Проблема суперпозиции непрерывных функций. Коммуникационный подход Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 1

Физико-математические пауки

2008

УДК 519.95^517.5

ПРОБЛЕМА СУПЕРПОЗИЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ. КОММУНИКАЦИОННЫЙ ПОДХОД

Ф.М. Аблаев, С.Г. Аблаева

Аннотация

Проблема суперпозиции функций это задача представления непрерывной функции /(х1,... ,Хк) в виде композиции более простых функций. В терминах теории сложности это проблема представления функции / в виде формулы в некотором базисе О. Задача явного задания булевой функции, которая не представима в виде «простой» формулы, одпа из важных проблем теории сложности.

В статье построена явная (задаваемая в виде ряда) непрерывная пегельдерова функция /(х1,... ,Хк) из класса Дини, не представимая суперпозициями вида

- (Мх1,... ,х41),. .. ,На(х{,... ,х.)) ,

где функции {кг : 1 < г < в} - функции от Ь, Ь < к, переменных, имеющие тот же модуль непрерывности, что и функция /, а —(г1,... , г.,) - произвольная липшицева функция.

Ключевые слова: проблема суперпозиции непрерывных функций, лиишецева функция, функция Дипи, дискретная аппроксимация непрерывных функций, коммуникационная сложность.

1. Предварительные сведения

Проблема представления непрерывной функции в виде суперпозиции непрерывных функций более простого вида хорошо известна в классической математике. Эта проблема восходит к задаче представления решения общего уравнения а\хп + + • • • + апх + ап+1 = 0 как функции коэффициентов. Современные

исследования в этой области были инициированы 13-й проблемой Гильберта [1. 2].

Для класса Тр р раз непрерывно дифференцируемых функций от к переменных А.Г. Витушкин [3] доказал следующий факт: В классе Т^ существует функция, не представимая в виде суперпозиции функций из Т^, если толь ко к/р > > 1/с1. Позже А.Н. Колмогоров [4] дал доказательство теоремы Витушкина, основанное на сравнении сложностных характеристик (энтропии) множеств функций из пространств Тр и Т^. Отметим, что доказательства Витушкина и Колмогорова являются «доказательствами существования» и не предъявляют «явно» такие функции.

Идеи А.Н. Колмогорова [4] послужили основой для развития информационно-сложностной точки зрения на задачи теории аппроксимации. В.Н. Тихомиров во введении своей книги [5] отметил, что у теории приближений есть свой круг задач и методов, она занимает важное место в анализе, но помимо этого есть одна важная особенность: она умеет хорошо «спрашивать» у своих «соседей». Теория сложности является интенсивно развивающимся и внимательным «соседом» теории приближений.

С.С. Марченков [6] предложил сложностной подход для построения вычислимой непрерывной функции из класса Тк, не представимой в виде суперпозиции

функций худшего качества. Им был предложен конструктивный метод построения «сложной» непрерывной функции. Но проблема построения «сложных» явных непрерывных функций в настоящее время остается открытой. Он предложил метод задания непрерывной функции на основе сложно реализуемых (в схемном смысле) булевых функций. С.С. Марченков показал, что сложно реализуемые бу-левые функции определяют непрерывную функцию из класса Тр, которая не иредставима в виде суперпозиции функций из если толь ко к/р > ¿/д. Задача построения сложно реализуемой функции решается перебором. Но. проблема построения индивидуальных сложно реализуемых булевых функций в настоящее время остается открытой. Е. А. Асарин [7] предложил другой вариант вычислимого (в основе своей тоже переборного) задания сложно аппроксимируемой непрерывной функции. С.Б. Гашков [8] ввел в рассмотрение характеристику функциональных пространств, основанную на сложности приближенной реализации функций пространства. На основе анализа этой характеристики функциональных пространств получены уточнения теоремы Витушкина [8].

Мы предлагаем коммуникационный метод построения индивидуальной непрерывной функции. Этот метод основан на определении непрерывной функции при помощи максимально коммуникационно сложной булевой функции, (максимально коммуникационно сложную булеву функцию можно определить явным образом) и аппроксимации непрерывной функции дискретной функцией, вычисляемой коммуникационным протоколом.

Коммуникационная модель вычисления булевых функций (коммуникационные протоколы) н понятие коммуникационной сложности булевых функций введены в работе [9] и являются интенсивно изучаемым направлением в теории сложности вычислений.

В качестве следствия 1 из общего утверждения (теоремы 1) построена явная (задаваемая в виде ряда) непрерывная негельдерова функция / (х1:... ,хк) из класса Дини, не представимая суперпозициями вида

^ (Ь1(х1,... ,х1),. ..,Нэ{х1,.. .,х1)),

где {Ь 11 < г < в } — множество функций от Ь, Ь < к, переменных, имеющих тот же модуль непрерывности, что и функция /, а ^ - произвольная функция из Н1.

Проблема построения явной сложно приближаемой непрерывной функции была поставлена А.Н. Колмогоровым в его докладе [10]. Подробно эта проблема обсуждается в работе [7]. В рамках рассматриваемой коммуникационной модели вычислений с фиксированным разбиением входов вопрос построения явной (задаваемой в виде ряда) непрерывной функции, для которой при всех е коммуникационная сложность е-приближений высока (то есть имеет максимальную коммуникационную сложность), решается положительно.

Коммуникационный метод доказательства теоремы 1 основан на доказательстве того, что функция /ш,д является максимально коммуникационно сложно аппроксимируемой в рамках выбранной модели вычислений.

Коммуникационный метод позволяет указывать явные функции конечной глад-

ее

емой нами коммуникационной модели. Необходимо отметить, что сложно аппроксимируемая явная гладкая функция получается с использованием конструкции Колмогорова Тихомирова [11, с. 35]. Роль коммуникационного подхода заключается в явном задании знаков 7Я € {-1, +1} конструируемой функции при помощи коммуникационно сложной булевой функции.

2. Функция ¡ш,д

Непрерывная действительная функция /ш,д к действительных переменных определяется при помощи булевой функции д (точнее последовательности д = = {дп} единообразно определяемых булевых функций дп) и простой стандартной непрерывной функции. Область определения [0, \]к функции /ш д разбивается на счетное число кубиков. В каждый кубик помещается простая непрерывная функция. принимающая максимальное (минимальное) значение в центре кубика и пулевое значение на границах кубика. Значение булевой функции в каждом кубике определяет знак (задает мультипликативный коэффициент —1) определя-

емой функции.

Начнем с определения разбиения куба [0,1]к .

Всюду в этой главе будем полагать п = 2^ — 1, ] > 1. Обозпачим /п отрезок 1п = [1 /п + 1, 2/п + 1]. Положим = /„ х • • • х /„ и 1к = Ц^ .

V

к

Всюду в этой главе £ будет обозначать двоичный алфавит £ = {0,1}.

Пусть а : £* ^ [0,1] - это отображение следующего вида: для последовательности V = <71 . . . 7п

=

1

п + 1

1 + ^ 742-

1

2П+1

Обозначим Ап = {a(v) : V € £"}. Для числа a(v) € Ап обозначим через /п(а^)) отрезок длины ¿(п) = 1/((п + 1)2п) с центром в точке a(v):

/n(a(v)) =

г(г>) +

(п + 1)2^' " 7 (п + 1)2п+^ Из определений множества точек Ап и отрезка /n(a(v)) следует, что

A. для а^), a(v') € Ап таких, что a(v) = а^') отрезки /n(a(v)) и /п(а^')) могут пересекаться разве что по границе.

B. У 1п(аИ)= /п.

о(«)еА„

Определим следующую базовую функцию Фп,а(«)(х) та отрезке /п(а^)), a(v) € Ап условием

1 + — а(г>)), если а(г>) — < х < а(г>),

Фп,а(-и)(х) *

<5(п)

¿(п

0,

- а(г>)), если а(г>) < х < а(г>) Н--—

, ч ¿Ы

«И--Г'аН ■

(1)

если х €

й(п) ~2~

Для последовательности v = (v1,..., vk) такой, что v¿ € £п, 1 < г < к , обозначим /П(6М) = /n(a(v1)) х • • • х /n(a(vk)). /¿(6^)) - это к-мерный вещественный куб с длиной стороны ¿(п), с центром в точке 6^) = (а^),..., a(vk)). Внутри каждого куба /^(6^)), v = (v1,...,vk) € £кп, 6^) = (a(v1),..., a(vk)) мы определим функцию Ф п,ь(«)(х):

Ф

(х) = Г[Фп ,а(^)(х ),

где функции ^п,а(у1)(х1), • • •, ^п,а(ук)(хк) определены на соответствующих отрез-

)),...,/„(а(«й ))•

Функция Фп,ь(^)(х) принимает максимальное значение 1 в центре куба (Ь(^)) и принимает значение нуль на границах куба /к(6(-у)). Последователю ость д = = {дп(«)} булевых функций

: Е" х ••• х £"^{0,1}

"V

к

определим следующим образом.

Обозначим через ра^п, к) следующее разбиение последовательности V = (г>1, • • •, vk), где VI £ £ п, 1 < г < к . Каждое слово VI последовательности V делится на две части - начало щ и окончание и длины 1(п, к) = п — ¿(п, к) и ¿(п, к) = = |~(log кп)/к] соответственно. Мы будем писать V = (и, и) и называть последовательность и = (и1, • • •, ик) начадом, а последовательность и = (и1? • • •, ик) окончанием последовательности V.

Наряду с обозначением дп(V) будем использовать обозначение дп(и, и) для определяемой ниже булевой функции дп. Функция дп (и, и) = 1 тогда и только тогда, когда огё(и1 • • • ик)-й бит в слове и1 • • ^ик - единица (огб(ст) означает целое число, двоичное представление которого есть двоичная последовательность а; ии Функция дп (и, и) формально задается следующей формулой (мы используем стандартные обозначения из теории булевых функций [12]):

кй(п ,к)

дп(и,и)= \/ Д Л ХоГа(ст),

ст ¿=1

0<ога(ст)<|м|-1

где Уз (х^) — ]-й символ последовательности и (и) в общей нумерации ее элемен-

Пусть непрерывная на [0,1] функция ^(5) является модулем непрерывности. Обозначим /ш,д функцию, задаваемую рядом

/*,д(х) = Е Е(2дп (V) — 1)^(^(п))Фп,Ь(„) (x)• (2)

3>к

Функцию /ш,д доопределим то непрерывности в точке пуль куба [0,1]к . Это возможно, так как о>(5) ^ 0 щи 5 ^ 0. Заметим, что функция /ш,д(х) от к переменных в силу определения 2 может принимать ненулевые значения только в замкнутом подмножестве /к куба [0,1]к .

3. Теорема о суперпозиции функций

/к

рывные функции, определенные в замкнутом множестве, являются равномерно

непрерывными. Следуя терминологии теории функций, введем понятие модуля

непрерывности функции.

Для равномерно непрерывной функции / (х) от к > 2 переменных модуль

непрерывности 5) определяется как наименьшая верхняя грань |/(х) — /(х')| по

всем х, х' £ /к таким, что |х — х'| = тах х — x¿| < 5 (см. книгу [13, пар. 3.2]).

1^<к

Но каждая непрерывная функция является модулем непрерывности. Следующее простое условие является достаточным для того, чтобы функция и(3) являлась модулем непрерывности. Функция и(3) является модулем непрерывности, если и(3)/3 те возрастает с ростом 3 (см. [13, п. 3.2.3]).

Обозначим НЦ класс всех равномерно непрерывных функций от к переменных, модуль непрерывности которых не превышает по порядку заданного модуля непрерывности и(3). Положим Нш = ик>1 Н^. Для чисел 7 € (0,1] классы функций

Н7 = {/ : и(3) ^ } (7 € (0,1])

известны как классы Гельдора. Более общий класс

V={f:\imu;(5)\og^=0

содержит в себе классы Гельдора и называется классом Дини.

Пусть А4, Вя - некоторые классы непрерывных функций от £ и в переменных соответственно. Обозначим 5рк[А4, Вя] - класс непрерывных функций от к переменных, представимых суперпозициями вида

^ (^1(х1,... ,х1),. ..,Н3(х1,.. .,х1)) ,

где ^(у1;..., у8) - это функция из Вя, а {Ы (х1;..., х4) : 1 < г < в } С А4.

Непосредственно из определения следует, что для модулей непрерывности ^(3), ^(3) функция и(3) = ^2(^1(3)) является модулем непрерывности и $Рк Н1, Н12 ] С НЦ. ^

Обозначим через Н1 множество функций из класса Н£ со свойством: для всех функций / € Н1 для всех 3 гада 3 = 3(п) модуль непрерывности Шf (3(п)) функции / равен и(3(п)) с точностью до мультипликативной константы.

Теорема 1 (Теорема о суперпозиции). Пусть ^1(3) - такая строго возрастающая с ростом 3 функция, что и 1(3)/3, не возрастает с ростом 3 и

1ое^=°(Ы)1 "У (з)

Тогда для в > 1, М > 0,7 € (0,1], и2(3) = М37, и(3) = и2(и1(3)) функция /ш,д(х) принадлежит классу Н1 \Spk [Н11, НЦ2].

Доказательство теоремы 1 приводится в следующем параграфе. Заметим, что функции, модуль непрерывности которых удовлетворяет условию (3) теоремы 1, не входят в класс Гельдера Н* = Н7. Но, например, класс

те(0Д]

НШр для р > 1, где

Г(1п1/3)_р, если 0 <х < а,

иР(3) = < _

Ц1п1/а) р, ее ли х > а,

а = 1/(вр+1) таков, что модуль непрерывности ир(3) удовлетворяет условиям теоремы 1 для модуля непрерывности ^(3). К лас с Н1р входит в класс Дини V.

k

'p

Следствие 1. Функция /Шр,д (х) от к > 4 переменных входит в класс Н,

и не представима в виде суперпозиции функции от Ь переменных из класса на первом уровне суперпозиции и функции из класса Н на последующих уровнях, если Ь < к.

Доказательство. Функция шр(5) удовлетворяет условию

теоремы 1 для произвольной константы с > 0, в частности для с =1 — Ь/к, Ь < < к. □

4. Доказательство теоремы о суперпозиции

В этом параграфе излагается доказательство теоремы 1. Начнем с доказательства того, что £ Н .

Функция ^п,а(у)(х) (см. определение 1) обладает следующими полезными для нас свойствами.

Свойство 1. Для функции Фп,а(г,)(х) справедливо следующее:

1. Функция Фп,а(^)(х) принимает максимальное значение 1 в центре отрезка 1п(а(и)) и принимает значение 0 та границах отрезка 1п(а(у)).

2. Модуль непрерывности функции Фп,а(^)(х) определяется соотношением

2 г п * / 5(п)

-о, если 0 < о <

ш*(5)= { S(n)' - 2 ' (4)

1, если - < S < б(п).

2

Доказательство того, что /ш,д G следует из следующего утверждения. Свойство 2. Для функции /ш,д справедливо следующее: 1- /ш,д непрерывна на множестве Ik куба [0,1]k .

2. В каждом кубе I^(b(v)) G Ik функция /ш,д принимает максимальное (минимальное) значение ¡(S(n)) (—¡(S(n))) в центре и принимает пулевое значение на границах куба I^(b(v)).

3. Если при этом непрерывная функция ¡(S) такова, что ¡(S)/S не возрастает с ростом S, то модуль непрерывности ¡f функции /ш,д удовлетворяет соотношениям:

о) для S = S(n) ¡(S(n)) < ¡f (S(n)) < 2кш(6(и)). б) для произвольных S ¡f (S) < 2кш(6).

Доказательство. Для простоты функцию /ш,д будем обозначать симво-/

/

Для функции /(x) = /(жьж2,..., xk), для i G {1, 2,..., к}, для zi = (xi, ..., , xi+i, ...,xk) положим /Zi (xi) = / (x). Полный модуль непрерывности ¡f (S) /(x)

¡i(S) = sup sup /(xi) - /zi(xi)| (5)

Zi£lk-1 |xi_xi|<5

неравенствами (см. [13. п. 3.4.31])

k

max {wi(J)} < wf (J) <V^¿(J). (6)

1<i<k *—'

-- ¿=1

В силу определения функции f соотношение (5) можно записать в виде: Wi(J) = sup sup sup |fzi (xi) - fzi (xi)| =

m=2j|xi-xi< j>1

= sup sup sup sup |fzi(xi) - fzi(xi)|, (7)

m=2j-1 w(i) Zieim-1(b(w(i))) |xi-xi|<5 j>1

где w(i) = (v1,...,vi-1,vi+1,...,vk) G £m x ••• x Sm.

Выберем произвольное zi G Im-1(b(w(i))), w(i) = (v1;..., vi-1; vi+1,..., vk) G G Sm x ••• x £m.

Из определения функции f следует, что ее подфункция fZi определена на отрезке Im и те определена вне этого отрезка. Для точек xi, xi G Im пусть vi, v' G G - такие слова, что

xi G Im(a(vi)), xi G Im(a(v')). f

к

1 fZi (xi ) - fZi (xi)| = w(J(n)) Л )(xj )|(2gm (v) - l)im,»(v,) (xi)-

J'=1,j=i

- (2gm(v') - 1)*m,oK)(xi )|. (8)

Здесь v = (v1,..., vi-1, vi, vi+1,..., vk), a v' = (v1,..., vi-1, v', vi+1,..., vk).

Для i G {1, 2,..., k} имеются две последовательности v = (v1,..., vi-1, vi, vi+1 ,...,vk) и v' = (v1,...,vi-1, v', vi+1,...,vk) га свойством gm(v) = gm(v'). В силу (7), (8) и свойства 1 следует, что на отрезке Im для функции f ее частный модуль непрерывности Wi(J) определяется соотношением

{2

и>(б(т))——-б, если б < б (т.),

^J(m) (9)

2w(J(m)), если J > J(m).

Выберем произвольное n = 2j - 1, j > 1. Определим значение wi (J(n)) на различных отрезках Im. Рассмотрим три случая.

1. n = m. Из (9) следует, что частный модуль непрерывности wi(J(n)) функции f та отрезке Im определяется соотношением:

wi(J(n)) = 2w(J(n)).

2. n > m. В этом случае J(n) < J(m). В силу (9) имеем:

2

= w(c5(m))—— ¿(тг). J(m)

3. п < т. В этом случае 3(п) > 3(т). В силу (9) имеем:

^(3(п)) = 2ш(3(т)).

Функция ^(3) те возрастает при у б ывании 3, а ш(3)/3 те возрастает с ростом 3. Поэтому из рассмотренных трех случаев следует, что частный модуль непрерывности 1Мг(5(п)) функцпи / в области определения функции / определяется равенством:

^(3(п)) = 2^(3(п)). (10)

установленное равенство вместе с неравенством (6) доказывает утверждение За. Рассмотрим теперь случай 3 = 3(п).

Так как ш(3)/3 те возрастает с ростом 3, а функция о>(3) не возрастает при убы-3/ Шг(3) та каждом отрезке 1т оценивается сверху

^(3) < 2^(3) (11)

Из неравенств (10), (11). применяя соотношение (С), получаем утверждение 3 б свойства. □

Доказательство непредставимости функции /шд в виде суперпозиции

^ (к1(х\,. . .,х1), . ..,Н3(х\,. . . ,

(вторая часть утверждения теоремы 1) основывается на оценках коммуникационной сложности дискретных функций, аппроксимирующих интересующую нас непрерывную функцию. Введем необходимые определения и обозначения. Пусть 2 обозначает множество всех вещественных чисел. Пусть

С/ : Я" х • • • х Я"

есть дискретная функция. Произвольное взаимно однозначное отображение конечного множества О вещественных чисел на множество Яе(п) двоичных последовательностей длины е(п) будем называть кодированием множества О.

Определение 1. Будем называть дискретную функцию с/ (п, е(п))-функцией, если для произвольной последовательности V € Я" х • • • х Я" значение

к

с/(V) может быть закодировано двоичной последовательностью длины не более, е(п) .

Пусть / - это пр оизвольная непрерывная функция, определенная в к у бе [0,1]

к

Положим а(п) = шш < /(х) |х €

12

к

в(п) = шах < /(х) |х €

к

1 2

пп

Па отрезке [а(п), в(п)] - области значений /(х) - рассмотрим множество точек (решетку) Ре(п) с шагом е(п):

Щп) = {<* I = «И + е(п)г, г € |о, 1, .. ., ] } } и Щп)}.

Определение 2. Пусть f (xi,..., x^) - непрерывная в кубе [0,1]k функция. Будем называть дискретную функцию df(v1,...,vk) е(п)-апироксимато-ром для функции f (xi,... ,xk) , если для произвольной последовательностп v = = (vi,..., vfc) G S" x • • • x E" выполняется

|f (b(v)) - df (v)| < e(n).

Непосредственно из определения е(п)-аппрокспматора следует свойство.

Свойство 3. Пусть df - это е(п)-апироксиматор функции f. Тогда df является (n, e(n))-функцией, где e(n) = O (log1/e(n)).

Перейдем к описанию коммуникационной вычислительной модели, используемой в данном доказательстве. Начнем с описания коммуникационной модели для вычисления булевой функции gn, определяющей коэффициенты нашей функции

f",g •

Два вычислителя P„ и Pw получают свои входные последовательности согласно выбранному разбиению pat(n, k) (см. определение разбиения pat(n, k) в пар. 2) входной последовательности v булевой функции gn. Начало u входной последовательности v подается па вход P„, а окопчание w входной последовательности v -па вход Pw.

Вычисление булевой функции gn производится согласно протоколу ^(pat(n, k)) следующим образом. Вычислитель P„ посылает сообщение m (двоичное слово) вычислителю Pw. Вычислит ель Pw вычисляет и выдает зн ачение gn(u,w). Коммуникационная сложность С^ коммуникационного протокола ^(pat(n, k)) - это | m| m

Коммуникационная сложность Cgn (pat(n, k)) булевой функции gn - это min{C^| ^(pat(n, k)) вычисляет gn}.

Лемма 1. Для булевой функции gn G g выполняется Cgn (pat(n, k)) > k(n — 1) — log kn.

Доказательство. Булевой функции gn(u,w) соответствует коммуникационная матрица CMgn размерноети 2fcl("'fc) x 2fcd("'fc), (u, w)-fi элемент которой равен gn(u, w).

Используя тот факт, что Cgn (pat(n, k)) = [log nrow(CMgn)] , где nrow(CMgn) -это число попарно различных строк матрицы CMgn (см. [9]), и тот факт, что для булевой функции g" верно, что nrow > 2k(" 1)/(kn), мы получаем утверждение леммы. □

Для вычисления дискретной функции df (v) будем использовать следующую коммуникационную модель. Пусть, как и ранее, pat(n, k) - это разбиение входной последовательности v, определенной в пар. 2 (v = (u, w)). Пусть вычислители P„ и Pw получают свои входы u и w согласно разбиению pat(n, k).

Вычисление дискретной функции df(v) производится согласно протоколу ^>(pat(n, k)) следующим образом. Вычислитель P„ посылает сообщение m (двоичное слово) вычислителю Pw . Вычислитель Pw вычисляет и выдает значение df (v). Коммуникационная сложность Сф коммуникационного протокола ^(pat(n, k)) -| m| m

Коммуникационную сложность Cf (pat(n, k)) дискретной функции df (v) определим следующим образом:

Cdf (pat(n, k)) = тш{Сф : ^(pat(n, k)) вычисляет df (v)}.

Определение 3. Коммуникационную сложность Су (pat(n, к), е(п)) е(п)-аи-/

Су(pat(n, к),е(п)) = шт{Су(pat(n,k)) : с/- е(п)-апироксиматор функ-/}.

Лемма 2. Для е(п) < ^(¿(п)), для произвольного е(п) -аппроксиматора / функции /ш,д выполняется

Сдп (ра^п, к)) < Су(ра^п, к), е(п)).

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно, то есть выполняется неравенство

Сдп (ра^п, к)) > Су (ра^п, к), е(п)). (12)

Пусть дискретная функция / такова, что Су (pat(n, к)) = Су (ра^п, к), е(п)). Из неравенства (12) следует, что для коммуникационных матриц СМдп и СМу размерности 2kг(n'k) х 2kd(n'k), (и, ад)-й элемент которых равен дп(и, ад) и с/(и, ад) соответственно, выполняется

nrow (СМдп) > nrow (СМу).

Из последнего неравенства следует, что существуют две последовательности и и и' такие, что две строки гоаддп (и) и гоаддп (и') матрицы СМдп различны, но две строки гоаду (и) и гоаду (и') матрицы СМу одинаковы. Это означает, что существует последовательность ад, для которой выполняются

дп(и, ад) = дп(и',ад), (13)

/(и, ад) = сС/(и', ад). (14)

Пусть для определенности дп(и, ад) = 1, а дп(и', ад) = 0. Обозначим v = (и, ад), v' = = (и', ад). Тогда в силу определения функции /ш,д имеем:

/Ш,д(6М) = ^(¿(п)), (15)

/ы,д №')) = —^(¿(п)). (16)

В силу определения е(п)-аппроксиматора для функции /ш,д и свойства (2) выполняется

|/ш,д(6И) — /(v)| < е(п) < ^(¿(п)), (17)

|/ш,д(6Ю) — с/(v')| < е(п) <с^(п)). (18)

Из предположения, что /= сС/и соотношений (15), (16), (17) и (18) получаем

2^5(п)) = |/Ш,д (6^)) — /ш,д (6(^))| <

< |/ы,д(ЬИ) — С/ (v)| + |/ш,д (6Ю) — / (v')| < 2^(п)).

Противоречие доказывает, что с// (и) ^ df (г>'). □

Пусть с1Ы : Е" х • • • х Е", 2, // и № : Е" х • • • х Е" ->■ 2 это такие

V V

4 k

дискретные функции, что:

ЛР(vl,..., Vk) = Р(С^К,..., ví1),..., С^К,..., vís)),

где функция Р(у1,..., у8) - произвольная непрерывная функция.

Лемма 3. Для дискретной функции DF (vi,..., выполняется

s

CDF(pat(n, k)) < Cdhi(pat(n, k)).

i=i

Доказательство. Пусть Pj, Pi и ^j(pat(n, k)) (г G 1 < г < s ) - соответственно вычислители и коммуникационный протокол, вычисляющие дискретную функцию dhi.

Коммуникационный протокол ф* (pat(n, k)), вычисляющий функцию DF, состоит из вычислителей PU* и P*. Вычислитель PU* (P*) состоит из вычислителей PU (P^), i G 1 < г < s . Для каждой пары u, w входов протокол ф* (pat(n, k)) моделирует (независимо друг от друга) работу протоколов фl(pat(n, k)), ф2(pat(n, k) ),.. ., фs(pat(n, k)), вычисляющих дискретные функции dhi, dh2, ..., dhs соответственно. Сообщение

лю P* состоит го сообщений mi, m2,..., ms вычислителей P^, P^,..., Psj соответственно. При этом общее сообщение составляется таким образом, чтобы вычислитель PW мог однозначно декодировать составляющие mi, m2,..., ms. Например, для каждого n все сообщения mj (1 < i < s ) можно дополнять до общей длины нулями справа.

Вычислитель P^, получив сообщение от вычислителя P* и свою часть входной последовательности w, вычисляет выходные значения yi,...,ys протоколов фl(pat(n, k)), ф2(pat(n, k) ), . .. фs(pat(n, k)). После этого вычислитель PW вычисляет и выдает значение F(y), у = (у\,..., у3). □

Лемма 4. Пусть для функции wi;w2, удовлетворяющих условиям теоремы 1, для w(£) = w2(wi(J)) непрерывная функция /f,g (xi,..., xk) представима в виде суперпозиции

F (hi(xi,... ,xi),..., hs(xi,... ,

где функция F G H® 2, a {hj(xi,... ,xt) : 1 < i < s } С Hf . Пусть для e(n) =

= (5(n)) /log— \ дискретные функции dhi,...,dhs являются e (n)-an-wi(d(n))

проксиматорами непрерывных функции hi,..., hs соответственно. Тогда существует e'(n) < w(J(n)) такое, что

Cf (pat(n, k) ,e'(n)) = o(n).

Доказательство. В доказательстве функцию /®,g будем обозначать символом /. Покажем, что существует такое e'(n) < w(J(n)), что дискретная функция

DF(vi,..., vfc) = F(dh i(vi,..., vi),..., dhs(vS,..., vts))

является е'(п)-аппроксиматором функции / и

Cdf(pat(n, k)) = o(n). (19)

Пусть v = (v i,...,vk) G S" x ••• x S" - произвольная последовательность. Покажем, что существует e'(n) < w(J) со свойством:

|/(b(v)) - DF(v i,...,vfc) | < e'(n). (20)

Обозначим x = (xi,..., xk) = b(v) = (a(vi),..., a(vk)) . Так как для i G {1, 2,..., s} функция dhj является е(п)-аппроксиматором непрерывной функции hj, то

|hj(x i ,...,xt) - dhj(v j ,...,vj)| < e(n).

Так как функция ó) убывает при убывании ó, получаем

| F (h1(x11,...,x¡),...,hs(x¡,...,xst)) -

- F (dhi(vl...,v¡),...,dha(vl,...,vat))l <

< UF(e(n)) < --- (Ш1 (5(п))У = е'(п).

(bg^yyj

Начиная с некоторого n0 для n > n0, выполняется

e'(n) < u(ó(n)).

Последнее неравенство доказывает соотношение (20).

Рассмотрим произвольную дискретную функцию dh из {dh¡, ..., dht}. Для доказательства неравенства (19) достаточно показать, что

Cdh(pat(n, k)) = o(n). (21)

Тогда неравенство (21) вместе с леммой 3 дают доказательство утверждения леммы.

Рассмотрим коммуникационную матрицу CMdh(n) функции dh. Матрица CMdh(n) - это 2tl(n'k) х 2íd(n'fc) матрица, (u,w) элементами которой являются значения dh(u, w). Пара (u, w) определяется разбиением pat(n, k) входной последовательности (v¡, ... ,vk) .

Cdh(pat(n,k) ,£(n)) = riognrow (CMdh(n))l, (22)

Для (n, e(n))-функции dh числo nrow(CMdh(n)) попарно различных строк матрицы CMdh(n) оценивается сверху следующим образом:

nrow(CMdh(n)) < min {2tl(n'k), 2e(")2"(n,fc)} . (23)

Так как функция dh является e(n)-annpoKCHMaTopoM соответствующей ей функции h, то в силу выбора e(n), условия (3) теоремы (1), свойства 3 и того, что ó(n) = 1/((n + 1)2"), имеем:

е(п) = О ( log -j— ) = О (log

e(n) J V ^i(S(n))

1 -t/k

=° (Ыо)" =« (»"")• <24)

log nk

Из определения разбиения pat(n,k) имеем: 1{п,к) = n — Г—-—1. d{n,k) =

k

log nk

= Г—-—1 . Применяя соотношения (23). (24) для равенства (22). получаем док

казательство неравенства (21). □

Из утверждений лемм 4, 2 и 1 следует утверждение теоремы 1.

5. Комментарий к коммуникационному методу доказательства

В.И. Арнольд [14] и А.Н. Колмогоров [15] доказали следующий факт (мы приводим результат из [15]). Произвольная непрерывная функция f ) Е С может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций от одной переменной и арифметической операции сумма:

Как показано в работе [16], функции из формулы (25) являются гельдерывыми. Коммуникационный метод доказательства теоремы 1 дает информационное объяснение тому факту, что на первом уровне суперпозиции можно брать функции из класса Гельдсра и нельзя брать функции из класса Дини и менее гладкие функции. Функции из класса Гельдера аппроксимируются соответствующими (п, п) -функциями. При преобразовании входных последовательностей такие функции не теряют информации. Функции удовлетворяющие условию (3) теоремы 1, аппроксимируются (п, е(п))-функциями, где е(п) — п. Такие дискретные преобразователи могут терять сложную входную информацию и никакие преобразователи на последующих уровнях не могут восстановить ее.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 08-07-00449).

F.M. Ablayev, S.G. Ablayeva. Superposition Problem of Continuous Functions. A Communication Approach.

In function theory the superposition problem is the problem of representing a continuous function f (x1,... ,xk) in k variables as a composition of "simpler" functions. This problem stems from Hilberths thirteenth problem. In computer science, good formalization for the notion of function composition is a formula.

The article considers real-valued continuous functions in k variables in the cube [0,1]k from the class Htp with a special modulus of continuity wp defined in the article. Htp is a superset of Lipschitz' class of functions. An explicit function f G Htp is presented, which is hard in the sense t.hat. it. cannot be represented in the following way as a formula: zero level (input) gates associated with variables {xi,... ,xk} (different input gates can be associated with the same variable xi G {x j.,... , xk } ), on the first level of the formula, arbitrary t variable functions from for t < к are allowed, while the second (output) level may compute any Lipschitz' function.

We apply communication complexity for constructing such a hard explicit function. Remarkably, one can show the existence of such a function using the "lion constructive" proof method known in the function theory as Kolmogorov's entropy method.

Key words: superposition problem of continuous functions, Lipschitz function, Dini function, discrete approximation of continuous functions, communication complexity.

Литература

1. Hilbert D. Mathematische Probleme // Nachr. Akad. Wiss. Got.tingen. 1900. P. 253 297: Gesammelete Abhandlungen. 1935. Bd. 3. P. 290 329.

2. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. 240 с.

3. Витугикии А.Г. К тринадцатой проблеме Гильберта // Докл. АН СССР. 1954.

(25)

Summary

Т. 95, Вып. 4. С. 243 250.

4. Колмогоров А.Н. Оценки минимального числа элементов е-сетей в различных функциональных классах и их применение к вопросу о представимости функций нескольких переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных // УМН. 1955. Т. 10, Вып. 1. С. 192 194.

5. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. 304 с.

6. Марче.нков С. С. Об одном методе анализа суперпозиции непрерывных функций // Проблемы кибернетики. 1980. Вып. 37. С. 5 17.

7. Атрии Е.А. О сложности равномерных приближений непрерывных функций // УМН. 1984. Т. 39, Вып. 3. С. 157 170.

8. Гашков С.Б. Сложность приближенного вычисления действительных чисел, непрерывных функций и лилейных функционалов: Автореф. дне. ... д-ра физ.-матем. паук. М.: Моск. гос. уп-т, 1992.

9. Yao A. Some Complexity Questions Related to Distributive Computing // Proc. of the llt.li ACM Symposium on the Theory of Computing. 1979. P. 209 213.

10. Колмогоров А.Н, Различные подходы к оценке трудности приближенного задания и вычисления функций // Proc. of Int.ernat.. Congress of Mat.hrmat.icians 1962. Stockholm, 1963. P. 352 356.

ее

пальпых пространствах // УМН. 1959. Т. 14, Л» 2. С. 3 86.

12. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М: Наука, 1986. 384 с.

13. Тимаи А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного. М.: Наука, 1960. 624 с.

14. Арнольд В.И. О функциях трех переменных // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, Вып. 4. С. 679 681.

15. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и сложения // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, Вып. 5. С. 953 956.

16. Lorentz G. Metric Entropy, Widths and Superpositions Functions // Amer. Math. Monthly. 1962. V. 69, No 6. P. 469 485.

Поступила в редакцию 15.01.08

Аблаев Фарид Мансурович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой теоретической кибернетики Казанского государственного университета.

Е-шаП: Рапй. АЫауеь в кии. ги

Аблаева Светлана Гумеровна кандидат физико-математических паук, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.