 0 такая, что
VIя* I < С у
для любого конечного набора Ж1,... ,хп в Е. Наименьшую константу С в этом неравенстве обозначают символом
М (те)(Е).
Определение 6.2. Говорят, что квазибанахова решетка (Е, У ■ У) обладает слабым свойством Фату, если существует константа К > 0 такая, что для любой сети (ха) в Е и любого ж € Е из 0 ^ ха | я следует ||х|| ^ К8ира ||ха||.
Теорема 6.3. Пусть Е — квазибанахова решетка и Е — порядково полное квази-АМ-пространство, обладающее слабым свойством Фату с константой К. Тогда пространство регулярных з-однородных ортогонально аддитивных полиномов РО ('Е, Е) является (р, д)-выпуклой квазибанаховой решеткой для некоторого 1 ^ р, д < то, если Е — (зд', зр')-вогнута с р' = р/(р — 1) и д' = д/(д — 1). Более того, имеет место следующее неравенство:
< Доказательство см. [8, теорема 4.10]. >
Определение 6.3. Квазибанахову решетку называют 0+-выпуклой или геометрически выпуклой, если существует константа М > 0 такая, что
п \ 1/п / п \ 1/п
Пх и < м п |х | к=1 ' ^=1 '
для любого конечного набора Ж1,..., жп в Е. Наименьшая возможная константа М в этом неравенстве обозначается символом
М(0+).
Теорема 6.4. Пусть Е и Е — квазибанаховы решетки, причем Е порядкова полна. Если Е геометрически выпукла, то р> ('Е, Е) также геометрически выпукло. Более того, выполняется следующее неравенство:
М(0+)(РО('Е,Е)) < М(0+)(Е).
< Доказательство см. [8, теорема 4.11]. >
Замечание 6.2. Если р = д, то говорят о р-выпуклости и р-вогнутости. Вопрос о р-выпуклости и р-вогнутости для пространства линейных регулярных операторов в банаховых решетках впервые был рассмотрен Н. Данетом в [47]. Теоремы 6.2 и 6.3 показывают, в частности, что полученный им результат [47, теорема 1.5] имеет место для более широких классов квазибанаховых решеток и ортогонально аддитивных полиномов. Аналогичные результаты для квазибанаховой решетки общих регулярных полиномов будут опубликованы в одной из ближайших статей автора.
7. Суммы порядково ограниченных однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность
В этом параграфе дается полное описание полилинейных операторов и однородных полиномов, представимых в виде суммы сохраняющих дизъюнктность полилинейных
операторов и однородных полиномов, соответственно, полученное в работах [10, 11]. Для линейных операторов эту проблему решили Бернау, Гюйсманс и де Пахте [46].
Определение 7.1. п-Линейный оператор Т : Е1 х ■ ■ ■ х Еп ^ Р называют положительным (обозначение Т ^ 0), если Т(ж1,..., жп) ^ 0 для всех 0 ^ ж1 € Е1,..., 0 ^ жп € Еп; решеточным мультиморфизмом или решеточным п-морфизмом, если линейный оператор ж ^ Т(ж1,... , ж , — 1, ж, ж,+1, . . . , жп
) является решеточным гомоморфизмом для любых 1 ^ ] ^ п, 0 ^ жк € Ек, ] = к ^ п. (При этом жо и жга+1 опускаются.)
Определение 7.2. Будем говорить, что конечный набор элементов (ж1;,, ...,жП;,) (2 = 0,..., т) в Е1 х ■ ■ ■ х Еп назвается спорадически дизъюнктным, если для любого 0 ^ к, I ^ т, к = I, существует 1 ^ г ^ п с ж^ ± ж^. п-Линейный оператор Т € Ь(Е1 х ■ ■ ■ х Еп; С) называется т-дизъюнктным, если для любого спорадически дзъюнктного набора конечных последовательностей (ж1,,,..., жга,,) (2 = 0,..., т) в Е1 х ■ ■ ■ х Еп выполняется равенство
|Т(ж1,о,..., жп,о)| А |Т(ж1,1,..., жгаД)| л ■ ■ ■ Л |Т(ж1>т,..., ж«;т)| = 0.
Скажем, что Т полидизъюнктен, если Т т-дизъюнктен для некоторого т € N.
Очевидно, 1-дизъюнктный оператор — это сохраняющий дизъюнктность оператор.
Теорема 7.1. Пусть Е1,..., Еп и Р — векторные решетки, причем Р — К -пространство, а Т — регулярный п-линейный оператор из Е1 х ■ ■ ■ х Еп в Р. Если Т — т-дизъюнктный, тогда существует т сохраняющих дизъюнктность регулярных п-линейных операторов Т, : Е1 х ■ ■ ■ х Еп ^ Р таких, что Т = Т1 + ■ ■ ■ + Тт и Т, ± Тк для всех 1 ^ 2, к ^ п, к = 2.
< Доказательство см. [10, теорема 4.1]. >
Определим полилинейный оператор £1 © ... © £га из Е1 х ... х Еп в Р, полагая £1 © ... © £„(жь ... ,ж„) := £1(ж1) * ... * £„(ж„) (ж1 € Е1,... ,ж„ € Е„).
где * — умножение в универсальном расширении Ри.
Теорема 7.2. Пусть Е1,...,ЕП, Р — векторные решетки, причем Р — К-пространство, а Т — регулярный т-дизъюнктный п-линейный оператор из Е1 х ■ ■ ■ х Еп в Р. Тогда существуют порядковые проекторы п, (1 ^ 2 ^ т) в Р, векторные решетки ..., , допускающие умножение в Р, и п х т-матрица ), чьими элементами являются : Е^ ^ Рк — решеточные гомоморфизмы такие, что имеет место представление:
Т = ^(п, — © ■ ■ ■ © ,=1
< Доказательство см. [10, теорема 4.5]. >
Замечание 7.1. Из теорем 7.1 и 7.2 следует, что множество всех т-дизъюнктных п-линейных операторов (при переменном т и фиксированном п) из декартова произведения векторных решеток в порядково полную векторную решетку представляет собой порядковый идеал в векторной решетке регулярных п-линейных операторов и совпадает с векторным подпространством, порожденным множеством всех произведений п-решеточных гомоморфизмов, определенных на векторных решетках — сомножителях декартова произведения (см. [10, следствие 6]).
Далее введем два понятия т-дизъюнктности для однородных полиномов.
Определение 7.3. Однородный полином является т-дизъюнктным, если он ортогонально аддитивен, и ассоциированный симметричный полилинейный оператор является т-дизъюнктным и слабо т-дизъюнктным, когда он имеет т-дизъюнктный порождающий (не обязательно симметричный) полилинейный оператор.
Теорема 7.3. Пусть Е и Е — векторные решетки, Т : Е50 ^ Е — порядково ограниченный линейный оператор и Р : Е ^ Е — однородный полином, определенный формулой Р (ж) = Т(ж50) для ж € Е. Рассмотрим утверждения:
(1) Р т-дизъюнктен;
(2) Т т-дизъюнктен;
(3) для любых попарно дизъюнктных элементов жо,..., жт € Е выполняется
|Р(ж+) - Р(х-)| Л ■ ■ ■ л |Р(ж+) - Р(жт)| = 0;
(4) для любых попарно дизъюнктных элементов жо,..., жт € Е+ выполняется
т
Р(жо V ... V жт) = V Р(жо V ... V жй_1 V жй+1 V ... V жт), (11)
к=0
где ж_1 := ж0 и жт+1 := жт опускаются.
Тогда (1) ^^ (2) и (2) (3). Более того, если Е равномерно полна то первые три утверждения эквивалентны. Если же, сверх того, оператор Т положителен, то равносильны все четыре утверждения.
< Доказательство см. [11, теорема 3.7]. >
Как и ожидалось, т-дизъюнктный полином представлен в виде суммы т сохраняющих дизъюнктность полиномов.
Теорема 7.4. Пусть Е и Е — векторные решетки, причем Е — порядково полна и Р : Е ^ Е — порядково ограниченный ортогонально аддитивный з-однородный полином. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1) Р — т-дизъюнктен;
(2) существуют порядково ограниченные сохраняющие дизъюнктность з-однородные полиномы Р1,..., Рт : Е ^ Е такие, что Р^ ± Р (к = 1) и Р = Р1 + ■ ■ ■ + Рт;
(3) существуют порядковые проекторы П1,..., пт в Р(Е) и решеточные гомоморфизмы Ть...,Тт из Е в Е(1/5) такие, что Тк ± Т (1 ^ к,1 ^ т, к = 1) и имеет место представление
т
Р(ж) = 5>* - (ж)50 (ж € Е). (12)
к=1
< Доказательство см. [11, теорема 3.11]. >
Следствие 7.1. Пусть Е и Е — векторные решетки, причем Е порядково полна. Тогда порядковый идеал порядково ограниченных з-однородных полиномов из Е в Е, порожденный полиномами вида ж ^ Т(ж)50, где Т : Е ^ Е(1/5) — решеточный гомоморфизм, состоит в точности из порядково ограниченных з-однородных полиномов из Е в Е, т-дизъюнктных для некоторого натурального т.
Замечание 7.2. Слабо т-дизъюнктные полиномы имеют существенно иное строение, чем т-дизъюнктные полиномы. Порядково ограниченные слабо т-дизъюнктные однородные полиномы (т пробегает М) из Е в Е образуют порядковый идеал, порожденный полиномами вида ж ^ Т1(ж)к10 * ... * Тг(ж)кг 0, где Т.,- : Е ^ Е, — решеточный
гомоморфизм и Fj — подрешетка в Fu. Комбинируя эти результаты с теорией Гутмана ßG], так же, как и в разделе З, приходим к мультипликативному представлению слабо m-дизъюнктных полиномов (ср. замечание З.Ю настоящей статьи). Соответствующие результаты изложены в [11].
8. Нерешенные задачи
В этом, заключительном, параграфе приведем несколько нерешенных задач. Обозначим символом Pr (sE, F) пространство регулярных (не обязательно ортогонально аддитивных) s-однородных полиномов из E в F. Линеаризация полиномов из Pr (sE, F) осуществляется с помощью n-кратного симметричного тензорного произведения по Фрем-лину (£)s n |n|E, см. [З]. Последнее имеет более сложное строение, чем степень Es0, и с этим обстоятельством связаны значительные трудности изучения порядковых свойств как индивидуального регулярного полинома, так и пространства полиномов Pr(sE, F).
Задача 8.1. Пусть E и F — идеальные пространства над ст-конечными пространствами с мерой, см. определение 2.2. Найти необходимые и достаточные условия, при
которых регулярный однородный полином P i E ^ F допускает интегральное представ-
í (n) \
ление (^1 = x ■ ■ ■ x — n-кратное произведение меры ^1):
^ж)^) = У K(s,íl,...,ín) ж(^) ...ж(^) d^1n) (il.....in) (ж e E).
п1
Задача 8.2. Дать описание крайних точек единичного шара банаховой решетки Pr(sE, F) для различных E и F (F порядково полна).
Имеющиеся результаты для класса интегральных полиномов см. в [47, 48].
Задача 8.3. Каковы должны быть банаховы решетки E и F, чтобы упорядоченное банахово пространство Pr (sE, F) было банаховой решеткой?
Для линейных операторов (s = l) полный ответ известен лишь в том случае, когда E либо сепарабельна либо порядково непрерывна, см. [49] и указанную там литературу.
Задача 8.4. Каковы должны быть банаховы решетки E и F, чтобы для любых однородных полиномов из P, Q i E ^ F, удовлетворяющих неравенствам 0 ^ P ^ Q, из компактности Q следовала бы компактность P?
В этом направлении имеются лишь частичные результаты (см. замечание 4.2 и [Зб,
З7]).
Задача 8.5. Какие условия на банахову решетку E обеспечивают (p, д)-выпуклость или (p, д)-вогнутость банаховой решетки s n |n|E?
Задача 8.6. Пусть E и F — квазибанаховы решетки. При каких условиях на E и F квазибанахова решетка Pr (nE, F) будет (p, д)-выпуклой, (p, д)-вогнутой?
Мотивация постановок и достигнутые результаты по задачам 8.5 и 8.б отражены в замечании б.2 и работах [1б, 44, 47].
Задача 8.7. Получить результаты о факторизации однородного полинома через p-выпуклый и q-вогнутый полиномы в духе работ [З8, З9, 41].
Литература
1. Dineen S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces.—Berlin: Springer, 1999.—xv+543 p.
2. Grecu B. C., Ryan R. A. Polynomials on Banach spaces with unconditional bases // Proc. Amer. Math.
Soc.—2005.—Vol. 133, № 4.—P. 1083-1091. DOI: 10.1090/S0002-9939-04-07738-X.
3. Bu Q., Buskes G. Polynomials on Banach lattices and positive tensor products // J. Math. Anal.
Appl.—2012.—Vol. 388, № 2.—P. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001.
4. Loane J. Polynomials on Riesz spaces // Thesis, Department of Math.—Galway: Nat. Univ. of Ireland, 2007.
5. Linares P. Orthogonal additive polynomials and applications // Thesis, Departamento de Analisis Matematico.—Madrid: Universidad Complutense de Madrid, 2009.
6. Кусраева З. А. Ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках: Дисс. ... к.ф.-м.н.— Новосибирск: Ин-т мат-ки им. С. Л. Соболева СО РАН, 2013.
7. Kusraeva Z. A. Powers of quasi-banach lattices and orthogonally additive polynomials // J. Math. Anal. and Appl.—2018.—Vol. 458, № 1.—P. 767-780. DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.09.019.
8. Kusraeva Z. A. Convexity conditions for the space of regular operators // Positivity.—2019.—Vol. 23, № 2.—P. 445-459. DOI: 10.1007/s11117-018-0616-z.
9. Кусраев А. Г., Кусраева З. А. Суммы порядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъ-юнктность // Сиб. матем. журн.—2019.—Vol. 60, №1.—P. 148-161. DOI: 10.33048/smzh.2019.60.113
10. Kusraeva Z. A. Monomial decomposition of homogeneous polynomials in vector lattices // Advances in Operator Theory.—2019.—Vol. 4, № 2.—P. 428-446. DOI: 10.15352/aot.1807-1394.
11. Kusraeva Z. A. Sums of disjointness preserving multilinear operators // Positivity.—2021.—Vol. 25, № 2.—P. 669-678. DOI: 10.1007/s11117-020-00781-7.
12. Кусраева З. А. О представлении ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. мат. журн.—2011.— Т. 52, № 2.—С. 315-325.
13. Кусраева З. А. О продолжении ортогонально аддитивных регулярных полиномов // Владикавк. мат. журн.—2011.—T. 13, № 4.—C. 28-34.
14. Кусраева З. А. Однородные ортогонально аддитивные полиномы в векторных решетках // Мат. заметки.—2012.—Т. 91, №5.—С. 704-710. DOI: 10.4213/mzm8790.
15. Кусраева З. А. Однородные полиномы, средние степенные и средние геометрические в векторных решетка // Владикавк. мат. журн.—2014.—Т. 16, № 4.—С. 49-53. DOI: 10.23671/VNC.2014.4.10260.
16. Кусраева З. А. Характеризация и мультипликативное представление однородных полиномов, сохраняющих дизъюнктность // Владикавк. мат. журн.—2016.—Т. 18, № 1.—С. 51-62. DOI: 10.23671/VNC.2016.1.5951.
17. Кусраева З. А. О компактной мажорации однородных ортогонально аддитивных полиномов // Сиб. матем. журн.—2016.—Т. 57, № 3.—С. 658-665. DOI: 10.17377/smzh.2016.57.313.
18. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—London etc.: Acad. Press Inc., 1985.—xvi+367 p.
19. Maligranda L. Type, cotype and convexity properties of quasi-banach spaces // Proc. of the International Symposium on Banach and Function Spaces (Kitakyushu, Japan).—Yokohama: Yokohama Publ., 2004.—P. 83-120.
20. Kalton N. J. Quasi-Banach spaces / Eds.: W. B. Johnson and J. Lindenstrauss // Handbook of the Geometry of Banach Spaces.—Amsterdam: Elsevier, 2003.—Vol. 2.—P. 1118-1130.
21. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus // Comm. Algebra.— 2006.—Vol. 34, № 4.—P. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885.
22. Ben Amor F. Orthogonally additive homogenous polynomials on vector lattices // Comm. Algebra.— 2015.—Vol. 43, № 3.—P. 1118-1134. DOI: 10.1080/00927872.2013.865038.
23. Benyamini Y., Lassalle S., Llavona J. G. Homogeneous orthogonally additive polynomials on Banach lattices // Bull. London Math. Soc.—2006.—Vol. 38, № 3.—P. 459-469. DOI: 10.1112/S0024609306018364.
24. Ibort A., Linares P., Llavona J. G. A representation theorem for orthogonally additive polynomials on Riesz spaces // Rev. Mat. Complut.—2012.—Vol. 25.—P. 21-30. DOI: 10.1007/s13163-010-0053-4.
25. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.—СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.—816 c.
26. Kusraev A. G. Dominated Operators.—Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2000.—xiv+446 p. DOI: 10.1007/978-94-015-9349-6.
27. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1991.—xv+395 p. DOI: 10.1007/9783-642-76724-1.
28. Buskes G., Schwanke C. Characterizing bounded orthogonally additive polynomials on vector lattices // Arch. Math.—2019.—Vol. 112.—P. 181-190. DOI: 10.1007/s00013-018-1251-4.
29. Schwanke C. Some notes on orthogonally additive polynomials // Functional Analysis.—2020.— arXiv:2012.13124.
30. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // Vector Lattices and Integral Operators / Ed.: S. S. Kutateladze.—Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publ., 1996.—P. 359-454.—(Mathematics and its Applications, vol 358.). DOI: 10.1007/978-94-009-0195-7_5.
31. Abramovich Y. A., Aliprantis C. D. Positive operators // Handbook of the Geometry of Banach Spaces. Vol. 1 / Eds.: W. B. Johnson and J. Lindenstrauss.—Amsterdam a. o.: Elsevier, 2001.—P. 85-122.
32. Flores J., Hernández F. L., Tradacete P. Domination problems for strictly singular operators and other related classes // Positivity.-2011.-Vol. 15, № 4.-P. 595-616. DOI: 10.1007/s11117-010-0100-x.
33. Cuartero B., Triana M.A.(p, q)-Convexity in quasi-Banach lattices and applications // Stud. Math.— 1986.-Vol. 84.—P. 113-124. DOI: 10.4064/sm-84-2-113-124.
34. Wickstead A. W. Converses for the Dodds-Fremlin and Kalton-Saab theorems // Math. Proc. Camb. Phil. Soc.-1996.-Vol. 120, № 1.-P. 175-179. DOI: 10.1017/S0305004100074752.
35. Wickstead A. W. Extremal structure of cones of operators // Quart. J. Math. Oxford Ser.—1981.— Vol. 32, № 2.—P. 239-253.
36. Li Y., Bu Q. Majorization for compact and weakly compact polynomials on Banach lattices / Eds.: Buskes at al. // Positivity and Noncommutative Analysis, Trends in Mathematics.—Cham: Birkhauser/Springer, 2019.-P. 339-348. DOI: 10.1007/978-3-030-10850-2_18.
37. Kusraev A. G., Kusraeva Z. A. Compact disjointness preserving polynomials on quasi-Banach lattices // J. Math. Anal. Appl.-2021.-Vol. 498. № 1.-Article: 124924. DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.124924.
38. Reisner S. Operators which factor through convex Banach lattices // Canad. J. Math.—1980.—Vol. 32, № 6.-P. 1482-1500. DOI: 10.4153/CJM-1980-117-5.
39. Raynaud Y., Tradacete P. Interpolation of Banach lattices and factorization of p-convex and q-concave operators // Integral Equat. and Oper. Theory.—2010.—Vol. 66.—P. 79-112. DOI: 10.1007/s00020-009-1733-7.
40. Pisier G. Grothendieck's theorem, past and present // Bull. Amer. Math. Soc.—2012.—Vol. 49, № 2.— P. 237-323. DOI: 10.1090/S0273-0979-2011-01348-9.
41. Krivine J. L. Theoremes de factorization dans les espaces reticules // Seminaire Analyse Fonctionalle (dit. "Maurey-Schwartz").—1973-1974.—№ 22-23.-P. 1-22.
42. Kalton N. J. Convexity conditions for non-locally convex lattices // Glasgow Math. J.—1984.—Vol. 25, № 2.—P. 141-152. DOI: 10.1017/S0017089500005553.
43. Diestel J., Jarchow H., Tonge A. Absolutely Summing Operators.—N. Y.: Cambridge Univ. Press, 1995. DOI: 10.1017/CBO9780511526138.
44. Bu Q., Buskes G., Li Y. Abstract M- and abstract L-spaces of polynomials on Banach lattices // Proc. Edinb. Math. Soc.-2015.-Vol. 58, № 3.-P. 617-629.
45. Danet N. p-Convexity (p-concavity) of some Banach lattices of operators // Analele Universitatii din Craiova Seria Matematica-Fizica-Chimie.—1985.—Vol. 13.—P. 38-45.
46. Bernau C. B., Huijsmans C. B., de Pagter B. Sums of lattice homomorphisms // Proc. Amer. Math. Soc.-1992.-Vol. 115, № 1.-P. 151-156. DOI: 10.1090/S0002-9939-1992-1086322-8.
47. Dineen S. Extreme integral polynomials on a complex Banach space // Math. Scand.—2003.—Vol. 92, № 1.-P. 129-140. DOI: 10.7146/math.scand.a-14397.
48. Dimant V., Galicer D. and Garcáa R. Geometry of integral polynomials, M-ideals and unique norm preserving extensions // J. of Funct. Anal.—2012.—Vol. 262, № 5.—P. 1987-2012. DOI: 10.1016/j.jfa.2011.12.021.
49. Wickstead A. W., When do the regular operators between two Banach lattices form a lattices // Positivity and Noncommutative Analysis / Eds. G. Buskes et al. Trends in Mathematics.—Springer, 2019.-P. 591-599.
Статья поступила 7 мая 2021 г. КУСРАЕВА ЗАЛИНА АНАТОЛЬЕВНА
Региональный научно-образовательный математический
центр «Северо-Кавказский центр математических исследований» ВНЦ РАН,
ведущий научный сотрудник
РОССИЯ, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22;
Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,
ведущий научный сотрудник
РОССИЯ, 362027, Владикавказ, Маркуса, 22
E-mail: zali13@mail.ru
https://orcid.org/0000-0002-8817-1888
Vladikavkaz Mathematical Journal 2021, Volume 23, Issue 3, P. 91-112
ORDER PROPERTIES OF HOMOGENEOUS ORTHOGONALLY ADDITIVE POLYNOMIALS
Kusraeva, Z. A. 1,2
1North-Caucasian Center for Mathematical Research, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia;
2Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia E-mail: zali13@mail.ru
Dedicated to the 80-th anniversary of Professor Stefan Samko
Abstract. This is a survey of author's results on the structure of orthogonally additive homogeneous polynomials in vector, Banach and quasi-Banach lattices. The research method is based on the linearization by means of the power of a vector lattice and the canonical polynomial, presented in Section 1. Next, in Section 2, some immediate applications are given: criterion for kernel representability, existence of a simultaneous extension and multiplicative representation from a majorizing sublattice, a characterization of extreme extensions. Section 3 provides a complete description and multiplicative representation for homogeneous disjointness preserving polynomials. Section 4 is devoted to the problem of compact and weakly compact domination for homogeneous polynomials in Banach lattices. Section 5 deals with convexity and concavity of homogeneous polynomials between quasi-Banach lattices, while Section 6 handle the condition under which the quasi-Banach lattice of orthogonally additive homogeneous polynomials is (p, q)-convex, or (p,q)-concave, or geometrically convex. Section 7 provides a characterization and analytic description of polynomials representable as a finite sum of disjointness preserving polynomials. Finally, some challenging open problems are listed in Section 8.
Key words: vector lattice, quasi-Banach lattice, the power of a vector lattice, polymorphism, linearization, factorization, domination problem, integral representations.
Mathematical Subject Classification (2010): 46A16; 46B42; 46G25; 47A40; 47H60.
For citation: Kusraeva, Z. A. Order Properties of Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials, Vladikavkaz Math. J., 2021, vol. 23, no. 3, pp. 91-112 (in Russian). DOI: 10.46698/l0779-9998-4272-b.
References
1. Dineen, S. Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Berlin, Springer, 1999.
2. Grecu, B. C. and Ryan, R. A. Polynomials on Banach Spaces with Unconditional Bases, Proceedings of the American Mathematical Society, 2005, vol. 133, no. 4, pp. 1083-1091. DOI: 10.1090/S0002-9939-04-07738-X.
3. Bu, Q. and Buskes, G. Polynomials on Banach Lattices and Positive Tensor Products, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2012, vol. 388, no 2, pp. 845-862. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.10.001.
4. Loane, J. Polynomials on Riesz Spaces, Thesis, Department of Mathematics National Univercity of Ireland, Galway, 2007.
5. Linares, P. Orthogonal Additive Polynomials and Applications Thesis, Departamento de Analisis Matematico, Universidad Complutense de Madrid, 2009.
6. Kusraeva, Z. A. Orthogonally Additive Polynomials on Vector Lattices: PhD Thesis, Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics, 2013.
7. Kusraeva, Z. A. Powers of Quasi-Banach Lattices and Orthogonally Additive Polynomials, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2018, vol. 458, no. 1, pp. 767-780. DOI: 10.1016/j.jmaa.2017.09.019.
8. Kusraeva, Z. A. Convexity Conditions for the Space of Regular Operators, Positivity, 2019, vol. 23, no. 2, pp. 445-459. DOI: 10.1007/s11117-018-0616-z.
9. Kusraev A. G., Kusraeva Z. A. Sums of Order Bounded Disjointness Preserving Linear Operators, Siberian Mathematical Journal, 2019, vol. 60, no. 1, pp. 114-123. DOI: 10.1134/S0037446619010130.
10. Kusraeva, Z. A. Monomial Decomposition of Homogeneous Polynomials in Vector Lattices, Advances in Operator Theory, 2019, vol. 4, no. 2, pp. 428-446. DOI: 10.15352/aot.1807-1394.
11. Kusraeva, Z. A. Sums of Disjointness Preserving Multilinear Operators, Positivity, 2021, vol. 25, no. 2, pp. 669-678. DOI: 10.1007/s11117-020-00781-7.
12. Kusraeva, Z. A. Representation of Orthogonally Additive Polynomials, Siberian Mathematical Journal, 2011, vol. 52, article number: 248. DOI: 10.1134/S003744661102008X.
13. Kusraeva, Z. A. On Extension of Regular Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials, Vladikavkaz Math. J., 2011, vol. 13, no. 4, pp. 28-34.
14. Kusraeva, Z. A. Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials on Vector Lattices, Mathematical Notes, 2012, vol. 91, no. 5, pp. 657-662. DOI: 10.1134/S0001434612050069.
15. Kusraeva, Z. A. Homogeneous Polynomials, Root Mean Power, and Geometric Means in Vector Lattices, Vladikavkaz Math. J., 2014, vol. 16, no. 4, pp. 49-53. DOI: 10.23671/VNC.2014.4.10260.
16. Kusraeva, Z. A. Characterization and Multiplicative Representation of Homogeneous Disjointness Preserving Polynomials, Vladikavkaz Math. J., 2016, vol. 18, no. 1, pp. 51-62. DOI: 10.23671/VNC.2016.1.5951.
17. Kusraeva, Z. A. On Compact Domination of Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials, Siberian Mathematical Journal, 2016, vol. 57, no. 3, pp. 519-524. DOI: 10.17377/smzh.2016.57.313.
18. Aliprantis, C. D. and Burkinshaw, O. Positive Operators, London etc., Acad. Press Inc., 1985.
19. Maligranda, L. Type, Cotype and Convexity Properties of Quasi-Banach Spaces, Proceedings of the International Symposium on Banach and Function Spaces (Kitakyushu, Japan), Yokohama, Yokohama Publ., 2004, pp. 83-120.
20. Kalton, N. J. Quasi-Banach Spaces / Eds. W. B. Johnson, J. Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, Amsterdam, Elsevier, 2003, vol. 2, pp. 1118-1130.
21. Boulabiar, K. and Buskes, G. Vector Lattice Powers: /-Algebras and Functional Calculus, Communications in Algebra, 2006, vol. 34, no. 4, pp. 1435-1442. DOI: 10.1080/00927870500454885.
22. Ben Amor, F. Orthogonally Additive Homogenous Polynomials on Vector Lattices, Communications in Algebra, 2015, vol. 43, no. 3, pp. 1118-1134. DOI: 10.1080/00927872.2013.865038.
23. Benyamini, Y., Lassalle, S. and Llavona, J. G. Homogeneous Orthogonally Additive Polynomials on Banach Lattices, Bulletin of the London Mathematical Society, 2006, vol. 38, no. 3, pp. 459-469. DOI: 10.1112/S0024609306018364.
24. Ibort, A., Linares, P. and Llavona, J. G. A Representation Theorem for Orthogonally Additive Polynomials on Riesz Spaces, Revista Matemática Complutense, 2012, vol. 25, pp. 21-30. DOI: 10.1007/s13163-010-0053-4.
25. Kantorovich, L. V. and Akilov, G. P. Functional Analysis, St. Petersburg, Nevsky Dialect; BHV-Petersburg, 2004.
26. Kusraev, A. G. Dominated Operators, Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 2000. DOI: 10.1007/978-94015-9349-6.
27. Meyer-Nieberg, P. Banach Lattices, Berlin etc., Springer-Verlag, 1991. DOI: 10.1007/978-3-642-76724-1.
28. Buskes, G. and Schwanke, C. Characterizing Bounded Orthogonally Additive Polynomials on Vector Lattices, Archiv der Mathematik, 2019, vol. 112, pp. 181-190. DOI: 10.1007/s00013-018-1251-4.
29. Schwanke, C. Some Notes on Orthogonally Additive Polynomials, Functional Analysis, 2020, arXiv:2012.13124.
30. Gutman, A. E. Disjointness Preserving Operators, Vector Lattices and Integral Operators / Ed.: S. S. Kutateladze, Mathematics and Its Applications, vol. 358, Dordrecht etc., Kluwer Academic Publ., 1996, pp. 359-454. DOI: 10.1007/978-94-009-0195-7_5.
31. Abramovich, Y. A. and Aliprantis, C. D. Positive Operators, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1 / Eds. W. B. Johnson and J. Lindenstrauss, Amsterdam a. o., Elsevier, 2001, pp. 85-122.
32. Flores, J., Hernandez, F. L. and Tradacete, P. Domination Problems for Strictly Singular Operators and Other Related Classes, Positivity, 2011, vol. 15, no. 4, pp. 595-616. DOI: 10.1007/s11117-010-0100-x.
33. Cuartero B. and Triana M. A. (p, q)-Convexity in Quasi-Banach Lattices and Applications, Studia Mathematica, 1986, vol. 84, pp. 113-124. DOI: 10.4064/sm-84-2-113-124.
34. Wickstead, A. W. Converses for the Dodds-Fremlin and Kalton—Saab Theorems, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1996, vol. 120, no. 1, pp. 175-179. DOI: 10.1017/S0305004100074752.
35. Wickstead, A. W. Extremal Structure of Cones of Operators, The Quarterly Journal of Mathematics, 1981, vol. 32, no. 2, pp. 239-253.
36. Li, Y. and Bu, Q. Majorization for Compact and weakly Compact Polynomials on Banach Lattices /Eds.: Buskes at al., Positivity and Noncommutative Analysis, Trends in Mathematics, Cham, Birkhauser/Springer, 2019, pp. 339-348. DOI: 10.1007/978-3-030-10850-2_18.
37. Kusraev, A. G. and Kusraeva, Z. A. Compact Disjointness Preserving Polynomials on Quasi-Banach Lattices, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2021, vol. 498, no. 1, article: 124924. DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.124924.
38. Reisner, S. Operators which Factor Through Convex Banach Lattices, Canadian Journal of Mathematics, 1980, vol. 32, no. 6, pp. 1482-1500. DOI: 10.4153/CJM-1980-117-5.
39. Raynaud, Y. and Tradacete, P. Interpolation of Banach Lattices and Factorization of p-Convex and q-Concave Operators, Integral Equations and Operator Theory, 2010, vol. 66, pp. 79-112. DOI: 10.1007/s00020-009-1733-7.
40. Pisier, G. Grothendieck's Theorem, Past and Present, Bulletin of the American Mathematical ,Society, 2012, vol. 49, no. 2, pp. 237-323. DOI: 10.1090/S0273-0979-2011-01348-9.
41. Krivine J. L. Theorèmes de Factorization dans les Espaces Reticules, Seminaire Analyse Fonctionalle (dit. "Maurey-Schwartz"), 1973-1974, pp. 12-13.
42. Kalton, N. J. Convexity Conditions for Non-Locally Convex Lattices, Glasgow Mathematical Journal, 1984, vol. 25, no. 2, pp. 141-152. DOI: 10.1017/S0017089500005553.
43. Diestel, J., Jarchow, H. and Tonge, A. Absolutely Summing Operators, N. Y., Cambridge Univ. Press, 1995. DOI: 10.1017/CBO9780511526138.
44. Bu, Q., Buskes, G. and Li, Y. Abstract M- and Abstract L-Spaces of Polynomials on Banach Lattices, Proceedings of the Edinburgh Mathematical ¡Society, 2015, vol. 58, no. 3, pp. 617-629.
45. Danet, N. p-Convexity (p-Concavity) of Some Banach Lattices of Operators, Analele Universitatii din Craiova Seria Matematica-Fizica-Chimie, 1985, vol. 13, p. 38-45.
46. Bernau, C. B., Huijsmans, C. B. and de Pagter, B. Sums of Lattice Homomorphisms, Proceedings of the American Mathematical Society, 1992, vol. 115, no. 1, pp. 151-156. DOI: 10.1090/S0002-9939-1992-1086322-8.
47. Dineen S. Extreme Integral Polynomials on a Complex Banach Space, Mathematica Scandinavica, 2003, vol. 92, no. 1, pp. 129-140. DOI: 10.7146/math.scand.a-14397.
48. Dimant V., Galicer D. and Garcia R. Geometry of Integral Polynomials, M-Ideals and Unique Norm Preserving Extensions, Journal Of Functional Analysis, 2012, vol. 262, no 5, pp. 1987-2012. DOI: 10.1016/j.jfa.2011.12.021.
49. Wickstead, A. W. When do the Regular Operators Between two Banach Lattices form a Lattices, Positivity and Noncommutative Analysis / Eds. G. Buskes et al., Trends in Mathematics, Springer, 2019, pp. 591-599.
Received May 7, 2021 ZALINA A. KuSRAEVA
North-Caucasian Center for Mathematical Research, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia, Leading Researcher
Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia, Leading Researcher E-mail: zali13@mail.ru https://orcid.org/0000-0002-8817-1888
