Оператор волнового взаимодействия и его применение Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ГББМ 1994-0408

Оператор волнового взаимодействия и его применение 77-30569/246173

# 10, октябрь 2011

Феоктистов В. В., Мякинник О. О.

УДК 517.952

числовые некоммутативные, вообще говоря, матрицы порядка п с элементами {а-}”•,=!, Е — единичная матрица. Система разрешена относительно производной по ¿, представляет собой нормальную форму системы линейных однородных уравнений в частных производных 1-го порядка и является системой Ковалевской [3].

В [4] для системы дифференциальных уравнений поставлена задача построить решение, в котором используется матричная запись коэффициентов. Система (1) задана, если задана последовательность коэффициентов при производных в ее правой части. Выясним каким образом матрицы Ак, к = 1,в, могут быть включены в решение системы (1).

Рассмотрим последовательность произвольных числовых матриц размера п х п и соответствующую ей последовательность независимых переменных:

МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

1. Введение

Рассмотрим систему уравнений

(1)

В(Ь, х) = (В\(Ь, х),..., Вп(Ь,х))т, х = {х\,..., х8),

где В(Ь,х) — неизвестная п-мерная вектор-функция (в + 1) аргументов, Ак — квадратные

2. Коммутатор бегущих волн

А,..., Лр), (х1,...,хр), р =1,в.

(2)

Из элементов (2) построим линейные комбинации

Хк = (Ехк + іЛк), к =1,р,

(3)

где Е — единичная матрица соответствующего размера, Ь — независимая переменная, которая не содержится в (2). При п =1 выражения (3) являются р независимыми первыми интегралами системы обыкновенных дифференциальных уравнений

и такими решениями уравнения в частных производных (1), которые имеют форму элементарной волны [1] и по определению принимают постоянное значение Ск на плоскости (хк, Ь):

При п = 1, р = 1 прямые (4) представляют собой характеристики уравнения (1) [2].

Пусть п > 1, Ск — числовые матрицы размера п х п. Следуя [1], примем за определение волны ее свойство сохранять постоянным некоторый параметр (или совокупность параметров). Рассмотрим с этой точки зрения построенные выражения (3) и (4). Если переменная Ь отвечает физическому времени, а переменные хк являются пространственными, то говорят о распространяющейся [1] или бегущей волне [3]. Сохранив в названии аналогию со скалярным случаем, при п > 1 будем называть выражения (3) бегущими волнами с матричными коэффициентами, опуская в некоторых случаях указание на размерность.

Каждая из бегущих волн (3) является решением системы (1), но содержит только одну пространственную переменную и соответствующий ей коэффициент при производной. При попытке построить функцию 5 бегущих волн, включая в решение все задающие систему коэффициенты Ак, к = 1,в, возникает проблема некоммутативности умножения матриц.

Поставим в соответствие последовательностям (2) множество Ур, элементами которого являются матрицы Ак, построенные на их основе бегущие волны Хк, а также любые их степени с натуральным показателем:

При і = і результат действия коммутатора на матрицы Лі и Хі равен нулю, поскольку произвольная матрица коммутирует с одноименной волной. Действие коммутатора на волны обладает следующими свойствами:

Е ¿х1 Е ¿х2

Е ¿хр

Е ¿і

Л1 Л2

(Ехк + Лк і) = Ск, Ск = сопві, к = 1,р.

(4)

Л? Є Ур, хак Є Ур, Хк = (Ехк + іЛк), ак Є N0, к = 1,р.

(5)

Рассмотрим на элементах множества Ур коммутатор:

[Лi,Лj ] = ЛiЛj — Л^ Лі,

[Лі,Х3 ] = ЛiXj — Хі Лі,

[Х1}Х, ] = ХіХі — Хі Хі, і,і = т;р.

(6)

[Лі, Хі] = [Хі, Лі],

[Хі,Хі] = і ■ [Лі,Хі] і,і = 1,р.

(7)

(8)

Для проверки достаточно раскрыть квадратные и круглые скобки, воспользовавшись их определением (6) и (3). Принимая во внимание название аргументов коммутатора, назовем операцию (6) на множестве Vp коммутатором волн.

Таким образом, для последовательности произвольных числовых матриц (2) и построенных на основе этих матриц бегущих волн (3) имеют место перестановочные свойства (7)-(8).

3. Оператор волнового взаимодействия и его свойства

Введем обозначение

Wa = W (X? 1 ,X2a 2 ,...,Xap), (9)

а = (ai,..., ар), ||а|| = аі + ■ ■ ■ + ар,

для оператора, заданного на множестве (5). Нижний индекс p задает число волн-аргуменов, мультииндекс а размерности p определяет порядок вхождения каждой из p волн. Если явно указаны аргументы оператора и их порядок, то индексы при W будем опускать. Рассмотрим оператор (9), который обладает следующими свойствами:

wp(°,..’afc,-,о) = w(xkak) = xik, wp°>...’0) = e, k = i;p, (io)

р

wpi-l) = ^ Xk W (Xi,...,Xk-i,Xk+i,...,Xp), (11)

k=i

p

Wpa = ^ Xk w (Xa1 ,...,X(ak-i),...,Xpp). (i2)

k=i

Под действием оператора по мультииндексу произвольной размерности на волны, связанные с направлением, которое выделено единственной ненулевой компонентой мультииндекса (Свойство (10)), будем понимать действие единичного оператора; оператор по мультииндексу с нулевыми компонентами представляет собой единичную матрицу.

Рассмотрим оператор по мультииндексу а, длина которого | а| равна его размерности p (Свойство (11)). Аргументами оператора являются p разноименных волн. В результате действия оператора получим сумму всех возможных произведений волн-аргументов. Действительно, пусть все компоненты трехмерного мультииндекса равны единице:

p = 3, а = (а1,а2,а3) = (1,1,1).

Тогда в соответствии с (11) получим следующий результат действия оператора:

W3(1,M) = XiW (0’м) + X2W (1’°’1) + X3W (1’1’0) =

= Xi (X2W(X3)+ X3W(X2)) + +X2 (XiW(X3) + X3W(Xi)) + +X3 (XiW(X2) + X2W(Xi)) =

= XiX2X3 + XiX3X2 + X2XiX3 + X2X3Xi + X3XiX2 + X3X2Xb

Произведение волн будем понимать как их взаимодействие. Таким образом, в (11) рассмотрен результат взаимодействия р разноименных волн с учетом последовательности их взимодействия.

В (12) под знаком оператора находится р разноименных волн, каждая из которых имеет порядок ак, задаваемый компонентами мультииндекса а. Рассмотрим действие оператора по двумерному мультииндексу с компонентами 2 и 1:

W2(2’1) = ХіЖ>(1>1) + Х2 ж2(2,0) =

= Хі (х^2(0Д) + X2W2(1’0)) + X2W(х2) =

= Х1 (XlW (Х2) + Х2 W (Х1)) + X2W (Х?) =

= Х1Х1Х2 + Х1Х2Х1 + Х2(Х2) =

= Х?Х2 + Х1Х2Х1 + Х2Х?.

Соотношения (10)—(12) определяют некоторый закон взаимодействия бегущих волн (3). Назовем введенный оператор W" оператором волнового взаимодействия по мультииндексу а размерности р. Назовем ||а|| и р соответственно порядком и размерностью (оператора) волнового взаимодействия. Формула (12) позволяет понижать порядок оператора, формула (11) связывает операторы по мультииндексам разной размерности.

Рассмотрим операции дифференцирования оператора волнового взаимодействия W". Продифференцируем аргументы оператора:

дХк = ОХк = ОХк = Е

дЬ к ’ дХк дХк .

Вычислим производную оператора по Ь в простейшем случае двумерного мультииндекса с единичными компонентами:

О О

— w2( ’ ) = — [Х1Х2 + Х2Х1] = А1Х2 + Х1А2 + А2Х1 + Х2А1. дЬ дЬ

При преобразовании выражений, содержащих элементы множества Ур, будем стремиться выносить матрицы Ак, к = 1, р, в качестве коэффициента слева. Из равенства [А1;Х2] = [Х1, А2] следует, что

Х1А2 + Х2А1 = А2 Х1 + А1Х2.

Тогда

О

д-^2(1Д) = 2 (AlW(Х2) + A2W(Х1)). (13)

Иногда свойство (7) коммутатора волн удобно применить в виде соотношения

АіХі + А ^ Хі = Х^ Аі + ХіАі , (14)

которое в [5] названо свойством коммутативности по сумме произведений.

Если, как и в рассмотренном примере, порядок оператора равен его размерности, то имеет место следующее правило дифференцирования:

д р

-^1>-’1) = W (Х1,...,Хк-1,Ак ,Хк+1,...,Хр) =

к=1

Р

= р ^ Ак W (Х1,...,Хк-1,Хк+1,...,Хр) = к=1

Р

= р ^ AkWг(-’l"1), р = ||а||, р =1,в. (15)

к=1

В результате дифференцирования по Ь уменьшилась размерность оператора: каждая из волн Хк, являющихся аргументом оператора, последовательно заменена матрицей, ее образующей; для вынесения матрицы Ак за знак W использовано свойство (7), которым обладает коммутатор волн.

Рассмотрим далее дифференцирование оператора волнового взаимодействия по его аргументу. Выполнение этой операции связано с понижением порядка оператора:

дд

----Wа = --------w (Х?1 ,...,Х?к ,...,Хар ) =

дХк УУр дхк ™ (Х ’...,Хк ’...,ХР )

= ||а| W(Ха1 ,...,Хкак-1),...,Хар) =

= ||а|| w¿al^■■■^ak-1^■■■^ak), р = Т^в. (16)

Доказательство правил дифференцирования (15) и (16) для оператора волнового взаимодействия произвольных размерности и порядка приведено в [5].

Из правила дифференцирования (16) вытекает следующее соотношение между частными производными и мультииндексами операторов волнового взаимодействия:

д д ________________________________________________________

Wp«ь••-«p) = wp(al’•••’ak-1’-’“*+1>->“р), к = ], к,] = 1,р. (17)

дХк р дХ3 р

Равенство (17) означает, что при изменении волнового взаимодействия фиксированной размерности р и выбранного порядка ||а || в направлении волны Хк, такие же изменения происходят с ’’близкими” взаимодействиями таких же размерности и порядка в направлении других волн. Иными словами, если для бегущих волн (3) выбран закон взаимодействия (10)—(12), то изменения происходят равномерно.

Формулы дифференцирования оператора волнового взаимодействия по волне-аргументу (16)— (17) являются следствием свойства (12), которым обладает оператор.

4. Построение решения системы (1)

Рассмотрим обратное соответствие между последовательностью произвольных матриц и системой (1). Пусть А — линейный дифференциальный оператор 1-го порядка, заданный

последовательностями (2):

Пользуясь правилом дифференцирования (16), вычислим действие оператора А на оператор волнового взаимодействия размерности р, аргументами которого являются построенные из элементов (2) бегущие волны (3):

к=1

Пусть далее Ьр — линейный дифференциальный оператор 1-го порядка, отвечающий системе (1) при ^ = р:

Имеют место следующие свойства дифференциального оператора Ьр, заданного последовательностью матриц и соответствующей ей последовательностью переменных (2), по отношению к оператору волнового взаимодействия Шр, заданного теми же последовательностями:

Отметим, что свойство (22) является следствием свойства коммутатора волн (7) и определения оператора волнового взаимодействия со свойством (12).

Во введенных терминах и обозначениях сформулируем доказанную в [5] Теорему о разложении решения системы (1) в ряд.

Теорема 1. Система уравнений в частных производных 1-го порядка

где В(Ь,х) — неизвестная п-мерная вектор-функция, Ак — квадратные числовые матрицы порядка п, Е — единичная матрица, имеет решение

где — оператор волнового взаимодействия по мультииндексу а размерности в, 'Уа — п-мерный числовой вектор-коэффициент.

р

(19)

Lp = [ді — A], ді — Е ■ д/дt, р > 1.

(20)

ЬрХк — 0, Хк — (Ехк + tAk), к —1,р,

(21)

р

р > 1,

(22)

ЬдV" — 0, р <д.

(23)

ГО

ГО

я^.х) — £ и™'■ % = £ и(хї\х?,...,х;-)■

а — (аі,..., а3), II а | — а і + ••• + а3,

х — (хі,...,х3), Хк — (Ехк + tAk),

(24)

Суммирование в ряде (24) производится по мультииндексу а, отвечающему мультииндексу оператора Размерность оператора равна числу независимых переменных, по

которым выполняется дифференцирование в правой части системы. Члены ряда сгруппированы по порядку волнового взаимодействия ||а||. По построению каждый отдельный член ряда (24) и любая его частичная сумма являются решениями системы.

Для доказательства утверждения Теоремы существенно используются свойства коммутатора волн (7)-(8) и соотношение (17) между производными оператора волнового взаимодействия [5].

Решение (24) системы (1) имеет разделенный вид. Разделение выполнено по бегущим волнам, составленным из матричных коэффициентов системы. Назовем сформулированную теорему Теоремой о разложении по бегущим волнам.

5. Заключение

Для (1) построено решение, которое не требует перехода к поэлементной записи коэффициентов системы. Каждый матричный коэффициент системы включен в виде коэффициента при переменной t в бегущую волну. Бегущие волны с матричными коэффициентами рассмотрены в качестве аргументов оператора волнового взаимодействия. Результатом действия оператора является сумма всех возможных произведений волн-аргументов с учетом последовательности умножения матриц. Установлено, что коммутатор волн, построенных для произвольных матриц, обладает перестановочными свойствами, что позволяет решить проблему некоммутативности умножения матриц, задающих систему

Список литературы

1. P. L. Bhatnagar Nonlinear waves in one-dimensional dispersive systems. Clarendon Press Oxford, 1979 [имеется перевод: Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. — М.: Мир, 1983. — 136 с.].

2. Годунов C. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 392 с.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 829 с.

4. Скоробогатъко В. Я. Решение системы дифференциальных уравнений матричным методом // ДАН УССР 1988, т. 3. С. 28-31.

5. Феоктистов В. В., Мякинник О. О. Структура ряда для решения системы уравнений с частными производными 1-го порядка // Вестник МГТУ Серия ’’Естественные науки”. 2009. № 4 . С. 3-22.

SCIENCE and EDUCATION

El № FS77 - 30569. №0421100025. ISSN 1994-0408

Wave Interaction Operator and Its Application 77-30569/246173

#10, October 2011 V. Feoktistov, O. Miakinnik

Bauman Moscow State Technical University

[email protected]

The term traveling matrix waves is coined and commutative rules are revealed for the waves. A wave interaction operator is constructed and operator’s derivatives are found. The operator is applied to solving the 1st order Cauchy system with numerical matrix coefficients.

References

1. P. L. Bhatnagar Nonlinear waves in one-dimensional dispersive systems. Clarendon Press Oxford, 1979.

2. Godunov S. K. Uravneniya matematicheskoy fiziki. M.: Nauka, 1979. 392 s.

3. CourantR. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi. M.: Mir, 1964. 830 s.

4. Skorobogat’ko V. Ya. Resheniye sistemy differentsialnykh uravneniy matrichnym metodom // DAN USSR. 1988. T. 3. S. 28-31.

5. Feoktistov V V., Miakinnik O. O. Struktura riada dlia resheniya sistemy uravneniy s chastnymi proizvodnymi 1-go poriadka // Vestnik MGTU. Seriya ”Yestestvennye nauki”. 2009, N 4.

S. 3-22.