CC BY
84
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №4,2015
удк 004.94 Новикова О. В. [Novikova О. V.]
ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СОЛИТОНОВ ДЛЯ ХРАНЕНИЯ И ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Possibilities of application
of the mathematical theory of solitons
for storage and information transfer
Характерной чертой современных физических теорий является существенно нелинейный характер взаимодействий. Множество классических физических задач упирается в невозможность описания поведения существенно нелинейной системы, когда не работают стандартные методы теории возмущений. В настоящее время важнейшей задачей современной физики является изучение нелинейностей, в частности уединенных нелинейных волн - солитонов, что влечет за собой большой интерес к прикладным задачам, постановка которых заключается в применении солитонов в различных областях науки. В статье рассматриваются возможности применения солитонов в технике связи, приводятся примеры некоторых математических моделей, описывающих волновые процессы, связанные с задачами о нелинейных волнах. Автором представлены личные результаты исследования нелинейного уравнения в частных производных типа Шредингера, дан анализ полученных точных решений в виде бегущих волн и солитоноподобных решений в виде кинков.
Ключевые слова: солитон, системы связи, обработка информации, нелинейные уравнения, метод Хироты, кинк, бегущие волны.
Characteristic feature of modern physical theories is significantly nonlinear nature of interactions. The set of classical physical tasks rests against impossibility of the description of behavior significantly of nonlinear system when standard methods of the theory of indignations don't work. Now the most important problems of modern physics are studying of not linearities, in particular, of lonely nonlinear waves - solitons that involves a great interest to applied tasks which statements zklyuchatsya in application of solitons in various areas of science. In article possibilities of application of solitons in technology of communication are considered, examples of some mathematical models describing the wave processes connected with tasks about nonlinear waves are given. The author presented personal results of research of the nonlinear equation in private derivatives like Schrodinger, the analysis of the received exact decisions in the form of the running waves and the solitonopodobnykh of decisions in the form of kinok is given.
Keywords: a soliton, communication systems, information processing, the nonlinear equations, Hirota's method, kink, the running waves.
Солитоном называется нелинейная уединённая волна, сохраняющая свою скорость и форму при взаимодействии с себе подобными. Солитоны изучаются в различных областях естествознания. В на-
стоящее время одним из перспективных направлений является изучение и применение солитонов для хранения и передачи информации. Развитие таких идей в будущем способно привести к революционным изменениям в технике связи.
Работа высокоскоростных линий связи ограничивается эффектом дисперсии групповых скоростей, из-за чего импульс уширяется и теряет энергию в битовом промежутке. Использование солитонов значительно улучшило бы работу этих систем связи в силу свойства солитонов сохранять свою форму и благодаря балансу между дисперсионными и нелинейными соотношениями. Передача информации по солитонным линиям связи может осуществляться со скоростью около 100 Гбит/с на расстояния около 1000 км, в случае если за счет необходимого усиления солитонов скомпенсированы потери в световоде.
Солитоны в волоконных световодах имеют различное практическое применение. Во-первых, они выступают переносчиками информации в волоконно-оптических линиях связи. Еще одним примером применения оптических солитонов является солитонный лазер, который служит источником стабильных и перестраиваемых по длительности импульсов стандартной формы огибающей, описывающейся гиперболическим секансом. Совсем недавно появились исследования, открывающие возможность эффективного использования солитонов в оптических устройствах цифровой обработки информации. Солитон распространяется в оптическом волокне без искажения формы, и, следовательно, его можно рассматривать как естественный «бит» информации. Световой импульс, имеющий форму, немного отличающуюся от солитонной, может эволюционировать к ней в процессе распространения, что является особенно актуальным для современных систем. Солитон имеет большое значение для нужд волоконной связи на сверхдальние расстояния. Все это вызывает необходимость четкого математического описания процессов и ясной формулировки физических принципов, лежащих в основе данных явлений [1].
Постановка какой-либо физической задачи начинается с этапа накопления данных для эксперимента. Далее на основании накопленных данных
№4, 2015
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
43
Возможности применения математической теории солитонов...
вводятся и решаются математические уравнения для данной системы. Значительно более сложной задачей оказывается получение точных решений таких нелинейных уравнений. Эволюция во времени различных физических систем описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, для которых не работает принцип суперпозиции. Каждое такое уравнение уникально. Это исключает возможности применять многие стандартные методы (комбинация решений, разложение их в ряд), в результате чего для каждого уравнения необходим отдельный подход, что приводит к изобретению новых методов решений трудноразрешимых задач. Положительной стороной является то, что когда найдены интегрируемое уравнение и его методы решения, вместе с начальной задачей решается целое семейство смежных математических проблем. Поэтому исследователи вначале занимаются поиском таких интегрируемых уравнений, а затем попыткой их применения во многих областях науки.
Математические модели, описывающие множество задач о нелинейных волнах, представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, обладающие солитонными решениями. Одной из разновидностей солитонов или солитоноподобных решений являются кинки (от английского kink - перегиб). Формально кинк можно рассмотреть, например, как решение, описываемое гиперболическим тан-гесом, таких известных нелинейных уравнений в частных производных,
как:
Кортевега-де-Фриза,
Ut+6uux+uxxx = 0
(1)
XXX
нелинейного уравнения Шредингера
iVt+Vxx+fiwH2 =0
где Ц1-
комплексная функция,
— уравнения Синус-Гордон,
и(х,г) — яти (3)
Изменение знака решения «кинк» на противоположный порождает «антикинк».
В последние годы исследование оптических солитонов в волоконных световодах переместилось в область более коротких, фемтосекун-дных импульсов. Теория, описывающая эволюцию таких импульсов, основывается на разнообразных обобщениях нелинейного уравнения Шредингера (2).
Рассмотрим уравнение типа Шредингера по виду линейной части, но отличающееся от него видом нелинейности, вывод которого подробно описан в монографии Т. В. Редькиной [2],
Р(-1РХХ+ИР(Р2 +р2) = 0, (4)
где р(х,I) ир(х, 0 - комплексно-сопряженные функции,
1 - мнимая единица, полученное с помощью системы двух
уравнений
<Р*=1(Р> (5)
(р, = Аф,
где !//(х, /) - 2-мерный вектор, матричные операторы /. и А имеют спектральное разложение по параметру X, удовлетворяющей условию нулевой кривизны
Ц-АХ+[ЦА] = 0, (6)
где \1„А | = ЬА- АЬ - коммутатор операторов Ь и А.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
. Возможности применения математической теории солитонов..
45
№4. 2015
С помощью метода Хироты [3] для нелинейного уравнения (4) найдены 1-солитонные решения дробно-экспоненциального типа с тремя произвольными постоянными в виде кинков:
(7)
8 ci + aV*1""
где а. с, b - const.
Продемонстрируем поведение кинков на графиках (рис. 1 и 2) при определенных значениях констант. На рис. 1 изображены действительная и мнимая части решения при с = Ъ = а = 1, на рис. 2 показано изменение мнимой части в зависимости от параметра а. Как видно, при росте значения а кинк стремится к ударной волне.
Рис. 1.
Действительная и мнимая части решения (7) при а = с = b = 1.
Рис. 2. Мнимые части решения (7) при
с = Ь = 1, а = 0,8; 1,2; 2.
С помощью метода Хироты также получены точные решения экспоненциального типа в виде бегущих волн:
р(х, 0 = <7 ± 1 )(с + beв(д:Таг)), (8)
где а. с, Ъ - const.
Оба вида решений, полученные методом Хироты, содержат три произвольных параметра, которые определяют коэффициенты и
№4, 2015
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Возможности применения математической теории солитонов..
47
линейную функцию от независимых переменных. С подробным выводом формул (7) и (8) можно ознакомиться в [4].
Еще одним важным результатом исследования нелинейного комплексного уравнения в частных производных (4), допускающим возможность применения его в технике связи при хранении и передачи информации, является наличие точных решений в виде бегущих волн:
p(x,t) = sh(ax - (4 + a2 )i + £)+ ich{ax ~(4 + a2)t + S\ (9)
p(x,t) = ch(ax + (4-a2)t + ¿>)+ ish(ax + (4 -a2)t + S\ (Ю)
где a, S - const, представляющие собой семейства двупарамет-рических решений, где действительная и мнимая части комплекснозначной функции p(x,t) являются гиперболическими синусами и косинусами от линейной функции независимых переменных X и / и произвольными постоянными а и S. Вывод решений (9) и (10) описан в [4], [5].
Таким образом, на основе солитонов можно разрабатывать новые приборы, обладающие рядом уникальных возможностей [6]. Применение солитонов для хранения и передачи информации рассмотрено в работах [7], [8]. Наука о солитонах развивается благодаря результатам исследований математиков, специалистов в области математического моделирования и физического эксперимента. Более того, исследования в данной области имеют мощную финансовую поддержку в силу их ценности для дальней оптической связи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ахмедиев Н. Н., Анкевич А. Солитоны. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 304 с.
2. Редькина Т. В. Нелинейные уравнения, интегрируемые методами солитонной математики: монография. Германия: LAP Lambert Academic Publishing, 2013. 161 с.
3. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 360 с.
4. Новикова О. В. Исследование комплекснозначного нелинейного уравнения в частных производных // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Вып. 4: Физико-математические науки. 2012. С. 160-166. Калининград: Изд-во БФУ им. И. Канта, 2012.
5. Новикова О. В. Построение точных решений в виде бегущих волн для нелинейного уравнения в частных производных второго порядка // Обозрение прикладной и промышленной математики. М: ОПиПМ, 2010. Т. 17. Вып. 4. С. 580.
6. Смелов М. В. Приёмопередатчик электромагнитных солитонов //Физическая мысль России. 1998. №2. С. 31.
7. Слепов Н. Н. Солитонные сети // Сети. 1999. № 3. С. 90-100.
8. Татаркина О. А. Исследование пропускной способности соли-тонных волоконно-оптических систем передачи в зависимости от параметров линейного тракта: дис. ... канд. техн. наук: 05.12.13. Новосибирск, 2006. 191 с.
