CC BY
30
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 372-391.
Б01: 10.7463/1214.0744956
Представлена в редакцию: 28.06.2014 Исправлена: 02.12.2014
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 517.956.32+533.72
Малые возмущения идеального газа: волны, инварианты и задача Коши
Л "к Л
Феоктистов В. В. ' , Мякинник О. О. [email protected]
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Модель волнового взаимодействия, разработанная авторами для нормальной системы линейных однородных уравнений в частных производных 1-го порядка, которая задана числовыми матрицами порядка п при производных, рассмотрена в приложении к задаче о распространении малых возмущений в идеальном газе при одномерном течении. Модель основана на понятии п-мерной бегущей волны, коэффициент которой является матричным коэффициентом системы. Найдено решение задачи с использованием традиционного подхода к решению гиперболической системы и средствами модели волнового взаимодействия. Установлена связь между волнами, распространяющимися с характеристическими скоростями, и п-мерными бегущими волнами. Решение задачи Коши представлено как разложение в ряд по п-мерной бегущей волне с коэффициентами, равными коэффициентам разложения аналитической начальной вектор-функции в ряд Тейлора.
Ключевые слова: гиперболическая система; бегущие волны; инварианты Римана; п-мерные бегущие волны; разложение по бегущим волнам; решение задачи Коши; идеальный газ; малые возмущения
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0408
1. Введение
Привлечение средств функционального анализа для аналитического решения уравнений математической физики является актуальной задачей. Предложенный авторами аппарат аналитических функционалов специального вида имеет применение к исследованию систем уравнений в частных производных 1-го порядка, которые заданы произвольными некоммутативными, вообще говоря, числовыми матрицами. В работе рассматривается приложение этого аппарата к уравнениям газовой динамики.
Нестационарные уравнения газовой динамики, выражающие законы сохранения, являются уравнениями гиперболического типа. Свойство гиперболичности тесно связано с существованием решений специального вида, которые обладают свойством инвариантности. Такие решения называют бегущими волнами [1, 2, 3, 4].
Напомним, что гиперболическая система п, п > 1, однородных дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка относительно независимых переменных (£, х),
х = х5, и однородное уравнение в частных производных порядка т, т > 1, относительно переменных (Ь, х), х = (х1,..., х8), 5 > 1, имеют решения, которые сохраняют свои значения на характеристических прямых и гиперплоскостях соответственно [2, 3]. Случай п = 1, 5 = 1 и т = 1, 5 = 1 соответствует простейшему уравнению в частных производных, решением которого является элементарная волна [4, 5].
Для построения волны следует определить коэффициенты при независимых переменных ввыражении (и0Ь+и • х), и • х = и1 х1 +... + и8х8, решив для этого алгебраическое уравнение, построенное по определенному правилу из числовых коэффициентов дифференциального уравнения или системы уравнений.
Хорошо известными примерами являются: система уравнений акустики (п = 2) и ее решение в виде элементарных волн (х5 — аЬ) и (х5 + аЬ), распространяющихся со скоростью звука а вдоль координатной оси 0Х5 [1, 2, 6]; волновое уравнение (т = 2) в пространстве 5 переменных, которое порождает волну f (и0Ь + и • х) (здесь f — произвольная гладкая функция), распространяющаяся в направлении вектора (и0,и) [1, 3].
В работах [7, 8, 9] для системы
дВ 5 дв
= Ак В =(В1 (Ь,х),...вп (Ь,х))т, х = (хь ... ,хв), (1)
г^де Ак, к = 1,5, — числовые квадратные матрицы порядка п, Е — единичная матрица, безотносительно к определяемому матрицами-коэффициентами типу рассмотрены решения (Ехк + АкЬ), к = 1, 5, и функции от них. По аналогии с элементарными волнами такие решения названы бегущими волнами с матричными коэффициентами или п-мерными бегущими волнами. При 5 =1 в случае гиперболичности системы (матрица А5 подобна диагональной жордановой матрице) введенная п-мерная бегущая волна имеет полную интерпретацию через п элементарных волн, которые рассмотрены как скалярные [10].
Несмотря на существование численных методов решения системы (1) в приложении к отдельным физическим процессам (например, [6]), актуальным является построение аналитического метода решения этой системы и связанной с ней задачи Коши при произвольных п, в и произвольных матричных коэффициентах Ак, к = 1, е. Для системы (1), которая характерна для различных областей математической физики [11], в работах [7, 8, 9] авторами построена модель волнового взаимодействия. Элементами модели являются: п-мер-ные бегущие волны, содержащие коэффициенты системы Ак, к = 1,5, которые распространяются по координатным осям и находятся во взаимодействии; оператор волнового взаимодействия, характеризующийся размерностью 5; отвечающая системе операторная экспонента.
В рамках модели общее решение системы (1) представлено как разложение в ряд по взаимодействующим бегущим волнам с неопределенными числовыми вектор-коэффициентами. Найденное решение в явном виде содержит матрицы-коэффициенты Ак, к = 1,5, задаю-
щие систему. Для получения решения задачи Коши достаточно в общем решении заменить неопределенные коэффициен ы на век орные коэффициен ы разложения анали ической начальной функции в ряд Тейлора [8].
В качестве физического процесса для интерпретации введенных в [7, 8, 9] понятий и выполненных пос роений выберем ечение идеального газа, линейные и нелинейные волновые процессы в котором изучены [1, 5, 12]. Выбранному процессу соответствует квазилинейная система дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка [2, 5, 12], которые представляют собой законы сохранения. В качестве замыкающих уравнений [12] для уранений сохранения скорос и и импульса рассмо рим уравнение сохранения энергии, выразив ее через энтальпию, и уравнение состояния, связывающее энтальпию с плотно-с ью и давлением газа. Таким образом, резуль ирующая квазилинейная сис ема записана относительно п-мерного вектора, 3 < п < 5, единообразно содержащего в качестве своих компонент компоненты скорости газа и(Ь, х), ь(Ь, х), т(Ь, х), его плотности р(Ь, х) и энтальпии I(Ь, х), где х = (х1,... , х5), 5 < 3. Поскольку энтальпия посредством коэффициента теплоемкости связана с температурой газа, каждая из компонент искомого вектора В(Ь,х) является величиной, которая может быть измерена в ходе эксперимента.
Чтобы из квазилинейного процесса выделить линейные волны, порождаемые системой (1), применим ме од малых возмущений (например, [2]). Возникающую при э ом задачу о распространении малых возмущений, которая представляет самостоятельный интерес [2, 5, 13], рассмотрим как тестовую для модели волнового взаимодействия на примере движения идеального газа при заданных п и 5.
По структуре построенной модели общее решение системы
дВ дВ _
Е— = Ак т^, В =(В1 (Ь,хк ),...Вп(Ь,хк ))т, к =1,5, (2)
представленное как разложение по волне (Ехк + Ак¿), является частным решением системы (1) и составной частью ее общего решения, представленного в виде разложения по 5 взаимодействующим волнам [7, 9].
Пусть (2) отвечает распространению малых возмущений в идеальном газе при одномерном течении. Найдем решение этой системы с использованием традиционного подхода к одномерной гиперболической системе [2, 6] и средствами модели волнового взаимодействия без использования условия гиперболичности [7]. Покажем тождественность полученных решений и преимущества волнового подхода при исследовании системы (2).
Целью работы является рассмотрение предлагаемого авторами нового аналитического метода решения нормальной системы линейных однородных уравнений в частных производных 1-го порядка на примере задачи о распрос ранении малых возмущений в идеальном газе при одномерном течении с последующим использованием полученного решения для построения решения задачи при течении газа в пространстве.
2. Уравнения распространения малых возмущений в идеальном газе
Квазилинейные уравнения одномерного движения идеального газа при отсутствии массовых сил в декартовой системе координат имеют вид [2, 5, 13]:
[ ди „ ди 1 д Р
и
\
dt дх р дх
д4 + ^ = о, ге в1, (3)
dt дх
| dl _ dI _ 1 / д Р _ д Р \
У dt д х р V д t дх J '
где ü(t,x), p(t,x), P(t,x), I(tx) — скорость движения газа, его плотность, давление и энтальпия соответственно. Чтобы сделать систему трех дифференциальных уравнений относительно четырех неизвестнах функций определенной, дополним ее уравнением состояния [12]
P = — PI, I = cp T, y = Cp, (4)
Y cv
которое соответствует баротропному движению идеального газа и связывает давление газа с его плотностью и энтальпией (T(t, x) — температура газа, cP — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме). Воспользуемся уравнением состояния (4) и запишем систему относительно функций (и, р, I):
„ди _ ди y — 1 j др y — 1 ~ д1
Р дt Р dx y дX y ^ дх'
др „ ди др
dt Р dx дх' dl и ди „ dI
dt д x д х'
Выразим зависимые и независимые переменные через одноименные безразмерные переменные:
и = U0 и, р = р0 р, I = I01, t = T0t, x = L0 x,
где U0, po, I0, T0, L0 — размерные постоянные, которые являются характерными для задачи скоростью, плотностью, энтальпией, временем и длиной соответственно.
Запишем систему одномерного движения идеального газа относительно безразмерных функций (и, p,I):
( ди ди 1 др 1 дI
, Pdt = ~puöx - ym2 dx - ym2
др ди др (5)
St— = -р---и—, (5)
дt дx дx
' dI ди дI
1 stm = -(Y - 1)7 dx - uö~x-
В (5) — число Струхала; = ¿0/и0Т0; М — число Маха; М = и0/а, а — скорость звука в газовой среде, при этом а2 = (7 — 1)10. Поскольку среди размерных величин, задающих число Струхала, две являются независимыми, можно выбрать = 1.
Рассмотрим задачу о распространении малых возмущений в идеальном газе при одномерном параллельном оси 0Х движении [2, 5]. Пусть в движущемся со скоростью и0 идеальном газе, который имеет плотность р0 и энтальпию 10, создаются малые возмущения скорости и*(Ь,х), плотности р*(Ь,х) и энтальпии I*(Ь,х). Тогда движению возмущенного газа о вечаю функции
и(Ь,х) = 1 + и* (Ь,х), р(Ь,х) = 1 + р* (Ь,х), I (Ь,х) = 1 + I *(Ь,х). (6)
Чтобы нелинейная система (5) имела решение вида (6), функции, задающие малые возмущения, должны удовлетворять системе линейных уравнений [2]:
, 5и 5и 1 5р 1 5! , дЬ 5х 7М2 5х 7М2 5х'
; 5р 5и 5р (7)
I дЬ 5х 5х 1 5и ^
^ Ж" = —(7 — ) дх — дх
(для упрощения обозначений звездочки при искомых функциях опущены). Выполненная процедура называется линеаризацией системы (5) около состояния (и0, р0, I0) [2].
3. Приведение к независимым волновым уравнениям и нахождение инвариантов
Запишем полученную линейную систему (7) в матричном виде относительно искомой
—* т
вектор-функции В(Ь,х) = (и(Ь,х), р(Ь,х), I(Ь,х)) , х € Я1:
дВ ЯВ И ( —1 — ^ — ^ ^ _
ЕЖ = А =' —1 —1 0 ', (8)
I—(7 — 1) 0 —1 )
где Е — единичная матрица порядка 3. Система (8) представляет собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений в час ных производных 1-го порядка с пос о-янными коэффициентами, которая записана в нормальной форме. Свойства системы и ее решений определяются алгебраическими свойствами матрицы А.
Матрица А является невырожденной, имеет три различные действительные собственные значения
А1 = —1, Л2 =-, А, =--
1 ' 2 М ' 3 М
и подобна диагональной жордановой матрице 3 с матрицей подобия 5 (3 = 5-1А5), где
( 0 1 1 \ ( 0 (7 — 1)/7 —1/7 \
5 =| 1 —М М ' , 5-1 =¡1/2 —1/27М — 1/27М ' .
— 1 —(7 — 1)М (7 — 1)М / у 1/2 1/27М 1/27М I
Матрица 5 составлена из собственных векторов матрицы А, матрица 5-1 найдена как обратная к 5. Согласно определению (например, [2]) система (8) (система (7)) является гиперболической (в узком смысле).
Выполним замену переменных
В = V(Ь,х) = (V!(Ь,х), У>(Ь,х), V,(Ь,х))т, (9)
и рассмотрим систему уравнении
дУ т OV
Еж =S (10)
Система (10) состоит из независимых уравнений
OV , OV
-Ъъ = Л ъ, * = 1,3, (11)
каждое из которых содержит одну неизвестную функцию и имеет решение
V = fi(x + Ait), г = 1, 3, (12)
где fi — произвольные непрерывно-дифференцируемые функции. Прямые
x + Ait = Cj, ci = const, i =1, 3, (13)
являются характеристиками системы и при пересечении образуют в плоскости (t,x) треугольник, называемый характеристическим [1]. Основание треугольника, отвечающее пря-моИ (13) при i = 1, не зависит от параметров газа. ДанныИ факт согласуется с законом распространения малых возмущениИ в покоящемся газе [1] и при относительном движении газа, которое рассматривается в разделе 4. Напомним, что для уравнении акустики в качестве основания характеристического треугольника выбирается интервал на оси OX [1].
Функции ¡г, * = 1, 3, сохраняют значения на соответствующих параллельных прямых (13) и вместе со своими аргументами называются бегущими волнами [1,3]. Уравнение в частных производных 1-го порядка с двумя независимыми переменными (10) моделирует одномерный волновой процесс (волновой процесс в одномерной среде) и являе ся самым простым из уравнений, к которым применяется определение «волновое». Поэтому аргументы функций /г называют также элементарными волнами [4] (в [5] — простыми волнами). В [2] для волн (12) применен термин "бегущие волны малых возмущений", который, отражая связь э их волн с исходной квазилинейной сис емой и ме одом ее линеаризации, указы-вае на важнос ь задачи о распрос ранении малых возмущений для исследования волновых процессов. Бегущие волны малых возмущений распрос раняю ся с харак ерис ическими скоростями.
Выполнение преобразования подобия (9) по отношению к гиперболической системе (8) привело к независимым уравнениям и появлению элементарных бегущих волн в качестве решения.
Найденные выражения
V = {Б-1 В) , г = 173,
записанные через физически значимые функции, сохраняют свои значения на характеристиках и, согласно определению [1,2], представляют собой инварианты Римана системы (8):
(7- 1) 1
^—^р(г,х) - тI(г,х) = ¡!(х - г), (14)
1 1
2и(г,х) - 2-Тмр('"х) - 2Щ1 х) = /-(х + (11МГ1 *)' (15) 2и(1-х) + 2Тмр(1-х) + 2^ (1-х) = ъ(х- {1~мт1(16)
Каждый из трех инвариантов (14)-(16) распространяется без искажения формы с характе-
ристической скоростью Хг, г = 1, 3.
В связи с постановкой задачи (3)-(4) и нахождением инвариантов (14)-(16) отметим работу [14], в которой доказано, что система одномерных уравнений газовой динамики имеет три иварианта Римана, если в качестве замыкающих выбрано уравнение сохранения энергии, выраженное через энтропию в, и уравнение состояния в виде
V = С(Р) + А(в), V = Р, С'(Р ) = - --¡¡-г, с = ^, (17)
Р -2(Р) Р
где а — скорость звука; - и А — произвольные функции давления и энтропии.
Из (9) и (14)-(16) следует, что решение нормальной линейной системы уравнений в частных производных 1-го порядка (8), которая отвечает распространению малых возмущений в идеальном газе при одномерном движении, имеет вид
[ = /(х + ¡1^г) + /з(х - ЦМ-
\ р(г,х) = /1(х - г) - м/-(х + ¡1-М)г) + м/з(х - г), (18)
' I(г,х) = /х - г) - (7 - 1)м/2 (х + ¡ЬМ г) + (7 - 1)м/з (х - ■(T+M■г) •
Отметим, что скорость распространения малых возмущений и(г, х) выражена через волны, отвечающие двум из трех характеристик (13). Данный факт согласуется с представлением скорости распространения звука, найденной из уравнений акустики.
Каждая из трех искомых функций представляет собой линейную комбинацию бегущих волн, заданных произвольными непрерывно-дифференцируемыми функциями, которые распространяются без изменения формы со скоростями, равными собственным значениям матрицы-коэффициента А, задающего систему (8).
4. Распространение малых возмущений при относительном движении
В разделе 3 получено решение задачи для абсолютного движения газа. Поскольку абсолютное по отношению к неподвижной системе координат движение газа состоит из переносного и относительного движения, следует рассмотреть бегущие волны, вызванные малыми возмущениями при относительном движении газа.
Пусть возмущения привносятся в газ с элементами (и — и0,р0, 10) [13]. Этот случай соответствует распространению возмущений в системе координат, которая связана с частицей газа, движущейся со скоростью и0. Тогда в условии (6) скорость возмущенного газа совпадает с возмущением его скорости:
и(£,ж) = и* (¿,я). (19)
Выполнив линеаризацию системы (5) около состояния (0, р0, 10), по аналогии с системой (8) получим сис ему
1 1 \
(
дВ дВ I 0 7м2 7м2 I
ЕЖ =А*а? А* =(—1 о 01, (20)
V— (7 — 1) 0 0 )
где в силу близости физических процессов матрицы А* и А имеют совпадающие элементы.
Матрица А* является невырожденной, имеет три различных действительных собственных значения
А1 = 0, А2 = 1/М, А3 = -1/М,
и подобна диагональной жордановой матрице 3* с матрицей подобия 5*, 3* = 5*-1А*5*,
где
( 0 -1/М 1/М I ( 0 (7 - 1) /7 -1 /71
5* = ' 1 1 1 | , 5*-1 = | -М/ 2 1/27 1/ 2т ! .
V-1 (7 - 1) (7 - 1)) V М/2 1/27 1/27 )
Если возмущения рассматриваются при относительном движении, то инварианты принимаю вид
(т - 1) р(*,ж) - 11(¿,ж) = С,
7 7
М , . 1,4 1^4 , ( 1 А
—2u(t, х) + х) + = VХ + М 7,
М , . 1,4 г ( 1 А
уи(^ х) + —х) + х) = ^ - м V,
где С — связанная с интегрированием произвольная постоянная. Скорость, плотность и эн альпия предс авляю собой линейную комбинацию бегущих волн, распрос раняющихся
с характеристическими скоростями 1/М и -1/М:
^ и(г, х) = - — /-С х + — Л + — ь(х —— г),
, ' м "к м ) м-1 ч м }
I Р(г,х) = с + /-(х + мг) + /з(х - мг), (21)
' I(г,х) = -с +(1 - 1)/-{х + мг) + (7- 1)/з(х - мг).
Изменение (19) в условиях на компоненты возмущенного газа (6) привело к следующему соотношению между матрицами, задающими результирующую линейную систему:
А* = А + Е, (22)
где Е — единичная матрица. Схожие структура и свойства матриц А и А*, отвечающих системам (8) и (20), приводят к схожести решений этих систем (18) и (21), построенных при помощи элементарных бегущих волн. Возникает вопрос: можно ли отразить данный факт в решении, не обращаясь к элементарным волнам и, следовательно, к отысканию собственных значений и собственных векторов каждой из матриц А и А* в отдельности (см. раздел 6).
5. п-мерные бегущие волны
При изложении метода решения системы (8), отвечающей распространению малых возмущений в идеальном газе при одномерном течении, нигде не использовались размерность искомой функции и порядок матрицы. Следовательно, решение произвольной гиперболической системы вида (8), где В(г,х) — п-мерная вектор-функция, А — числовая матрица порядка п, может быть представлено как линейная комбинация п элементарных бегущих волн.
Наряду с элементарной волной
х + Хгг, г = 1, п, (23)
(здесь Хг — собственные значения матрицы А), которая отвечает дифференциальному оператору
О О
д* 3 т - Х дх (24)
(возникающему в системе независимых уравнений, содержащих одну функцию), рассмотрим выражения
Ех + Зг и Ех + Аг, (25)
которые отвечают дифференциальным операторам
д д д д в>3Едг-Ч и дА3Ед-Адтх (26)
Размерность функций, на которые действуют операторы, задана размерностью коэффициента при производных: оператор (24) действует на скалярную функцию Vi, операторы (26) действуют на n-мерные вектор-функции V и B соответственно.
По аналогии с бегущими волнами (23), выражения (25) рассмотрены в работах [7, 8, 9] как n-мерные бегущие волны (или бегущие волны с матричными коэффициентами), отвечающие системам дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка (8) и (10). К волнам (23) в некоторых случаях будем добавлять определение "скалярные". В этом смысле к инвариантам Римана (S-1B^ будем применять определение «скалярный», а выражение V, V = S-1B, рассматривать как n-мерный инвариант.
По построению волны (25) связаны посредством матрицы S. Имеет место следующее у верждение.
Утверждение 1. Если произвольная числовая матрица A порядка n подобна матрице J с матрицей подобия S, то n-мерная бегущая волна (Ex + At), где E — единичная матрица порядка n, подобна бегущей волне (Ex + Jt) с матрицей подобия S-1:
J = S-1AS (Ex + At) = S (Ex + Jt)S-1. (27)
Если матрица J является диагональной жордановой формой матрицы A, то из соотношения (27) следует представление n-мерной бегущей волны через скалярные волны (x + Xit), построеннные при помощи собственных значений матрицы A, i = 1, n, [10].
Отметим, что модель одномерного движения идеального газа является примером модели, в ко орой имее мес о полная ин ерпре ация бегущей волны с ма ричным коэффициен ом посредством скалярных волн. Данный факт отражает гиперболичность системы уравнений (8) (системы (7)).
6. Решение нормальной системы линейных однородных уравнений в частных производных 1-го порядка, заданной числовой матрицей
Пусть в (12) функции fi, fi G C1, заданы разложением в ряд
fi (x + Xit) = £ (x + Xit)a ва, i = 173, (28)
а=0
по своим волнам-аргументам, где ßa — числовые коэффициенты. Это означает, что компо-нен ы искомой век ор-функции
V = (f1(x + X1t), f2(x + X21), fs(x + Xst))1,
представлены как разложение по соответствующим скалярным бегущим волнам. Запишем данный факт посредством n-мерной волны, отвечающей диагональной матрице J:
(эо
v=v(t,x) = £(Ex+Jt)ава, ва = (ßißi,ва)т. (29)
а=0
Если выражения (28) и (29) являются решениями уравнений (11) и (10), то в качестве решения системы (8) естественно рассмотреть выражение
в 3 В(г,х) = £(Ех + Аг)а%, 7« = (11а,12а)т, (30)
а=0
где та — числовой вектор-коэффициент. По построению каждый член ряда (28), (29) и (30), а также любая частичная сумма этих рядов являются решением соответствующих уравнений [7].
Особенностью построенных решений (28)-(30) является то, что однозначно задающий уравнение или систему коэффициент соответствующей размерности при производной по пространственной переменной х входит в решение в качестве коэффициента при независимой переменной г.
По отношению к системам (8) и (20) это, в частности, означает, что что решение одномерной задачи о распространении малых возмущений в идеальном газе при относительном движении может быть получено (с точностью до 7„) из решения задачи при абсолютном движении при замене в (30) матрицы А на матрицу А*, А* = А + Е.
Построение решения (30) не требует нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы А. Вместе с тем, их можно ввести в (30) посредством отношения подобия (27) между трехмерными волнами (Ех + Аг) и (Ех + Зг):
те
В(г,х) = £ 5(Ех + Зг)аБ-1^а, 3 = Б-1 АБ. (31)
а=0
Поскольку выражения (30) и (31) могут быть поставлены в соответствие системе (8) (системе (2)) для произвольной числовой матрицы А, условие гиперболичности, которое для рассматриваемой физической модели является следствием законов сохранения, не является существенным при любом его определении.
Поскольку при построении выражений (30) и (31) не используется размерность п функции В(г,х), каждое из них является общим решением системы (2) и частным решением системы (1) для произвольного п.
Будем говорить о волновом подходе к линейной системе уравнений в частных производных 1-го порядка (8), которая рассматривается в качестве частного случая системы (1), понимая под этим разложение решения по п-мерным бегущим волнам.
7. Представление решения задачи Коши
Напомним [3], что система
ЕА ^^, в(г,х) = (В1 (г,х),...,вп (г,х)), х е я1, (32)
где В(г,х) — п-мерная вектор-функция, А — произвольная числовая матрица с элементами {а^является системой Ковалевской. Для такой системы естественным образом возникает задача Коши.
Пусть п-мерная вектор-функция (р(х) является аналитической функцией х в некоторой области С0 плоскости £ = 0, содержащей точку ж0, ж0 = 0, и представлена в С0 рядом Тейлора
оо
1 д" '
Ф(х) = 13С« ■ х", Са = —Т—Ф(х)1 . (33)
а=0 дХ 1ж=0
Рассмотрим начальное условие по переменной
В (£,х)|ж=0 = ^(х) Ф(х) = (х),...,^га (х))т. (34)
Согласно теореме Коши — Ковалевской задача Коши (32)-(34) имеет в области С, С0 С
С, единственное аналитическое решение, которое выражается степенным рядом (напри-[3]):
Вг (£,х)= Е 7«, «2 ха1 £а2. (35)
«1 ,«2=0
Числовые коэффициенты 7« « однозначно определяются по начальным данным из системы уравнений (32) в результате реккурентной процедуры по индексу а2 и являются полиномами элементов матрицы А и коэффициентов 7«1 г, I < а2 — 1.
Рассмотрим понятие бегущей волны в применении к решению задачи Коши. Начнем со скалярного случая. Пусть п =1. Тогда, поскольку уравнение
= ^, аи = а, В1 (£,х) = В (£,х), (36)
имеет решение В = f (х + а£), где f € С1, для решения задачи Коши в качестве функции f следует выбрать функцию, которая задает начальное условие [4]:
В(£,х) = <^(х + а£), <^(х) = (х). (37)
Очевидно (например, [2, 6]), что для гиперболической системы (32) вид функций f, i = 1, n, которые определяют сохраняющуюся форму i-й бегущей волны, устанавливается при помощи матрицы подобия:
f (0, x) = (S-V(x))i, S-1AS = J, J = diag(Àb ..., À„). (38)
Тогда при замене в i-й компоненте вектора <Д(х) аргумента x на волну (x + Àjt) из (9) получим следующее решение решение задачи Коши для системы (8), соответствующей распространению малых возмущений в идеальном газе:
3 3 3
u(t,x) = E s 1 j <£j (x + Àjt), p(t,x) = ^ S2i ^¿(x + Àj t), I (t,x) = E S3i Щ (x + Àj t), (39)
j=1 j=1 j=1
где {sj }jij=1 — элементы матрицы S, столбцами которой являются собственные векторы матричного коэффициента этой системы. Решение (39) указывает на то, каким образом в точку (t,x) вдоль проходящих через нее трех характеристик (13) приносятся значения
соответствующих функций ^(x), i = 1, 3.
Например, выберем начальные условия в виде
0(x) = (£ sin x, 0, р cos x) , £, p ^ 1, —ж < x < + Ж, (40)
где £ и p — малые параметры, задав начальные возмущения скорости и температуры (посредством энтальпии) при одномерном движении идеального газа. Из (39) получим следующее представление решения задачи Коши:
(,,£.( (1 — M) \ р ( (1 — M) \
; u(t,x) = 2^x + t) — — cos[x + t) +
+ £ sin(x — (1 +M) t) + cos(x — (1 +M) t 2 V M J 2jM V M
, ч P s £M . ( (1 — M) \
p(t, x) =--cos(x — t)--— sin x +--—— t ) +
Y 2 \ M J
+ 2Y 0 + £fs'n( x — цр-t) »(' — {±MM ty (4>)
I (t,x) = p cos (x — t) — ——sinfx + ——M t) + Y 2 \ M )
+ ^ 4 x t) + ^ H x - Цй t) +
y + ^c<x- (l±Mlt
В (41), в частности, представлено, каким образом (с какой амплитудой и с какой частотой) начальное возмущение скорости газа е sin x скажется на возмущении его плотности и температуры (посредством энтальпии).
Воспользуемся теперь разложением начальной аналитической функции в ряд Тейлора (33). Пусть функции fi, сохраняющие свои значения на волнах-аргументах (x + Ait), представляют собой разложение (28). Тогда при переходе к матричной записи получим разложение n-мерного инварианта V в ряд (29) по n-мерным бегущим волнам. Из (9) следует начальное условие на функцию V:
те | те
V (t,x)\t=0 = £(Ex + Jt)aPa I = S-1 £ C„ ■ x'
a=0 t=0 a=0
Следовательно, имеет место соотношение
^ 1 да 1
¡за = б-1са, са = о, Ф(х) , (42)
1ж=0
между коэффициентами разложения по п-мерным бегущим волнам векторного инварианта V и коэффициентами разложения в ряд Тейлора начальной вектор-функции (р (х).
В то же время, рассмотрев при г = 0 общее решение системы (32) в виде (30), приходим к выводу, что для получения решения задачи Коши (32)-(33) в качестве коэффициентов 7а
при (Еж + Аг)а следует выбрать коэффициенты ряда (33) при жа. Тогда решение задачи Коши принимает вид [8]
те 1 а« |
В(г, ж) — £ (Еж + Аг)а - тта^х)1 . (43)
а=0 дж х=0
Решение (43), которое записано без дополнительных вычислений, содержит матричный коэффициент системы в явном виде, а начальные данные — в виде коэффициентов разложения аналитической начальной функции в ряд Тейлора. Ряд (43) организован по волновому принципу, отличному от принципа организации ряда (35).
Например, чтобы получить решение рассматриваемой задачи Коши для уравнений распространения малых возмущений в идеальном газе при одномерном движении, следует подставить в (43) матричный коэффициент А системы (8) и векторные коэффициенты
, , т , , т
70 = (0, (Ыт, 71 = (£, 0, 0)Т, 72 =(о, 0,, 7э = (-^, 0, ^ , ...,
которые отвечают разложению функции (40) в ряд Тейлора в окрестности нуля. Сравнив компоненты полученного вектора В (г, ж), В (г, ж) = (и (г, ж), р(г, ж), I (г, ж))т, с решением (41) при разложении тригонометрических функций в ряд Тейлора, убеждаемся в их тождественности. Напомним при этом, что любая частичная сумма ряда (43) с указанными коэффициентами А и 7« является решением системы (8).
Запишем систему уравнений (32) в операторном виде:
Ет = А'В('•*>■ А' = (44)
По аналогии с обыкновенным дифференциальным уравнением представим решение задачи Коши для системы (44) через операторную экспоненту:
В (г, ж) = ехр(А'г) £(ж). (45)
Под результатом действия оператора ехр(А'г) на аналитическую функцию (р(ж) понимают функцию, к ко орой сходи ся с епенной ряд
те г |
ехр(А'г) £(ж) = £ - (А') ^(ж), ехр(А'г)' о = Е. (46)
£0 «• к=0
Приравняв формальное решение задачи Коши в виде операторной экспоненты (45) и найденное решение (43), получим формулу
те 1 Я а 1 те 1 Я а 1
ехр(АЗДж) = £ (Еж + Аг)а 7^^(ж)1 = £ Б (Еж + Л)аБ -1 - — ^(ж) , (47)
а=0 дж 1х=0 а=0 дж х=0
^ д
А — А ~ , 7 — Б АБ. дж
Таким образом, в рамках модели волнового взаимодействия решение задачи Коши представлено как разложение в ряд (сходящийся в некоторой окрестности начальной точки) по соответствующей задаче п-мерной бегущей волне. Векторные коэффициенты ряда и матричный коэффициент волны известны. Общий член ряда может быть представлен через собс венные значения и собс венные век оры ма ричного коэффициен а волны.
Отметим также, что задача Коши для уравнения (44) позволяет трактовать п-мерные бегущие волны как результат действия соответствующей этому уравнению операторной экспоненты ехр(А'г) на п-мерную аналитическую функцию (р(ж).
Разложение решения задачи Коши (32)-(34) в ряд (47) имеет место как для гиперболической системы (матрица А подобна диагональной жордановой матрице 7), так и для системы (32), заданной произвольной матрицей (А подобна жордановой матрице 7).
8. Заключение
В рамках предложенной авторами модели волнового взаимодействия в качестве тестовой задачи сформулирована и решена задача о распространении малых возмущений в идеальном газе при одномерном движении.
С использованием традиционного подхода к решению гиперболической системы малые возмущения скорости, плотности и энтальпии газа единообразно представлены как линейная комбинация произвольных непрерывно-дифференцируемых функций, аргументами которых являю ся элемен арные бегущие волны.
Число элементарных волн и число инвариантов Римана, отвечающих системе, равно трем — порядку задающей систему матрицы, что рассматривается как одно из определений гиперболичности. Три пересекающиеся характеристики образуют на плоскости (г, ж) характеристический треугольник. Это означает, что в идеальном газе при малых возмущениях скорости, плотности и энтальпии (температуры) возникает движущаяся замкнутая с рук ура, ко орая однозначно задана параме рами газа (числом Маха).
Представление о бегущей волне как решении гиперболической системы, которое обладает свойством инвариантности, перенесено на п-мерный (матричный) аналог и связано с решением нормальной системы уравнений в частных производных 1-го порядка, которая задана произвольной числовой матрицей. Указано представление п-мерной волны через элементарные, которые рассмотрены как скалярные волны (п — 1).
Решение задачи Коши в окрестности точки ж0, ж0 — 0, представлено как разложение в ряд по п-мерной бегущей волне с коэффициентами, равными п-мерным векторным коэффициентам разложения аналитической начальной функции в ряд Тейлора. Структура построенного ряда отлична от структуры ряда, фигурирующего в теореме КошиЁ— Ковалевской. Установлено, что п-мерные бегущие волны, отвечающие системе (1) при в — 1 (системе (2)), порождаются действием отвечающей этой системе операторной экспоненты на аналитическую функцию.
В продолжение исследований в качестве физической модели для системы (1) при s > l предлагается рассмотреть задачу о распространении малых возмущений в идеальном газе при двумерном (плоскопараллельном) движении и движении в пространстве. Это потребует применения соответствующего оператора волнового взаимодействия [7, В]. Взаимодействие осуществляется между волнами (скалярными или n-мерными), 3 < n < 5, построенными для каждой матрицы-коэффициента Ak, s = l, 3, системы (1). Полученное решение (30), связанное с волнами, которые распространяются вдоль выбранной оси OXk, k = l, 3, является частным решением задачи о распространении малых возмущений в идеальном газе при движении в пространстве и составной частью ее общего решения.
Список литературы
1. Годунов С.К. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1979. 392 c.
2. Куликовский A.E, Свешникова Е.И., Чугайнова A.H Лекционные курсы НОЦ. Вып. 16. Mатематические методы изучения разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений / Mатематический институт им. ВА. Стеклова Р/Ш (MИAН). M.: MИAН, 2010. 122 с.
3. Курант Р. Уравнения с частными производными: пер. c англ. / под ред. ОА. Олейник. M.: M^, 1964. В30 с. [Courant R. Methods of mathematical physics. Vol.2. Partial Differential Equations. New York-London: Interscience Publ., 1962].
4. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах: пер. с англ. / под ред. П.Е. Краснушкина, Н.Р. Сибгатуллина. M.: M^, 19В3. 136 c. [Bhatnagar P L. Nonlinear Waves in One-dimensional Dispersive Systems. Oxford: Clarendon Press, 1979].
5. Лойцянский Л. Г. Mеханика жидкости и газа. M.: Наука, 19В7. В40 с.
6. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 724 p. DOI: 10.1007/b79761
7. Феоктистов В.В., Mякинник О.О. Структура ряда для решения системы уравнений с частными производными 1-го порядка // Вестник MГTУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2009. №4. С. 3-22.
В. Феоктистов В.В., Mякинник О.О. Оператор волнового взаимодействия и нормальная форма системы линейных уравнений в частных производных 1-го порядка // Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Пон-трягинские чтения — XXI»: матер. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2010. С. 232-233.
9. Феоктистов В.В., Mякинник О.О. Бегущие волны с матричными коэффициентами // Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы»: матер. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2013. С. 255-256.
10. Феоктистов В.В., Мякииник О.О. Представление n-мерных бегущих волн через скалярные // Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — XXV»: матер. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2014. С.178-180.
11. Geroch R. Partial Differential Equations of Physics // In: General Relativity: Proceedings of the 46th Scottish Universities Summer School in Physics (Aberdeen, July 1995). Edinburgh: SUSSPPubl., 1996. P. 19-60.
12. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. 304 c.
13. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992. 432 c.
14. Капцов О.В. Инварианты характеристик систем уравнений с частными производными // Сибирский математический журнал. 2004. X 45, № 3. C. 577-591.
Science ^Education
of the Bauman MSTU
Electronic journal
ISSN 1994-0408
Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 12, pp. 372-391.
DOI: 10.7463/1214.0744956
Received: Revised:
28.06.2014 02.12.2014
> Bauman Moscow State Technical University
Ideal Gas Small Perturbations: Waves, Invariants and Cauchy Problem
Feoktistov V. V., Miakinnik O. O. *[email protected]
Bauman Moscow State Technical University
Keywords: hyperbolic system, traveling waves, Riemann invariants, n-dimensional traveling waves, expansion in terms of traveling waves, Cauchy problem solution, ideal gas, small perturbations
The wave interaction model the authors have developed for the first-order linear homogenous Cauchy system, which is specified by numerical matrices at the spatial derivatives, is considered as applied to the one-dimensional ideal gas flow. The linear waves, meeting model requirements, are separated from quasi-linear process by the method of small perturbations. The resulting linear hyperbolic system is specified by the matrix containing gas parameters and written for the unknown vector, components of which are small perturbations of gas velocity, density, and enthalpy.
Following a common practice for a hyperbolic system, the method for solving the system via traveling waves, propagated axially with characteristic speeds, is analyzed for the physical process involved. Three Riemann invariants are found. The general solution is represented as a linear combination of three arbitrary functions of wave-arguments, specified by characteristic speeds. The initial conditions are imposed on the three functions, which can be measured experimentally, to determine the unchangeable form of traveling waves. The formation of characteristic triangle, uniquely determined by gas parameters, is connected with the existence of some closed structure moving in the ideal gas.
To hold the matrix form, a 3-by-3 diagonal matrix is formatted from the traveling waves as its entries. This matrix is considered as a three-dimensional wave, specified by coefficient matrix with 3 characteristic speeds along its diagonal. Using a similarity transformation, the diagonal matrix coefficient is replaced by the matrix specifying the system to be solved.
By analogy with hyperbolic case, an n-dimensional wave, specified by an arbitrary numerical n-by-n matrix, is considered as a solution of a first-order Cauchy system specified by this matrix. The Cauchy problem solution is represented as a series expansion in terms of n-dimensional wave with coefficients equal to the coefficients of n-dimensional initial analytic vector Taylor's expansion.
It was found that an n-dimensional wave is generated by the action of differential operator exponential on an n-dimensional analytic initial vector via Cauchy problem for the related system.
It is proposed to apply the model to the two-dimensional gas flow using the notion of interaction between the waves propagated along each of two coordinate axes.
References
1. Godunov S.K. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 392 p. (in Russian).
2. Kulikovskiy A.G., Sveshnikova E.I., Chugaynova A.P. Lektsionnye kursy NOTs. Vyp. 16. Matematicheskie metody izucheniya razryvnykh resheniy nelineynykh giperbolicheskikh sistem uravneniy [Lecture courses of Scientific and Educational Center. Is. 16. Mathematical methods for studying discontinuous solutions of nonlinear hyperbolic systems of equations]. Moscow, Steklov Mathematical Institute of RAS Publ., 2010. 122 p. (in Russian).
3. Courant R. Methods of mathematical physics. Vol.2. Partial Differential Equations. New York-London: Interscience Publ., 1962. (Russ. ed.: Courant R. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi. Moscow, Mir Publ., 1964. 830 p.).
4. Bhatnagar P.L. Nonlinear Waves in One-Dimensional Dispersive Systems. Oxford, Clarendon Press, 1979. (Russ. ed.: Bhatnagar P.L. Nelineynye volny v odnomernykh dispersnykh sistemakh. Moscow, Mir Publ., 1983. 136 p.).
5. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 840 p. (in Russian).
6. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer Berlin Heidelberg, 2009. 724 p. DOI: 10.1007/b79761
7. Feoktistov V.V., Myakinnik O.O. Structure of Series for Solving System of 1st Order Equations with Partial Derivatives. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science, 2009, no. 4, pp. 3-22 (in Russian).
8. Feoktistov V.V., Myakinnik O.O. Operator of wave interaction and normal form of system of linear equations in partial derivatives of the 1st order. Voronezhskaya vesennyaya matematich-eskaya shkola "Sovremennye metody teorii kraevykh zadach. Pontryaginskie chteniya — 21": mater. [Voronezh Spring School in Mathematics "Modern methods of the theory of boundary value problems. Pontryagin reading — 21": proc.]. Voronezh, VSU Publ., 2010, pp. 232-233 (in Russian).
9. Feoktistov V.V., Myakinnik O.O. Traveling waves with matrix coefficients. Voronezhskaya zimnyaya matematicheskaya shkola "Sovremennye metody teorii funktsiy i smezhnye problem": mater. [Voronezh Winter School in Mathematics "Modern methods of function theory and related problems"]. Voronezh, VSU Publ., 2013, pp. 255-256 (in Russian).
10. Feoktistov V.V., Myakinnik O.O. N-dimensional traveling waves representation in terms scalar waves. Voronezhskaya vesennyaya matematicheskaya shkola "Sovremennye metody teorii kraevykh zadach. Pontryaginskie chteniya — 25": mater. [Voronezh Spring School in Mathematics "Modern methods of the theory of boundary value problems. Pontryagin reading —25": proc.]. Voronezh, VSU Publ., 2014, pp. 178-180 (in Russian).
11. Geroch R. Partial Differential Equations of Physics. In: General Relativity: Proceedings of the 46th Scottish Universities Summer School in Physics, Aberdeen, July 1995. Edinburgh, SUSSPPubl., 1996, pp. 19-60.
12. Kovenya V.M., YanenkoN.N.Metodrasshchepleniyavzadachakhgazovoy dinamiki [Splitting Methods for Gas Dynamics Problems]. Novosibirsk, Nauka Publ., 1981. 304 p. (in Russian).
13. Sobolev S.L. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1992. 432 p. (in Russian).
14. Kaptsov O.V. Invariants of characteristics of some systems of partial differential equations. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal, 2004, vol.45, no. 3, pp. 577-591. (English translation: Siberian Mathematical Journal, 2004, vol. 45, is. 3, pp. 475-487. DOI: 10.1023/B:SIMJ.0000028612.51060.32).
