CC BY
12
УДК 519.2
С.С. Марченков1
ОПЕРАТОРЫ ИТЕРИРОВАНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ БЭРОВСКОГО ПРОСТРАНСТВА*
Рассматриваются функции, непрерывные на бэровском пространстве. На множестве непрерывных функций определяются операторы итерирования. Вводится понятие модуля непрерывности функции. Формулируется условие на рост модуля непрерывности ¡р, выполнение которого гарантирует, что для любой счетной последовательности операторов итерирования и любого натурального п найдется (п+ 1)-местная функция с модулем непрерывности <р, которую невозможно получить из n-местных функций с модулем непрерывности ip с помощью любого оператора из данной последовательности. Приводятся примеры операторов итерирования.
Ключевые слова: пространство Бэра, непрерывные функции, операторы итерирования.
Представление функций суперпозициями широко распространено в математике. Интерес к суперпозициям непрерывных функций в значительной мере обусловлен 13-й проблемой Гильберта [1]. Как известно, А.Н. Колмогоров [2, 3] и В.И. Арнольд [4, 5] решили 13-ю проблему Гильберта — им удалось показать, что всякую непрерывную функцию многих действительных переменных можно представить в виде суперпозиции подходящих непрерывных функций одной и двух переменных (в качестве единственной функции двух переменных можно выбрать сложение [3]).
Вместе с тем несколько ранее А.Г. Витушкин [6, 7] обнаружил, что при наличии у представляющих функций некоторых дифференциальных свойств не всякую непрерывную функцию многих переменных можно выразить суперпозицией непрерывных функций меньшего числа переменных. Впоследствии в этом направлении проводились исследования несколькими авторами, в том числе с привлечением методов дискретной математики [8-16].
Впервые на проблему представления непрерывных функций многих переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных для функций, заданных на пространстве Бэра, было обращено внимание в работе [11], где рассматривался весьма узкий класс функций этого типа — так называемые детерминированные функции. В работе [13] исследовались уже произвольные непрерывные функции, заданные на пространстве Бэра, и, по существу, была найдена граница для "степени непрерывности" функции, которая отделяет многоместные функции с положительным решением от функций с отрицательным решением указанной проблемы. В дальнейшем получено [15] окончательное решение вопроса, поднятого в [13].
В настоящей статье делается попытка распространить идеи, высказанные в работах [13, 15], на операторы, "близкие" к оператору суперпозиции. В качестве одного из возможных обобщений оператора суперпозиции вводятся и исследуются операторы итерирования. Для них ставится и решается та же задача, что и в [13, 15]: при каких условиях на "степень непрерывности" функции для любого натурального п найдутся непрерывные функции от п + 1 переменных, которые невозможно выразить через функции от п переменных с помощью операторов итерирования. При решении этой задачи применяется дискретный подход — вычисление двоичных разрядов непрерывных функций с помощью булевых функций и оценки числа используемых при этом булевых функций. В заключительной части статьи приводятся некоторые примеры операторов итерирования.
Дадим необходимые определения. Пусть В = {0,1}, В°° — декартово произведение счетного числа множеств Б, т. е. совокупность всех счетно-бесконечных последовательностей, составленных из элементов 0, 1. Элементы а, Ь множества В°° будем записывать в виде а = а(1)а(2) ..., Ь = Ь(1)Ь(2)..., где a(t), b(t) G В при t ^ 1.
На множестве В°° зададим метрику р бэровского пространства: если а, Ь G В°° и а ф Ь, то пусть p(a,b) = 1/i, где t есть такое наименьшее число, что a(t) ф b(t). Метрику р перенесем на декартовы степени множества В°°: если a, b G (Б°°)п, а = (ai,..., an), b = (bi,..., bn), то p(a, b) = max р(щ, bi).
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: mathcybQcs.msu.su
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 09-01-00701 и 10-01-00768.
Будем рассматривать функции /(х\,..., хп), отображающие (В°°)п в В°°. Для удобства оперирования с функцией /(х\,... ,хп) введем еще одну переменную у: у = /(х\,...,хп). Переменные х\,... ,хп,у рассматриваем как счетные последовательности булевых переменных:
Хг = Хг(1)Хг(2) . . . , у = у(1)у(2) . . . , 1 < I < П.
Понятно, что для произвольной функции у = /(х\,... ,хп) при любом £ ^ 1 величина у(1) является функцией, вообще говоря, бесконечного числа булевых переменных х\(1),..., хп( 1), Ж1(2),... ... ,хп(2),... . Мы хотим далее иметь дело с такими непрерывными функциями /, у которых у({) зависит только от конечного числа соответствующих булевых переменных. Нетрудно видеть, что это условие равносильно равномерной непрерывности функции /.
Итак, в дальнейшем рассматриваем только непрерывные функции у = /(х\,..., хп), для которых имеется такая функция р>(1) натурального аргумента £ (своя для каждой функции /), что при любом I ^ 1 величина у{Ь) зависит только от булевых переменных
Ж1(1),..., хп(1),..., XI((р(г)),..., хп((р(г)). Иными словами, для любого существует такая булева функция что
У(^) = • • • ,жп(1),... ,Ж1(>(г)),.. .,хп((р(г))).
Функцию р>(1) с указанными свойствами будем называть модулем непрерывности функции /. Очевидно, что если р>(1) — модуль непрерывности функции / и для функции ф(1) выполняется неравенство ф(1) ^ <£>(£), то функция ф(1) также является модулем непрерывности функции /. В связи с этим и в целях упрощения дальнейшего изложения модули непрерывности будем предполагать монотонно неубывающими функциями. Кроме того, по чисто техническим причинам будем далее считать, что ^ 1 Если г — натуральное число и (р — модуль непрерывности, то через обозначаем г-кратную суперпозицию (итерацию) функции (р.
Если (р — модуль непрерывности функции /, то из определений следует, что выполнение неравенства р(а, Ь) < влечет выполнение неравенства р(/(а),/(Ь)) < 1/1 Это оправдывает введение понятия модуля непрерывности.
Обозначим через С множество всех функций, равномерно непрерывных на В°°, т.е. функций, имеющих монотонно неубывающие модули непрерывности. Пусть С^, — подмножество С, состоящее из всех функций с модулем непрерывности (р, а С^ — множество всех функций из С, зависящих от п переменных.
Пусть у = /(х\,..., хп) — функция из класса С и £ — натуральное число. Назовем 1-фрагментом функции / набор переменных у(1),... ,у(1), рассматриваемых как функции от х\,... ,хп.
Далее будем исследовать операторы Т вида С^ х ... х —> С^. Говорим, что оператор
Т есть оператор итерирования, если найдется такое натуральное число г, что для любого модуля непрерывности <р, любых функций /х,..., соответственно из множеств С^,..., и любого
натурального числа I ¿-фрагмент функции Т(/1,..., Л) полностью определяется (^-фрагментами функций /ь ...
Иными словами, для оператора итерирования Т справедливо следующее свойство: если Л; Л €
€ 4П1), • • •, Л е 44 / = Т(/ь • • •, /в), Л = Т(Л, • • •, Л) И (р(г)(¿)-фрагменты функций в каждой из пар (/1, Л);■■■; (Л; Л) совпадают, то совпадают ¿-фрагменты функций / и /'.
Выбор термина оператор итерирования обусловлен прежде всего тем, что в приведенном выше определении модуль непрерывности при действии оператора итерирования подвергается г-кратному итерированию. Кроме того, имеются некоторые параллели с суперпозициями (итерированиями) непрерывных функций.
Лемма. Пусть р — модуль непрерывности, Т — оператор итерирования, отображающий множество (С^)® в множество иг — натуральное число из определения оператора Т.
Тогда при любом число различных 1-фрагментов функций из области значений оператора Т
не превосходит величины
Доказательство. Согласно определению оператора Т, если Л,..., Л € С^ и / = = Т(/ь ..., Л), то при любом £ ¿-фрагмент функции / полностью определяется (^-фрагментами
функций /ь ..., fs. Кроме того, из включений _/*!,..., fs G ^ следует, что ¡^г^(£)-фрагмент любой из функций fi,...,fs задается набором (Fi,..., Ftr) булевых функций соответственно от тр{ 1),..., rup(tr) переменных, где для краткости положено tr = ip(r\t). Таким образом, подсчитывая число наборов вида (Fi,..., Ftr) и перебирая независимо наборы (Fi,..., Ftr) для каждой из функций /i,..., fs, приходим к следующей верхней оценке числа возможных ¿-фрагментов функций из области значений оператора Т:
r)(t)
. . . 22^r>y = .Е 2nv{t>
Лемма доказана.
Теорема. Пусть cp(t) — монотонно неубывающая функция, cp(t) ^ t и для любых натурального к и положительного действительного а неравенство
<pW(t) < (1 + a)t
выполняется для бесконечного числа значений t. Пусть далее п — натуральное число и {Tj} — счетная последовательность операторов итерирования, отображающих декартовы степени множества С^ в множество С^>п+1"!. Тогда в множестве С^>п+1"! найдется функция, которая не входит в область значений ни одного из операторов последовательности {Tj}.
Доказательство. Обозначим через rj, Sj параметры г и s, которые выбираются для оператора Tj согласно определению оператора итерирования. Положим а = Согласно условию теоремы, неравенство
выполняется для бесконечного числа значений t. С помощью доказанной леммы оценим сверху для оператора Tj число различных ¿-фрагментов (функций из области значений оператора Tj), когда t удовлетворяет неравенству (1). Для упрощения записи рассматриваем двоичный логарифм указанного числа. Используя при i ^ t неравенства cp(i) ^ cp(t) ^ получаем
- V- 1 2п Г / \
^ • 2 2п2 2п(1+^У = 8з(1 + ^ ) t2(n+i)t. (2)
Теперь заметим, что в силу неравенства ср(1) ^ £ число ¿-фрагментов функций из множества не меньше числа булевых функций от (п + переменных. Двоичный логарифм этого числа равен
2(п+1)*. (3)
Сравнивая величины (2) и (3), видим, что при достаточно больших значениях £ величина (3) строго больше максимальной из величин (2).
Таким образом, если рассматривать только оператор 7}, то для некоторого удовлетворяющего неравенству (1), количество возможных ¿-фрагментов функций из области значений оператора 7} оказывается даже меньше, чем число булевых функций от (п+ 1)1 переменных. Однако если функция
у = /(ж1,..., хп+\) принадлежит классу то при определении значения у(1) в силу неравенства
ср(1) ^ £ возможно использование значений всех переменных х\(1),...,жп+1(1),... ,х\(1),... ,хп+1(1). Следовательно, только за счет выбора булевой функции от (п + 1)1 переменных функцию /(ж1,... ,жп+1) можно сделать отличной от всех функций из области значений оператора Т}-
Чтобы построить функцию /(ж1,..., хп+\) из множества обладающую указанным свой-
ством по отношению ко всем операторам из последовательности {7^}, следует воспользоваться традиционным "диагональным" приемом. Именно сначала необходимо рассмотреть оператор Т\ и найти для него бесконечную последовательность значений для которых выполняется (при ] = 1) неравенство (1). Затем, выбрав из этих значений достаточно большое значение (чтобы для него величина (3) превосходила величину (1)), определить булеву функцию ¿^ от (п + 1)^1 переменных с таким расчетом, чтобы функция
у(Ь) = ¿^(ж 1(1), . . . ,Жп+1(1), . . . ,Ж1(^1), . . . ,Хп + 1(1!))
обеспечивала отличие ^-фрагмента функции /(х\,..., хп+\) от всех ^-фрагментов функций, содержащихся в области значений оператора Т\.
По существу, этот процесс повторяется далее для каждого из последующих операторов 72,7з,... Отличие от оператора Т\ состоит лишь в том, что при выборе для оператора 7}, где ] ^ 2, очередного значения tj необходимо позаботиться о том, чтобы величина tj превосходила величину Это
условие гарантирует корректность определения последовательности функций у(1\), у^г); • • •, У^з)-, Для значений не входящих в последовательность функция у(1) может быть определена,
например, равной 0. Теорема доказана.
Отметим, что условие на модуль непрерывности в доказанной теореме впервые появилось в работе [13]. То, что это условие невозможно ослабить для оператора суперпозиции, доказано в работах [13, 15].
Приведем примеры некоторых операторов итерирования. Прежде всего, это операторы суперпозиции. Суперпозицию функций мы понимаем так, как это изложено, например, в книге [17]. Суперпозиция функций /1,..., задается формулой Ф, построенной из символов функций /1,..., Формула Ф реализует функцию / — суперпозицию функций /1,..., . Тем самым формула Ф определяет оператор суперпозиции — каждому набору функций /1,..., (где число переменных у функции зависит только от номера функции в наборе) ставится в соответствие функция /, реализуемая формулой Ф. В отличие от [17] мы рассматриваем не единый оператор суперпозиции, который задается бесконечным числом формул, а операторы суперпозиции, которые определяются конкретными формулами от фиксированного числа (функциональных) переменных. Тот факт, что все операторы суперпозиции представляют собой операторы итерирования, подробно доказан в работах [13, 15].
Другой тип операторов итерирования естественно определить на основе самих непрерывных функций: если д € то пусть оператор Т(/ь ..., /8) задается с помощью формулы д(/1,..., /8). Однако на этом пути не всякой функции д будет соответствовать оператор итерирования. Препятствием здесь может служить слишком высокий рост модуля непрерывности функции д. Вместе с тем существует хорошо известный класс непрерывных функций, для которых предложенный подход приводит к положительному результату. Это класс так называемых детерминированных функций [17] — непрерывных функций с модулем непрерывности (р(п) = п. Если / = д(/\,... ,/8) и функция д является детерминированной, то, очевидно, п-фрагменты функции / полностью определяются п-фрагментами функций /1; • • • ; •
На основе детерминированных функций можно создать операторы итерирования полиномиального вида. Именно бесконечные двоичные последовательности можно рассматривать как элементы поля Р 2-адических чисел [18]. Нетрудно при этом убедиться, что сложение и умножение в поле Р выражается детерминированными функциями. Поэтому если имеется полином 0{г 1,..., над полем Fиg(гl,...,гs) — детерминированная функция, которая вычисляет значения полинома О в поле Р, то полиномиальный оператор итерирования (соответствующий полиному О) имеет вид д(/\,..., /8).
Отметим еще одну особенность детерминированных функций, которая делает интересным изучение операторов вида д(/1,..., /8). Детерминированные функции — это в точности те функции, которые можно вычислять с помощью автоматов (вообще говоря, с бесконечным числом состояний). В частности, для задания операторов итерирования можно использовать конечно-автоматные функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Проблемы Гильберта / Под ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969.
2. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных // ДАН СССР. 1956. 108. № 2. С. 179-182.
3. КолмогоровА. Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одного переменного и сложения // ДАН СССР. 1957. 114. № 5. С. 953-956.
4. Арнольд В.И. О функциях трех переменных // ДАН СССР. 1957. 114. № 4. С. 679-681.
5. Арнольд В.И. О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных // Матем. сборник. 1959. 48. № 1. С. 3-74.
6. Витушкин А.Г. К тринадцатой проблеме Гильберта // ДАН СССР. 1954. 95. № 4. С. 701-704.
7. Витушкин А.Г. О многомерных вариациях. М.: Гостехиздат, 1955.
8. Витушкин А.Г., Хенкин Г.М. Линейные суперпозиции функций // Успехи матем. наук. 1967. 22. № 1. С. 77-124.
9. VitushkinA.G. On représentation of functions by means of superpositions and related topics // L'Enseignement Math. 1977. 23. N 3-4. P. 255-320.
Ю.Колмогоров A. H. Оценки минимального числа элементов е-сетей в различных функциональных классах и их применение к вопросу о представимости функций нескольких переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных // Успехи матем. наук. 1967. 10. № 1(63). С. 192-195.
11. Марченков С.С. Об одном методе анализа суперпозиций непрерывных функций // Проблемы кибернетики. Вып. 37. М.: Наука, 1980. С. 5-17.
12. Гашков С. Б. О сложности приближенной реализации функциональных компактов в некоторых пространствах и о существовании функций с заданной по порядку сложностью // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. 2. № 3. С. 675-774.
13. Марченков С. С. О суперпозициях непрерывных функций, заданных на бэровском пространстве // Матем. заметки. 1999. 66. № 5. С. 696-705.
14. Марченков С. С. О невозможности получения (п + 1)-местных непрерывных функций из п-местных с помощью некоторых непрерывных операторов // Матем. сборник. 2001. 192. № 6. С. 71-88.
15. Марченков С. С., Кривоспицкий С. И. Суперпозиции непрерывных функций, заданных на бэровском пространстве // Проблемы передачи информации. 2009. 45. № 4. С. 107-114.
16. Марченков С. С. Представление функций суперпозициями. М.: Комкнига, 2010.
17. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986.
18. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.
Поступила в редакцию 14.03.11
THE ITERATIVE OPERATORS ON THE SET OF CONTINUOUS FUNCTIONS IN BAIRE SPACE
Marchenkov S. S.
The continuous functions in Baire space are considered. The iterative operators on the set of continuous functions are defined. The notion of continuity modulus for functions is introduced. It is formulated the condition for the growth of continuity modulus <p that guarantee the following. For every countable sequence of iterative operators and for every natural n there exists (n + l)-ary function with continuity modulus <p which does not received from n-ary functions with continuity modulus <p by means of every operator out of the sequence. Some examples of iterative operators are given.
Keywords: Baire space, continuous functions, iterative operators.
