Cлабая непрерывность оператора суперпозиции в пространствах последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Vladikavkaz Mathematical Journal 2009, Vol. 11, No 2, pp. 6-18

УДК 517.988, 517.982

СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА СУПЕРПОЗИЦИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Посвящается 60-летию со дня рождения профессора Sаfаk Л1рау

Е. А. Алехно

Изучаются условия слабой непрерывности оператора суперпозиции, действующего в некотором пространстве последовательностей. Даны условия, при которых слабая непрерывность оператора суперпозиции равносильна его аффинности. В то же самое время, в пространстве сходящихся к нулю последовательностей любая ограниченная непрерывная функция порождает слабо непрерывный оператор суперпозиции. Приведены примеры, показывающие существенность предположения об ограниченности. Показывается, что в произвольном бесконечномерном пространстве последовательностей всегда существует оператор суперпозиции, являющийся слабо непрерывным и не представимый в виде суммы аффинного оператора и оператора обладающего конечномерной областью значений.

Ключевые слова: оператор суперпозиции, пространство последовательностей, слабая топология.

При исследовании разрешимости операторных уравнений в банаховых пространствах важную роль играет принцип неподвижной точки Шаудера — Тихонова. Он утверждает, что в локально-выпуклом пространстве непрерывное отображение выпуклого компакта в себя обладает неподвижной точкой. Кроме метрической топологии на банаховом пространстве могут быть определены другие локально-выпуклые топологии, важнейшей из которых является слабая топология. Более того, ослабление топологии приводит к увеличению числа компактных множеств, и, следовательно, расширяются возможности применимости самого принципа Шаудера — Тихонова.

Таким образом, возникает необходимость изучения условий, как необходимых, так и достаточных, слабой непрерывности заданного отображения, действующего в некотором банаховом пространстве 2. Поскольку для линейного оператора ответ хорошо известен, а именно, линейный оператор Т, действующий в банаховом пространстве 2, является слабо непрерывным в том и только том случае, когда Т является непрерывным в метрической топологии, интерес представляет лишь изучение нелинейных операторов.

Один из важнейших классов нелинейных операторов — это класс операторов суперпозиции. Изучению условий слабой непрерывности оператора суперпозиции в пространствах последовательностей и посвящена настоящая работа. Так, в первой части даны необходимые в дальнейшем определения и результаты, относящиеся к теории оператора суперпозиции или к пространствам последовательностей. Вторая и третья части посвящены, соответственно, необходимым и достаточным условиям слабой непрерывности оператора суперпозиции.

Используемые ниже определения, обозначения и факты, относящиеся к идеальным пространствам, в частности к пространствам последовательностей, взяты из [4] (см. также [5]), а к оператору суперпозиции из [7].

© 2009 Алехно Е. А.

Некоторые определения, обозначения и вспомогательные результаты

Пусть (П, A, ^) — пространство с ст-конечной, неотрицательной мерой Напомним, что измеримое множество A, ^(A) > 0, называется атомом [3, с. 82], если для любого измеримого множества B, B С A, либо ^(B) = 0, либо ^(B) = ^(A). Множество П может быть разбито [3, с. 83-84; 7, с. 8] на два непересекающихся измеримых множества Пс и П, причем на Пс мера ^ непрерывная, т. е. всякое измеримое множество B С Пс может быть представлено в виде B = Bi U B2, ^(Bi) = ^(B2) = ^^(B), а на П мера ^ дискретная, т. е. П представимо в виде объединения не более, чем счетного числа атомов.

Через Ьо(П,^) обозначается пространство, состоящее из эквивалентных классов ^-измеримых на П функций. Линейное подпространство X пространства Ьо(П,^) называется идеальным [4], если X является банаховым пространством и соотношения |у| ^ |x|, x £ X, у £ Lo(П,^) влекут у £ X (т. е. X — порядковый идеал в Ьо(П,^)) и ||у|| ^ ||x||. Всякое идеальное пространство является банаховой решеткой. Для произвольного измеримого множества A, через Pa обозначается порядковый проектор, определенный по правилу Pax = Xax, x £ Ьо(П,^). В зависимости от необходимости Pa может рассматриваться действующим, как в X, так и в £о(П,^).

Пусть функция f действует из П х R в R. Говорят, что f определяет оператор суперпозиции f [7, с. 10], действующий в идеальном пространстве X, если оператор (fx)(s) = f (s,x(s)) отображает X в X. При этом, всякая функция f : R ^ R может рассматриваться, как функция из П х R в R, а значит и определять оператор суперпозиции f по правилу (fx)(s) = f (x(s)). В общем случае, оператор f может даже не действовать в £о(П,^), т. е. отображать измеримые функции в измеримые. Говорят, что функция f удовлетворяет условию Каратеодори [7, с. 16], если для почти всех s функция f (s, ■) непрерывная и для всех u функция f (-,u) измеримая. Если f удовлетворяет условию Каратеодори, то оператор f действует в Ьо(П,^).

В дальнейшем, под непрерывным отображением одного топологического пространства в другое понимается отображение, при котором прообраз каждого открытого множества открыт; это также равносильно тому, что каждая сходящаяся обобщенная последовательность отображается в сходящуюся. Если отображение переводит каждую сходящуюся последовательность в сходящуюся последовательность, то оно называется секвенциально непрерывным. Очевидно, всякое непрерывное отображение является секвенциально непрерывным.

Напомним, что для банахова пространства Z слабая топология ct(Z, Z*) на Z — это локально-выпуклая топология, порожденная следующим базисом окрестностей

O(x; z*,..., z*, е) = {z : |z*z — z*x| < е, i = 1,..., k},

где элемент x £ Z, функционалы z* £ Z*, число е > 0. Слабая непрерывность оператора T : Z ^ Z означает непрерывность T, как отображения пространства Z со слабой топологией в себя.

Пусть X — идеальное пространство, оператор суперпозиции f действует в X. Обозначим через Сх носитель X [5, с. 59], т. е. наименьшее по включению (с точностью до множества нулевой меры) измеримое множество вне которого почти всюду равна нулю любая функция x £ X. Тогда Pq\cx (fx) = 0 для всех x £ X. Если теперь рассмотреть пространство X, как идеальное пространство на Сх (будем обозначать его через Xo), а через fx обозначить сужение f на Сх х R, то оператор суперпозиции fx, определенный по fx, будет действовать в Xo и являться слабо непрерывным тогда и только тогда, когда слабо непрерывным является f. Следовательно, в дальнейшем считаем Сх = П.

Это равносильно [5, с. 195] существованию в X функции положительной почти всюду на П; такие функции называются слабыми единицами. При этом, если А — атом меры ^, то ХА € X.

Функция д : Ж ^ Ж представимая в виде д(и) = а + Ьи, где а и Ь — некоторые действительные числа, называется аффинной. Аналогично, оператор Т, действующий в идеальном пространстве X, называется аффинным, если для любого элемента х € X справедливо равенство Тх = а + Ьх в X, где функции а, Ь : П ^ Ж. Ясно, что аффинный оператор Т является оператором суперпозиции, определяемый функцией /(в, и) = ао(в) + Ьо(в)и, где ао и Ьо — произвольные представители класса эквивалентности а и Ь, соответственно. Пусть теперь некоторый оператор суперпозиции £ : X ^ X является аффинным, т. е. £х = а+Ьх. Взяв х = 0 получаем а = £0 = / (в, 0). Поскольку Сх = П, существует [5, с. 58,

СО

60] последовательность измеримых множеств А* таких, что А1 С А2 С ..., у А* = П и

г=1

Ха; € X для всех г. Тогда для почти всех в € А* имеем / (в, 1) = (£ха; )(в) = / (в, 0) + Ь(в), откуда Ь(в) = /(в, 1) — /(в, 0) для почти всех в € П. Кроме того, функции а и Ь измеримы. Далее, если / удовлетворяет условию Каратеодори, то оператор суперпозиции £ : X ^ X аффинный в том и только том случае, когда для почти всех в функция /(в, ■) аффинная. В пояснении нуждается лишь необходимость, и именно она использует условие Каратеодори. Пусть £х = а + Ьх. Если А — измеримое множество, ха € X, то для рационального числа и и для почти всех в € А имеем /(в, и) = £(ихА)(в) = а(в) + Ь(в)и. Следовательно, равенство /(в, и) = а(в) + Ь(в)и справедливо для почти всех в € А и и € Ж. Как и выше, используя соотношение Сх = П, получаем требуемое.

Как показано в [1] слабая непрерывность оператора суперпозиции £, действующего в идеальном пространстве X с непрерывной мерой и определяемого функцией /, удовлетворяющей условию Каратеодори, равносильна его аффинности.

С другой стороны, оператор суперпозиции £, действующий в пространстве ЬО с произвольной мерой и задаваемый функцией /, удовлетворяющей условию Каратеодори, является [2] слабо секвенциально непрерывным в том и только том случае, когда / задает непрерывную по и кривую в £О, т. е. когда из сходимости ип ^ ио следует сходимость /(■, ип) ^ /(-,ио) в ЬО. Значит, всякая непрерывная функция / : Ж ^ Ж определяет слабо секвенциально непрерывный оператор суперпозиции £ в ЬО; в частности, слабо секвенциально непрерывными в ЬО являются операторы £х = |х| и £х = х2. Впрочем, слабая секвенциальная непрерывность первого из них может быть получена и как следствие слабой секвенциальной непрерывности решеточных операций в АМ-пространстве [8, с. 106]. Из приведенных примеров видна разница между слабой непрерывностью и слабой секвенциальной непрерывностью. Еще раз подчеркнем, что ниже будет изучаться слабая непрерывность, и именно она, а не слабая секвенциальная непрерывность требуется в различных теоремах, связанных с неподвижными точками, в частности, в теореме Шаудера — Тихонова.

Ясно, что оператор суперпозиции £, действующий в некотором идеальном пространстве X, является слабо непрерывным тогда и только тогда, когда слабо непрерывным будет оператор gx = £х — £0. Оператор g также представляет собой оператор суперпозиции, определяемый функцией д(в,и) = /(в, и) — /(в, 0), причем д(в, 0) = 0, а значит g0 = 0. В связи с этим, в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем предполагать £0 = 0. Тогда, очевидно, выполняется следующее свойство дизъюнктной аддитивности: если х ± у в X, то £ (х + у) = £ х + £ у. При этом £ х ± £ у. На самом деле, яирр £ х С яирр х, а значит компонента В^, порожденная £х в X, содержится в компоненте Вх, порожденной х в X. Если А — атом меры ^, то ВХА = {Аха : А € Ж}. Тогда для и € Ж имеем

£(мХа) = ХА, где Аа,« С Ж- Определим функцию /а(и) = Ади- Для почти всех з £ А

справедливо равенство /(з,и) = /а(и).

Если ^ состоит из конечного числа различных атомов А*, г = 1, к, то, очевидно, всякое идеальное пространство X на ^ является конечномерным. Следовательно, слабая непрерывность в X равносильна непрерывности в метрической топологии. Пусть оператор суперпозиции £ действует в X- Тогда, если х = ^к=1 а*ХА;, то

/ к \ к к

£х = £ ( Е °<ХаЛ = X)£(а*ХА;) = ^ УА ЫХА;.

\г=1 ) *=1 *=1

Отсюда легко видеть, что, в данном случае, оператор суперпозиции £ является слабо непрерывным в том и только том случае, когда непрерывны функции /а4 - В частности, это верно, когда функция / удовлетворяет условию Каратеодори; но не наоборот. В связи с этим, в дальнейшем мы будем рассматривать лишь бесконечномерные идеальные пространства на множестве с дискретной мерой, т. е. случай, когда ^ состоит из счетного числа атомов.

Всякое идеальное пространство X на множестве с дискретной мерой линейно изомет-рично и порядково изоморфно идеальному пространству XО на множестве натуральных

СО

чисел N со «считающей» мерой. Действительно, если ^ = У А*, где А* — атомы, то опре-

*=1

делим

О

х = (х1,х2,...) : ряд х*ХА; сходится в X по порядку >

*=1 ]

и положим ||х||х^ = ||о-2^*=1 х*ХА; Ух, где символ о означает порядковую сходимость ряда или последовательности. Теперь требуемый изоморфизм Ф : XО ^ X определяется, как Ф(х1,х2,...) = о-^О=1 х*ХА;.

Пусть £ — оператор суперпозиции, действующий в X. Тогда, если х = о -^О х*ХА;, то £х = о-^О=1 £(х*ХА;). В самом деле,

ГО

£(о - ^2 ХіХЛі)

і=п+1

ґ (о -£ Хі ХЛі) + ґ (х«+іХлп+і )

і=п+2

= ґ(о- ^ ХіХЛі) + |ґ(х«+1ХЛ„+1 )| ^

і=п+2

£(о - ^ хіХЛі)

і=п+2

Следовательно, последовательность £(о-^О=п+1 х*ХА; )| убывает по п. Отсюда, учитывая соотношение ха.,- ± £ (о ^°=п+1 х*ХА;) при ] = 1, п, имеем £ (о ^°=га+1 х*ХА; )| I 0. Последнее соотношение вместе с равенством £ х — £ (^П=1 х*ХА;) = £ (о-^ о=п+1 х*ХА;) дают ЕГ=1£ (х*ха;) =£ (ЕГ=1 х*ха*) —^£ х.

Определим оператор £О, действующий в XО, по правилу £О = Ф-1£Ф. Для элемента хО = (х1,х2,...) £ XО имеем

ҐгоХго = Ф 1 ґ ^0 -^ ХіХл^ = Ф 1 ^ ґ(ХіХЛі ^

= ф-1 ( 0-^ /Лі (хі)ХлЛ = (/Лі (х1),/л2 (х2),...),

следовательно (£ОхО)* = /а4 (х*), а значит оператор £О является оператором суперпозиции, определяемый функцией /О(п, и) = /ап(и). Очевидно, £О является слабо непрерывным в том и только том случае, когда слабо непрерывным является £. Таким образом, в дальнейшем, без ограничения общности, мы будем предполагать все рассматриваемые идеальные пространства определенными на множестве натуральных чисел N со «считающей» мерой. Ниже такие пространства будут просто называться пространствами последовательностей.

Пусть X — пространство последовательностей. Двойственное к X пространство X' [4] определяется как

О

г = (21,22,...) : £ х*2* < ^ для всех х = (х1,х2,. . .) £ X > .

*=1 ]

Каждой последовательности 2 £ X' можно поставить в соответствие функционал 2* £ X* по правилу 2*х = ^О 2*х*, при этом, в силу теоремы Лозановского [5, с. 198], 2* будет принадлежать компоненте порядково непрерывных функционалов на X, т. е. 2* £ X-. Наоборот, всякий функционал 2* £ X— может быть представлен в таком виде, где 2 £ X '.С нормой ||2||х' := ||2*||х* пространство X' будет являться пространством последовательностей. Таким образом, X' может быть отождествлено с X—Тогда пространство X*, сопряженное к пространству X, является банаховой решеткой, представимой в виде суммы двух дизъюнктных компонент X* = X' ф X5, где X5 — пространство антинормальных функционалов [4]

X5 = {х* £ X* : |х*|х = 0 для некоторой слабой единицы х £ X}.

Например,

(4»У = 4, С = {х* £ С : х*(со) = {0}}.

Для пространств со, ^р, 1 ^ р < то, двойственное совпадает с сопряженным.

Обозначим через еп последовательность, в которой элемент с п-ым номером равен единице, а все остальные нулю. Правильной частью X° [4] пространства X называется замыкание в X линейной оболочки элементов еп. Справедливо равенство

X° = {х £ X : х*х = 0 для всех х* £ X5}.

Иными словами, X° — это аннулятор X

Функция / : N х Ж ^ Ж удовлетворяет условию Каратеодори в том и только том случае, когда для всех п функция /(п, ■) непрерывная. Аффинность оператора суперпозиции £, действующего в пространстве последовательностей X, будет равносильна аффинности функции /(п, ■) для всех п. Пусть оператор суперпозиции £ : X ^ X является слабо непрерывным, £0 = 0. Фиксируем п. Если последовательность действительных чисел ик ^ и, то икеп ^ иеп в X, а значит

/ (п,ик )е— = £ (ик е—) } £ (ие—) = / (п,и)е—,

откуда Иш /(п, ик) = /(п, и). Следовательно, функция /(п, ■) непрерывная, а значит

к^о

/ удовлетворяет условию Каратеодори. Таким образом, условие Каратеодори оказывается необходимым для слабой секвенциальной непрерывности, а значит и для слабой непрерывности £. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы считаем функцию /, определяющую рассматриваемый оператор суперпозиции £, удовлетворяющей условию Каратеодори.

В [6] изучалась слабая непрерывность оператора суперпозиции £ в пространстве . Так, там было показано, что если функция / : Ж ^ Ж, то слабая непрерывность £ в равносильна аффинности /. Найден класс слабо непрерывных в операторов суперпозиции «значительно» более широкий, чем класс аффинных операторов.

Ниже будет найден целый класс пространств последовательностей (теорема 1), в которых слабая непрерывность оператора суперпозиции £, определяемого функцией / : Ж ^ Ж, равносильна аффинности /. Не все пространства последовательностей удовлетворяют этому свойству, например, это не верно для Со (см. теорему 6 и следствие 7). Тем не менее, ниже будет показано, что в произвольном пространстве последовательностей X всегда можно построить слабо непрерывный оператор суперпозиции £ не являющийся аффинным (см. следствие 10).

Необходимые условия слабой непрерывности

Следующая теорема выделяет класс пространств, в которых слабая непрерывность оператора суперпозиции £, определяемого функцией / : Ж ^ Ж, равносильна аффинности /.

Теорема 1. Пусть для пространства последовательностей X выполняются условия X' С Со и X' С (оба в теоретико-множественном смысле). Тогда оператор суперпози-

ции £, определяемый функцией / : Ж ^ Ж, слабо непрерывный в X в том и только том случае, когда / аффинная.

< В доказательстве нуждается лишь необходимость. Считаем /(0) = 0, а значит £ 0 = 0. Фиксируем ненулевые а, 6 £ Ж и е > 0. В пространстве X' найдется неотрицательная последовательность х* = (х1,х2,...) £ Со. Можно считать, что для некоторой подпоследовательности хПк будет

х—к = 1 (*) при всех к. В силу слабой непрерывности £ в нуле, найдется ст^, X*)-окрестность О(0; х1,..., хт, 5), для которой

£ (О (0; х1,..., хт, 5)) С О (0; х*, е). (**)

Раскладывая каждый функционал х* на сумму х* = х* + х*2, где х* £ X', х* £ X5, и учитывая включение

О(0; х11,. ..,х^1 ,х*2,...,х^2, 5/2) С О(0; х1,..., х^, 5),

можно считать х1,... ,х^0 £ X' и х^0+1,..., х^ £ X5 для некоторого то. Воспользовавшись включением X' С и при необходимости перейдя к подпоследовательности будем также предполагать существование пределов Иш (х*)Пк, I = 1,то. Найдем индекс

к^о

ко, для которого

Я я

1(хг*К, - (х**)пко+2 I < 2|0[, 1(х*)гак0 + 1 - (х*)Пк0+2 I < 2|6|,

при I = 1,то. Тогда последовательность

ае—к0 + 6е—ко+1 - (а + 6Кк0+2 £ О(0;^..^хт

следовательно, учитывая (*) и (**),

е > |х*£(ае—к0 + 6е—к0+1 - (а + 6)е—к0 +2 )|

= |х*£ (ае—к0 ) + х*£ (6е—к0 + 1 ) + х*£ (-(а + 6)е—к0+2 )| = |/(а) + / (6) + / (-(а + 6))|.

В силу произвольности е получаем /(а) + /(6) + /(—(а + 6)) = 0. Устремив 6 к нулю имеем /(—а) = —/(а), а значит /(а) + /(6) = /(а + 6) для всех а, 6 £ Ж. Следовательно, /(па) = п/(а) для п £ Н, откуда

; п а) = П'; ( П^ а) = п П/ ( П^ а) = п ; (а)

при п', п'' £ N. Таким образом, для произвольного рационального д и действительного а будет /(да) = д/(а). В силу непрерывности /, последнее равенство справедливо для всех д £ Ж. В итоге, /(и) = и/(1). Мы получили линейность /.

В общем случае, когда /(0) = 0, рассмотрим функцию д(и) = /(и) — /(0). Она порождает оператор суперпозиции g, действующий в X и являющийся слабо непрерывным. Поскольку д(0) = 0, по доказанному выше имеем д(и) = ид(1), откуда / (и) = / (0) + (/(1) — /(0))и. Таким образом, / аффинная функция. О

Следствие 2. Пусть функция / : Ж ^ Ж определяет оператор суперпозиции £, действующий в пространстве ^1. Тогда £ слабо непрерывный тогда и только тогда, когда / аффинная.

Условия на функцию / : N х Ж ^ Ж гарантирующие, что оператор £ действует в ^1, имеются в [7, с. 94-95].

Решеточные операции |х|, х+, х-, определенные на произвольном идеальном пространстве X, представляют собой важнейшие примеры оператора суперпозиции. Слабая непрерывность одной из этих операций равносильна слабой непрерывности любой из

(->, + — + Ы+Х _ |х | — X гр

двух оставшихся. Это сразу следует из равенств х = х+ — х , х+ = ^—, х = ^—. Тем

не менее, их слабая непрерывность эквивалентна конечномерности данного пространства. Справедливость данного утверждения отмечалась в [8, упр. 11.28(с), с. 152]. Для полноты мы приведем схему доказательства.

Лемма 3. Пусть Е — нормированное пространство Рисса. Тогда решеточные операции слабо непрерывны в нуле в том и только том случае, когда пространство Е является конечномерным.

< В доказательстве нуждается лишь необходимость. Фиксируем ненулевой функционал х* £ (Е*) + . Нулевая точка является ст(Е,Е*)-внутренней точкой поляры

[—х*,х*]° = {х : |2*х| ^ 1 при |г*| ^ х*}

ст(Е,Е*} ст(Е,Е*}

относительно дуальной пары (Е, Е*). В самом деле, если ха —^ 0, то |ха| —^ 0,

а значит существует индекс ао такой, что для любого 2* £ [—х*,х*] имеем |я*ха| ^ 1

при а ^ ао, откуда ха £ [—х*,х*]°. Для некоторых х1,...,хк £ Е* справедливо и :=

О (0; х1,..., х*, 1) С [—х*, х*]°, следовательно

[-ж*,ж*] = [-ж*,ж*]°° С U° С Lin{x1,xk}.

Таким образом, в банаховой решетке E* всякий порядковый интервал содержится в конечномерном пространстве, откуда dimE* < то. Значит, dimE < то. >

Лемма 4. Пусть функция f : N х R ^ R. Тогда f определяет оператор суперпозиции f, действующий в пространстве Со, в том и только том случае, когда для любого 6 > 0 существуют число 5 > 0 и натуральное N такие, что для всех n ^ N, |u| ^ 5 имеет место неравенство |f (n, u)| ^ 6.

В частности, / : Ж ^ Ж определяет оператор суперпозиции £, действующий в со, в

том и только том случае, когда /(0) =0 и / непрерывна в нуле.

< Необходимость. Пусть оператор £ действует в со. В предположении противного, найдем подпоследовательность натуральных чисел п* и последовательность щ, Пт щ =

0, для которых |/(Пг,Пг)| > 6 > 0. Последовательность х = (ж1,ж2,---) определим, как хщ = Щ и х^ = 0, если ] / {П1, П2,...}. Тогда х £ со, а значит £х £ со. С другой стороны,

|(£ х)щ | = |/(пг,хщ )| = |/(пг ,иг)| > 6, мы пришли к противоречию.

Достаточность. Пусть элемент х £ со. Если £х / со, то существует подпоследовательность натуральных чисел п*, для которой 0 < 6 < |(£х)щ| = |/(п*,хщ)|, что невозможно при больших г, поскольку Пт х* = 0.

В случае / : Ж ^ Ж в пояснении нуждается лишь необходимость. Очевидно, £0 £ со, а значит, поскольку £0 = (/(0),/(0),...), имеет место равенство /(0) = 0. Для 6 > 0 существует 5 > 0 такое, что при больших п справедливы соотношения 6 ^ |/(п, и)| = |/(и)| для |и| ^ 5. Иными словами, / непрерывна в нуле. >

Лемма 5. Пусть функция / : Ж ^ Ж выпуклая, положительный функционал г * £ ^1, ||г*|| = 1. Тогда для х £ со имеет место неравенство /(г*|х|) ^ г*(£|х|).

< Пусть г* = (г1, г2,...) ^ 0. Прежде всего заметим, что в силу непрерывности выпуклой функции /, последовательность £|х| ограничена, а значит ряд ^г/(|х*|) = г*(£|х|) сходится. В силу равенства ^гг = 1 найдется то, для которого ^™°1 гг > 0. Тогда для т ^ то имеем

Напомним, что функция / : Ж ^ Ж называется функцией Орлича [7, с. 119, 137], если / неотрицательная, выпуклая, четная и /(0) = 0.

Теорема 6. Пусть функция / : Ж ^ Ж является функцией Орлича, причем /(и) > 0 при всех и = 0. Тогда оператор суперпозиции £, действующий в со, не является слабо непрерывным в нуле.

< В силу леммы 4 оператор £ действует в со. Фиксируем положительный функционал г * = (^1,^2,...) £ со = ^1, ||г* || = 1, и число 6 > 0. Найдется 5 > 0, для которого неравенство /(а) < 5 влечет |а| < 6. Предположим противное, т. е. что оператор £ слабо непрерывен в нуле. Тогда для некоторой а(со, ^-окрестности и нуля справедливо включение £ (и) С О (0; г*, 5). В силу леммы 5 для произвольного х £ и справедливо неравенство /(г*|х|) ^ г*(£|х|). Поскольку / четная £|х| = £х, а значит /(г*|х|) < 5,

І=1

Устремив т к бесконечности получаем

/<>*|х|) = / (Ы) = ^*(г|х|)- >

откуда z*|х| < 6 для всех х £ U. Мы получили слабую непрерывность решеточных операций в нуле. В силу леммы 3 это невозможно. >

Следствие 7. Каждая из функций |u|p, (1 + |u|p)q — 1, где p, q > 1, e|u| — 1, определяет оператор суперпозиции, действующий в пространстве Со и не являющийся слабо непрерывным в нуле.

Следующая теорема дает условия, при которых функция f : N х R ^ R определяет оператор суперпозиции f, не являющийся слабо непрерывным. Пространство последовательностей X назовем инвариантным относительно растяжения, если для любой последовательности z = (z*, Z2,...) £ X и подпоследовательности натуральных чисел n& последовательность х, определяемая, как xnk = z& и х* = 0 при i £ {n*,n2,...}, также принадлежит пространству X. Пространства Со, ^Р, 1 ^ p ^ то, являются инвариантными относительно растяжения.

Теорема 8. Пусть неотрицательная функция f : N х R ^ R определяет оператор суперпозиции f, действующий в пространстве последовательностей X, причем двойственное к X пространство X' является инвариантным относительно растяжения и для всех k £ N

sup f (n,u)=+TO. (*)

Тогда f не является слабо непрерывным ни в одной точке пространства X.

< Фиксируем слабую единицу z = (zi,z2,...) £ X7. Найдем последовательность

Ufc £ R и подпоследовательность натуральных чисел n&, для которых f (n&, ) > —

—k

при всех k. Определим последовательность z7, как z^k = z& и zi = 0 при i £ {ni, П2,...}. Тогда z7 £ X7. Рассмотрим произвольный элемент х £ X и покажем, что оператор f не является слабо непрерывным в х. В предположении противного найдется a(X, X*)-окрестность U := O(х; х*,..., х^, 5) точки х, для которой f (U) С O(fх; z7,1). Существует

m

элемент у £ Р| N(х*), где N(х*) — ядра функционалов х*, такой, что носитель supp у —

i=1

бесконечное подмножество множества {n*,n2, .. .}. Для некоторого ko £ N, удовлетворя-

/ I Uko —Xnk

ющего неравенству ko > 1 + |z fх|, будет уп^ = 0. Положим А = -------------0. Поскольку

o nko

х + Ау £ U имеем

ГО

1 > |z7f (х + Ау) — z7fх| > ^ znf (n, хга + Ау„) — |z7fх|

n=1

> znko f (nko , хга^ + Ay«k0 ) — |zf х| = zkof (nko ,uko ) — |z/fх| > k0 — |zf х| > 1,

мы пришли к противоречию. >

Для случая пространства результат аналогичный предыдущей теореме ранее был получен в [6].

Достаточные условия слабой непрерывности

Следующая теорема для произвольного пространства последовательностей X выделяет широкий класс функций, определяющих слабо непрерывный оператор суперпозиции в X. Ниже через Cb(R) обозначается пространство ограниченных непрерывных

функций на R с нормой ||g||cb(iR) = sup |g(u)|.

«6R

Теорема 9. Пусть функция / : N х Ж ^ Ж определяет оператор суперпозиции £, действующий в пространстве последовательностей X, причем выполнены следующие условия:

(a) Функция / удовлетворяет условию Каратеодори;

(b) Имеет место включение £ (X) С X°;

(c) Существует индекс по £ N такой, что для всех п ^ по функции / (п, ■) ограничены, и, кроме того, последовательность

Тогда оператор суперпозиции £ является слабо непрерывным в X.

< Фиксируем последовательность х = (Ж1,Ж2,...) £ X. Для произвольных функционала г * £ X5 и элемента г £ X справедливо г*(£ г) = 0. Следовательно, учитывая равенство X* = X' ф X5, для доказательства слабой непрерывности £ в точке х достаточно для заданной неотрицательной последовательности г' = (г1, г2,...) £ X' и числа е > 0 найти X * )-окрестность и точки х, для которой £ (и) С О (£ х; г' ,е). Рассмотрим последовательность у = (у1, у2, • • •) £ X", определенную в (*). В силу сходимости ряда ^г*у* найдется N ^ п0, для которого ^£=N+1 г*У* < 4. Положим М = тах ^=1 г*, 1}. Существует 5 > 0 такое, что неравенства |х* — и| ^ 5 влекут |/(г,х*) — /(г, и) | ^ 2М для всех г = 1, N. Тогда для произвольного г £ О(х; в1,..., eN, 5) имеем |х* — г*| <5 для г = 1, N, откуда

Таким образом, f(O(x; Єї, ■ ■ ■, eN, б)) С O(fx; z/, є), что и требовалось. >

Будем говорить, что оператор T, действующий в некотором банаховом пространстве Z, обладает конечномерной областью значений, если линейная оболочка множества R(T) = {Tz : z Є Z} является конечномерным пространством. Пусть функция f : N x Ж ^ Ж определяет оператор суперпозиции f, действующий в пространстве последовательностей X. Если f (n, ■) = О при больших n, то, очевидно, f обладает конечномерной областью значений.

Следствие 10. Для любого бесконечномерного пространства последовательностей X существует, действующий в X, оператор суперпозиции f, являющийся слабо непрерывным и не представимый в виде суммы аффинного оператора и оператора, обладающего конечномерной областью значений.

< Существует последовательность x = (xi,x2,---) Є X0 П X//, причем xn > О при всех n. Действительно, если последовательности у и z — слабые единицы X0 и X//, соответственно, то достаточно положить xn = min (yn, zn). Для произвольного n Є N найдем функцию fn Є СЬ(Ж) не являющуюся аффинной и такую, что Hfnllc^R) ^ xn; например, fn(u) = xn sin u. Положим f (n, u) = fn(u). В силу предыдущей теоремы, оператор суперпозиции f, определяемый f, является слабо непрерывным. Пусть g — аффинный оператор суперпозиции, действующий в X и определяемый функцией g. Тогда, как отмечалось выше, g(n, ■) аффинная для всех n, а значит функция h(n, u) = f (n, u) — g(n, u)

|z/(fx — fz) | = zi(f (i,xi) — f (i,z*))

N

N

не является константой по и. Следовательно, существует последовательность ип, для которой Л(п, ип) = Л(п, 0). Тогда Ь(ипеп) — Ь0 = (Л(п, ип) — Л(п, 0))еп. Таким образом, оператор суперпозиции Ь = £ — g не обладает конечномерной областью значений, как и требовалось. >

Следствие 11. Пусть функция / : Ж ^ Ж является ограниченной и непрерывной, /(0) = 0. Тогда оператор суперпозиции £, определяемый / и действующий в Со, является слабо непрерывным.

< Требуемое утверждение сразу вытекает из теоремы 9, если заметить, что (со)° = Со и (Со)" = 4». >

В силу следствия 7 предположение об ограниченности / существенно.

Неясно, справедливо ли утверждение обратное к теореме 9, т. е. вытекает ли из слабой непрерывности £ его представление в виде £х = а + Ьх + £ох, где а = £0, Ь — некоторая последовательность, а для оператора суперпозиции £о выполняются условия (а), (Ь) и (с) теоремы 9. Для пространства 4» ответ частично был получен в [6]. В общем случае, положительный ответ на этот вопрос означал бы, что если / : Ж ^ Ж определяет в некотором пространстве последовательностей X слабо непрерывный оператор суперпозиции £, то / представима в виде /(и) = а + Ьи + д(и), где а, Ь £ Ж, а д — ограниченная функция, д(0) = 0. Причем, в некоторых случаях, как, например, когда для любой х £ X// выполняется Итш£ |х*| = 0 (см. следствие 2) или когда последова-

г^-»

тельность (1,1,...) £ X \ X°, было бы д = 0. В частности, следствие 11 давало бы не только достаточное, но и «по сути» необходимое условие слабой непрерывности оператора суперпозиции £ в Со. Тем не менее, вопрос остается открытым даже для случая пространства Со и функции / : Ж ^ Ж.

Частичное подтверждение справедливости отмеченной гипотезы дает теорема 8. В самом деле, если двойственное к пространству последовательностей X пространство X/ является инвариантным относительно растяжения, то, очевидно, X// С 4». Кроме того, как следует из теоремы 9, теорема 8 не остается справедливой для произвольного X. Достаточно заметить существование пространства последовательностей X, для которого X = X° и X// ^ 4». Например, пространство Со с весом,

X = < х = (х1, х2,...) : Пт п-1хп = 0 и ||х|| = вир |п-1хп| < то

Как легко видеть, последовательность (1, 2, 3,...) £ X//. Таким образом, равенство (*) в теореме 8 может иметь место для слабо непрерывного оператора суперпозиции £, определяемого функцией / ^ 0.

То обстоятельство, что для пространства 4» и функции / : Ж ^ Ж ответ получен, а для Со еще нет, может быть объяснено более большйм сопряженным к пространству 4». Действительно, С* = ^1 С 4». Пространство 4», конечно, более сложное, чем ^1, но оно содержит и более специальные функционалы за счет свойств которых можно получить более глубокие результаты о слабой непрерывности оператора суперпозиции £. Так, в [6] при установлении аффинности функции / : Ж ^ Ж, порождающей слабо непрерывный оператор суперпозиции £, действующий в 4», решающую роль играло существование на 4» обобщенных пределов, являющихся антинормальными функционалами. Функционалов «такого вида» не существует на Со.

Следующая теорема дает условия, при которых функция / удовлетворяет предположению (с) из теоремы 9. Через в будем обозначать пространство всех последовательностей, а через Г линейную оболочку множества {еп}»=1 в в. Если X — некоторое про-

странство последовательностей, то, очевидно, Г С X/, а значит пара (X, Г) образует дуальную пару.

Теорема 12. Пусть функция / : N х Ж ^ Ж определяет оператор суперпозиции £, действующий в пространстве последовательностей X, причем £0 = 0. Рассмотрим следующие утверждения:

(a) Оператор £ является непрерывным, как отображение топологического пространства (X, ст^, Г)) в топологическое пространство (X, ст^, X/));

(b) Оператор £ является непрерывным в нуле, как отображение топологического пространства (X, ст^, Г)) в топологическое пространство (X, ст^, X/));

(c) Имеет место включение £ (в) С X//;

(Й) Для функции / выполнено условие (с) теоремы 9.

Тогда (а) ^ (Ь) ^ (с) ^ (Й).

Если, к тому же, / удовлетворяет условию Каратеодори, то (Й) =^ (а).

(а) (Ь) Очевидно.

(b) ^ (с) Всякая последовательность х из пространства Рисса в может быть представлена в виде х = у + г, у ± г, причем £ у ^ 0 и £ г ^ 0. Следовательно, включение £х £ в достаточно показать в предположении £х ^ 0. Определим последовательности

гп = (х1,..., хп, 0, 0,...) £ X и г&;ТО = г& — гт. Очевидно, г&;ТО —^ 0 при к, т ^ то,

а значит £г&;ТО —) 0. При этом для к ^ т имеем £г&;ТО = £г& — £гт. Следовательно, £гк является слабой последовательностью Коши, в частности, последовательность х/£г& ограничена для произвольного функционала х/ = (х^,х2,...) £ X/. Для х/ имеет место

интегральное представление х/у = ^»1 х*уг = / х/у^ для всех у £ X, где ^ — «счи-

N

тающая» мера на N. Используя теорему Фату [3, с. 169] и соотношения 0 ^ £г& | £х

получаем Е»=1 х*(£х)г = / х/£х^ < то, откуда £х £ X//.

N

(c) (Й) Прежде всего покажем, что начиная с некоторого номера функции /(п, ■) ограничены. В предположении противного найдем подпоследовательность п& натуральных чисел, для которой функции /(п&, ■) неограниченные при всех к. Существует неотрицательная последовательность х = (х1,х2,...) £ X// такая, что х* > 0 в том и только том случае, когда г = п& при некотором к. Действительно, взяв произвольный элемент г = (г1,г2,...), являющийся слабой единицей в X/, достаточно положить

хПк = -1— и х* = 0 при г / {п1,п2,...}. Существует последовательность ип, для которой

пк

|/(пк, иПк)| ^ хПк при всех к. Имеем 0 ^ х ^ |£и| £ X//, где и = (и1,и2,...) £ в. Поскольку Xя — идеал в в, получаем х £ X//. Мы пришли к противоречию. Таким образом, существует по такое, что для всех п ^ по функции /(п, ■) ограничены.

Положим Ьп = ||/(п, -)||сь(к) при п ^ по и Ьп = 0 для остальных п £ N. Найдем последовательность е = (£1,£2,...) £ Со П X// такую, что Ьп > еп > 0, если Ьп > 0, и еп = 0, если Ьп = 0. Для некоторой последовательности ип будет |/(п, ип)| ^ Ьп — еп при всех п. Тогда 0 ^ Ь — е ^ |£и| £ X", где Ь = (Ь1, Ь2,...), и = (и1, и2,...). Значит Ь — е £ X", откуда Ь £ X//.

(й) (а) Доказательство аналогично доказательству теоремы 9. >

Предыдущая теорема не противоречит результатам полученным ранее и говорящим, что в некоторых случаях слабая непрерывность равносильна аффинности (например, теорема 1 и следствие 2). На самом деле, аффинное отображение Тх = а + Ьх будет непрерывным, как отображение (X, ст^, Г)) в (X, ст^, X/)) в том и только том случае, когда Ь £ Г, т. е. Ьп = 0 при больших п. В пояснении нуждается лишь необходимость.

В предположении противного положим zn = bn, если bn = 0, и zn = 1, если bn = 0. Тогда

n ет(х,г) п „

последовательность жп = —п—г en —► 0, но неограниченная последовательность T жп

zn II en II

не может сходится к элементу а в a(X, X;)-топологии. Для этого достаточно заметить, что иначе мы получили бы и слабую сходимость Txn к а, а значит ее ограниченность. В частности, тождественный оператор I не является непрерывным, как отображение (X,a(X, Г)) в (X, a(X, X')).

Имеет место также следующее утверждение, доказательство которого аналогично доказательству импликации (Ь) =^ (с) теоремы 12: Если оператор суперпозиции f, действующий в пространстве последовательностей X, является слабо непрерывным, то f (X") С X". На самом деле, справедлив следующий более общий факт: Если Y — идеал в пространстве Рисса s, Г С Y, оператор суперпозиции f непрерывен, как отображение (X, a(X, Y)) в (X, a(X, X;)), то f (Y7) С X". Здесь, по аналогии со случаем пространства последовательностей, Y' = {z £ s : ^Zjy* < то, y £ Y}.

Отметим, что некоторые результаты статьи без труда могут быть перенесены на случай, когда оператор суперпозиции f действует из одного пространства последовательностей X в некоторое другое пространство последовательностей Y.

Итак, хотя для случая непрерывной меры ответ полностью получен, в случае дискретной меры при исследовании слабой непрерывности оператора суперпозиции возникают определенные трудности. Данный факт является еще одним подтверждением в пользу точки зрения о том, что дискретное сложнее, чем непрерывное.

Литература

1. Алехно Е. А., Забрейко П. П. Слабая непрерывность оператора суперпозиции в идеальных пространствах с непрерывной мерой // Тр. ИМ НАН Беларуси.—2004.—Т. 12, № 1.—С. 21-24.

2. Алехно Е. А., Забрейко П. П. О слабой непрерывности оператора суперпозиции в пространстве

// Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук.—2005.—№ 2.—С. 17-23.

3. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1.—М.-Ижевск, 2006.—584 с.

4. Забрейко П. П. Идеальные пространства функций // Вестник Ярославского ун-та.—1974.— Вып. 8.—С. 12-52.

5. Abramovich Y. A., Aliprantis C. D. An invitation to operator theory // Grad. Stud. in Math., Vol. 50.— Providence (R. I.): Amer. Math. Soc., 2002.—530 p.

6. Alekhno E. A. On weak continuity of a superposition operator on the space of all bounded sequences // Methods of Functional Analysis and Topology.—2005.—Vol. 11, № 3.—P. 207-216.

7. Appell J., Zabrejko P. P. Nonlinear superposition operators.—Cambridge: Camb. univ. press, 1990.— 312 p.

8. Schaefer H. H. Banach lattices and positive operators.—B. etc.: Springer, 1974.—376 p.

Статья поступила 27 января 2009 г.

Алехно Егор Александрович Белорусский государственный университет, механико-математический факультет, доцент Беларусь, 220030, Минск, пр. Независимости, 4 E-mail: [email protected]