Операторные методы в нелинейной механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболо-чечных конструкций./Диссертация на соискание уч. степени д.т.н,- Саратов - 2000.

УДК 539.3+517.4 В. Н. КУЗНЕЦОВ, Т. А. КУЗНЕЦОВА, С. В. ЧУМАКОВА

Операторные методы в нелинейной механике Введение

Целью настоящей работы является изложение основных положений операторного подхода при решении таких задач нелинейной механики как задача устойчивости оболочных конструкций, задача гладкости решений и скорости сходимости проекционных методов в динамическом случае.

Операторный подход заключается в применении к решению перечисленных выше задач известных результатов, касающихся решений линейных операторных уравнений

^ = -A(t)w + f, t е [о, г]. (1)

В случае, когда оператор A(t) при любом t е [0, Г] является самосопряженным, положительно определенным оператором, известен результат С.Г. Крейна о существовании и единственности решения уравнения (1) , удовлетворяющего начальным условиям. Методы теории ограниченных полугрупп операторов, в частности, метод эквивалентных операторов позволил Т.А. Кузнецовой показать гладкость решений уравнения (1), если только операторы A(t) эквивалентны оператору, порождающему ограниченную полугруппу, и начальные функции и / принадлежат области определения некоторой степени такого оператора.

Показано, что результаты относительно свойств решений уравнений (1) позволяют получить условия на внешние воздействия, при которых для достаточно широкого класса нелинейных моделей оболочек, содержащих известные модели Кирхгофа и Тимошенко, соответствующие краевые задачи имеют единственное, достаточно гладкое решение в пространстве Соболева, и тем самым, допускают хорошую точность аппроксимации проекционными методами.

1. Ограниченные группы операторов и задачи существования, единственности и гладкости решений для одного класса операторных уравнений

Напомним, что семейство ограниченных линейных операторов {V(í)}, t е (—оо, +оо), действующих в пространстве Н, называется сильно непрерывной ограниченной группой операторов (С.Н.О.Г.О.), если выполняются условия:

1. V(0) = Е единичный оператор;

2. V(s + i) = V(s)V(t);

3. при любых х 6 Я функция t —» V(t)x непрерывна при всех действительных í;

4. при всех f. ||V(t)|| < М.

Понятие сильно непрерывной ограниченной группы операторов возникло в связи с задачами приближения в банаховых пространствах. Известно [1],[2], что существование С.Н.О.Г.О., действующих в банаховом пространстве, обеспечивает наличие прямых и обратных теорем приближения по собственным подпространствам таких же, как и в классическом случае, но выраженных в терминах оператора, порождающего группу.

Линейный, замкнутый оператор А называется порождающим для группы операторов {K(t)}, если для некоторого линейного многообразия D(Ä), плотного в выполняется соотношение

Ах= lim hv(h)x-x) . (2)

Во многих банаховых пространствах удается построить С.Н.О.Г.О. и получить прямые и обратные теоремы приближения, например, сплайнами в пространстве Lf{L), 1 < р < оо, и алгебраическими полиномами в пространстве функций комплексного переменного, непрерывных на границе и регулярных внутри области. При этом соответствующие теоремы получены в традиционной форме, а именно в терминах гладкости [3],[4],[5]. Это стало возможным в связи с понятием эквивалентных операторов.

Два оператора Ai и Л2, порождающие С.Н.О.Г.О., действующих в пространствах Н\ и Н2, считаются эквивалентными, если существует взаимнооднозначный оператор L, переводящий область определения оператора А\, г = 1,2,..., D(A\) па область определения оператора Аг2,

г — 1,2,..., П(ЛГ2), и при этом существуют положительные константы С],г и Сг.г, не зависящие от х 6 D{A\) такие что:

С1|Г |\Аг2Ьх ||я2 ^ \\A\Lx ||№ < С2,г \\A\Lx

На

(3)

Здесь укажем еще одно приложение теории ограниченных групп операторов, а именно к задачам существования единственности и гладкости решений задачи Коши вида

д2и д2и д2и

— = -оД2« + <р,(х, У, г)— + у,

+ г е [о, т]. (4)

ди,

дхду

и(»,0) = щ, = •

где а > О, Д - оператор Лапласа; ¡¿¡¡(х,у,^ - некоторые непрерывные в области <3 = О х [0,1] функции (П - ограниченная область с грани цей Г).

Под решением задачи (3) понимается любая функция и(х,у^), удовлетворяющая граничным условиям вида

ди дт/

= 0,

(5)

ди

где — производная по нормали, и для которой выполняются условия: ОТ)

1. при каждом Ь с [0,1] существует сильная производная второго по-

рядка;

2. при любом 4 6 [0,1] функция и принадлежит области определения

оператора

д2и

д2и

АЦ)и = аЛи- & — - -

ду2

д2и дхду'

(6)

3. при каждом £ £ [0,1] выполняется соответствующее равенство в пространстве £2(П).

Известно [6], что при условиях вида

= 0 дУз Эуг _ 0 Зг ду дх ду

и у, 4)1 < С, 1=1,2,3, (х, у, £) е (3 ,

где С - некоторая положительная константа, операторы вида (5) являются положительно определенными, симметрическими операторами, действующими в пространстве функций, удовлетворяющих условиям (4).

Более того, в случае гладкой границы Г имеет место

Лемма 1 . Опериторы A[t) являются положительно определенньши, самосопряженными операторами.

Доказательство

Известно [7), что в случае гладкой границы оператор Д2 является самосопряженным оператором, действующим на линеале функций с граничными условиями (4). Оператор A(t) является положительно определенным, симметрическим оператором. Рассмотрим расширение по Фри-дрихсу операторов Д2 и A[t). У них общая область определения. Но область определения оператора Д2 совпадает с областью определения его самосопряженного расширения и совпадает с областью определения самосопряженного расширения оператора A(t). Следовательно, оператор A(t) - самосопряженный.

Замечание. В случае негладкой границы области П при дальнейших рассуждениях операторы Д2 и A(t) можно заменить операторами, полученными в результате расширения по Фридрихсу. При э том все основные результаты, полученные для гладкой границы области П будут иметь место и для области с кусочногладкой границей.

Далее, известно [8|, что при наших предположениях для операторов А г (£) и Д выполняются условия (2), при этом константы Cj.ii в условиях (2) не зависят от t € [0,1]. Отсюда, в силу того, что оператор г ■ Д порождаем сильно непрерывную ограниченную полугруппу операторов, и в силу условий, при которых оператор , имеющий полную систему собственных функций, порождает С.Н.О.Г.О., полученных в работе [9], следует, что операторы - г ■ А и г ■ А' - эквивалентны.

При этом константы в условиях (2) не зависят от t. Этот факт позволяет доказать следующий результат.

Теорема 1 . Задача Коши (3) при сделанных выше предположениях имеет единственное решение u(x,y.t), принадлежащее пространству Lx((0,T), Я2(0)), где H2{ÇÏ) - пространство Соболева. Более того, если начальные функции щ Е D{Д2*), «i 6 £>(Д2* ') и S

при любом t g [О, Г], то и решение задачи Коши u(x, у, t) принадлежит области определения оператора Д2* при любом t 6 [0,7'].

Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд лемм.

Лемма 2 . Пусть для задачи Коши:

+ I € [О,Г] \и(0) = щ, ^ = и выполняются условия:

1. А — В2, где оператор В порождает {С.Н.О.Г.О. и имеет ограниченный обратный;

2. и0 £ 0(В2к), В Лщ £ П(В2к), В1}Щ е £>(В2*) при любом

£е[0,т].

Тогда задача Коши имеет единственное решение При этом;

и(()е^((0,т),й(ва)).

Доказательство

Известно [10], что при данных условиях задача Коши имеет единственное решение и((), которое можно записать в виде:

(8)

Так как оператор переводит 0(В2к) в 0(В2к), то из (7) сразу

получаем утверждение леммы 2.

Рассмотрим теперь задачу Коши вида:

' д2и

— = -аД2к +£(«)« +Дх,?/, г), ¿€[0,Т]

где и(х,у,Ь) удовлетворяет граничным условиям (4), и где

(9)

дх2 ду2 дхду'

/¿(¿) - непрерывные на [0,2"] функции. Лемма 3 При условиях:

1. Существует такая константа С, что

№)\<с, ¿ = 1,2,3, t е [0,71;

2. ип £ D{A2k), щ е D(A2h~1), А >/ б £)(Д2*) при любом t е [0,Г>а-дача Коши (8) имеет единственное решение u(t) 6 L°°((0, Т), D(A2k)).

Доказательство

Разобьем отрезок [0, Г] на п частей у

0 = ta < U < ■ ■ ■ < <n = Т На каждом интервале рассмотрим задачу Коши:

<д2и

dt2

= -а А 2и + Ln¡ku + f(x, y,t), te [t*, t*+i] du,

(10)

at'

где и удовлетворяет нулевым граничным условиям (4), Lnjc — L(tk),

un,k = "n,*-l(t*)< un,k - ¿^"»Л-i (**) где йп,к-1 - решение задачи вида (9) на интервале [ti_i,tj].

В силу леммы 2 задача (9) на [ifc,£*-i] имеет единственное решение йп,к е L°°((tkl ii+i), D(A2k)). Таким образом, получаем последовательность функций {ип(х, у, i)}, каждая из которых на соответствующем интервале [ijt,ijt+i] совпадает с Hnik(t). Ясно, что ип е Z/°°((0, Т), D(A2k)).

Покажем, что носледовательность {ы„} сходится в пространстве L°°((0, Т), H2(Q)), где Н2(С1) пространство Соболева, и ее единственный предел и(x,y,t) является решением задачи (8).

Действительно, пусть ип и ит - две функции из данной последовательности.

Тогда на соответствующем интервале [ij,ii+i] выполняется равенство

д'\ип - и„ dt2

• + а А2 (ип - ит) = (Lni - Lm,i)un + Lm¿{un - ит) .

Умножим последнее равенство скалярно на §¡(un—um). В итоге получим:

д_ dt.

dt.

(«n - «m)

+ 11(1

m,

ЩП)

dt.

(u„ - Um)

. (11)

ЩП)

Обозначим через

ГII = max |Ии*(П).

Тогда, учитывая, что \\Lmii(un - ит)||ьз(п) ^ С]||и„ - мт||я»(П), из оценки (10) получим: |¡ J¿(un - «m)||i2(n) < С2|К - ИтЦя^П)-

Отсюда и того факта, что нормы ¡|Ди||^2(П) и ||«]|яа(П) эквивалентны, из условия (10) получим:

^||Ип - «т||н2(П) ^ Сзет^ЦИп - ит||Я2(П) + С4||и„ - Мт||я2(П). (12)

где Ет,п ~> 0 при т, га —► оо, и константы Сз и сл не зависят от т и п.

Из условия (11) следует фундаментальность последовательности {ип} в пространство L°°((0, Г), Я2(П)).

Аналогичные рассуждения, показывают, что предел последовательности {и„} является решением задачи (8).

Далее, если ü„k решение задачи (9), то и'пк = ДйП1*, где Д - оператор Лапласа, является решением задачи Коши вида :

!д2и

— = —оД2к + Ln¿u + Д/ , í е [ti,, t|fc+1] «(.,*») = Д<», =

Рассмотрим последовательность функций {Дип}, где {ип} описанная выше последовательность. Ясно, что последовательность {Д«„} связана с задачей Коши:

!д2и

Т^Г = + М*)« + y,t), te [О,Т]

ди (13'

и(*,0) = Дмо, ■^■(•,0) = Диа .

В силу предыдущих рассуждений задача (12) имеет единственное решение щ(х,у, г). При этом Дип —> u¡ при п —♦ оо.

Повторив рассуждения 2к раз, получим: ип —» и, А2кип —<• U2i¡ при га —» оо. В силу замкнутости оператора Д (г'Д порождает С.Н.О.Г.О.) u(t) € ¿°°((0, Т), £>(Д2*)), что и завершает доказательство леммы 3. Доказательство теоремы 1

п

Рассмотрим разбиение области П на п областей О = (J и будем

3=1

считать функции <fi(x,y,t), г = 1,2,3, непрерывными по переменной t

и кусочнопостоянными по переменным (х,у), т.е. при любом значение t ¡Pi(x, у, t) |n = const. Тогда операторы

A(t.)u = —аА и + уг,(х, y,t)— + <р2(,х, y,t)-^-x + 2<р3(х, у, t)

дх2 ™ """'ау» ~™~>»'->дхду

удовлетворяют условиям: ДЛ(<) = А(4)Д.

В этом случае работает лемма 2, которая доказывает утверждение теоремы 1 в данном случае.

Далее, пусть функции ^(х, у, непрерывны в области <2. Рассмотрим

п

последовательность разбиений области П: = и и последователь-

j=l

ность задач Коши вида

1д2и

~ = —аА2и + ьп{г)и + Ых, у,г),ге [о, т]

ди ^

и(«,0) = и0, г "1 >

д^и д^и д2и

для точек €

В силу предыдущего задачи (13) определяют последовательность решений {и„}, где и»(х,у,4) 6 Ь°°{(0,Т), 13(Д2*)).

Рассуждения, аналогичные приведенным при доказательстве леммы 2, показывают, что последовательность {ип} сходится в пространстве £°°((0, Т), //2(П)) к функции и(х,у,£), которая является решением задачи (3) и которая принадлежит линеалу ¿оо((0,Т),1)(Д2*:)), что и завершает доказательство теоремы 1.

2. Вопросы существования, единственности и гладкости решений нелинейных уравнений механики

В [11] для достаточно широкого класса нелинейных уравнений обо-лочечных конструкций изучалась задача сохранения свойств решений й°, отвечающих набору параметров (р (величин нагрузок, геометрических и физических характеристик оболочки и т.д.), в зависимости от изменения параметров (}. А именно, изучались свойство единственности решений, что связано с вопросами устойчивости оболочечных конструкций, и свойство гладкости решений, что связано с вопросами сходимости проекционных методов. С этой целью был разработай метод линейной

аппроксимации по отдельным параметрам, который сводит задачу изучения перечисленных выше свойств решения нелинейной задачи к изучению соответствующих свойств решений некоторой последовательности линейных операторных уравнений вида (1).

Проиллюстрируем эту методику на примере известной модели Кармана

!1 О

с краевыми условиями:

dw

= *1г - Ъ

dfj г

= 0

Пусть й° = (и> о, t'a) - решение этой задачи, отвечающее нагрузке такое, что линейные операторы A(t) вида

,. . ,2 d2w cPw . d^w

A(t)w = аДв - ipi -тг-т - - 2^3-

дх2 ду'2 дхду '

г e a = £l- -- 9d2F0 9d2F0

Л 7/1 ' ^ 7 ду2 ' 7 дх2 ' ^3 7 3iôj/ '

(16)

являются пoлoжитeJtьнo определенными операторами в пространстве функцией из Ь2(П), удовлетворяющих условиям: ги|г = =0.

Рассмотрим нагрузку которая в малом отличается от 7п. Известный метод В.В. Петрова - метод последовательных нагружепий [12], прит водит к последовательности функций и* = (ги*, которая на каждом шаге получается в результате решения соответствующих систем линейных уравнений. Для последовательности {й"} строится последовательность операторных уравнений вида

дРи> л2 д2ю (Рт „ д2ю .,„.

_ = -аД № + + + ,п])хду + ^ • (17)

д д2 Р* д д^Р* д д^Р*

где <*,„ = = ¥>з,„ = УЧ» = - </„),

дш

и где 0) = адо, —(•, 0) =

Для операторного уравнения (16) применимы результаты теоремы1. Показывается, что возможен предельный переход от решений линейных

операторных уравнений (16) к решению системы (14). А именно, последовательность решений операторных уравнений (16) {й)„} сходится в пространстве £°°((0, Г),Я2(П)) к функции IV, которая является функцией прогиба, определяемая решением задачи (14). При этом задача (14) имеет единственное решение (ъи,Р), и если начальные функции и)о> ч>1 и нагрузка удовлетворяют условиям гладкости: т0 € 0(А21с), и>1 6 Д2*"1), ц € £>(Д2к) при каждом £ 6 [О, Г], то и решение (ш,^) является гладким, т.е. и> е 1°°((0,Т), Г>(Д2*)), Г € Ь°°((0,Т), £>(Д2*)).

Библиографический список

1. Купцов II.П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов - У.М.П. - 1968 - т.23 - вып.4 - С.117-178.

2. Терехин А.II. Ограниченная группа операторов и наилучшие приближения / В кн. Дифференциальные уравнения и вычислительная математика - Изд-во СГУ - 1975 - вып.2-112 с.

3. Кузнецова Т.А. Построение ограниченной группы операторов, действующей в и связанные с ней вопросы приближения сплайнами / В кн. Дифференциальные уравнения и теория функций -Изд-во СГУ - 1981 - С.52-59.

4. Кузнецова Т.А. Ограниченная группа операторов и теория приближения в комплексных областях / В кн. Вычислит методы и программирование - Изд-во СГУ - 1981 - С.53-62.

5. Кузнецова Т.А. Ограниченная группа операторов и вопросы приближения в двусвязных комплексных областях/ В кн. Дифференциальные уравнения и теория функций - Изд-во СГУ - 1991 - С.41-46.

6. Соболев С.А. Приложения функционального анализа к математической физике- Л.:Наука - 1950 - 320с.

7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике - М: Наука - 1966 - 510с.

8. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов

М.:Наука - 1966 - 432с.

9. Кузнецова Т.А. Отыскание полугруппы операторов целой, экпонен-циального типа на заданных подпространствах//Диссертация на соискание ученой степени к.ф.м.н.-Саратов - 1981.

10. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве - М.:Наука - 1967 - 320с.

11. Кузнецов В.Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных конструкций //Диссертация на соискание ученой степени д.т.н. -Саратов - 2000г.

12. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек //Диссертация на соискание ученой степени д.т.н. - Саратов - 1971.

УДК 517.5

А.Л.ЛУКАШОВ

Точное решение одной задачи

построения оптимального электрического фильтра 2

Пусть у = Д,„(х) - невырожденное решение задачи синтеза многоно лосного электрического фильтра

тахтео<1 |Я(х)|

-ГБГТГ-* 111111 > (!

тах1ед, |Д(х)|

А> = и?=1[аи-1,а2<],£>1 = иу^-ьМ^оПД = 0, щ < ... < а2р;

¡>1 < ... < Ьзд, с максимальным числом точек уклонения со степенями числителя и знаменателя то (см. [9]), можно также заметить, что эта задача по существу совпадает с третьей задачей Золотарева для конденсатора (Д>, Ох), [4]). Эта же задача также возникает в задаче нахождения оптимальных параметров в методе переменных направлений [5, 6],(10, глава 8]. Из результатов работы [9] следует, что Дт(х) допускает аль-тернансную характеризацию, означающую, в частности, что при наших предположениях Ят(х) совпадает с точностью до числового множителя

2Работа финансировалась за счет гранта РФФИ 00-15-96123 и МО РФ(проект Е00-1.0-192).