Спектральный критерий локальной потери устойчивости тонких оболочечных конструкций произвольной конфигурации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

2. Кузнецов В.Н. Аналог теоремы Сеге для одного класса рядов Дирихле // Мат. заметки. 1984. Т. 36, вып. 6.

УДК 539.3+517.4 Т.А. КУЗНЕЦОВА, К.А. БАЕВ, С.В. ЧУМАКОВА

/ Ч__U __U

Спектральный критерии локальной потери устойчивости тонких оболочечных конструкций произвольной конфигурации

В данной статье указан достаточно широкий класс оболочечных конструкций и класс нелинейных моделей, описывающих поведение этих оболочечных конструкций при воздействии различных нагрузок, для которых доказывается спектральный критерий локальной потери устойчивости.

При нагрузках, близких к критическим, то есть близких к тем нагрузкам, при которых наблюдается «прощелкивание» оболочки, в отдельных точках и в малых окрестностях таких точек возникают критические напряжения, в результате которых локально появляются малые вмятины. На языке решений модельной задачи это означает, что в окрестности отдельных точек нарушается однозначность решения нелинейных уравнений. В этом случае говорят о локальной потере устойчивости тонких оболочечных конструкций.

В статьях [1], [2] были получены спектральные критерии локальной потери устойчивости в статическом и динамическом случае соответственно для прямоугольных в плане оболочек. В [3] была указана актуальность решения задачи определения точек локальной потери устойчиво-

сти и была получена вычислительная схема реализации спектрального критерия для прямоугольных в плане оболочек.

Здесь будет получен спектральный критерий потери устойчивости для оболочек общего плана.

Рассмотрим класс тонких оболочек, серединная поверхность которых О является областью с кусочногладкими границами и которые жестко закреплены по краям. Для таких оболочек будем рассматривать геометрически нелинейные модели в рамках теории Кирхгофа—Лява или теории Тимошенко. Решения модельных задач рассматриваются в пространстве Соболева Н2(О). Вопросы существования и единственности решений таких нелинейных моделей изучались в работе [4]. А именно было показано, что решение и0 нелинейной системы уравнений, полученное в данный момент времени, является единственным решением, если линейный, самосопряженный оператор вида

д 2и д 2и д 2и

А-и) = Ао^)- у, г)— у 0ду! — У'1)дХду' (1)

где А0 - это оператор аА2 в случае модели Кирхгофа—Лява и оператор —аА в случае модели Тимошенко, а функции однозначно определены решением и0 и параметрами ф0, отвечающими решению и0, действующий в пространстве функций из Ь2(О), удовлетворяющих граничным условиям, отвечающих жесткому закреплению краев оболочек, является положительно определенным.

Аналогичный факт имеет место и в статическом случае.

В работах [1], [2] в случае прямоугольных в плане оболочек было показано, что единственность решений нелинейной системы уравнений как в статическом, так и в динамическом случае равносильна положительной определенности операторов вида (1), рассматриваемых в каждой точке области О.

В данной работе аналогичный факт доказывается в случае области О с кусочногладкой границей.

А именно доказывается спектральный критерий локальной потери устойчивости, который в статическом случае формулируется следующим образом:

Теорема 1. Точка М (х0,у0) тогда и только тогда является точкой локальной потери устойчивости, когда в этой точке спектр оператора вида (1) содержит нулевое значение.

Замечание 1. Как известно [5], в случае кусочногладкой границы области О, оператор вида (1), действующий в пространстве функций из Ь2(О), удовлетворяющих граничным условиям

дЖ

Ж |г =

= 0,

г

дп

является самосопряженным оператором. Следовательно, этот оператор имеет вещественный спектр. В случае положительной определенности его спектр строго положительный (см. по этому поводу, например [6]).

Замечание 2. В данной работе мы приведем доказательство только утверждения теоремы 1. Аналогичный результат имеет место и в динамическом случае. Для доказательства этого факта достаточно воспользоваться рассуждениями, приведенными в работе [2].

Доказательству теоремы 1 предпошлем ряд утверждений. В работе [4] задача однозначности решений нелинейных уравнений из описанного выше класса модельных задач была сведена к задаче однозначности решений некоторой последовательности линейных операторных уравнений вида

д2гш д 2гш д 2гш

+ ф1(х,У)+ ^(х, У)ду! + У)дХду = 0, (2)

в пространстве функций из Ь2(О), удовлетворяющих граничным услови-

= 0. (3)

ям:

,,, дЖ

Ж|г = Ж

г

Изучим прежде всего задачу однозначности решений уравнений вида (2) в классе функций, удовлетворяющих граничным условиям (3).

Во-первых, рассмотрим случай постоянных функций <^1(х, у), ^2(х, у), (р3(х,у). Обозначим их Тх, Ту, Тху соответственно. Оператор, стоящий в левой части уравнения (2), обозначим А.

Задача единственности уравнений вида (2) в этом случае изучалась в [7]. Как показано в [5], оператор А является самосопряженным оператором, действующим в пространстве функций Н0, удовлетворяющих условию (3). Следовательно, существует ортонормированный базис этого пространства, состоящий из собственных векторов. Спектр этого оператора является вещественным. В [7]показано,что спектр такого оператора является строго положительным, если

|Тх| <С, |Ту| <С, |Тху| <С, (4)

где С - некоторая константа.

Итак, при условии (4) оператор А будет положительно определенным и уравнение (2) в пространстве Н0 будет иметь единственное (нулевое) решение.

Иная ситуация возникает, если |Тх|, |Ту |, |Тху | возрастают. Тогда оператор А перестает быть положительно определенным и уравнение (2) может иметь ненулевое решение. Для пояснения последнего факта рассмотрим уравнение вида

А0- — Л (—Т) и = 0, (5)

где оператор —Т определяется следующим образом:

_ _ д2и _ д2и _ д2и , х

—Ти = —Тх__Т__Тх _, (6)

х дх2 у ду2 ху дхду'

где Тх ^ 0, Ту ^ 0, Тху ^ 0.

Как показано в [7], оператор вида (6) является положительно определенным оператором, действующим в пространстве Н0. Далее, в [7], гл. V,

§ 29 показано, что в этом случае уравнение (5) при определенных значениях Л:

0 < Л1 < Л2... < Лп < ...,

где Лп ^ ж при п ^ ж имеет ненулевое решение /п из пространства Нс, при этом /п, отвечающие различным значениям Лп, образуют ортогональную систему функций в Нс.

Таким образом, если Тх ^ 0, Ту ^ 0, ,Тху ^ 0, то либо уравнение

_ д2и _ д2и _ д2и . х

Аси + Тх—г + Ту—г + Тху= 0 (7)

дх2 ду2 дхду

имеет только нулевое решение и в этом случае спектр оператора А строго положительный, либо имеет ненулевые решения, среди которых конечное число ортогональных функций /п, и спектр оператора А в этом случае содержит нулевое значение, а любое решение уравнения (7) в пространстве Нс можно представить в виде

Ж = ^' Сп/п, (8)

п

где суммирование происходит по тем п, для которых /п — решение уравнения (7).

Рассуждения, приведенные в [7], гл. V, § 29, показывают, что подобный результат имеет место и в случае произвольных знаков у величин Тх,Ту,Тху за исключением случая, когда оператор вида (6) после поворота системы координат приводится к виду

_ д2 и д 2и

—Ти = - Т--Т-,

х дх2 у ду2 ,

где Т'х ^ 0, Ту ^ 0.

Далее, рассмотрим разбиение области О на N областей О^ с ку-сочногладкими границами. Будем считать, что Тх, Ту, Тху — кусочно-постоянные функции, а именно являются константами на О^.

Рассмотрим следующую задачу в области О^

д2и _ д2и „ д2и у ду2

дЖ

А0- + Т^—г + Ту—г + Тх^^- = 0, (9)

дх2 ду2 дхду

Ж |г. =

= 0. (10)

Г;

* дп

В силу предыдущих рассуждений и конкретно формулы (8) имеет место

Лемма 1. Если задача (9) имеет нетривиальные решения, то каждое такое решение можно представить в виде

= ^' вп^. (11)

п

Отметим, что любое множество ненулевых функций опреде-

ляет некоторое ненулевое решение задачи (2), (3) в случае кусочно-постоянных функций ^¿(х,у).

Наконец, рассмотрим случай произвольных Тх,Ту,Тху.

Допустим, что существует точка (х0,у0) € О, для которой в случае Тх = (х,у), Ту = ^2(х,у), Тху = ^з(х,у) задача (9), (10) в некоторой области О^ имеет ненулевое решение.

Покажем, что в этом случае существует ненулевое решение задачи (2), (3) в случае непрерывных функций ^1(х,у), ^>2(х,у), ^>3(х,у).

В качестве начального приближения рассмотрим некоторую функцию Ж^, порожденную функциями вида (11), где 0 < вп,г < с1.

Допустим, что мы построили функцию —1 задачи (2), (3) в случае разбиения области О на —1 частей и в случае кусочно-постоянных функций ^1(х,у), ^>2(х,у), ^3(х,у). Тогда функцию определим следующим образом.

Рассмотрим разбиение области О на 2^ частей и на О^ рассмотрим задачу вида

д 2и д 2и д 2и

А0- + ^(хг,уг) дх^ + ^2(хг,уг) "ду^ + ^з(хг,уг) дхду = 0, (12)

где (хг,уг) - некоторая точка, принадлежащая области Ог. Положим

= + -1/О, (13)

где — решение следующего уравнения:

д2и д 2и д 2и

Аси + ^(хг,уг) + ф2(хг,уг) ду2 + Vз(х.,уг) дхду = Ям,г(х,у) (14)

с однородными граничными уравнениями в области Ог,

, ч л ( ,с)2им-1 , ( ,с)2им-1 где Яы,г(х,у) = АсиМ-1 + (р1(хг,уг)—дх2--+ ^с2(х1,у1)—^у71--+

с)2им-1 , ,

+ ^^-дмуТ. (15)

Ясно, что если Ж— некоторое решение уравнения (14), то функция вида (13) является решением задачи (12). Задача (14) имеет решение. Этот факт доказывается на основании тех же рассуждений, что приведены в [8], гл. I, § 4.3.

Рассмотрим некоторую последовательность рещений ,

г = 1,2,..., 2м задачи (12) вида (13). Они образуют нетривиальное решение Жм задачи (2),(3) в случае кусочно-постоянных функций ^ъ

Относительно последовательности {Жм} имеют место следующие утверждения.

Лемма 2. Существует такая последовательность разбиений области О, для которой последовательность функций } ограничена в пространстве Соболева Но (О).

Доказательство леммы 2 повторяет доказательство леммы 7 в работе [9].

Лемма 3. При условии леммы 2 существует такая последовательность функций {ЖМк}, которая сходится в пространстве Ь2(О).

Доказательство леммы 3 повторяет доказательство леммы 8 в работе [9].

Утверждения лемм 2 и 3 позволяют провести рассуждения, аналогичные тем, что проведены в работе [8], гл. I, § 4.3, в силу которых получается следующий результат.

Лемма 4. Пусть в области О существует точка х0, у0, для которой задача (9) при Тх = ^1(х0,у0), Ту = ^2(х0,у0), Тху = ^з(х0,у0) имеет нетривиальное решение. Тогда задача (2), (3) имеет нетривиальное решение.

Как следствие леммы 4, получаем спектральный критерий неоднозначности решения задачи (2), (3). Имеет место

Лемма 5. Задача (2),(3) тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда существует точка (х0,у0) € О, в которой спектр оператора А вида

д 2и д 2и д 2и

= А0 и + <^1(х0,у0) дх2 + ^2(х0,у0) "ду2 + ^з(х0,у0) дхду (16)

содержит нулевое значение.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1 Как уже говорилось выше, наличие точек локальной потери устойчивости оболочечных конструкций связано с неоднозначностью решения соответствующей нелинейной локальной задачи.

В [4] неоднозначность решения модельной задачи при заданных параметрах д0 была сведена к неоднозначности решения задачи (2), (3), где функции ^¿(х,у), г = 1, 2,3 однозначно определяются некоторым решением модельной задачи, определяемой д0. Таким образом, утверждение теоремы 1 непосредственно следует из утверждения леммы 4.

Библиографический список

1. Кузнецова Т.А., Шабанов Л.Е, Чумакова С.В. Спектральный критерий потери статической учтойчивости прямоугольных в плане оболочеч-ных конструкций // Проблемы прочности элементов конструкций под

действием нагрузок и рабочих сред: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во СГТУ, 2003. С. 143-146.

2. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В. Операторные методы в нелинейной механике // Исследование по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 70-80.

3. Шабанов Л.Е. Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений параметров при расчете оболочечных конструкций: Дис... .канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.

4. Кузнецов В.Н. Метод последовательных возмущений параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболо-чечных конструкций: Дис.... д-ра. техн. наук. Саратов, 2000.

5. Соболев С.А. Применение функционального анализа к математической физике. Л.: Наука, 1950.

6. Рис Ф, Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

7. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1957.

8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

9. Кузнецов В.Н., Кузнецова Т.А., Чумакова С.В., Шабанов Л.Е. Операторный подход в задаче статической потери устойчивости оболочечных конструкций // Исследование по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. С. 59-70.

УДК 519.21

Н.Н. МАНУЙЛОВ Двухцветный сдвиг окружности1

ВВЕДЕНИЕ

В работе рассматривается орбита Orb£(x) = {Se(x)}|=0, порожденная начальной точкой x и двухцветным сдвигом S£ = S£ (д, 1) для ир-рациональностей т9 = 9+^Jg +4, где g = 2,3,... Двухцветный сдвиг S£ определен на единичном полуинтервале следующим образом:

x -—> x + дт9 mod 1, если x G I+, x -—> x + т9 mod 1, если x G I~,

где I+ и I~ - полуинтервалы из подразбиения единичного полуинтервала

I = I+ 01-.

При этом I+ = [0, е) и I- = [е, 1), где £ - непрерывный параметр, принимающий произвольное значение из единичного полуинтервала I.

В.Г. Журавлевым [1] был изучен двухцветный сдвиг S£(2,1) для квадратичной иррациональности т\ =

x -—> x + 2ti mod 1, если x G I+, x -—> x + т\ mod 1, если x G I~.

В нашем случае двухцветный сдвиг S£(g, 1) для т9, где д =1, сводится к простому сдвигу

x -—> x + т\ mod 1.

По этой причине рассмотрен класс иррациональностей т9, где д = 2,3,4,...

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 02-01-00368.